高三数学分布列和期望精选
常见分布的数学期望和方差
E( X
2)
n k0
k 2Ckn
pkqnk
n
np
k 1
k
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
np[(n 1) p 1]，
EX 2 4 ，试求 a 和 b（ a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
第21页
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上 均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
0.90 .
12
第12页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
1. 均匀分布 X ~ U (a, b) .
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b .
ba 2
2
13
第13页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
p
npab 2 1源自pqnpq(b a)2 12 1
高考数学二轮复习专题25 概率与离散型随机变量的分布列及期望(解析版)
方法技巧25 概率与离散型随机变量的分布列及期望【一】利用古典概型求随机变量的概率(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.【解析】(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种.②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种.所以事件M 发生的概率P (M ＝521.【例2】在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率.【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A33C25A44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A44C25A44＝110， 所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)因为有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C25A33C25A44＝14，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.2.巩固提升综合练习【练习1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．【解析】(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． (2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以事件M 发生的概率P (M )＝521.【练习2】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.72,108,12025,,,,,A B C D E F（ii ）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. 【解析】（I ）由已知，老、中、青员工人数之比为， 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （II ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为,,,,共15种；（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，所以，事件M 发生的概率. 【二】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求随机变量的概率M M 6:9:10{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F {}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F {}{}{},,,,,C D C E C F {}{}{},,,,,D E D F E F {}{}{}{},,,,,,,A B A D A E A F {}{}{},,,,,B D B E B F {}{},,,C E C F {}{},,,D F E F 11()15P M =(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.【例2】(1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.（2）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.（3）保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________. （4）保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.【解析】(1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A ，B ，C ，D ，则P (A )＝0.6，P (B )＝P (C )＝0.5，P (D )＝0.4，恰好3人使用设备的概率P 1＝P (A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D )＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P 2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P ＝0.25＋0.06＝0.31.(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P ＝1×0.2×0.82＝0.128.（3）依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.（4）依题意，设答对的事件为A ，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有A A A A 或A A A A 两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.【例3】甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分．已知甲每次投中的概率为45，乙每次投中的概率为34；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求： (1)“火星队”至少投中3个球的概率；(2)“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．【解析】(1)设事件A i 为“甲第i 次投中”，事件B i 为“乙第i 次投中”，i ＝1，2， 由事件的独立性和互斥性可得， P (至少投进3球)＝ P (A 1A 2B 1B 2)＋P (1A A 2B 1B 2)＋P (A 12A B 1B 2)＋P (A 1A 21B B 2)＋P (A 1A 2B 12B )＝45×45×34×34＋2×(15×45×34×34＋45×45×14×34)＝3950， 所以“火星队”至少投中3个球的概率为3950．(2)X 的所有可能的取值为0，2，4，6，8，P (X ＝0)＝14×15×14×15＝1400；P (X ＝2)＝2×(34×15×14×15＋14×45×14×15)＝14400＝7200；P (X ＝4)＝2×(34×45×14×15＋14×45×34×15)＋34×15×34×15＋14×45×14×45＝73400；P (X ＝6)＝2×(34×45×34×15＋34×45×14×45)＝168400＝2150；P (X ＝8)＝34×45×34×45＝144400＝925．所以X 的分布列为E (X )＝0×1400＋2×14400＋4×73400＋6×168400＋8×144400＝315．2.巩固提升综合练习 【练习1】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)【解析】(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为： 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟).(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.则P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.【练习2】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．【解析】记E ＝“甲组研发新产品成功”，F ＝“乙组研发新产品成功”，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝“至少有一种新产品研发成功”，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315．(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25．故所求的分布列为【练习3】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.【练习4】某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．【解析】(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－233＝40243． (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1，2，3，4，5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 34A 5A )＋P (1A A 2A 3A 45A )＋P (1A 2A A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132× ⎝⎛⎭⎫233＝881．(3)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1，2，3)． 由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6． P (ξ＝0)＝P (1A 2A 3A )＝⎝⎛⎭⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (A 12A 3A )＋P (1A A 2 3A )＋P (1A 2A A 3)＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×23×13＋⎝⎛⎭⎫132×23＝29，P (ξ＝2)＝P (A 12A A 3)＝23×13×23＝427，P (ξ＝3)＝P (A 1A 23A )＋P (1A A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13＋13×⎝⎛⎭⎫232＝827， P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827． 所以ξ的分布列是【三】利用条件概率公式求随机变量的概率，第2次抽到理科题的概率为________.【解析】法一：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3×2A2535＝12. 法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为12.【例2】将三颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )＝__________，P (B |A )＝________.(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.【解析】(1)P (A |B )的含义是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C 13×5×4＝60种情况，所以P (A |B )＝6091. P (B |A )的含义是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P (B |A )＝12.(2)解法一：P (A )＝C23＋C22C25＝410＝25，P (AB )＝C22C25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.解法二：事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个． 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1． 得P(B|A)＝n （AB ）n （A ）＝14．2.巩固提升综合练习【练习1】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A ．310B ．29C ．78D ．79【解析】解法一：设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝730310＝79．解法二：第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为：97=P【练习2】某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为 ( )A ．110B ．15C ．25D ．12【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ， 则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25．故选C ．【练习3】高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是____________．【解析】设“甲乙二人相邻”为事件A ，“甲丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为41)()()(44223322===A A A A A P AB P A B P【一】二项分布40(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B (3，25)．所以P (X ＝0)＝C 03(25)0(35)3＝27125，P (X ＝1)＝C 13(25)(35)2＝54125， P (X ＝2)＝C 23(25)2(35)＝36125，P (X ＝3)＝C 3(25)3(35)0＝8125． 所以X 的分布列为【例2】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 【解析】(1)X 可能的取值为10，20，100，－200．根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×(12)1×(1－12)2＝38，P (X ＝20)＝C 23×(12)2×(1－12)1＝38，P (X ＝100)＝C 3×(12)3×(1－12)0＝18，P (X ＝－200)＝C 03×(12)0×(1－12)3＝18．所以X 的分布列为(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18．所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－(18)3＝1－1512＝511512．因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512．2.巩固提升综合练习【练习1】甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对,,A B C 三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍,,A B C 的概率分别为311,,423,乙同学购买书籍,,A B C 的概率分别为211,,322,假设甲、乙是否购买,,A B C 三种书籍相互独立. （1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为X ,求X 的概率分布列和数学期望. 【解析】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A ，则3111()4238P A =⨯⨯=. 答：甲同学购买3种书籍的概率为18.（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为1p ，2p .则1312311111542342342312p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2211211111532232232212p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以12p p =，所以5~2,12X B ⎛⎫⎪⎝⎭. 02025749(0)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11125770(1)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2225725(2)1212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的概率分布为()0121441441446E X =⨯+⨯+⨯=. 【练习2】“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在[]50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.(1)求出图中a 的值,并求样本中,答卷成绩在[)80,90上的人数;(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取4名,记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ,求X 的分布列和期望.【解析】()1依题意,()2 376 2101,a a a a a ⨯++++=故0.005a = 故成绩在[)80,90上的频率为600.3,a = 答卷成绩在[)80,90上的人数为2000.360; ⨯=()2由样本的频率分布直方图知成绩在80分以上(含80分)的频率为2805a =依题意,24,5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭故()04042381055625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()31423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22423442321623962,35562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()4442316455625P X C α⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为X 的数学期望为()455E X =⨯= 【二】超几何分布1.例题 【例1】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M ＝C48C510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C56C510＝142，P (X ＝1)＝C46C14C510＝521， P (X ＝2)＝C36C24C510＝1021，P (X ＝3)＝C26C34C510＝521，P (X ＝4)＝C16C44C510＝142.因此X 的分布列为【】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列.【解析】(1)由已知，得P (A )＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，其中P (X ＝k )＝Ck 5C4－k3C48(k ＝1,2,3,4).故P (X ＝1)＝C15C33C48＝114，P (X ＝2)＝C25C23C48＝37，P (X ＝3)＝C35C13C48＝37，P (X ＝4)＝C45C03C48＝114，所以随机变量X 的分布列为【】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示， (1)若甲单位数据的平均数是122，求x ；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列. 【解析】(1)由题意知110[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x )＋132＋134＋141]＝122，解得x ＝8.(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以P (η＝0)＝C27C26C210C210＝745， P (η＝1)＝C17C13C26＋C27C14C16C210C210＝91225，P (η＝2)＝C23C26＋C27C24＋C17C13C16C14C210C210＝13，P (η＝3)＝C23C16C14＋C17C13C24C210C210＝22225，P (η＝4)＝C23C24C210C210＝2225.所以η的分布列为2.巩固提升综合练习 【练习1】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列. 【解析】因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X 的分布列服从参数N ＝8，M ＝3，n ＝3的超几何分布.X 的所有可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝i )＝Ci 3C3－i 5C38(i ＝0,1,2,3)，则P (X ＝0)＝C03C35C38＝528，P (X ＝1)＝C13C25C38＝1528，P (X ＝2)＝C23C15C38＝1556，P (X ＝3)＝C33C05C38＝156. 所以X 的分布列为：【练2】长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：(1)现从36(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列. 【解析】(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为1236×6＝2.(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X 的可能取值为0,20,40,60. P (X ＝0)＝1C26＝115，P (X ＝20)＝C13C12C26＝615＝25，P (X ＝40)＝C12＋C23C26＝515＝13，P (X ＝60)＝C13C26＝315＝15，则X 的分布列为【练习3】某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A B 、两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”.（1）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽取2个，求至少有一个为“晋级”的概率；（2）主持人从A B 、两队所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【解析】（1）B 队选手的平均分为111221252736226+++++=,设A 队第6位选手的成绩为x 分,因为B 队的平均分比A 队的平均分多4分,则911132431224186x+++++=-=,得20x,则A 队中成绩不少于21分的有2个,因为从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”,则概率2426315C P C =-=（2）由（1）,A 队中所有选手成绩能“晋级”的有2个,B 队中所有选手成绩能“晋级”的有4个,则ξ的可能取值有0,1,2,3,4,()224222662075C C P C C ξ===；()1122112424422266561225C C C C C C P C C ξ+===； ()111122222442224422661012225C C C C C C C C P C C ξ++===；()2111122422442266563225C C C C C C P C C ξ+===； ()222422662475C C P C C ξ===； ∴ξ的分布列为∴()2561015620123427522522522575E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【一】利用概率解决实际决策问题【例1】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 【解析】(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80.当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧10n －80，n<16，80，n≥16(n ∈)．(2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X的数学期望为EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X的方差为DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为EY＝55×0.1＋Y的方差为DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，DX<DY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然EX<EY，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为EY＝55×0.1＋由以上的计算结果可以看出，EX<EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．【例2】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 【解析】⑴每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B ==设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=⑵要令(P x n ≤，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++≥则n 的最小值为19； ⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n = 2.巩固提升综合练习【练习1】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +=== ()363000.490P X === ()25745000.490P X ++===.因此X 的分布列为⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间[)20，,25，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×0.4+（1200-2n ）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n所以n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元。
2023年高考数学复习----《求概率及随机变量的分布列与期望》规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学复习----《求概率及随机变量的分布列与期望》规律方法与典型例题讲解【规律方法】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【典型例题】例1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛．比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）．已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0．5，0．6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0．5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0．5，假设每场比赛结果相互独立．（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X的分布列及期望．【解析】（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为0.5,0.5,0.5，，⨯⨯=；甲队比赛3场获胜的概率为P=0.50.50.50.125（2）X所以可能取得值为0,200,400,600,800；()3500.50.12P X ===，()31213200C 0.50.500..540.5600.07.5P X ==⨯=⨯⨯=⨯，()()11233332400C 0.50.60.50.40.55C 0.50.40.5 2.1050.50.262.P X ==⨯+⨯⨯⨯=⨯+⨯=⨯⨯， ()()31323333 6000.5C 0.50.60.5C 0.50.60.50.40.5 3.40.50.425P X ==+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯=， ()2333800C 0.50.605.50.900.112.5P X ===⨯⨯=⨯．即所以()00.1252000.0754000.26256000.4258000.1125465E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 例2．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过12，且他直到第二次测试才合格的概率为932，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为23，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立． （1）求甲教师第一次参加测试就合格的概率P ；（2）设甲教师参加测试的次数为m ，乙教师参加测试的次数为n ，求m n ξ=+的分布列．【解析】（1）由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P ，故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +，由题意知，19(1)832P P ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍），所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为14．（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12， 由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=， 11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：例3．（2022春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）受新冠肺炎疫情的影响，某商场的销售额受到了不同程度的冲击，为刺激消费，该商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满300元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中：红色小球1个，白色小球3个，黄色小球6个，顾客从箱子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的3个球的颜色分成以下四种情况：A ：1个红球2个白球；B ：3个白球；C ：恰有1个黄球；D ：至少两个黄球，若四种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖． （1）写出顾客分别获一､二､三等奖时所对应的概率；（2）已知顾客摸出的第一个球是白球，求该顾客获得二等奖的概率；（3）若五名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为X ，求X 的分布列和期望．【解析】（1）由题意可得：()()23331010C 3111,C 12040C 120P A P B =====， ()1264310C C 363=C 12010P C ==，2()1()()()3P D P A P B P C =−−−=所以中一等奖的概率为1120，二等奖的概率为140，三等奖的概率为310 （2）记事件E 为顾客摸出的第一个球是白球，事件F 为顾客获得二等奖，则()111229C C 1C 18P FE ==∣． （3）由（1）知一名顾客中奖的概率为113112040103P =++=． 由题意可得，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()5512C 1,2,3,4,533i ii P X i i −⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则分布列为()15533E X =⨯=。
高考数学复习点拨 列分布列、求期望须“三思”
列分布列、求期望须“三思”一、列分布列求概率是排列还是组合例1．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回的方式从袋中任取3球，取到黑球的数目用ξ表示，求随机变量ξ的概率分布。
解：ξ可能取的值为0，1，2。
“ξ=0”表示“取出的3个球都是白球”的事件，所以P （ξ=0）=1013533=C C 。
“ξ=1”表示“恰好取到1个黑球”的事件，所以P （ξ=1）=53351223=⋅C C C 。
“ξ=2”表示“恰好取到2个黑球”的事件，所以P （ξ=2）=103352213=⋅C C C 。
综上所述，得ξ的概率分布列为：取得正品前已取出的废品数为ξ，求随机变量ξ的数学期望。
解：ξ可能取0，1，2，3。
“ξ=0”表示“取出的第一个产品就为正品”的事件，所以P （ξ=0）=4311219=A A 。
“ξ=1”表示“取出的第一个为废品，第二个为正品”的事件，所以P （ξ=1）=4492121913=⋅A A A 。
“ξ=2”表示“前两个取出的为废品，第三个为正品”的事件，所以P （ξ=2）=22093121923=⋅A A A 。
“ξ=3”表示“前面取出的3个全为废品，第四个为正品”的事件，所以P （ξ=3）=22014121933=⋅A A A 。
得ξ的期望E ξ=449+2·2209+3·2201=0.3。
点评：题目中出现“在取得正品（次品）前”或“直到首次（最后一次）取到”字样，应看成排列。
二、思 ξ取值的可行性例3.已知6只电器元件,其中2只次品和4只正品,每次随机抽取一只测试,不放回,直到2只次品都找到为止,且最后一只次品恰好在最后一次测试中被发现,设需要测试的次数为ξ，求ξ的数学期望。
解：ξ的取值为2，3，4，5，6。
“ξ=2”表示“取出的两个都是次品”的事件，所以P （ξ=2）=1512622=A A 。
“ξ=3”表示“第三次取出的是次品，前两次中一个次品一个正品”的事件，所以P （ξ=3）=15236221214=∙∙A A C C 。
高中数学随机变量及其分布数学期望
反 思 感
求悟 随机变量X的数学期望的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).
(3)写出X的分布列.
(4)利用数学期望的定义求E(X).
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，
罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为
0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数
X的分布列；（2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
0.3 P（X=0)=
3
P（X=1)=
C
1 3
0.7
0.32
C P（X=2)=
2 3
0.72
0.3
0.7 P（X=3)=
3
X0
1
2
3
P 0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2)
EX
0 0.331来自C1 30.7
0.32
解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6. 设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
市一中为了了解疫情期间上网课对学生们上学迟到
的影响情况，每天记录由于上网课迟到的同学人数， 下表是10天中每天迟到人数的情况
人数 0
1
2
3
天数 3
3
2
2
那么学校每天平均有多少人迟到呢？
第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的数学期望
一、复习回顾
高三数学分布列和期望.
课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。
因而P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。
因而P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=所以ξ的概率分布为ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率； (ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．解：(Ⅰ) 333512140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(Ⅱ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ （Ⅰ）.21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2.328.08.0)0()10(5≈====ξηP P.410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη .205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη.7()2(≥=-=ξηP P的概率分布为利润的期望=10×0 328+5×（万元）[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====⨯==C P P ξξ .322756455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--==ξξE P变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。
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2017 高考复习 ---概率、随机变量分布列、期望方差1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．2．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（ n， p），且 Eξ =300， Dξ =200，则 P 等于．3．设随机变量 X～ B（ 6，），则 P（ X=3） = ．4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1， 2， 3，4， 5， 6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．5．随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞ 0， y＞0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则x+y= ．ξ1 2 3P X y x7．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤ 7） = ．8．一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是．9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望 Eξ= ．10．有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．11．为参加 2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b，c， d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望 Eξ= ．12．随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是．X ﹣ 1 0 1P a c13．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1.，5则a的值等于．ξ012 3P0.1a b0.214．一个人随机的将编号为1， 2， 3，4 的四个小球放入编号为1， 2， 3， 4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ=．15．从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．16．盒子中装有编号为1， 2，3， 4， 5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）17．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2 ，3， 4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．18．盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．19．从长度分别为2， 3，4，5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．20．从分别写有0， 1， 2， 3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．21．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，且 a，b ∈{ 1，2 ，3，4} ，若 | a﹣ b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．22．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为 n，向量=（ m， n）， =（ 3， 6），则向量与共线的概率为．23．某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．24．在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．2017 年 03 月 25 日茅盾中学09 的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共24 小题）1．（ 2012?温州一模）某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为15 分．【分析】设该生在面试时的得分为 X，由题设条件知 X 的可能取值为﹣ 15，0， 15， 30，分别求出 P（ X=﹣ 15）， P（ X=0）， P（ X=15）， P（ X=30），由此能求出该学生在面试时得分的期望值．【解答】解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X 的可能取值为﹣15，0，15，30，P（X=﹣ 15 ） = = ，P（X=0）= = ，P（X=15） = = ，P（X=30） = = ，∴E X=﹣ 15× +0× +15× +30×=15．∴该学生在面试时得分的期望值为15 分．故答案为： 15．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率计算公式的灵活运用．2．（ 2016 春 ?松桃县校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ =300，Dξ =200，则 P 等于．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组得到要求的未知量 p．【解答】解：∵ξ服从二项分布 B～（ n ，p）Eξ =300， Dξ =200∴Eξ=300=np，①；Dξ =200=np（ 1﹣ p），②．可得 1﹣ p==，∴p=1﹣ = ．故答案为：．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．3．（2013 春 ?渭滨区校级期末）设随机变量X～B（ 6，），则P（X=3）=．【分析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题 x=3，代入公式得到要求的概率．【解答】解：∵随机变量X 服从二项分布B（ 6，），∴P（ X=3） =C36（）3×（1﹣）3=．故答案为：．【点评】本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（ 2015?中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为 1，2，3，4，5，6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量 X 的数学期望是．【分析】确定 X 的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X 的数学期望【解答】解：由题设知X 的可能取值为 1，2， 3， 4， 5．随机地取出两个球，共有：=15 种，∴P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = ， P（ X=4）= ， P（ X=5）= ，∴随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4 5P故 EX=1×+2×+3×+4×+5×= ．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X 的可能取值，求出相应的概率是关键．5．（2007?浙江）随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是 1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵ a， b， c 成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1× a+1× c=c﹣ a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．6．（ 2014?余杭区校级模拟）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0， y＞ 0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则 x+y=．ξ12 3P X y x【分析】利用离散型随机变量的期望与方差即可得出．【解答】解：由题意可得：2x+y=1， Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（ 1﹣ 2x）=2．∴方差 Dξ= =（ 1﹣ 2）2x+（ 2﹣2）2（1﹣ 2x） +（ 3﹣ 2）2x．化为，解得，∴= ．∴= ．故答案为．【点评】熟练掌握离散型随机变量的期望与方差是解题的关键．7．（ 2015 春 ?淮安校级期末）袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤7） = ．【分析】取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1， 2，3 个，得分的随机变量ξ=4， 6， 8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1，2， 3 个，∴得分的随机变量ξ=4， 6， 8， 10，∴P（ξ≤ 7） =P（ξ=4） +P（ξ=6）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．8．（2001?江西）一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是 1.2．【分析】由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2 个球，其中 2 个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．【解答】解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是 0、 1、 2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出 2 个球，其中 2 个红球，∴P（ξ=0） = =0.1，P（ξ =1） = =0.6P（ξ =2） ==0.3∴Eξ=0× 0.1+1× 0.6+2× 0.3=1.2．故答案为： 1.2．【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．9．（ 2012?浙江校级模拟）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．【分析】由题中ξ的取值可能是 0，1，2，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可【解答】解：由题ξ的取值可能是0， 1，2，从丙个袋中各一个球，总的取法有6× 6=36故 P（ξ=0） =，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=所以ξ的分布列为ξ01 2P=故答案为【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．10．（ 2013?浙江模拟）有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．【分析】由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，，50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分50 时，表示取到的球有四个颜色相同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．【解答】解：由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，， 50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10 个球中取 5 个共有 C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P（ X=100） ==，当得分 50 时，表示取到的球有四个颜色相同，P（X=50） ==，P（X=0）=1﹣=，∴EX=100×==，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．11．（2013?西湖区校级模拟）为参加2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b， c，d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．【分析】确定ξ的可能取值，计算相应的概率，可得分布列，进而可求ξ的数学期望．【解答】解：由题意，ξ=0， 1，2， 3，P（ξ =0）= = ， P（ξ =1）= = ，P（ξ =2）= = ， P（ξ =3）= =∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴期望 Eξ=0×+1×+2×+3×=故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（ 2011?海珠区一模）随机变量X 的分布列如下：若，则DX的值是．X﹣ 10 1P a c【分析】由分布列的性质和期望列出关于 a 和 c 的方程组，解出 a 和 c，再利用方差公式求方差即可．【解答】解：由题意：，解得：所以 DX=故答案为：【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算．13．（ 2012?浙江模拟）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1，.5则a的值等于0.5 ．ξ012 3P0.1a b0.2【分析】由题意已经知道随机变量ξ的分布列表，又知道ξ的期望 Eξ=1.5，利用期望定义及分布列的性质建立方程求解即可．【解答】解：由题意可得：?．故答案为： 0.5．【点评】此题属于基本题型，重点考查了随机变量的分布列的性质，期望定义及学生利用方程的思想求解问题．14．（ 2011?宁波模拟）一个人随机的将编号为1，2，3，4 的四个小球放入编号为1，2，3 ，4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ= 1．【分析】由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，4，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．【解答】解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，则，，，ξ的分布列为：ξ0 1 2 4PEξ==1．故答案为： 1【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．15．（ 2013?浙江）从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2 名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况， 2 名都是女同学的共有=3 种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况，满足 2 名都是女同学的共有=3 种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．16．（ 2013?上海）盒子中装有编号为1， 2，3， 4，5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15 种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15 种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：= ．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（ A） = ，其中 n（ A）为事件 A 所包含的基本事件数，m 为基本事件总数．17．（ 2015?江苏模拟）口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1， 2， 3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．【分析】由组合知识求出从 4 个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于 5 的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：从 5 个球中随机抽取两个球，共有种抽法．满足两球编号之和大于 5 的情况有（2， 4），（ 3， 4）共 2 种取法．所以取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．18．（ 2010?江苏）盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件 A 中包含的基本事件的个数31=3，m=C算出事件 A 的概率，即 P（ A） = 即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数 n=C42 =6，m=C 1∵事件 A 中包含的基本事件的个数=33∴故填：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）算出事件 A 中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件 A 的概率，即 P（ A） = ．19．（ 2009?安徽）从长度分别为2，3，4， 5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共 3 种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2， 3， 4； 2，3， 5； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2， 3， 4； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 3 种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．20．（ 2011?鼓楼区校级模拟）从分别写有0， 1， 2，3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．【分析】由题意抽两次且属于有放回的抽样，利用计数原理及古典概型随机事件的概率公式即可求出．【解答】解：由题意属于有放回的抽样，因为从分别写有0， 1， 2， 3，4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，即抽两次，所以利用分步计数原理可得总数为：5× 5=25，即：“取出的两张卡片的数字之和恰好的等于 4 为事件 A”：事件 A 的个数为：（ 4， 0），（ 0，4），（ 2， 2），（1， 3），（ 3， 1）共 5 个，利用古典概型随机事件的概率公式及得：P（ A） =．故答案为：【点评】此题考查了有放回的抽样，古典概型随机事件的概率公式及分步计数原理．21．（ 2011?江西校级模拟）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且 a，b∈ { 1，2，3， 4} ，若 | a﹣ b| ≤1 ，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有4× 4 种结果，满足条件的事件是| a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有 4× 4=16 种结果，满足条件的事件是 | a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，当a=1 时， b=1， 2，当a=2 时， b=1， 2， 3当a=3 时， b=2， 3， 4当a=4 时， b=3， 4总上可知共有2+3+3+2=10 种结果，∴他们“心有灵犀”的概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．22．（2012?东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n ，向量=（ m，n）， =（ 3，6），则向量与共线的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到 6m﹣ 3n=0 即 n=2m ，列举出所有的结果数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6× 6=36 种结果，满足条件事件是向量=（ m， n）与=（3， 6）共线，即6m﹣ 3n=0，∴n=2m ，满足这种条件的有（ 1， 2）（ 2， 4）（ 3， 6），共有 3 种结果，∴向量与共线的概率P=，故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目．23．（ 2013?西湖区校级模拟）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙也有两种选法，根据乘法原理可知：共有 22=4 中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，因此他们在同一个食堂用餐的概率P=．故答案为．【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．24．（ 2011?卢湾区一模）在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．【分析】根据这位考生只会答 5 道题中的 3 道题，可先计算出所有的基本事件个数，及该考生不及格的事件个数，进行求出该生不能及格的概率，然后根据对立事件减法公式，得到答案．【解答】解：从 5 道备选试题中随机抽出 3 道题共有：3=10 种情况C5 =其中从该考生考试不及格，即正好抽中该生不会的两道题有： C31=3 种情况即这位考生不及格的概率为故这位考生能够及格的概率P=1﹣=故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据正繁则反的原则，先求对立事件的概率，是解答本题的关键．。
高三数学分布列和期望
课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。
因而P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。
因而P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=所以ξ的概率分布为ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率； (ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．解：(Ⅰ) 333512140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(Ⅱ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ （Ⅰ）.21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2.328.08.0)0()10(5≈====ξηP P.410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη .205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη.7()2(≥=-=ξηP P的概率分布为利润的期望=10×0 328+5×（万元）[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====⨯==C P P ξξ .322756455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--==ξξE P变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。
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高三数学分布列和期望
高考考纲透析：
等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差
高考风向标：
离散型随机变量的分布列、期望和方差 热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4
比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝3
3
0.60.40.28+=
比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜.因而
P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=
比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜.因而
P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=
所以ξ的概率分布为
ξ
3 4 5
P
0.28 0.3744 0.3456
ξ
的期望
E ξ
＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656 变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红
球的概率是31
．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
(i) 求恰好摸5次停止的概率；
(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．
解：(Ⅰ)
33
35
12140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (Ⅱ)（i ）
22
24121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；
由n 次独立重复试验概率公式
()()
1n k
k k
n n P k C p p -=-，得
()5
0513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=
⎪⎝⎭； ()4
1511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=
⎪⎝⎭ ()2
32511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()3
2
3511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或
()328021731243243P ξ+⨯==-=
） 随机变量ξ的分布列是
ξ
0 1 2 3
P
32243 80243 80243 17
243
ξ的数学期望是
32808017131012324324324324381E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯=
热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列
[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券
3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （Ⅰ）该顾客中奖的概率；
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：
（Ⅰ）
3245151210
2
6=
-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32. （Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.
.151
)60(,152
)50(,151)20(,52
)10(,31)0(2
10
1
3112
101
611210232
101
61321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且
故ξ有分布列：
从而期望.
16151
6015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
解法二：
（Ⅰ）
,324530)(2
102
41614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×
ξ 0
10
20
50
60
P
31
52 151 152 15
1
8=16（元）.
变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可
获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：
（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）
解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）
).
5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ
（Ⅰ）
.
21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ
（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2
.328.08.0)0()10(5
≈====ξηP P .
410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη
.
205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη
.057.0)2()1()0(1)3()2(≈=-===-=≥=-=ξξξξηP P P P P η∴的概率分布为
∴利润的期望=10×0 328+5×0 410+0×0 205－2×0 057≈5 2（万元）
[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)
A 、
B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设
ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.
解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤=+=-9
15||ξξn m n m ，可得：
.
9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m
（2）
;
645)21(2
)7(
;161322)21(2)5(7
155=====⨯==C P P ξξ .
32275
6455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--
==ξξE P 变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组
练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击
一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率.
分析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可取值为1，2，3，4，5ξ＝1，表示第一发击中(练习停止)，故P (ξ＝1)＝0．8
ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P (ξ＝2)＝(1－0．8)×0．8＝0．16ξ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P (ξ＝3)＝(1－0．8)2×0．8＝0．032以下类推
解：（1）ξ的分布列为
ξ
1 2 3 4 5
P
0．8
0．16
0．032
0．0064 0．0016
补充备例：有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数 的数学期望和方差． 分析：求 时，由题知前
次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从
简单的地方入手，如
，发现规律后，推广到一般．
解： 的可能取值为1，2，3，…，n ．
；所以的分布列为：
1 2 …k…n
……
；
说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．。