复数与向量的关系

重视复平面上复数与向量的联系作用

平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情.

一 复数商与内积的联系

复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系.

例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i ，它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2).

然后复数作商: 代数式作商:

21z z =2221122121||)()(z i

b a b a b b a a -++；-------------(1) 三角式作商：

21z z =|

||

|21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得

||||21z z [cos(θ1-θ2)]=222121||z b

b a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=222112|

|z b

a b a -………(4) 则从中可得下列变式：

(1) 复数对应向量间的夹角余弦公式:

cos(θ1-θ2|

|||212121oz oz ⋅ ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ

1-θ2

|∈),0[π，所以1oz 与2oz 的夹角就是|θ1-θ2|).

(2) 向量内积:

1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2).

若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b

2

-a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|,

这是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式.

复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式.

若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别是)sin (cos 1111θθi r z +=,

=2z )],sin()[cos(222θθ-+-i r 然后,将它们的代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可

以得到上面的三个式子.数学中的这种相互包容联系,真是体现了数学中的统一和谐之美.

二 复数向向量表示上的转化联系

利用复数与向量的联系,复数可以向向量表示上的转化，使有些复数的问题转化为向量问题或构造向量图像去处理，借向量之力去解决复数问题.

例2 已知复数z 1、z 2的模为1，z 1+z 2i 2

321+=

,求复数21、z z . 解：根据题意，设复数21、z z 对应的向量为21oz 、oz ，以这两个向量为邻边，边长为1，构作一个平行四边形，并建如图1的直角坐标系.记z z z =+21，对应向量.

∵对应的复数是

i 2

3

21+

∴1||=，∠zoz 1=600

Θ1||1=oz ∴∆oz 1z 是正三角形, Θ

∆ ozz 2≅z oz 1∆ 2ozz ∆∴

是正三角形. ∴11=z ,i z 23212+-

=,或1,2

3

2121=+-=z i z . 本题在解题的思路上借助了复数向向量转化的作用.复数向向量转化是较常用的思想

方法.此题纯粹用代数方法去做,计算量是较大的.

例3复平面内，已知动点A,B 所对应的复数的辐角为定值，分别θ、-θ，)2

0(π

θ∠∠，

O 为原点，ΔAOB 的面积是定值S ，求ΔAOB 的重心M 所对应的复数模的最小值.图2.

解：根据题设，设向量OM 对应复数、z 、z z 21且 ||||||||||||2211z 、r z 、r z =====,则有

θ2sin 2121r r s =

, θ

2sin 221s

r r = ∵)(3

1

OB OA OM += 图2

∴ )()(91

||91||22+⋅+=+=

=)2|||(|912

2⋅++

=

)2cos 2(9

121222

1θr r r r ++ ≥

θθ

θ221cos 22sin 292)2cos 1(92⨯⨯=+s

r r =

θcot 9

4

s ∴ |z|=|θcot 32|s OM ≥,即重心M 所对应的复数模的最小值θ

cot 3

2

s （1z =

θ2sin 2s

)sin (cos 2sin 2),sin (cos 2θθθ

θθi s

z i -=+时，取最小值）.该题用向量方法可较简捷获解.

复数向向量表示上的转化的特点是:能将复数条件化为特殊的向量图形, 或构造一个向量运算,然后,顺利进行推理运算,求得结果.

三 向量向复数表示上的转化联系

利用复数与平面向量的联系，由向量向复数表示上的转化，使向量问题转化为复数问题或构造复数的结论去处理，借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感.

例4已知三个不共线的向量,,,且,=++证明:,,可构成一个三角形. 证

明

:

不

妨

设

,,对应复数的三角式分别

为:),sin (cos 111θθi r +)sin (cos 222θθi r +,

),sin (cos 333θθi r +且321r r r ≤≤.

o c b a =++Θ

o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ )1......(0cos cos cos 332211=++∴θθθr r r 332211sin sin sin θθθr r r ++=0 (2)

由(1),(2)解得)cos(221212

22123θθ-++=r r r r r

c b a ,,Θ不共线,)(21Z k k ∈≠-∴πθθ

1)cos(121∠-∠-∴θθ

2122212321222122r r r r r r r r r ++∠∠-+∴

12312r r r r r +∠∠-∴