天津一中届高三数学第四次月考(文)
2024届天津市塘沽一中高三下学期定位考试(4月)数学试题
2024届天津市塘沽一中高三下学期定位考试（4月）数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．102．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）A ．﹣3∈AB ．3∉BC ．A∩B=BD ．A ∪B=B3．若复数1a i z i -=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞- C ．()1,+∞ D ．()0,∞+4．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13B ．3C ．12D ．25．若()*3n x n N⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则a a-=（ ） A ．36π B ．812π C ．252π D ．25π6．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2211648x y -= D ．2214816x y -= 7．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC + 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．2310．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．11．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．23⎛ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津一中届高三第四次月考试卷--数学(文)doc
2009-2010-1天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（文）一、选择题：（每小题5分，共50分） 1．若集合{}21|21|3,0,3x A x x B xx ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ ）A ．11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B ．{}23x x <<C ．122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ 2．若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi +=（ ）A ．12i + B C ．2 D ．543． 若命题2:,210P x R x ∀∈->，则命题P 的否定是（ ） A ．2,210x R x ∀∈-< B ．2,210x R x ∀∈-≤ C ．2,210x R x ∃∈-≤ D ．2,210x R x ∃∈->4． 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则11121314a a a a +++=（ ） A ．18 B ．17 C ．16D ．155．程序框图如图：如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填人（ ）A ．K<10？B ．K ≤10？C ．K<11？D ．K ≤11？ 6．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图像关于直线3x π=对称；③在(,)63ππ-上是增函数．”的一个函数是（ ） A ．sin()26x y π=+B ．cos()26x y π=- C ．cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=-7． 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ） A ．3- B ． 13- C ． 3D ．138．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值是（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9 9．设,αβ是三次函数3211()2(,R)32f x x ax bx a b =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则12--a b 的取值范围是（ ）．A ．)1,41(B ． )1,21(C ．)41,21(-D ．)21,21(-10． 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）高考资源网 A ．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为(2C ．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为D ．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为()3+∞ 2009-2010-1天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷班级 姓名 成绩二、填空题：（每小题4分，共24分）11． 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．12．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 ．13．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 ． 14． 五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为 ．15．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是__________．16． 半径为r 的圆的面积()2S r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作()0,+∞上的变量，则()22rrππ'=①．①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作()0,+∞上的变量，请你写出类似于①的式子： _______________________________________②；②式可用语言叙述为_________________________ _______________． 三．解答题：17．已知△ABC 的内角B 满足2cos 28cos 50,B B -+=，若BC a =，CA b =且,a b 满足：9a b ⋅=-，3,5a b ==，θ为,a b 的夹角．（1）求B ； （2）求sin()B θ+．18．一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．（1）用列举法列出所有可能结果；（2）求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；（3）设第一次取出的球号码为x ,第二次取出的球号码为y ,求事件B=“点（,x y ）落在直线1y x =+上方”的概率．19．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB =60°，AD =AA 1，F 为棱BB 1 的中点，M 为线段AC 1的中点． （1）求证：直线MF ∥平面ABCD ；（2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与与平面ABCD 所成二面角的大小．20．设函数2()()xf x x a e =-．（1）若3a =，求()f x 的单调区间和极值； （2）若12x x 、为 ()f x 的两个不同的极值点，且211222121212|()()|4||x x x x e f x e f x e x x x x +-≥-，3233()32f a a a a b <+-+恒成立，求实数b 的取值范围．21． 如图，已知圆,8)1(:22=++y x C 定点A （1，0），M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足0,2=⋅=AM NP AP AM ，点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λλ求,=的取值范围．22．已知数列{}n b 是公比大于1的等比数列，n S 数列{}n b 的前n 项和，满足314S =，且1238,3,6b b b ++构成等差数列，数列{}n a 满足：11a =，*121111(......)(2)n n n a b n n N b b b -=+++≥∈且．（1）求{}n b 的通项公式n b ； （2）证明：*111(2)n nn n a b n n N a b +++=≥∈且； （3）求证：*12111(1)(1)......(1)4()nn N a a a +++<∈．2009-2010-1天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（文）答案一、选择题1． D 2． C 3． C 4． A 5． A 6． D 7． B 8． B 9． A 10．C二、填空题： 11． 2500 12．343cm 1314．4 15．92- 16．32443R R ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭②；②式可用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数．三．解答题：17． 解：222(2cos 1)8cos 50,4cos 8cos 50B B B B --+=-+=，得1cos ,sin 2B B ==，所以060B ∠=； 34cos ,sin ,55a ba bθθ⋅==-=⋅4sin()sin cos cos sin 10B B B θθθ-+=+=．18． 解：（1）所有可能结果数为15．列举如下： （1，1），（1，2），（1，3） ，（1，4），（1，5） （2，1），（2，2），（2，3） ，（2，4），（2，5） （3，1），（3，2），（3，3） ，（3，4），（3，5） （4，1），（4，2），（4，3） ，（4，4），（4，5） （5，1），（5，2），（5，3） ，（5，4），（5，5）（2）取出球的号码之和不小于6的是：（1，5），（2，4），（2，5）（3，3），（3，4），（3，5）（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）共15种， 所以，35P A =15（）=25．（3）点x y （，）落在直线 1y x =+上方的有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5）；共6种，所以，P B 6（）=25．19．证明：（1）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN ．因为F 是BB 1的中点， 所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点．又M 是线段AC 1的中点，故MF ∥AN ． 又MF ⊄平面ABCD ，AN ⊆平面ABCD ． ∴MF ∥平面ABCD ．（2）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1 可知A 1A ⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ， ∴A 1A ⊥BD ． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ． 又∵AC ∩A 1A =A ，AC ，AA ⊂平面ACC 1A 1． ∴BD ⊥平面ACC 1A 1． 在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，所以四边形DANB 为平行四边形 故NA ∥BD ，∴NA ⊥平面ACC 1A 1，又因为NA ⊂平面AFC 1 ∴平面AFC 1⊥ACC 1A 1（3）由（2）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ACC 1A 1， ∴BD ⊥AC 1，∴BD ∥NA ，∴AC 1⊥NA ． 又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ， ∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角． 在Rt △C 1AC 中，tan 3111=CA C C CAC ，故∠C 1AC=30°∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°．20． 解：（1）当3a =时，22()(3)3xxxf x x e x e e =-=-，22()23(23)(1)(3)x x x x x f x xe x e e x x e x x e '=+-=+-=-+，令()0f x '=，得11x =或23x =-，所以，函数()f x 在(,3)-∞-单调增，在(3,1)-单调减，在(1,)+∞单调增． 当3x =-时，()f x 的极大值为3(3)6f e --=； 当1x =时，()f x 的极小值为(1)2f e =-．（2）由题设知12x x 、为22()2(2)0x x x x f x xe x e ae e x x a '=+-=+-=的两个根， 则122x x +=-，12x x a =-，由211222121212|()()|4||xxx x e f x e f x ex x x x +-≥-，得211122122222121212|(3)(3)|4||xxxxxxx x e x e e e x e e ex x x x +---≥-，121222121212|()|4|()|x x x x e x x e x x x x ++-≥-，12121212|()()|4|()|x x x x x x x x +-≥-，1212||4||x x x x +≥，即|2|4||a -≥-，所以，1||2a ≤，1122a -≤≤． 又3233()32f a a a a b <+-+恒成立，所以23233()(3)2ab a a e a a a >--+-恒成立， 令2323()3()(3)2a h a a a e a a a =--+-，则222()3(1)(333)3(1)(1)a ah a a a e a a a a e '=+--+-=+--， 当102a -<<时，()0h a '>，()h a 为增函数， 当102a <<时，()0h a '<，()h a 为减函数， 所以0a =时，函数()h a 的极大值为(0)0h =，当1122a -≤≤，函数()h a 的最大值为0， 所以0b >．21． 解：（1）.0,2=⋅=∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又,22||||=+NM CN.222||||>=+∴AN CN∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为222a c ==焦距．.1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x（2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.034)21(22=+++kx x k 由.2302>>∆k 得 设2112212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 又,λ=)2,()2,(2211-=-∴y x y x λ,21x x λ=∴2221221,)1(x x x x x x λλ=+=+∴λλ2122221)1(x x x x x ==++∴ ,213))1(214(2222λλk k k +=++- 整理得λλ22)1()121(316+=+k， ,232>k .3163231642<+<∴k .331.316214<<<++<∴λλλ解得 又,10<<λ.131<<∴λ 又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λx ,131<≤∴λ即所求λ的取值范围是)1,31[22． 解：（1）设数列{}n b 的公比为q ．由314S =，得12314b b b ++=； 由1238,3,6b b b ++成等差数列，得213686b b b =+++即2111211114686b b q b q b q b b q ⎧++=⎪⎨=+++⎪⎩，消去1b ，得22520q q -+=，解得2q =或12q =，又因为1q >，所以2q =．将2q =代入211114b b q b q ++=，解得12b =，所以1222n n n b -=⋅=（2）由2n n b =，得11()2n n b =，当2n ≥时，1112111[1()]111122......1()1212n n n b b b ----+++==--，当2n ≥时，11211111(......)2[1()]222n n n n n n a b b b b --=+++=-=-， 所以1(1)22(2)n n n a n =⎧=⎨-≥⎩．当2n ≥时，因为111221211222(21)2n n n n n n a a +++-+-===--；112n n b b += 所以，当2n ≥时，111n n n n a b a b +++=．（3）121212111111(1)(1)......(1)n n n a a a a a a a a a ++++++=⨯⨯⨯ 121231111111(1)(1)(2)(221)222n n n n a a a a a a a -++=+⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯⨯-+2211()(21)4()422n n n --=⨯-=-<． 所以对*n N ∈有12111(1)(1)......(1)4n a a a +++<．。
天津市天津一中2025届高考数学一模试卷含解析
天津市天津一中2025届高考数学一模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值2．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-3． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( ) A ．21B ．22C ．23D ．244．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．06．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为88．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．510．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23πB ．3π C ．6π D ．56π 11．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．6312．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理)[1]-推荐下载
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C
B
O
M
N
A
2sin(2x π ) ，………………………………6 分 6
所以 f (x) 的最小正周期 T 2π π ．…………………7 分 2
（II）由 x Î [ , ], 2x Î [ , ], 2x - Î [ , 5], …………..9 分
42
当 2x 5 ,即x时取得最, f小(x值)
66
当 2x ,即x时取得最, f大(x值)
62
3
2
2
6 36
16.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学
生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预
赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
5! 10
随机变量 X 的分布列为：
5
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
天津一中2013-2014下学期高三四月考 数学文
天津一中2013-2014学年高三年级四月考数学试卷（文科） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设集合{}{}|,|5,,A x x k NB x x x Q ==∈=≤∈则A B 等于（ ）A ． {1,2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4}2．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是（ ）A. 50B. 60C. 70D. 1003. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 下列命题中正确的是( )A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥” B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件 C.若“22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. 5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于( )ABC ．32 D6. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( ) A.72πB. 48πC.D. 24π30π7. 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是（ ）A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞8. 已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)8,-+∞ B ．[)4,-+∞ C ．[-4，0]D ．(0,)+∞二、填空题（每小题5分，共30分）9. i 是虚数单位，复数i i 43)21(2-+的值是_______________________10. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin cos c A C =，则△ABC 的面积为 ________________11. 直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知AF 3,4||==,则=p ____________________12. 如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 ____________13. 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长是_________________14. 若实数,,222,2222,a b a ba b c a b ca b c c ++++=++=满足则的最大值是 _____三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）15． 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.16．已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=-+>，直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图像的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π.（I ）求ω的值； （II ）求函数()f x 的单调增区间；（III ）若()23f α=，求5sin 46πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小18．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且nn S a ,,21等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若nb na )21(2=，设n n n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .AC19．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； ②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值．20．设函数()ln af x x x x =+,32()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()()f x h x x =的单调性(Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M(Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.四月考答案 1．设集合{}{}|,|5,,A x x k NB x x x Q ==∈=≤∈则A B 等于（ ）A ． {1,2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4} 【答案】B【解析】当k=0时，x=1；当k=1时，x=2；当k=5时，x=4；当k=8时，x=5，故选B.2．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是（ ）A. 50B. 60C. 70D. 100 【答案】D3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B4．下列命题中正确的是( )A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥” B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件 C.若“22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. 【答案】C5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于( )ABC ．32 D【答案】A【解析】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =，双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取b y x a =，即0bx ay -=，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离2d ==，即22294()b a b =+，所以2254b a =，222245b a c a ==-，即2295a c =，所以29,5e e == A.6．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( ) A.72πB. 48πC.D. 24π30π【答案】C7．已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞【答案】B8．已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)8,-+∞ B ．[)4,-+∞ C ．[-4，0]D ．(0,)+∞【答案】B9．i 是虚数单位，复数i i 43)21(2-+的值是_________________【答案】 1-10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin cos c A C =，则△ABC 的面积为 ．11. 直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知AF 3,4||==,则=p __________【答案】 3812．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 ．13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长是_________.【解析】由图知DE ·DF=BD ·CD=1，同理EG ·FG=1.又DG=12AB=1，∴DE(1+FG)=1，FG(1+DE)=1，∴DE FG ==答案14．若实数,,222,2222,a b a b a b c a b ca b c c ++++=++=满足则的最大值是【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题. 【解析】∵2a b+=22a b+≥2a b+≥4，又∵222a b c ++=2a b c ++，∴22a b c ++=22a b c +∙，∴221c c -=2a b+≥4，即221c c -≥4，即43221c c -⨯-≥0，∴2c ≤43，∴c ≤24log 3=22log 3-，∴c 的最大值为22log 3-.【答案】22log 3-15．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种, …………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………13分16．已知函数())22sin cos0f x x x xωωωω=->，直线12,x x x x==是函数()y f x=的图像的任意两条对称轴，且12x x-的最小值为2π.（I）求ω的值；（II）求函数()f x的单调增区间；（III）若()23fα=，求5sin46πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】17． 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDBAC（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，AC∴PC DE ⊥ ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥ ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角 由（2）知，DB PD EF DE ⊥⊥,设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=a PC DE 2221==在PDB Rt ∆中，a a a a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=在EFD Rt ∆中，233622sin ===aaDF DE EFD ，∴3π=∠EFD 所以，二面角C —PB —D 的大小为3π18．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且nn S a ,,21等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若nb na )21(2=，设n n n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】解（1）由题意知0,212>+=n n n a S a ………………1分当1=n 时，21212111=∴+=a a a当2≥n 时，212,21211-=-=--n n n n a S a S 两式相减得1122---=-=n n n n n a a S S a ………………3分整理得：21=-n na a ……………………4分 ∴数列{}n a 是以21为首项，2为公比的等比数列. 211122212---=⨯=⋅=n n n n a a ……………………5分42222--==n b n n a∴n b n 24-=，……………………6分n n n n n nn a b C 28162242-=-==-n n n n n T 28162824282028132-+-⋯+-++=- ①13228162824202821+-+-+⋯++=n n n n n T ②①-②得1322816)212121(8421+--+⋯++-=n n n nT ………………9分111122816)211442816211)2112184+-+-----=----⋅-=n n n n nn （（n n24=.………………………………………………………11分.28nn n T =∴…………………………………………………………………13分19. 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值． 【答案】解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b +=>>满足222a b c =+，c a =，…………2分122b c ⨯⨯=2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y += ……………4分 （Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+………………………………………… …………………7分 因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得k =±…………9分 （2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+ 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ ……………11分2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++20．设函数()ln af x x x x =+,32()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()()f x h x x =的单调性(Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M(Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围. 1.【解】(Ⅰ)2()ln a h x x x =+,233212()a x ah x x x x -'=-+=,①00,()a h x '≤≥,函数()h x 在0(,)+∞上单调递增 ②0a >,0(),h x x '≥≥函数()h x的单调递增区间为)+∞00(),h x x '≤<≤,函数()h x的单调递减区间为0((Ⅱ)存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立等价于:12max [()()]g x g x M -≥,考察32()3g x x x =--,22'()323()3g x x x x x =-=-,由上表可知:min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==, 12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=,所以满足条件的最大整数4M =;(Ⅲ)当1[,2]2x ∈时,()ln 1a f x x x x =+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立,记2()ln h x x x x =-,所以max ()a h x ≥ '()12ln h x x x x =--, '(1)0h =.记'()(1)2ln h x x x =--,1[,1)2x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -><> 即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增,记'()(1)2ln h x x x =--,(1,2]x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -<><即函数2()ln h x x x x =-在区间(1,2]上递减, 1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =所以1a ≥另解()12ln m x x x x =--,'()32ln m x x =--,由于1[,2]2x ∈,'()32ln 0m x x =--<,所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2上递减, 当1[,1)2x ∈时,'()0h x >,(1,2]x ∈时,'()0h x <, 即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增,在区间(1,2]上递减, 所以max ()(1)1h x h ==,所以1a ≥。
2024-2025学年天津市天津一中高三(上)统练数学试卷(一)(含答案)
2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5>0C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 20−3x 0+5>02.已知集合A ={x ∈R|12<2x <8}，B ={x ∈R|−1<x <m +1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥2B. m ≤2C. m >2D. −2<m <23.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则有( )A. a >b >cB. a <b <cC. b >c >aD. b >a >c 4.函数f(x)=sinx |x|的图象大致是( )A. B.C. D.5.若f(x)=x 3+ax 2+bx−a 2−7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为( )A. −32或−12B. −32或12C. −32D. −126.如图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是( )A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%7.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )8.已知a ，b ，c 为正实数，则代数式a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b 的最小值为( )A. 4748B. 1C. 3536D. 349.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，且当x ∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6，若在区间(−2,6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，求实数a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,34)D. (34,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市第一中学高三数学第四次月考试题 理
天津一中2015-2016-2高三年级第四次月考数学（理）试卷一．选择题：1.设集合21{|},{|1}A x x x B x x=≤=≥，则A B =I ( C ) (A)(,1]-∞ (B)[0,1] (C) (0,1](D) (,0)(0,1]-∞U2.设变量,x y 满足约束条件2023,246x y x y x y z x y --≤⎧⎪+≤=⎨⎪-≥-⎩则的取值范围为（ D ） A. []4,32B. 1,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []8,16D. 1,432⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①应为( C ) A ．n ≤5? B ．n ≤6? C ．n ≤7? D ．n ≤8?[4.以下说法错误的是( C )A .命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”.B .“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C .若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题.D .若命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈则210x x ++≥.5.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且646536=S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（ A ）（A ）58 （B ）56 （C ）50 （D ）456.已知抛物线28y x =与双曲线2221x y x-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若｜MF ｜＝5，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）A 、5x ±3y ＝0B 、3x ±5y ＝0C 、4x ±5y ＝0D 、5x ±4y ＝07.在ABC △中 ,若sin 2sin C A=,2232b a ac -=,则cos B =（ C ）A ．12B ．13C ．14D ．158.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，|1|12,02,()1(2),2,2x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩则函数()g x ＝()1xf x -在[6,)-+∞上的所有零点之和为（ B ）A ．7B ．8C ．9D ．10二．填空题：9.设i 为虚数单位,若复数()()2282i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =______-4_____．10.二项式52ax x ⎛⎝的展开式中常数项为160，则a 的值为 2 ．11．如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 13．12.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为10313.如图，∠BAC 的平分线与BC 和外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过D 、E 、C 三点的圆于点F ．若AE=6，EF=3，则AF•AC 的值为___27___．14.在平行四边形ABCD 中，BAD ∠=60°，1AB =，3AD =，P 为平行四边形内一点，且23=AP ，若()AP AB AD R λμλμ=+∈u u r u u r u u u r，，则μλ3+的最大值为______1_____． 三．解答题：15.已知函数2()2sin 23sin()2f x x x x π=+⋅+（0>ω）． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围．16.袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球. (I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.解: (Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为11C 11173419C C C +=从8个球中摸出2个小球的种数为2828C = 故所求概率为1928P =5 分 (Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有11C 114312C C =种一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有214424C C =种,一种是所摸得的3小球均为红球,共有344C =种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有40种由题意知,随机变量ξ的取值为1,2,3.其分布列为:3319123105105Eξ=⨯+⨯+⨯=17.如图, ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，DEAF//，AFDE3=，BE与平面ABCD 所成角为060.(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求二面角DBEF--的余弦值；(Ⅲ)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得//AM平面BEF，并证明你的结论. (Ⅰ)证明：因为DE⊥平面ABCD，所以ACDE⊥. ……………2分因为ABCD是正方形，所以BDAC⊥，又,BD DE相交从而AC⊥平面BDE. …………………4分(Ⅱ)解：因为DEDCDA,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyzD-如图所示.因为BE与平面ABCD所成角为060，即60DBE∠=o， 5分所以3=DBED.由3=AD可知36DE=，6AF=. …6分则(3,0,0)A，(3,0,6)F，(0,0,36)E，(3,3,0)B，(0,3,0)C，所以(0,3,6)BF=-u u u r，(3,0,26)EF=-u u u r，………7分设平面BEF的法向量为=n(,,)x y z，则BFEF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rnn，即3603260y zx z⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令6z=，则=n(4,2,6). ………8分因为AC⊥平面BDE，所以CAu u u r为平面BDE的法向量，(3,3,0)CA=-u u u r，所以613cos,133226CACACA⋅〈〉===⨯u u u ru u u ru u u rnnn. ……9分因为二面角为锐角，所以二面角DBEF--的余弦值为1313. ………10分(Ⅲ)解：点M是线段BD上一个动点，设(,,0)M t t. 则(3,,0)AM t t=-u u u u r，因为//AM平面BEF，所以AM⋅u u u u rn0=,……11分即4(3)20t t-+=，解得2=t. ………12分此时，点M坐标为(2,2,0)，13BM BD=，符合题意. …………13分18.如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为63，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点． 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB 的长为26． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点E 的坐标为3(,0)，点A 在第一象限且横坐标为3，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在点E ，使得2211EA EB+请说明理由．【解析】（1）由63c a =，设3(0)a k k =>，则6c k =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k +=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即6A B x x k ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是262k =6k =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………………………5分 （2）将3x =22162x y +=，解得1y =±，因点A 在第一象限，从而3,1)A ， 由点E 的坐标为3，所以3AB k =PA 的方程为323y x =-， 联立直线PA 与椭圆C 的方程，解得37()5B -， yxBPAO E F 1F 2又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x -=，所以点B 到直线PA的距离5h ==，14255PAB S ∆=⋅⋅=………………10分（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EB x +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-， 所以若存在点E，此时(E ，2211EA EB+为定值2． …………………12分 根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 又设直线AB的方程为x my =C 联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以12y y +=，12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=．综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB +为定值2……………16分19.已知函数31()(1)1()2x f x f f ax b ===+3，，4，数列{}n x 满足113()2n n x x f x +==，． （1）求23x x ，的值；（2）求数列{}n x 的通项公式； （3）证明：12233334n n x x x +++<L ．解：（1）由(1)1f =，得3a b += 由1()2f =34得24a b += 解得2,1a b ==，3()21∴=+xf x x ，----------------------------------------------2分 2133392()()328212x f x f ⨯∴====⨯+-----------------------------------------------3分 32927()()826x f x f ===---------------------------------------------------------4分 （2）解法一：由13()21n n n n x x f x x +==+且0n x ≠得：1211211333n n n nx x x x ++==+⋅，-------5分 即11111(1)3n nx x +-=-，----------------------------------------------------------7分 ∵131,=2n x x ≠否则与矛盾 ∴1111131n nx x +-=-，------------------------------------8分 ∴数列1{1}n x -是以11113x -=-为首项，公比为13的等比数列， ∴11111()33n n x --=-⨯，331n n n x =-.-----------------------------------------------9分 【解法二：由132=x ，23927826==x x ，，猜想3()31+=∈-n n n x n N .---------------------6分 下面用数学归纳法证明.①当n = 1猜想显然成立；②假设当n = k （1≥k ）结论成立，即331kk k x =-，则当1n k =+时，111133331()321312131k k k k k k k k k k x x f x x ++++-====+-⋅+-， 即当1=+n k 猜想成立. ----------------------------------------------------------8分综合①、②可知猜想对+∈n N 都成立. 即3()31+=∈-nn nx n N -------------------------9分】（3）证法一：由331n n n x =-得1331n n nx =-， ∵111131331233123n n n n n -----=⋅-=⋅+-≥⋅-------------------------------------11分∴111111,(1,2,...,)331233123k k k k k k a k n ---==≤=-⋅+-⋅----------------------------12分 ∴122211*********3(1)(1)13332333243413nn n n n a a a --+++≤++++=⋅=-<-L L ． ∴命题得证.-------------------------------------------------------------------14分 以下其它解法请参照给分。
天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)
天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（ ）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（ ）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解 （2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。
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天津一中2010届高三第四次月考数学检测试卷（文）、选择题：（每小题5分，共50分）- 2A . —x R,2x -1 ：0-- 2B . -x R,2x -1 _0— 2C . x R,2x -仁0— 2D . T x R,2x -14.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 4 =8,S s =20,则a 11飞2 • % %二( )A . 18B . 17C . 16D . 15 5.程序框图如图:如果上述程序运行的结果S=1320,那么判断框中应填人（)A . K<10 ?B .K 空 10? C . K<11 ?D . K 空11?JI JI6.同时具有性质:"①最小正周期为 ■::②图像关于直线 x对称；③在 3（-）上是增函数.”的一 6 3个函数是（)x 丄 兀x 兀A . y 二sin(_) B . y = cos()2 62 61.若集合 A J.x|2x -1| ! 2x+1 [3-xA . <!x / <x c-1 或2 <x <3 丫 2「X2 ：：x ::: 3C . x -- : x <2I 2 J2.若(1 2ai)i =1 -bi ，其中 a 、b € R , i 是虚数单位，则| a • bi |=（1i 2 C .3.若命题P: —x • R,2x 2 -1 0，则命题P 的否定是（ ）C . Jiy = cos(2 x) 3D . 兀y = sin(2x -) 67. 若双曲线x 2 ky 2 =1的离心率是 2，则实数k 的值是（）A .©1 B . C . 31 D.-33&已知M 是 ABC 内的一点，且 AB AC 二2. 3,. BAC 二30，若.MBC^ MCA 和■ MAB 的面积分1 1 4别为-，x ，y ，则x -的最小值是（iB .(訐在正四棱柱 ABCD-ABC !。
！中，顶点B 到对角线BD 和到平面 ABC0的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）A .若侧棱的长小于底面的边长，则B .若侧棱的长小于底面的边长，则C .若侧棱的长大于底面的边长，则D .若侧棱的长大于底面的边长，则-的取值范围为（0,1）d-的取值范围为（丄2,公）d2 3-的取值范围为（乙3,二）d3天津一中2010届高三第四次月考班级 _______ 姓名___________ 成绩 ______________二、填空题：（每小题4分，共24分）11 . 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方（如右图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职 方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法 100人作进一步调查，则在［2500, 3000）（元）月 段应扌由出____________________________ 人.1000 1500 2X0 25W 3000 3^004000B . 18c1 3 1 9.设:-,:是三次函数f(x) x32C . 16ax 2-2bx （a,b R ）的两个极值点，且：；三（0,1），『尸（1,2），则 -—的取值范围是（-1).(4,1)10. -的取值范围为d10业等 抽出 收入(1)求 B ； (2)求 sin(B 二).13•由直线y 二x 1上的点向圆(x-3)2 • (y 2)2 =1引切线，则切线长的最小值为 _______________________ 14.五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第 为 __________ .16. 半径为r 的圆的面积Sr =r 2，周长C r =2：r ，若将r 看作0,二 上的变量，贝U 二r 2 =Z ：r ① •①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作 0, •::上的变量，请你写出类似于①的式子： ②；② 式可用语言叙述为 ________________________________________________________________ 。
三•解答题：T^T 呻*4 彳寸17. 已知△ ABC 的内角 B 满足 2cos2B -8cosB *5=0,，若 BC 二a , CA = b 且 a,b 满足：a b = -9, a -3,b -5，二为 a,b 的夹角.2,第二位同学首次报出的数为 2010个被报出的数15•如图，半圆的直径 AB =6 , O 为圆心，C 为半圆上不同于 A 、B 一点，若 P 为半径0C 上的动点，则(PA PB) cm ),可得这个几何体的体积是PC 的最小值是的任意18. —个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球.(1)用列举法列出所有可能结果；(2)求事件A= “取出球的号码之和不小于6”的概率；(3)设第一次取出的球号码为X,第二次取出的球号码为y,求事件B= “点(x, y)落在直线y=x 1上方”的概率.DAB=60 ° , AD=AA1, F 为棱BB119. 已知直四棱柱ABCD —A1B1C1D1的底面是菱形，且/ 的中点，M为线段AC1的中点.(1)求证：直线MF //平面ABCD ;(2)求证：平面AFC1丄平面ACC1A1；(3)求平面AFC1与与平面ABCD所成二面角的大小.20.设函数f (x) = (x2 - a)e .(1)若a =3，求f (x)的单调区间和极值；(2)若X2为f (x)的两个不同的极值点，且|e X2 f (xj -e xi f (x2) |_4e xi x2 |x2x2|，3f (a) ：： a3 -3 a^3a b 恒成立，求实数b 的取值范围.2 221.如图，已知圆C:(x+1) +y =8,定点A (1,0), M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM 上，且满足AM =2AP,NP AM =0，点N的轨迹为曲线E .(1)求曲线E的方程；(2)若过定点F (0,2)的直线交曲线E于不同的两点GH(点G在点F、H之间)，且满足FG二’FH,求’的取值范围22.已知数列｛bj 是公比大于1的等比数列，S n 数列｛b n ｝的前n 项和，满足S 3=14,且b 1+8(3b 2 R 6 构成等差数列，数列｛a n ｝满足：a 1 =1,11 1*a n =b n (..... )(n _ 2且 n N ).b, b 2b n4(1) 求｛b n ｝的通项公式b n ；(2) 证明：乩」 乩(n _2且n ，N *)；an 1bn 11 1 1 *(3)求证：(1 )(1 )……(1 ) :: 4(n N*).a 1 a2an天津一中2010届高三第四次月考答案一、选择题1. D2. C3. C4. A5. A6. D7. B8. B9. A 10. C二、填空题：4 3 ，— 911 . 250012. cm 13. ■. 17 14. 415.3216. i 4二R 3=4二R 2②；②式可用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.3三•解答题：17.解：2(2cos 2 B -1)-8cosB 5 =0,4cos 2 B-8cos B 5=01得 cosB,sin B = 2sin(B J 二 sin Bcosv cosBsin 二18.解：(1)所有可能结果数为 15.列举如下: (1, 1), (1 , 2), (1 , 3), (1 , 4), (1, 5)(2, 1), (2, 2), (2 , 3), (2 , 4), (2 , 5)(3, 1), (3, 2), (3 , 3), (3 , 4), (3 , 5)(4, 1), (4, 2), (4 , 3), (4 , 4), (4 , 5)(5, 1), (5, 2), (5 , 3), (5 , 4), (5 , 5)(2)取出 球的号码之和不小于 6的是： (1, 5), (2 , 4), (2 , 5) (3, 3), (3, 4), ( 3, 5) ( 4, 2), (4, 3), (4, 4)( (4, 5) ( 5 ,1), (5, 2), (5 , 3), (5 , 4), (5 , 5) 共15种,所以，P ( A )二15. 25 5(3)点(X , y )落在直线 y=x+1 上方的有：(1, 3), (1,4) , (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 5);共 6种，所以，P( B)=—.2519 .证明：(1)延长C 1F 交CB 的延长线于点 所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF // AN .又 MF 二平面 ABCD , AN -平面 ABCD . ••• MF // 平面 ABCD .(2)证明：连 BD ，由直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I可知A i A 丄平面 ABCD ,又••• BD 二平面 ABCD , ••• A i A 丄所以.B =60° ;-3,sin 二 54-3、3 10N ，连接AN .因为F 是BB 1的中点,1I-F r*7M w *: 严、BD.•••四边形ABCD为菱形，• AC丄BD .又••• AC A A i A=A, AC, AA 二平面ACC1A1 .• BD 丄平面ACC i A i.在四边形DANB中，DA // BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形故NA // BD , • NA丄平面ACC i A i，又因为NA 平面AFC i•平面AFC i丄ACC i A i(3 )由(2 )知BD 丄ACC i A i, 又AC i 二ACC i A i,• BD 丄AC i, • BD // NA , • AC i± NA .又由BD丄AC可知NA丄AC ,•/ C i AC就是平面AFC i与平面ABCD所成二面角的平面角或补角.在Rt△ C i AC 中，tan CAC i CCCA故/ C i AC=30 °•平面AFC i与平面ABCD所成二面角的大小为30°或i50°20. 解：(i)当a =3时，f (x) =(x2—3)e x=x2e x—3e x,f (x) =2xe x x2e x -3e x = (x2 2x -3)e x = (x -i)(x 3)e x,令f (x) =0 ,得x i =i 或X2 = -3 ,x G ：,-3) -321)1(1「：)F y + 0―0+y: 极大值L极小值□所以，函数 f (x)在(-二,£)单调增，在(-3,1)单调减，在(1,；)单调增.当x=「3时，f(x)的极大值为f (-3)=6e"；当x =i时，f (x)的极小值为f(i)--2e.(2)由题设知x i> x2为f (x)二2xe x■ x2e x - ae x二e x(x2• 2x - a) = 0 的两个根,则x i x^ -2 ,为冷二-a，由| e x2 f (xj -e xi f (x2) 4e xi x21 x：x2|,得| e x2 (x i2e xi -3e>i) -e xi (x22e x2 -3e x2) |一4e xi x | 晶2 - x i x| |,|eF(xj — X22)|X4eE | — x?) |,|(x i X2)(X i —X2)|_4|xx2(x i—X2)|,! 1 1|X i X2 ^4|X i X21,即丨-2 [4 丨七I,所以，|a|_? , -2 -又3 f (a) ：：：a3 3a2-3a b 恒成立，2所以b ・3(a2-a)d -(a3 3 a2-3a)恒成立，2令h(a) =3(a2_a)e a_(a3 3a2_3a),22 a 2 2 a则h(a)=3(a a -1)e -(3a 3a-3)=3(a a-1)(e -1),1当a ：：：0时，h (a) 0 , h(a)为增函数，1当0 :::a <2 时，h(a) ：：0 , h(a)为减函数，1 1所以a = 0时，函数h(a)的极大值为h(0) = 0 ,当-?乞a乞2，函数h(a)的最大值为0, 所以b 0 .21.解：(1) AM =2AP, NP AM =0.••• NP为AM的垂直平分线，••• |NA|=|NM|又|CN | | NM |=2.2,.|CN | | AN |=2、2 2.•动点N的轨迹是以点 C (- 1, 0), A (1 , 0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a =2 .2,焦距2c =2 .a —■■ 2,c — 1 ,b — 1.2•曲线E的方程为—y2^1.2(2)当直线GH斜率存在时，2设直线GH方程为y二kx * 2,代入椭圆方程y2=1,2得(1 k 2)x 2 4kx • 3 =0.22 3由二0得 k >■—. 2又 FH — FH,(X i , y i - 2) = '(X2、讨2 - 2)X 1 X 2 = (1 ' )X 2 ,X 1X 2 = X 2-4k 2 ( )(1 J 216 16.3 2k 2又:0 ：：： • ：：：1,：：1.<1,即所求’的取值范围是22. 解: (1)设数列｛0｝的公比为 q •由 S 3 =14，得 b, b 2 b^ =14 ；设G(x 1,y 1),H(X 2,y 2),则x 「他 -4k 1 k 22 x 1 x 2 2 (1-) 2 二 X 2X 1 x 2整理得 16 (1 )23(4 1) 2k 2晋解得 :::3.又当直线 GH 斜率不存在，方程为 x -0, FG 1 1 S FH ，'匚.由b 8, 3b2, b3 - 6成等差数列，得6b2 = b 8 b3 62即bi biq biq =142 ，消去b1，得2q2—5q +2= 0,6dq = d 8 dq 6 解得q = 2或q二丄，又因为q • 1，所以22q =2 .将q = 2代入b| • bq • dq =14，解得b| = 2 ,所以b n=2 -2n±-2n(2)由b n =2" ，得右bn 1 1 1=（2）n，当n_2时飞—一「b2 b n」11=1_(q)n」，当n^2 时,…1 1 a b (—n nq b? )=2n[1 —(〔严]=2n—2，2所以a n ”12n -2k(n “)(n-2)当n 一2时，因为a n 1 2n-2 1 2n 1 b na n 1 n 12 -2 2(2n -1)所以，当n 一2时，乩」an 1 _ bn b n 1(3) (1 丄)(1 丄)(1丄) x lll x a n 1a n a n=(1 -a1 a2a3 a n1 1 1(a n1)=(2 )2 2 2(2n-2 1)严（—2）「4.* 1 1 1所以对n ■- N 有(1 )(1 ) .... (1 ) - 4 .a〔a? a n。