2021届高三第四次月考数学试题

常德市一中2021届高三数学试题卷第1页共2页常德市一中2021届高三第四次月水平检测数学试题时量：120分钟满分：150分命题人：高三数学备课组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|14},{|60}M x x N x x x =-<<=--<，则M N = （）A.{|14}x x -<< B.{|13}x x -<< C.{|23}x x -<< D.{|24}x x -<<2.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则12z z =（）A ．1i+B ．1i-+C ．1i--D ．1i-3．设函数2()log ||f x x =，若13(log 2)a f =，5(log 2)b f =，0.2()c f e =，则a ，b ，c 的大小为（）A ．b a c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．a b c<<4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M满足MA MO=，则·OM ON的取值范围是（）A.[]0,2B.0,⎡⎣C.[]22-,D.-⎡⎣5.直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M、N两点，若||MN ≥，则k 的取值范围是（）A ．3[,0]4-B ．3(,][0,)4-∞-⋃+∞C ．33[,]33-D ．2[,0]3-6.△ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（）A.23B.34C.56D.7107.5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式：2log (1)SC W N=+，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（）(参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120)A.7596B.9119C.11584D.144698.已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（）A ．32B ．52C ．522+D ．322+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列不等式成立的是（）A.若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2B.若ab ＝4，则a ＋b ≥4C.若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D.若a ＞b ＞0，m ＞0，则b b ma a m+<+10.在正三棱锥A BCD -中，侧棱长为3，底面边长为2，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则下列命题正确的是（）A.EF 与AD 所成角的正切值为32B.EF 与AD 所成角的正切值为23C.AB 与面ACD 所成角的余弦值为7212D.AB 与面ACD 所成角的余弦值为7911.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1xf x e x -=-．则下列结论正确的是（）A.当0x <时，()()1xf x e x =+B.函数()f x 有五个零点C.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤D.对12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<恒成立12.设}{n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意+∈N n ，均有n k n a a >+，则称}{n a 是间隔递增数列，k 是}{n a 的间隔数,下列说法正确的是（）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列C ．已知2(1)n n a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知22020n a n tn =-+,若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<.常德市一中2021届高三数学试题卷第2页共2页三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若平面向量a 与b 的夹角为90，(2,0),1,a b == 则2a b +=．14.点(2,1)P 关于直线10x y -+=的对称点Q 的坐标为．15.函数)1,0(1≠>=-a a a y x 的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为________．16.如图，矩形ABCD中，AB =2AD =，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//MN AD ，沿MN 将DMN ∆折起，得到三棱锥D MNQ -．当三棱锥D MNQ -体积最大时，其外接球的表面积的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）（1）已知在平面直角坐标系中，(0,0),(2,4),(6,2)O A B ，求OAB △的外接圆的方程；（2）已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l，求直线l 的方程．18．（本题满分12分）已知()2cos (sin )f x x x x =-+（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间[,0]2π-的取值范围．19．（本题满分12分）在①2a ，3a ，44a -成等差数列，②1S ，22S +，3S 成等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：在公比为2的等比数列{}n a 中，______．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(1)log n n b n a =+，求数列242{}nn b +的前n 项和n T ．20．（本题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与1B BC ∆是全等的等边三角形．（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若11cos 4B BA ∠=，求二面角1B B C A --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．22．（本题满分12分）已知函数()sin cos f x x x x =+．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）记i x 为函数()(0)y f x x =>的从小到大的第*()i i N ∈个极值点，证明：222231111(2,)9n n n N x x x ++<≥∈ ．C常德市一中2021届高三数学试题卷第3页共2页常德市一中2021届高三第四次月考参考答案数学一、选择题：题号123456789101112答案BDADABBCADBCADBCD二、填空题：13.14.(0，3)15.416.253π三、解答题：17．解：（1）设OAB △的外接圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->，依题意可得0416240364620F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，解得062F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.故OAB △的外接圆的方程是22620x y xy +--=.（2）①当直线l 过原点时,设直线方程为y =kx ,由点A (1,3)到直线l ,=,解得k =-7或k=1,此时直线l 的方程为y=-7x 或y =x .②当直线l 不过原点时,设直线方程为x+y =a ,由点A (1,3)到直线l 的距离为,=解得a =2或a=6,此时直线l 的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上所述,直线l 的方程为y =-7x 或y =x 或x+y-2=0或x+y-6=0.18．解：（1）2()2cos sin 1)sin 222sin(23f x x x x x x x π=--==-，所以函数()f x 的最小正周期π．sin y x = 的减区间为3[2,2],22k k k Z ππππ++∈，由3222232k x k πππππ+-+ 得5111212k x k ππππ++，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈．（2）因为 [,0]2x π∈-，所以42[,]333x πππ-∈--．所以22sin(2)33x π--．所以函数()f x 在区间[,0]2π-上的取值范围是[2,3]-．19．解：方案一：选条件①解：（1）由题意，212a a =，314a a =，41484a a -=-，2a ，3a ，44a -成等差数列，32424a a a ∴=+-，即1118284a a a =+-，解得12a =，1222n n n a -∴== ，*n N ∈．（2）由（1）知，22(1)log (1)log 2n n b n a n =+=+(1)n n n =+，记242n n n c b +=，则222224242112[](1)(1)n n n n c b n n n n ++===-++，12n nT c c c ∴=++⋯+2222221111112()2()2[]1223(1)n n =-+-+⋯+-+2222221111112[]1223(1)n n =-+-+⋯+-+22112[]1(1)n =-+222(1)n =-+．方案二：选条件②解：（1）由题意，1S ，1a =，21232S a +=+，317S a =，1S ，22S +，3S 成等差数列，2132(2)S S S ∴+=+，即1112(32)7a a a +=+，解得12a =，1222n n n a -∴== ，*n N ∈．（2）同方案一第（2）题解答过程．20．解：（1）取BC 的中点O ，连接AO ，1B O ，由于ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥，且1AO B O O = ，所以BC ⊥平面1B AO，由11AB B AO ⊂平面，所以1BC AB ⊥；（2）设AB a =，ABC ∆与△1B BC 是全等的等边三角形，所以11BB AB BC AC B C a =====，又11cos 4B BA ∠=，由余弦定理可得2222113242AB a a a a a =+-= ，常德市一中2021届高三数学试题卷第4页共2页在△1AB C 中，有22211AB AO B O =+，以OA ，OB ，1OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则3(,0,0)2A a ，(0C ，2a-，0)，13(0,0,)2B a ，1333(,,0),(,0,)2222a AC a AB a a =--=- 设平面1AB C 的一个法向量为(,,)m x y z =，由100m AC m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得3102233022ax ay ax az ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1x =，则(1,3,1)m =-，又平面1BCB 的一个法向量为(1,0,0)n =，由15cos ,55m n <>==，所以二面角1B B C A --的余弦值为55．21．解：（1） 离心率为12c e a ==，2a c ∴=，2ABF ∆ 的周长为8，48a ∴=，得2a =，1c ∴=，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r =++ ，又22||||||8AF AB BF ++= ，∴24ABF S r = ，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S 的值最大．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=，易得△0>，且122634m y y m +=+，122934y y m -=+ ，所以222212121212222213636121||||()42(34)343(1)1ABF m m S F F y y y y y y m m m +=-=+-=+=++++ ，设211t m =+ ，则2212121313ABF t S t t t==++ ，设13(1)y t t t =+ ，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1，)+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，2ABF S 的最大值为3，此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．22.解：（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=………………1分由()0f x '>得：350(0,)(2,2)222x x k k k Nπππππ>∈⋃++∈当时，………………3分310(2,2)22x x k k k Nππππ<∈----∈当时，………………5分()f x ∴的单调递增区间为31(2,2)22k k k N ππππ----∈，(0,)2π，35(2,2)22k k k N ππππ++∈．………………6分（2）证明：由0,0)(>='x x f 得：*(21),()2i n x n N π-=∈………………7分222221422(21)(21)1i x n n ππ=<⋅---*2222211(),(2,)(22)2222n n N n n n n ππ=⋅=⋅-≥∈--………………9分911212)2121(2)]21221()8161()6141()4121[(2111222222322<=⋅<-=--++-+-+-<++∴ππππn n n x x x n ………………12分常德市一中2021届高三数学试题卷第5页共2页。