19分布列和数学期望
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析
高二数学随机变量的期望与方差试题答案及解析1.已知某一随机变量X的分布列如下：且，则a＝__________；b＝__________。
【答案】，【解析】由得，又由得。
【考点】随机变量的期望2.某市公租房房屋位于A、B、C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)若有2人申请A片区房屋的概率；(2)申请的房屋在片区的个数的X分布列与期望．【答案】（1）（2）X的分布列为：X123【解析】解:(1)所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝.(2)X的所有可能值为1,2,3.又p(X＝1)＝＝，p(X＝2)＝＝，p(X＝3)＝＝，综上知，X的分布列为：从而有E(X)＝1×＋2×＋3×＝.3.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求出甲、乙所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望E(X)．【答案】(1) (2) 分布列X02468【解析】解：(1)所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为P1＝×＝，付2元为P2＝×＝，付4元为P3＝×＝，则所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.(2)设甲，乙两个所付的费用之和为X, X可为0,2,4,6,8.P(X＝0)＝P(X＝2)＝×＋×＝P(X＝4)＝×＋×＋×＝P(X＝6)＝×＋×＝P(X＝8)＝×＝.分布列E(X)＝＋＋＋＝.4.已知离散型随机变量X的分布列如表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.【答案】【解析】由题意知解得5.设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝p令随机变量X＝，则X的方差V(X)等于________．【答案】p(1－p)【解析】X服从两点分布，∴V(X)＝p(1－p)．6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.(1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z，求Z的分布列、数学期望和标准差．【答案】(1) (2) Z的分布列如下表：【解析】解：(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－33＝.C303＝；(2)P(Z＝0)＝C313＝；P(Z＝1)＝C323＝；P(Z＝2)＝C333＝.P(Z＝3)＝C3Z的分布列如下表：Z0123E(Z)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，D(Z)＝2×＋2×＋2×＋2×＝，∴＝.7.样本4，2，1，0，－2的标准差是：（）A．1B．2C．4D．【答案】D【解析】，样本4，2，1，0，－2的标准差是：=，选D。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（ ）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（ ）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（ ）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学最新真题专题解析—二项式定理与随机变量的分布(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—二项式定理与随机变量的分布（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(用数字作答)．(1−yx【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．【解答】解：因为(x+y)8展开式的通项T r+1=C8r x8−r y r，令r=5，则x3y5的系数为C85=56；令r=6，则x2y6的系数为C86= 28，所以x2y6的系数为−56+28=−28．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(2<x≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=【答案】0.14【解析】【分析】本题考查了正态分布的意义，正态曲线的对称性及其应用．【解答】解：由题意可知，P(X>2)=0.5，故P(X>2.5)=P(X>2)−P(2<X⩽2.5)=0.14．【命题意图】1.考察二项式定理及其应用，考察基本计算能力和逻辑推导能力。
2.考察正太分布，考察正态分布特征。
【命题方向】1.二项展开基本定理，还会涉及到三项展开。
考察特定项，特定项的系数，二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用。
多为小题。
2.考察正太分布，二项分布，超几何分布等常见的分布。
【得分要点】一、二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用T r＋1表示，即展开式的第r＋1项；T r＋1＝C r n a n－r b r．二、常见随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－p p其中p＝P(X＝1)（2）超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N（3如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝C k n P k q n－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X的概率分布如下：X01…k…nP C0n P0q n C1n P1q n－1…C k n P k q n－k…C n n P n q0由于n n n n…＋C n n P n q0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．三．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．二项分布的均值、方差若X ～B (n ，p )，则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )． 3．两点分布的均值、方差若X 服从两点分布，则EX ＝p (p 为成功概率)，DX ＝p (1－p )． 4．离散型随机变量均值与方差的性质E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X ) (a ，b 为常数)． 经典真题汇总及解析1．（2021·湖北·高三开学考试）已知随机变量2(0,)X N σ，且()P X a m <=，0a >，则()P a X a -<<=____. （用m 表示） 【答案】2m -1【分析】利用正态分布的性质可得正确的结果. 【详解】因为2(0,)XN σ，故1(0)2P X <=， 则1(0)2P X a m <<=-，故1()2212P a X a m m ⎛⎫-<<=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：21m -.2．（2020·海南·三亚市第二中学高三阶段练习）某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布(25,0.04)N ，任意选取一袋这种大米，质量在24.825.4kg 的概率为__________．（附：若2(,)ZN μσ，则()0.6826P Z μσ-<=，(2)0.9544P Z μσ-<=，(3)0.9974P Z μσ-<=）【答案】0.8185【详解】因为()~?25,0.04X N ，所以250.2μσ==，. 所以()()()124.825.420.68260.95440.34130.47720.81852P P X σμσμσ≤≤=-≤≤+=+=+=. 故答案为0.8185.3．（2022·辽宁大连·一模）已知随机变量()2~1,N ξσ，且()()13P P a ξξ≤=≥-，则()190x a x a x+<<-的最小值为______． 【答案】4【分析】由正态曲线的对称性得出4a =，再由基本不等式得出最小值. 【详解】由随机变量()2~1,N ξσ，则正态分布的曲线的对称轴为1ξ=，又因为()()13P P a ξξ≤=≥-，所以()132a +-=，所以4a = 当04x <<时， 有()41919491102910444444x x x x xx x x x x +--+⎛⎫⎛⎫+=+=++⨯≥= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 当且仅当494x xx x-=-，即1x =时等号成立，故最小值为4． 故答案为：44．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）在()*43,29,,N 2np x n p n p x ≥≤≤∈展开式中，第2,3,4项二项式系数依次成等差数列，且展开式中有常数项，则该常数项是第________项． 【答案】5【分析】根据等差数列的知识求得n ，结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由于第2,3,4项二项式系数依次成等差数列， 所以()2132C C C 3n n n n =+≥，()()()1217321n n n n n n n ---=+⇒=⨯⨯.742p x x 展开式的通项公式为71714417711C C 22kkk kkk k pp p k T x x x ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令704k k p p --=，整理得284k p =+， 由于*,0,1,2,3,4,5,6,729,N p p k ≤≤∈=， 所以3,4p k ==，即常数项是第15k +=项. 故答案为：55．（2021·广东·珠海市第二中学高三阶段练习）若()()()()17217012172111x a a a x x a x +=+++++++，则6216414a a a a a +++++=_______．【答案】1621-【分析】利用赋值法化简求解0241416a a a a a ⋯+++++和0a ，进一步求出答案.【详解】令2x =-，则1701216170a a a a a =⋯+--+-∈令0x =，则1701216172a a a a a =⋯+++++∈，∈+∈得()17024141622a a a a a +++++=⨯⋯ ∈1602414162a a a a a +⋯++++= 令1x =-，则01a = ∈6216414a a a a a +++++=160241416012a a a a a a +++++-=-⋯.故答案为：1621-.6．（2022·湖南·长郡中学一模）已知()2022202201202214x a a x a x -=+++，则32022122320222222a a a a ++++=__________． 【答案】0【分析】利用赋值法可得答案.【详解】根据题意，今0x =，得()20220101a =-=，令12x =，得()2022202212012202212222a a a a -=++++， 因此32022120232022102222a a a a a ++++=-=， 故答案为：0.7．（2022·湖北·襄阳五中二模）已知函数()103cos f x x x =+在x=0处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx x x ++-展开式中含2x 项的系数为_________．【答案】36【分析】根据导数的几何意义可得()010n f '==，()101x -展开式的通项为：110C (1)rr r r T x +=⋅-⋅，根据()()()()()101010102211111x x x x x x x x ++-=-+-+-分析计算2x 项的系数．【详解】由函数()f x 的解析式，得()103sin f x x '=-，则()010f '=．由题意，得()010n f '==，则二项式()()()()()()()101010102221111111nx x x x x x x x x x x ++-=++-=-+-+-()101x -展开式的通项为：1011010C 1()C (1)r r r rr r r T x x -+=⋅⋅-=⋅-⋅ 所以含2x 项的系数为()()()210210101010C 1C 1C 14510136⋅-+⋅-+⋅-=-+= 故答案为：36．8．（2022·重庆八中模拟预测）为了监控某种食品的生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取()*N k k ∈包食品，并测量其质量（单位：g ）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布()2,N μσ.假设生产状态正常，记ξ表示每天抽取的k 包食品中其质量在(3,3)μσμσ-+之外的包数，若ξ的数学期望()0.05E ξ>，则k 的最小值为________.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈.【答案】19【分析】根据正态分布的性质求出在(3,3)μσμσ-+之外的概率，从而得到(),0.0027B k ξ，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可；【详解】解：依题意(33)0.9973P X μσμσ-<<+≈，所以在(3,3)μσμσ-+之外的概率10.99730.0027P =-=，则(),0.0027B k ξ，则()0.0027E k ξ=，因为()0.05E ξ>，所以0.00270.05k >，解得50018.5227k >≈，因为*N k ∈，所以k 的最小值为19； 故答案为：199．（2021·河北·武安市第一中学高三阶段练习）随机变量ξ的可能值1,2,3，且()()131,31P p P p ξξ==-==-，则D ()ξ的最大值为___________.【答案】1【分析】由题意得到()212P p ξ==-，利用概率范围求得p 的范围，再利用期望和方差的公式求解.【详解】因为随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()()131,31P p P p ξξ==-==-， 所以()212P p ξ==-，由0311011,0121p p p ≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤-≤⎩，得11,32p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()()()()1312123144E p p p p ξ=-+-+-=-.()()()()()()()22214431244123441D p P p p p p ξ=-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-， 21116184,,32p p p ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦，当12p =时，()D ξ的最大值为1. 故答案为：110．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知随机变量()2~4,N ξσ，且()()31P P a ξξ≤=≥+，则()140x a x a x+<<-的最小值为________.【答案】94【分析】先由正态分布对称性求出4a =，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由正态分布的对称性可知：15a +=，解得：4a =， 因为04x <<，所以40x ->，由基本不等式得：()141144444x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=++- ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭1441449145244444x x x x x x x x ⎛--⎛⎫=+++≥+⋅= ⎪ --⎝⎭⎝， 当且仅当444x x x x -=-，即43x =时等号成立， 所以不等式得最小值为94故答案为：9411．（2022·河北保定·二模）若112nx x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中各项的系数之和为96，则展开式中2x 的系数为___________. 【答案】25【分析】由题意可得()21296n+=，从而可求出n ，则展开式中2x 的系数等于1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中x 一次项系数的2倍加上x 的3次项系数 【详解】由题意可知()21296n+=，得5n =，则5111122n x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 展开式的通项公式为552551C C rr r r rx x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以5112x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中2x 的系数为21552C C 25+=.故答案为：2512．（2022·山东济宁·二模）从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n 种方法，则12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】160-【分析】先由题意求出2232C A 6n ==，然后求出二项式展开式的通项公式，令x 的次数为零，求出r 的值，从而可求出展开式中的常数项【详解】因为从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n 种方法， 所以2232C A 6n ==，所以二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为66621661C (2)C (1)2rrrr r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令620r -=，得3r =，所以二项式展开式的常数项为3336C (1)2160⋅-⋅=-，故答案为：160-13．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知521()((ax x a xx-为常数）的展开式中各项系数之和为1，则展开式中3x 的系数为___． 【答案】79-【分析】令1x =得各项系数和，求得参数a ，然后由二项展开式通项公式结合多项式乘法法则求得含3x 的项，从而得其系数． 【详解】令1x =，则展开式的各项系数和为5(1)(12)11a a --=-=，解得2a =，所以5(x x 的展开式的通项公式为3552155C (C (2)rr rrr rr Tx xx--+==-，令3552r-=，则0r =，令3522r -=，解得2r =， 所以展开式中含3x 的项为0522235521C 2C (2)79x x x x x ⨯-⨯-=-，所以3x 的系数为79-，故答案为：79-．14．（2020·福建省长乐第一中学高三期中）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望()E ξ=______. 【答案】2【分析】ξ的可能值为1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】ξ的可能值为1,2,3，则()124236115C C p C ξ===；()214236325C C p C ξ⋅===；()3436135C p C ξ===. 故分布列为：ξ123p153515故()1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：2.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.。
分布列期望方差知识
离散型随机变量的分布列、数学期望、方差一． 离散型随机变量：若随机变量可能的取值可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。
二． 离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 1． 设离散型随机变量ξ可能的取值为12,,,,i x x x ，ξ取每一个值()1,2,i x i =的概率为i p ，列表如下：叫做随机变量ξ的概率分布，简称分布列。
有如下性质： （1）()011,2,i p i ≤≤=（2）121i p p p ++++=2．数学期望：1122i i E x p x p x p ξ=++++叫做离散型随机变量ξ的数学期望，简称期望。
反映离散型随机变量ξ取值的平均水平。
若a b ηξ=+，则E aE b ηξ=+。
3．方差：()()()2221122i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+叫做离散型随机变量ξ的方叫做离散型随机变量ξ的标准差，记作σξ 若a b ηξ=+，则2D a D ηξ=。
方差反映随机变量ξ的取值与平均值的离散情况。
即稳定性。
三．几个典型的分布1．二项分布：n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数(),B n p ξ，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。
则()()()();,0,1,,k k n kn n P k b k n p P k C p q k n ξ-=====2、几何分布：独立重复试验中事件A 第一次发生时的试验次数ξ服从几何分布，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。
()()11,2,k P k q p k ξ-===期望1E p ξ=，方差2q D pξ=。
3．两点分布：一次实验中，事件A 发生记为1，不发生记为0，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。
则期望E p ξ=，方差D pq ξ=。
练习1．已知随机变量(),B n p ξ，且6,3E D ξξ==，则()1;,b n p = .2．若随机变量ξ的分布列是：()()1,3P m P n a ξξ====.且2E ξ=,则D ξ的最小值是 .3．若随机变量ξ满足()(),P k g k p ξ==，2D ξ=，21ηξ=-，则E η= ，D η= 。
离散型随机变量的数学期望课件-高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
三、归纳总结：
2．两点分布的数学期望
若X～B(1，p)，则E(X)＝__p___．
3．二项分布的数学期望 若X～B(n，p)，则E(X)＝__n_p__．
4．超几何分布的数学期望
nM
若X～H(N，M，n)，则E(X)＝__N____．
四、小试牛刀：
1.若随机变量X～B(5,0.8)，则E(X)的值为
3.2.3 离散型随机变量的数学期望（2）
二、学习目标
1.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望； 2.会利用离散型随机变量的数学期望，解决一些相关的实际 问题.(重点)
一、复习回顾：
1. 离散型随机变量的期望： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
分析：各方案的总损失分别为多少？没有洪水的概率又是多少？
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为
0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小
洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案:
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
跟踪训练2 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池. (1)若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 X的分布列及数学期望；
(2)若有放回地每次取一节电池检验，求检验4次取到好电池次数Y的数学 期望.
由题意知，每次检验取到好电池的概率均为35， 故 Y～B4，35，则 E(Y)＝4×35＝152.
‧‧‧
pn
n
则称E( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi
2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题变式题16-19
2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题变式题16-191．盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；E X．(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望()2．社会需要爱，时代呼唤爱，传递感动，就是传递“正能量”．如图为某爱心救助网站上的一幅爱心图片，其中有2个大爱心，8个小爱心，现从图片中随机取2个爱心．(1)求取出的2个爱心中，至少有1个大爱心的概率；(2)在取出的2个爱心中，大爱心的个数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．3．当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT （百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．(1)求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；(2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．4．当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT （百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报6．2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能8．如图，平行六面体(1)证明：1C O ⊥平面ABCD ；(2)求二面角1B AA D --的正弦值．(1)求证：EC ⊥平面DFG ；(2)求二面角F DG C --的余弦值．10．如图，在四棱锥P ABCD -3PA =，1AD =，AB =(1)证明：BC ⊥平面PAC .(2)求平面ABE 与平面PCD11．如图，在四棱锥(1)证明: OP⊥平面ABCD；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值12．如图，菱形ABCD的对角线在AD，CD上，54 AE CF==，(1)证明：D H'⊥平面ABCD；(2)求平面BAD'与平面ACD'的夹角的余弦值．13．如图，在三棱柱ABC DEF-中，AD(1)求证：PE⊥平面BCP；(2)求平面ECP与平面PCD夹角的余弦值14．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，平面11AA C C ⊥平面,ABC ABC △为等边三角形，12AC CC ==，160,,ACC D E ∠= 分别是线段1,AC CC 的中点.(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面PBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围.15．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点，其中,B D 在x 轴上方，,M N 分别为,AB DE 的中点．(1)证明：直线MN 过定点；(2)设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求GMN 面积的最小值．16．已知抛物线2:C y x =，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，O 是坐标原点．(1)证明：直线AB 过定点．(2)求AOB 面积的最小值．17．如图，已知抛物线C ：24x y =，焦点为F ，直线l ：3y kx =+交抛物线于A ，B 两点，延长AF ，BF 分别交抛物线于M ，N 两点.(1)求证：直线MN 过定点；(2)设1FAB S S =△，2FMN S S =△，18．设抛物线2:C y(1)求抛物线C 的标准方程(2)已知点()1,0P ，直线①求证：直线CD 过定点；②求PAB 与PCD 面积之和的最小值20．如图，已知(E m(1)若0m =且121k k =-时，求EMN (2)若1211(0)k k λλ+=≠，证明：直线21．已知点P 、A 、B 是抛物线:C 22．离散对数在密码学中有重要的应用．设25．对非空整数集合27．在平面直角坐标系参考答案：），ABCD 是边长为2的正方形，所以BC DC =，1CB C CD =∠，11CC CC =，1C CD ，所以11BC DC =，则()()()(0,2,0,0,2,0,2,0,0,B D AC --则()112,0,2AA CC ==，()()2,2,0,2,2,0AB AD =-=--，设面1BAA 的法向量为()111,,m x y z =，面DAA 则1111122000220x z AA m AB m x y ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，取1x =9．(1)证明见解析(2)6 4（2）因为EA ⊥平面ABCD ，所以由（1）知()1,2,3EC =-为平面6cos ,4EC n EC n EC n⋅〈〉==-⋅，显然二面角F DG C --为锐二面角，所以二面角则()()0,0,0,3,1,0,A BP -设(),,E x y z ，由2PE EC =故232,2,x x y y z =-=--故233,0,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，（2）解：因为BC CD =，O 以O 为原点，以OB 、OC 、则()0,0,0O 、()2,0,0B 、(C 所以，()2,2,0DC = ，2AB =12．(1)证明见解析(2)75 25【分析】（1）先利用平行转化得垂直关系，面垂直判定定理证明线面垂直，，且OH()0,0,0H ，()3,1,0A --，()0,5,0B -，(3,C ()6,0,0AC = ，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则0m AB ⎧⋅=⎪⎨ ，即11340x y -=⎧⎨，令x））可知MP､MC､MA两两垂直，以M为原点，MC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，又平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C BD ∴⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面1AAC 1BD AC ∴⊥，又,,BD DE D BD DE =⊂ （2）112,60CA CC ACC ︒==∠= ，∴△则113(0,0,0),(3,0,0),0,,,22D B E C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭1113(3,0,0),0,,,22DB DE C B ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭设111(,,),(01)P x y z C P C B λλ=<<，则(x【方法二】：设()11,A x y ，(2B x 设:1l x my =+，则0m >．由y x ⎧⎨⎩故124y y m +=，124y y =-，1y 所以()221,2M m m +．同理可得2221,N mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．若1m ≠，则直线2:1m MN y m =-法2：设H 为AD 的中点，S 为直线GM 与AD 的交点．由M ，H 分别为AB ，AD 的中点知MH DG ∥，所以GHD MGD S S =△△，故GSH MSD S S =△△．S S =）如图，设A 点在第一象限，过A 点作准线x =-1的垂线，得垂足FD AP == ，//AP FD ，四边形APFD 是平行四边形，//PF AD ，a ，t )()0,0a t ＞＞ ，则P (-1，t )，直线PF 的斜率为的方程为2t y xb =-+ ，联立方程242y xty x b ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，因此，PAB 面积的最小值为16.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．22．(1)1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）第一问直接根据新定义来即可.（2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.（3）根据新定义进行转换即可得证.【详解】（1）若11,2p a ==，又注意到102102493111==⨯+，所以1,01,21p a -⊗⊗==.（2）【方法一】：当2p =时，此时{1}X =，此时1b c ==，1b c ⊗=，故()log()0,log()0,log()0a a a p b c p b p c ⊗===，此时()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.当2p >时，因2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 相异，故2a ≥，而a X ∈，故,a p 互质.记()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c ⊗=，则12,N m m ∃∈，使得1212,n na pmb a pmc =+=+，故()()1212n n a pm b pm c +=++，故12(mod )n n a bc p +≡，设()121,02n n t p s s p +=-+≤≤-，则12n n s ⊕=，因为1,2,3,..1p -除以p 的余数两两相异，且(),2,3,..1a a a p a -除以p 的余数两两相异，故()()1!23,..1(mod )p a a a p a p ⎡⎤-≡⨯⨯⨯-⎣⎦，故()11mod p a p -≡，故()12mod n n s a a bc p +≡≡，而(mod )(mod ),n a b c p bc p ≡⊗=其中02n p ≤≤-，故s n =即()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.法2：记11,1n n a a m p ⊗=+，22,2n n a a m p ⊗=+，1212,,,,n n n n kp a a a a ⊗⊗⊗⊗=+⊗⨯，其中1m ，2m ，k 是整数，则()121221.,..1212n n n n n n a a a m a m a m m p k p ⋅⊗⊗⊗⊗=⊗++++，可知2211,,,n n n n a a a ⊗⊗⋅⊗⊗=．因为1，a ，2,a ⊗，…，2,p a -⊗两两不同，所以存在{0,1,,2}i p ∈⋅⋅⋅-，使得1,,p i a a -⊗⊗=，即1p i i a a a --=()11p ia---可以被p 整除，于是11p i a ---可以被p 整除，即1,1p i a --⊗=．若0i ≠，则1{1,2,,2}p i p --∈⋅⋅⋅-，1,1p i a --⊗≠，因此0i =，,11p a -⊗=． 记log()a n p b =，log()a m p c =，(1)n m n m l p +=⊕+-，其中l 是整数，则,,,(1),,(1),,n m n m n m l p n m l p n m b c a a a a a a a ⊗⊗⋅⊗⊕+-⊗⊕⊗-⊗⊕⊗=⊗=⊗==⊗=，即log()()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕．（3）【方法二】：当2b ≥时，由（2）可得()11mod p b p -≡，若1b =，则()11mod p b p -≡也成立.因为log()a n p b =，所以()mod na b p ≡.另一方面，()()()()()22,2,,,2121n p n p n p k k y y y y x b a --⊗-⊗⊗⊗⊗≡≡⊗()()()()()()()()112211mod mod k k kn p k p k k p xb a xb b x b x p x p -----≡≡≡≡≡.由于x X ∈，所以()2,21n p x y y -⊗=⊗.法2：由题设和（2）的法2的证明知：,,,,2(k k nk k n n n y x b x b b b x a a a x a a a ⊗⊗⊗⊗=⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗，(2)(2)(2),,,,2,2,2,1111n p nk n p n p k k k p p p y y y y a a a a a a---⊗⊗⊗⊗-⊗-⊗-⊗=⊗⊗⋅⋅⋅⊗=⊗⊗⋅⋅⋅⊗=⊗⊗⋅⋅⋅⊗．故(2),2,2,2,21nk nk n p p p p y y x a a a a a a-⊗-⊗-⊗-⊗⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗1,1,1,nkp p p x a a a -⊗-⊗-⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗．由（2）法2的证明知,11p a -⊗=，所以(2).21n p y y x -⊗⊗=．【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初所以，曲线G 所围成的封闭图形的面积的值为故答案为：5；1x y +=；6.（2）设()00,B x y ，则002x y -+所以，()00,10A B x y ρ=-+-=当00y <时，有(),32A B y ρ=-当320y ≤<时，有(),A B ρ=。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
2019年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A 2B 3C ．2D 56．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2C 2D ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln , 1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
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19.分布列与数学期望
一.基础练习
1.袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为
Ａ．1234481216
10
40
C C C C C Ｂ．2134481216
10
40
C C C C C Ｃ．2314481216
10
40
C C C C C Ｄ．1342481216
10
40
C C C C C 2..随机变量ξ的的分布列如下，则m=（
）A.3
1 B.
2
1 C.
6
1 D.
4
13.设随机变量ξ服从二项分布B （6，
21），则P （ξ=3）=（）A.165 B.163C 85,D 8
34.某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P （ξ≥1）等于（）（A ）0.9163（B ）0.0081（C ）0.0756（D ）0.9919
5.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A ．21p p B ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p ---
6.某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，则该渔船应选择___________（填“出海”或“不出海”）．
7.某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。
现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为。
(结果用分
8.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。
为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆。
9某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一
批产品中任意连续取出2件，其中次品数ξ的概率分布
是
10.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是__________________.
二.综合练习
11..在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .
ξ
123
4
p
41m
316
1ξ
012p
12.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为
1
,7
现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中所有的白球的个数；（II）求随机变量ξ的概率分布及数学期望；（III）求甲取到白球的概率.
13.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。
在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。
现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。
根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。
用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
（Ⅰ）写出ξ的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（Ⅱ）求ξ的数学期望E ξ。
（要求写出计算过程或说明道理）
14.高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为
3
1
，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实
验至少有3次发芽成功的概率；
（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发
芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列和数学期望.
11.解：（法一）（Ⅰ）3245151210
26=-
=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32
.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.
.151
)60(,152
)50(,151)20(,52
)10(,31)0(2
10
1
3112
101
611210232
101
61321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分
布列：
从而期望.1615
1
6015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 12.12：解:(I)设袋中原有n 个白球,由题意知2
27(1)1(1)2767762
n
n n C n n C --===⨯⨯可得3n =或2n =-(舍去)即袋中原有3个白球.
(II)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5
3(1);7P ξ==()4322;767P ξ⨯===⨯4326
(3);
76535P ξ⨯⨯===⨯⨯43233(4);765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯432131
(5);
7654335
P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以ξ的分布列为:
ξ
12345
P
3
727635335135
(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件A ,则()()()22()13535
P A P P P ξξξ==+=+==13（理）解：（Ⅰ）
ξ
12345
6789
P
115115215215315215215115115
ξ
010205060
P
315215115215
1
（Ⅱ）1122322211234567895151515151515151515
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=14．解（Ⅰ）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发牙成功
设5次试验中发芽成功的次数为随机变量X ，则
P （X =3）=24340
)32(3
1
(23
3
5=
⋅C ………………………………1分
243
10
32)31()4(445=⋅==C X P ……………………………………2分
243
132)31()5(555=⋅==C X P ………………………………3分
所以至少有3次发芽成功的概率)
5()4()3(=+=+==X P X P X P P 243
51
24312431024340=++=
………………………………4分（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，5
3
1
)1(==ξP ……………………………………5分92
3132)2(=⋅==ξP ……………………………………6分
274
3132()3(2=⋅==ξP ……………………………………7分
818
3132()4(3=⋅==ξP ……………………………………8分
81
16
1)32()5(4=⋅==ξ
P ……………………………………9分
所以ξ的分布列为
ξ
12345
P
319227481881
16…………10分
ξ的数字期望81
211
8116581842743922311=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………12分。