复数与向量的关系
向量和复数的关系
向量和复数的关系向量和复数呀，就像是住在数学这个大公寓里的两个邻居，关系那叫一个微妙又有趣。
向量就像一个精力充沛的运动员，总是跑来跑去的。
它有大小有方向，就像一个人带着自己的力量朝着某个特定的方向前进。
比如说，向量就像是在迷宫里知道自己该往哪条路冲的小老鼠，方向明确，大小就是它奔跑的速度或者力量。
复数呢，就像是一个神秘的魔法师。
它由实部和虚部组成，这虚部呀，就像是魔法师手里的魔法棒，看不见摸不着但却有着神奇的魔力。
复数在平面上的表示，就像是魔法师在一个特殊的舞台（复平面）上施展魔法，实部是舞台的横轴，虚部是纵轴。
向量和复数有时候就像失散多年的兄弟。
你看，复数在复平面上表示的时候，其实就和向量有着千丝万缕的联系。
向量可以看作是复数在平面上的一种表现形式，这就好像魔法师的魔法在某种程度上和运动员的奔跑路线重合了一样。
复数的模就像是向量的长度，都是衡量它们某种“大小”的概念。
想象一下，向量是在一个普通操场跑步的人，而复数是在一个充满奇幻色彩的魔法操场跑步的精灵。
虽然他们所在的环境不太一样，但他们的运动轨迹（在一定程度上）和速度（大小）的概念是相似的。
向量要是有自己的社交账号，估计会说：“我这么实在的家伙，到处跑来跑去表示各种物理量，复数那家伙怎么还神神秘秘地弄个虚部出来呢？”而复数则会回应：“我这是高端大气上档次，我的虚部可是打开另一个数学世界的钥匙，你这个只知道大小和方向的愣头青。
”不过呢，在数学这个大家庭里，它们又会互相帮忙。
就像两个人一起合作完成一个大项目。
比如在一些工程计算或者物理问题里，向量和复数就像两个超级英雄联手，向量负责那些实实在在的力的表示，复数则在一些需要特殊计算的地方发挥它的魔法作用。
有时候我觉得向量是复数的一个简化版，去掉了虚部这个神秘的外衣，只保留了最基本的方向和大小。
但复数又像是向量的一个升级款，加入了虚部这个神奇的元素，让它能够在更复杂的数学世界里畅游。
向量和复数的关系就像是一场有趣的喜剧，它们有着各自的特点和性格，但又在数学的舞台上时不时地互动、合作，给我们这些看客带来无尽的惊喜和乐趣。
复数与向量：复数运算和向量分析
复数与向量：复数运算和向量分析复数与向量是数学中重要而常用的概念，它们在代数和几何中都有广泛的应用。
本文将介绍复数的基本运算以及向量的分析性质，并深入探讨它们之间的联系和应用。
一、复数运算1.1 复数的定义和表示方法复数是由实数部分和虚数部分构成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以表示为有序对(a, b)，其中a和b均为实数。
1.2 复数的基本运算复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
1.2.1 加法和减法两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，即(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i。
减法同理，即(a+bi) - (c+di) = (a-c)+(b-d)i。
1.2.2 乘法两个复数相乘时，根据乘法分配律展开，并利用虚数单位i的平方性质，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
1.2.3 除法两个复数相除时，将分子和分母都乘以共轭复数的同一个形式。
即(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]。
1.3 欧拉公式欧拉公式是复数运算中的重要公式，表达了自然对数底e的指数函数与三角函数的关系。
欧拉公式为e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e为自然对数底，i为虚数单位，x为实数。
二、向量分析2.1 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，可以用箭头表示，也可以用坐标表示。
在二维空间中，一个向量可以表示为(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2.2 向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法、数乘和点乘。
2.2.1 加法和减法两个向量相加时，将它们的对应分量相加，即(x1, y1) + (x2, y2) =(x1+x2, y1+y2)。
复数和向量的关系
复数和向量的关系复数和向量是有着密切关系的两个概念。
在物理学、工程学以及数学的各个方面都用到了这两个概念。
复数的符号含义为a + bi，其中i为虚数单位，a和b分别为实部和虚部。
而向量是物理学里最基本的概念之一，它是有大小和方向的量。
本文将介绍复数和向量之间的关系。
一、复数可以表示向量复数和向量在某种意义上是等价的。
我们可以用一个复数来表示一个二维向量。
具体来说，如果将一个复数a + bi看作是一个有序数对(a,b)，那么这个复数可以表示平面上的一个向量(以原点为起点)。
其中a为向量的横坐标，b为向量的纵坐标。
而向量则可以用复数表示，它的实部表示向量在横坐标上的投影，虚部表示向量在纵坐标上的投影。
二、复数的求模与向量的长度复数的求模表示对应复平面上，从原点到复数对应的点的距离。
而对于向量来说，长度则表示向量的大小。
因此，复数的模和向量的长度有一一对应的关系。
具体来说，对于一个复数a + bi，其模为|a+bi| = √(a²+b²)。
而对于一个向量v(x,y)，其长度为|v| = √(x²+y²)。
四、复数的四则运算与向量的运算复数和向量都可以进行加、减、乘、除等各种运算。
具体来说，复数a+bi和c+di的加减法规则如下：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i而复数的乘法规则是：而向量的加、减、乘等运算也有对应的规律。
向量v(x,y)和w(u,v)的加减法规则如下：v + w = (x+u, y+v)而向量的乘法规则则有两种：点积和叉积。
其中点积的公式为：v · w = |v| |w| cosθ而叉积的公式为：其中θ为v和w之间的夹角。
综上所述，复数和向量有着密不可分的关系。
无论是求模、幅角，还是进行四则运算和向量的加、减、乘等运算，都存在着一一对应的关系。
这一关系在各种物理学和工程学的计算中都有着非常重要的应用。
因此，深入理解复数和向量的关系，对于学习数学、物理学、工程学等相关学科都有着重要的帮助。
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义22b a + Z( )xoZ 1Z 2ZZ 2Z1yy oxz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
复数与平面向量的应用知识点总结
复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。
一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。
复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。
2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。
共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。
3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。
4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。
欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。
二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。
平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。
减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。
2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。
数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。
3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。
4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。
小学数学教案计算复数和向量
小学数学教案计算复数和向量小学数学教案：计算复数和向量一、引言数学作为一门科学，是培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要学科之一。
在小学数学教学中，计算复数和向量是一个关键的内容。
本教案旨在帮助小学生掌握计算复数和向量的方法，并培养他们的计算能力和应用能力。
二、基础知识概述1. 复数的概念：复数是由实数和虚数单位构成的数，可表示为a+bi 的形式，其中a和b分别是实数，i是虚数单位（i² = -1）。
2. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算规则类似于实数。
3. 复数的乘法：复数的乘法使用分配律和虚数单位的平方等规则进行计算。
4. 复数的除法：复数的除法涉及到共轭复数的概念，其中分母的共轭复数为原复数实部不变、虚部相反构成的复数。
三、教学过程1. 第一节：复数的加法和减法- 引导学生了解复数、实部和虚部的概念。
- 通过具体的实例，教授复数的加法和减法的运算规则。
- 由浅入深，引导学生进行练习，巩固所学知识。
2. 第二节：复数的乘法- 通过实例展示复数的乘法规则，包括虚数单位的平方等。
- 帮助学生理解复数乘法的几何意义。
- 练习乘法的计算，培养学生的计算能力。
3. 第三节：复数的除法- 引导学生理解共轭复数的概念。
- 演示复数的除法过程和计算步骤。
- 练习复数的除法，加深对身边实际问题的应用。
4. 第四节：向量的概念和计算- 介绍向量的概念、表示方法和方向。
- 教授向量的加法和减法运算规则。
- 通过具体的问题，引导学生运用向量运算解决实际问题。
5. 第五节：复数与向量的关系- 学生通过前面的学习，回顾复数和向量的概念，发现两者之间的联系。
- 引导学生应用复数和向量知识解决复杂问题，如平面图形的运动变化问题等。
四、教学评价1. 在每个小节的结尾，设计相应的练习题，检查学生对所学内容的掌握情况。
2. 定期进行形成性评价，考察学生的基础知识掌握情况和应用能力。
五、教学延伸1. 引导学生进行更多的复习和练习，巩固所学内容。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数与向量的运算
复数与向量的运算复数与向量是数学中的重要概念，在不同的数学领域和物理学中都有广泛的应用。
本文将探讨复数和向量的基本概念以及它们之间的数学运算。
第一部分：复数的定义和运算复数由实部和虚部组成，可以用二维数学对象来表示。
复数具有以下的形式：z = a + bi (其中a和b为实数，i为虚数单位)。
在复数中，实部和虚部可以分别进行加法和减法运算。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的和为z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i，差为z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
第二部分：复数的乘法和除法复数的乘法涉及到实部和虚部的乘法计算。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的乘积可以通过以下方式计算：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
复数的除法可以通过乘以共轭复数并除以模的平方来实现：z1 / z2 = (a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2) + (a2b1 -a1b2)i / (a2^2 + b2^2)。
第三部分：向量的定义和运算向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中表示为一组有序实数或复数。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积运算。
向量的加法可以通过将对应分量相加来实现。
假设有两个向量v1 = (x1, y1, z1)和v2 = (x2, y2, z2)，它们的和为v1 + v2 =(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
向量的减法可以通过将对应分量相减来实现，即v1 - v2 = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
第四部分：向量的数量乘法和点积运算向量的数量乘法即将一个向量的每个分量与一个实数相乘。
如果有一个向量v = (x, y, z)和一个实数k，则v * k = (kx, ky, kz)。
高一数学复数与平面向量的联系
例2、 分别画出复平面上满足下列
条件的区域 : (1) z的实部不小于1 (2) z的虚部不小于2 (3) z的实部绝对值小于2
(4) z (2 3i) 3
(5) z 4 z 4 10 (6) z和它的共轭复数的积小于 等于2大于等于1
；欧亿注册 / 欧亿注册
点Z (a,b)， 向量OZ是复数
z a bi(a,b R)的另外两种
表示形式， 它们都是复数z的 几何表示。
z a bi(a,b R)
复平面上的点
向量OZ
这种对应关系的建立，为我们 用向量方法解决复数问题，或 用复数方法解决向量问题创造 了条件。
二、复数的模：
向量OZ的模r叫做复数z a bi的
(7)( z1 z2
)
ห้องสมุดไป่ตู้
z1 z2
(z2
0)
例1、 已知复数z1 m2 1 (m2 m)i
与z2 2 (1 3m)i(m R)是共轭
复数， 求m.
四、复数加减法的几何意义：
（1）复数z a bi(a,b R)的几何 表示为点Z (a,b)或向量OZ ,由向量
例、1 2i 2 4i的几何表示。
请问： 向量的三角形法则在这
还适不适用?
（3）复数减法的几何意义 :
请同学们根据向量的减法去考虑，
应该怎样做呢 ?
五、 复平面上两点的距离公式 :
d
z1
z2
,
其中z1与z
是复平面内
2
的两点z1, z2所对应的复数，d 表示
z1
,
z
间的距离。
2
复数的应用平面向量
复数的应用平面向量复数的应用——平面向量复数是数学中的一个重要分支，它在平面向量的研究中起到了关键作用。
平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，它可以用复数来表示。
本文将介绍复数在平面向量中的应用。
一、复数的定义与基本运算复数是由实数和虚数构成的数，形式可表示为a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
复数的加减法与实数的加减法相似，乘法与实数的乘法也遵循相同的规律。
二、复数表示平面向量复数可以表示平面向量的长度和方向。
对于平面上的向量AB，可以用复数表示为a+bi，其中a和b分别为向量的水平分量和竖直分量。
复数的模表示向量的长度，辐角表示向量的方向。
三、复数的加法平面向量的加法可以转化成复数的加法。
设有两个向量A和B，分别表示为a+bi和c+di，则其相加的结果为(a+c)+(b+d)i，即两个复数实部相加得到新复数的实部，虚部相加得到新复数的虚部。
四、复数的乘法平面向量的乘法可以通过复数的乘法运算来实现。
设有两个向量A和B，分别表示为a+bi和c+di，则其相乘的结果为(ac-bd)+(ad+bc)i，即两个复数的实部和虚部按照一定规律相乘。
五、复数的共轭与模的平方复数的共轭指将复数的虚部取相反数，记作z*。
对于复数z=a+bi，其共轭为z*=a-bi。
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过复数的实部和虚部计算得到，即|z|=√(a²+b²)。
复数的模的平方可以表示为|z|²=a²+b²。
六、复数表示向量的旋转复数的辐角可以表示向量的旋转角度。
将平面上的向量表示为复数z=a+bi，其辐角θ可以通过计算得到，即θ=arctan(b/a)。
同时，可以通过构造模为1的复数来表示旋转角度θ的向量，即z=cosθ+isinθ。
七、复数的应用举例1. 平面向量的加减法可通过复数的加法和减法来实现，简化了运算过程。
2. 复数的乘法可以用于向量的缩放和旋转操作，方便了平面向量的变换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重视复平面上复数与向量的联系作用平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。
随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。
复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情.一 复数商与内积的联系复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系.例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i ，它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2).然后复数作商: 代数式作商:21z z =2221122121||)()(z ib a b a b b a a -++；-------------(1) 三角式作商：21z z =||||21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得||||21z z [cos(θ1-θ2)]=222121||z bb a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=222112||z ba b a -………(4) 则从中可得下列变式：(1) 复数对应向量间的夹角余弦公式:cos(θ1-θ2||||212121oz oz ⋅ ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ1-θ2|∈),0[π，所以1oz 与2oz 的夹角就是|θ1-θ2|).(2) 向量内积:1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2).若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b2-a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|,这是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式.复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式.若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别是)sin (cos 1111θθi r z +=,=2z )],sin()[cos(222θθ-+-i r 然后,将它们的代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面的三个式子.数学中的这种相互包容联系,真是体现了数学中的统一和谐之美.二 复数向向量表示上的转化联系利用复数与向量的联系,复数可以向向量表示上的转化，使有些复数的问题转化为向量问题或构造向量图像去处理，借向量之力去解决复数问题.例2 已知复数z 1、z 2的模为1，z 1+z 2i 2321+=,求复数21、z z . 解：根据题意，设复数21、z z 对应的向量为21oz 、oz ，以这两个向量为邻边，边长为1，构作一个平行四边形，并建如图1的直角坐标系.记z z z =+21，对应向量.∵对应的复数是i 2321+∴1||=，∠zoz 1=600Θ1||1=oz ∴∆oz 1z 是正三角形, Θ∆ ozz 2≅z oz 1∆ 2ozz ∆∴是正三角形. ∴11=z ,i z 23212+-=,或1,232121=+-=z i z . 本题在解题的思路上借助了复数向向量转化的作用.复数向向量转化是较常用的思想方法.此题纯粹用代数方法去做,计算量是较大的.例3复平面内，已知动点A,B 所对应的复数的辐角为定值，分别θ、-θ，)20(πθ∠∠，O 为原点，ΔAOB 的面积是定值S ，求ΔAOB 的重心M 所对应的复数模的最小值.图2.解：根据题设，设向量OM 对应复数、z 、z z 21且 ||||||||||||2211z 、r z 、r z =====,则有θ2sin 2121r r s =, θ2sin 221sr r = ∵)(31OB OA OM += 图2∴ )()(91||91||22+⋅+=+==)2|||(|9122⋅++=)2cos 2(91212221θr r r r ++ ≥θθθ221cos 22sin 292)2cos 1(92⨯⨯=+sr r =θcot 94s ∴ |z|=|θcot 32|s OM ≥,即重心M 所对应的复数模的最小值θcot 32s （1z =θ2sin 2s)sin (cos 2sin 2),sin (cos 2θθθθθi sz i -=+时，取最小值）.该题用向量方法可较简捷获解.复数向向量表示上的转化的特点是:能将复数条件化为特殊的向量图形, 或构造一个向量运算,然后,顺利进行推理运算,求得结果.三 向量向复数表示上的转化联系利用复数与平面向量的联系，由向量向复数表示上的转化，使向量问题转化为复数问题或构造复数的结论去处理，借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感.例4已知三个不共线的向量,,,且,=++证明:,,可构成一个三角形. 证明:不妨设,,对应复数的三角式分别为:),sin (cos 111θθi r +)sin (cos 222θθi r +,),sin (cos 333θθi r +且321r r r ≤≤.o c b a =++Θo i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ )1......(0cos cos cos 332211=++∴θθθr r r 332211sin sin sin θθθr r r ++=0 (2)由(1),(2)解得)cos(22121222123θθ-++=r r r r rc b a ,,Θ不共线,)(21Z k k ∈≠-∴πθθ1)cos(121∠-∠-∴θθ2122212321222122r r r r r r r r r ++∠∠-+∴12312r r r r r +∠∠-∴,,∴可构成一个三角形.从证明过程知道,其逆也成立的,故此命题可写成充要条件的形式.该题纯粹用向量概念去证明是比较简单的,但学生听了后,并觉得没有复数解明白. 向量向复数表示上的转化的特点是:转化为复数问题后能构造出复数的某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成.四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题的方法,在数学中是常用的手段，而且是常用常新，也是知识、思想、方法融会贯通的重要途径.如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题的处理自然要选择合适的形式来表示，或者是两者并用，实现相互左证,这样可以使问题明了简单.例5已知线段AB 的中点C,以AC 和CB 为对角线作平行四边形AECD 和BFCG,又作平行四边形CFHD 和CGKE,求证H 、C 、K 三点在一条直线上,且CK=CH,如图3.证明:以C 为原点,AB 为X 轴建立直角直角坐标系.设向量、、对应复数321,z ，z z 那么,向量CE CG CA 对应复数分别为31211z z 、z 、z z ----；又CD CF CH +=、CE CG CK +=分别对应复数32z z +、)()(3121z z z z --+-∵1)()(312132-=--+-+z z z z z z ，图3 ∴1-=，∴CK CH 平行，但又有公共点C ，故H 、C 、K 三点共线,且CK=CH. 例6已知k P (k=1,2,……,n)是单位圆上的n 个等分点,P 是该圆上任意一点,求证22221||......||||n pp pp pp +++为一定值.如图4.证明:以单位圆的圆心O 为直角坐标的原点,OPn为X 轴,建立坐标系,则∠nkop p k n π2=(当k=n 时,假定此角为2π), ∵ 点i nkn k z p k k ππ2sin 2cos +=对应的复数三角式为,对应向量是k op ,则其长为1,向量和01111==∑∑∑===nk k nk kn k kz zop 对应于复数和,即01=∑=nk k op .∴ 22221||......||||n pp pp pp +++=22221||......||||n pp pp pp +++=()()(.....)()()(2211op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++ =2n-2⋅=2n,为定值.在这两个问题解决的过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间的等价结论.复数与向量并用的特点是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自的范围内有顺利进行计算推理的可能.在平面图中，证明点共线，直线平行，直线垂直，判断三角形的形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题的,从而实现共同之目的.复数与平面向量之间的联系是很多的，既有数形联系,又有等价结论联系.用好这些联系的意义是很大的.在教学中能揭示这些联系，可以活跃思维，培养兴趣，提高学习的积极性,提高学习的效率. 要牢固掌握这些联系，关键在平时要理清复数与向量的对应联系，并把它们装在心中，拿在手中，落实在应用中,千万别将它们分离.例4已知),.....,2,1(n k p k =是单位圆上的n 个等分点(按逆时针排列)，o 是原点，求证：o opnk k=∑=1证明:以单位圆的圆心O 为直角坐标的原点,OP n 为X 轴,建立直角坐标系,则∠nkop p k n π2=(当k=n 时,假定此角为2π). ∵ 点i nkn k z p k k ππ2sin 2cos +=对应的复数三角式为,对应向量是k op ,则其长为1,向量和01111==∑∑∑===nk k n k k nk kz z op对应于,∴01=∑=nk kop.这种等分圆周的有关向量求和问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求和来完成.。