矩阵理论1-2
线性代数 2-1,2-2矩阵运算
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一、矩阵概念
⎛ a11 a12 ⎜a a22 21 ⎜ 1. 定义：数表 A = ⎜ 1.定义：数表 ⋮ ⎜ ⎝ am 1 am 2 ⋯ ⋯
a1n ⎞ a2 n ⎟ ⎟ = (a ) ij m ×n ⋮ ⎟ ⎟ ⋯ amn ⎠
1)m≠n,称为m×n矩阵，简称矩阵. . 阶矩阵. 2)m＝n，称n阶方阵或n阶矩阵 . 维行向量. : m＝1 A= (a1 a2 … an),又称为n维行向量 行矩阵: 3)行矩阵
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二、矩阵的加法
1.定义
⎛ a11 … a1n ⎞ ⎛ b11 … b1n ⎞ ⎛ a11 ± b11 … a1n ± b1n ⎞ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⋱ ⋮ ± = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⋯ a ⎟ ⎜b ⋯ b ⎟ ⎜a ± b ⋯ a ± b ⎟ mn ⎠ ⎝ m1 mn ⎠ ⎝ m1 m1 mn mn ⎠ ⎝ m1
线性代数
数学科学学院 陈建华
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第二章
矩阵
1850年J.J.Sylvester(西尔威斯特)首先提出矩阵概念, 1858年 A.Cayley(凯莱)提出矩阵的运算规则, 从此矩阵的应用更广泛, 成为 经济研究和经济工作中处理线性模型的有力工具。如投入产出模型、 线性规划、决策论等，均运用矩阵作为重要工具解决实际问题。
矩阵论简明教程第二版(张凯院著)课后答案下载
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以下是要与大家分享的矩阵论简明教程第二版（张凯院著），供大家参考!点击此处下载???矩阵论简明教程第二版（张凯院著）课后答案???矩阵的相似变换，范数理论，矩阵分析，矩阵分解，特征值的估计与表示，广义逆矩阵，矩阵的直积以及线性空间与线性变换。
各章均配有习题，书末有习题解答与提示。
与传统矩阵论教材不同的是，《矩阵论简明教程》不是从较抽象的线性空间与线性变换开始，而是以较具体的矩阵相似变换理论作为基础来介绍矩阵理论的主要内容，以达到由浅入深的目的，并使读者在较短时间内掌握近现代矩阵理论相当广泛而又很基本的内容。
学习过工科线性代数课程的读者均可阅读《矩阵论简明教程》。
[1]第一章矩阵的相似变换1.1特征值与特征向量1.2相似对角化1.3Jordan标准形介绍1.4IHamilton-CayIey定理1.5向量的内积1.6酉相似下的标准形习题1第2章范数理论2.1向量范数2.2矩阵范数2.2.1方阵的范数2.2.2与向量范数的相容性2.2.3从属范数2.2.4长方阵的范数2.3范数应用举例2.3.1矩阵的谱半径2.3.2矩阵的条件数习题2第3章矩阵第4章矩阵分解第5章特征值的估计与表示第6章广义逆矩阵第7章矩阵的直积第8章线性空间与线性变换习题解答与提示参考文献1.实分析与复分析WalterRudin著课后习题答案机械工业出版社2.计算机专业英语教程第4版金志权课后习题答案电子工业出版社3.矩阵论简明教程第二版徐仲张凯院著课后答案科学出版社。
矩阵论简明教程(第二版)第一讲[1]
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所以A的特征值为1 2 2，3 7.
当1 2 2时，解方程组 2 I A x 0.由 2 2 1 2 2 1 2 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0
1 k 1
1
1 3 E i, j k
1
k 1
1
三、其他特殊矩阵
k 1 幂零矩阵： A 0, k : 某正整数;
A 2 幂等矩阵：
C11 C12 C21 C22 则AB Cs1 Cs 2
C1r t C2 r , 其中 Cij Aik Bkj k 1 Csr i 1, 2, , s; j 1, 2, , r
4、转置与共轭转置
A11 A21 设 A As1 A12 A22 As 2
k3 x3，k3 0.
二、特征值与特征向量的性质 定义3
设A aij
定理1
nn
C
nn
, 称 a11 a22 ann .
ann为A的迹，记为
trA,即trA a11 a22
设n 阶方阵A aij
1 1 +2 + +n a11 a22 ann =trA; 2 12 n det A; 3 AT的特征值是1，2， ，n ,而AH的特征值是
2 2 得基础解系 x1 1 , x2 0 0 1
所以对应1 2 2的全部特征向量为 k1 x1 k2 x2 , 其中k1 , k2不同时为0.
当3 7时，解方程组 7 I A x 0.由 8 2 2 1 0 0.5 7 I A 2 5 4 0 1 1 2 4 5 0 0 0 1 得基础解系 x3 2 , 故对应3 7的全部特征向量为 2
2-1. 矩阵-复习
第2章 矩阵一、矩阵的概念与运算 3. 矩阵与矩阵相乘注意：（1）AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律. （2）若矩阵,A 与B 满足=AB O ,并不能得出==A O B O 或的结论,（3）矩阵乘法不满足消去律.从而由,=≠AC BC C O ,也未必推出=A B . 4. 方阵的行列式与幂性质2.4 设A ,B 均为n 阶方阵,λ为数,则 （1）n λλ=A A ；（2）m A =mA ,m 为正整数； （3）==AB A B B A .由于矩阵的乘法不满足交换律,一般而言,1212()()()k k k k +≠AB AB AB . 5. 矩阵的转置性质2.5 (假设运算都是可行的)（1）()T T =A A ； （2）()T T T +=+A B A B ；（3）()T T λλ=A A ； （4）()T T T =AB B A ；（5）若A 为方阵,则T =A A . 二、逆 矩 阵定理2.2 方阵A 可逆的充要条件是0≠A ,且1*1-=A A A. 其中*A 为A 的伴随矩阵.推论2.1 若=AB E （或=BA E ）,则A 可逆,且1-=B A . 性质2.6(1) 若A 可逆,则1-A 也可逆,且11()--=A A ,111--==A A A； (2) 若A 可逆,数0≠λ,则λA 可逆,且111()λλ--=A A ；(3) 若、A B 为同阶矩阵且均可逆,则AB 也可逆,且111()---=AB B A ； (4) 若A 可逆,则其转置矩阵也可逆,且11()()T T --=A A ； (5) 若A 可逆,*A 为其伴随矩阵,则*11*()()--=A A .例5.设a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,0≠-bc ad ,求1-A .解：1*11d b c a ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭A A A 例6.若12(,,,)n diag a a a =L A ,其中0(1,2,...,)i a i n ≠=,求证：112111(,,,)ndiag a a a -=L A . 矩阵方程：求解方法：矩阵方程=AX B ,若A 可逆,则1-=X A B ；同理对矩阵方程=XA B ,若A 可逆,则1-=X BA ；对于矩阵方程=AXB C ,若A 与B 均可逆,则11--=X A CB .注意：两边同时左乘（或同时右乘），不能乱乘. 三、矩阵的初等变换定理2.3 设A 和B 为⨯m n 矩阵,则有（1）r≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P ,使得=PA B ；（2）c≅⇔A B 存在n 阶可逆矩阵Q ,使得=AQ B ；（3）≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得=PAQ B . 四、矩阵的秩定义2.14如果矩阵A 中不为零的子式最高为r 阶,即存在r 阶子式r D 不为零,而任何1+r 阶子式均为零,则称r D 为A 的最高阶非零子式,称r 为矩阵A 的秩,记作()R r =A .当=A O 时,规定()0R =A .显然{}0()min ,m n R m n ⨯≤≤A .()m n R m ⨯=A 时,称A 为行满秩矩阵；()m n R n ⨯=A 时,称A 为列满秩矩阵；()n n R n ⨯=A 时,称A 为满秩矩阵；()n n R n ⨯<A 时,称A 为降秩矩阵.性质2.8 （1）若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0, 则()R s ≥A ；（2）若A 中所有t 阶子式全为0, 则()R t <A ；（3）()()T R R =A A ； （4）n n ⨯A 可逆()R n ⇔=A .（5）行阶梯形矩阵的秩为其非零行的行数.定理2.4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,即若≅A B ,则()()R R =A B .推论2.3 若,P Q 可逆,且=PAQ B ,则()()R R =A B .性质2.9（1）{}max (),()(,)()()R R R R R ≤≤+A B A A B B ； （2）()()()R R R +≤+A A B B ； （3）{}()min (),()R R R ≤A AB B ； （4）()()m n n s R R n ⨯⨯=⇒+≤B O B A A . 五、分块矩阵 2.5.2 常用的分块阵 1. 按列分块对于矩阵m n ⨯A ,在其列间引入虚线分块得到()111121,,n n m mn a a aa ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A K M OM L L 令，ααα, 其中j α是A 的第j 列, ()12,,,Tj j j mj a a a =L α. 2. 按行分块对于矩阵m n ⨯A ,在其行间引入虚线分块得到111121T n T m mn T m a a aa ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭KM OM ML令ααA α, 其中T i α是A 的第i 行,()12,,,T i i i in a a a =L α. 3. 对角分块阵设n 阶方阵分块后形如()1212,,,ss diag ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΟΟL O A A A A A A A , 即A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块方阵,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方块, 则称A 为对角分块阵. 对于对角分块阵A ,易知 （1）12s =L A A A A ；（2）A 可逆⇔0,(1,2,,)i i s ≠=L A ,且()111112,,,s diag ----=L A A A A . 例8.对于n 元线性方程组m n ⨯=A x b ,（1） 若按列分块()12,,n =A L ，ααα,则1122n n x x x =⇔+++=Ax b b L ααα;（2）若按行分块()12,,,TT T T m =A L ααα,则(1,2,,)T i i m =⇔==L Ax b x b α.一、单项选择题1. 设行矩阵A = (a 1, a 2, a 3)、B = (b 1, b 2, b 3), 且A T B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112112112,则AB T= ( )A . -2B . 2C . -1D . 12. 下列等式中正确的是 ( )A . (A -B )2 = A 2 -2AB + B 2 B . (AB )C = A (BC ) C . (AB )T = A T B TD . (AB )-1= A -1 B -13. 设A 为任意n 阶方阵, X 是1 ⨯ n 阶矩阵, n > 1, 则下列可进行的运算是 ( )A . X T AXB . XAX TC . XAXD . X T AX T 4. 对任意n 阶方阵A 、B , 总有 ( )A . AB =BA B . det(AB ) = det(BA )C . (AB )T =A T B TD . (AB )2=A 2B 25. 设A 是方阵, 如有矩阵关系式AB = AC , 则必有 ( )A . A = 0B . B ≠C 时A = 0 C . A ≠ 0时B = CD . |A | ≠ 0时B = C 6. A 、B 、C 、E 为同阶矩阵, E 为单位阵, 若ABC = E , 则下列各式中总是成立的有 ( )A . BAC = EB . ACB = EC . CBA = ED . CAB =E 7.设n 阶方阵A 、B 、C 满足AB=BC=CA=E,则A 2+B 2+C 2= （ ） （A ）A 2B 2C 2 (B)3E (C)ABC (D)ABCABC8. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, 则A -1等于 ( ) A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020003B . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001C . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010003D . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000300029. 设矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2321, 则矩阵A 的伴随矩阵A * = ( ) A . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1322B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1322 C . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1232 D . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1232 10.设A 、B 都是n 阶方阵,且=AB O ,则下列一定成立的是（ ）.（A ）=A O 或=B O ； （B ）、A B 都不可逆； （C ）、A B 中至少有一个不可逆； （D ）+=A B O .11.若矩阵1120121012a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩()2R =A ,则a 的值为（ ）.（A ）0； （B ）0或-1； （C ）-1； （D ）-1或1.12.一个值不为零的n 阶行列式,经过若干次矩阵的初等变换后,该行列式的值（ ）.（A ）保持不变； （B ）保持不为零； （C ）保持相同的正负号； （D ）可以变为任何值.13.设A 是3阶方阵,*A 是其伴随矩阵,则*(3)=A （ ）.（A ）*3A ； （B ）*9A ； （C ）*27A ； （D ）*/3A . 14.设A 为⨯n m 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 且1()R r =A , ()R r =AC ，则( ）.（A ）1r r >； （B ）1r r <； （C ）1r r =； （D ）r 与1r 的关系依C 而定. 15.已知A 是mxn 矩阵，B 是nxm 矩阵，若AB=E ，则 ( )(A) R(A)=m,R(B)=m (B) R(A)=m,R(B)=n (C) R(A)=n,R(B)=m (D) R(A)=n,R(B)=n16. 已知A 有一个r 阶子式不等于0，则R(A) ( ) (A) =r (B) =r+1 (C) ≦r (D) ≧r二、填空题. 1. 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛5443, 则A -1 = . 2. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310210001, 则A -1 = .5. 设A 为3阶方阵, det(A )=2, 则det(-2A ) = .6.若A 为2009阶矩阵,且满足T =-A A ,则=A .7.设44⨯矩阵234(,,,)=A αγγγ,234(,,,)=B βγγγ,其中234,,,,αβγγγ均为 四维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则+=A B __________.8.设A 为3阶矩阵,且满足=A 2,则1-=A ______,22-=A _______,*=A ________,**()=A ________.9.设()ij s n a ⨯=A 与rs n⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭E0B 00等价,则矩阵A 的秩()R A =________. 10.设n 阶方阵()ij n n a ⨯=A ,()ij n n i ja ⨯=⋅B ,已知行列式a =A ,则行列式=B .三、 计算题1.已知123143210321,530140321250--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B ,求32-A B .2.计算下列矩阵乘积：（1）12113412-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）111311*********-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 3.已知(1,2,3),(1,1,2),,T T ==-==X Y A X Y B YX ,求4,,A B A .4.若2312312,,21031⎛⎫--⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 求AB 及()TAB .5.（1）设100100λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,求3A ；（2）设101020001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求(2,3,)k k =L A ．6.将矩阵212341352012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为标准形.7.已知1/22/21/2⎛⎫=⎪⎪⎭A ,且6=A E , 求11A8. 设A 为3阶方阵, det (A ) =21, 计算行列式det [(3A ) -1 - 2A *]. 解: (3A ) -1 - 2A * = 31A -1- 2⋅det (A ) A -1 = 31A -1- A -1 =32-A -1, det [(3A )-1- 2A *]=332⎪⎭⎫ ⎝⎛-det (A -1) = 332⎪⎭⎫ ⎝⎛-[det (A )] -1= 2716-. 9. 设矩阵D = A -1 B T (CB -1 + E ) T - [(C -1) T A ] -1, 其中A = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, B = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100012021, C = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1087654321,求出矩阵D .解:D =A -1 B T (CB -1+E ) T - [(C -1) T A ] -1= A -1 [(CB -1 + E ) B ] T - A -1[(C -1) T ] -1= A -1(C + B )T - A -1 C T = A -1(C T + B T ) - A -1 C T = A -1(C T + B T - C T ) = A -1 B T 。
矩阵理论第2章习题解答
第二章习题答案1．设a 1，a 2，…，a n 均为正数，nC x ∈，且Tn x x x x ),,,(21 =. 证明函数2/112][)(∑==ni i i x a x f在C n 上定义了一个向量范数.证明：(1) 正定性：对0≠∀x ，有f (x )>0，当x =0时，f (x )=0. (2) 奇次性：)(][][)(2/1122/112x f x a x a x f ni i i ni i i ⋅=⋅==∑∑==λλλλ.(3) 三角不等式：])([][)(122122∑∑==+++=+=+ni i i i i i i i ni i i iy x y x y x a y x ay x f)2()()()2()()(122122∑∑==⋅++≤⋅++≤ni i i i ni i i i y x a y f x f y x a y f x f∑∑∑===⋅++≤⋅++≤ni i i ni i i ni i i i i y a x a y f x f y a x a y f x f 12/1212/1222122)()(2)()()2()()( 222)]()([)()(2)()(y f x f y f x f y f x f +=⋅++=. 所以函数f (x )是一个向量范数.2. 证明：在R 1中任何向量范数x ，一定有x x λ= 0>λ.证明：对任意向量范数x ，根据向量范数的定义和性质，又因为1R x ∈，有 x x x x λ=⋅=⋅=11，其中01>=λ.3. 设x 是P n 中的向量范数，nn P A ⨯∈，则Ax 也是P n 中的向量范数的充要条件为A是可逆矩阵.证明：必要性：如果矩阵A 不可逆，则存在0≠x ，使得0=Ax ，即0=Ax ，这与向量范数的正定性矛盾，所以矩阵A 可逆.充分性：矩阵A 可逆，对0≠∀x ，则0≠Ax ，所以0>Ax ，正定性满足；Ax Ax ⋅=λλ，奇次性满足；Ay Ax Ay Ax y x A +≤+=+)(，三角不等式也满足，故Ax 是向量范数.4. 证明(1) 2/1)]([2A A tr A H m =;(2) 2m A与2x 是相容的；(3) a A 与1x 、2x 均相容； (4) {}22222min ,m m m m ABABAB≤⋅.证明：(1) 设nn PA ⨯∈，令),,(1n A αα =. 根据定义有∑∑===ni nj ijm a A 11222，∑==ni ijja 1222α，n j ,,1 =，所以有∑==nj mjA 1222α，同时有，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n Hn H n n H H n H n H HA A αααααααααααα111111)( ，所以有212)(m n j j H j H A A A tr ==∑=αα.(2) 见课本61页下.(3) 令()Tn x x x x ,,,21 =，nn ij Pa A ⨯∈=)(. 因为j n i nj ijji n i n j jijx ax a Ax ⋅≤=∑∑∑∑====11,111max11,11,}{max max x A x a n x a a ij ji nj j ni ij ji ⋅=⋅⋅≤⋅≤∑∑==. 所以，a A 与1x 相容;因为∑∑∑∑∑∑∑=======⋅=⋅≤+++=n i nj j nj ij n i nj j nj ij ni n in i i x a x a x a x a x a Ax112121121212221122)()(22222}{max }{max x a n x a n ij ijij ij⋅⋅=⋅⋅≤. 所以，a A 与2x 相容.(4) 令),,,,(1n j B βββ =，因为222j jA A ββ≤，n j ,,1 =，同时有222222212222221212222)(),,(m n nm n m BA A A A A AB =++≤++==ββββββ有上述结果有2222222)(m m HHm HH m Hm A BA B A B AB AB=≤==，所以(4)成立.5. 若rm PA ⨯∈，且r HE A A =，则12=A ，r A m =2.证明：根据定义1)()(2===E r A A r A H ；r E tr A A tr A H m ===)()(2.6. 设x ，Ax 的向量范数为2∙，证明：它对应的算子范数是{}n xAx A σσσ,,,m ax m ax 212122===.证明：对任意矩阵A ，存在酉矩阵U ，V ，得到矩阵A 的奇异值分解A =UDV . 其中n σσ,,1 是矩阵A 的奇异值，D =diag(n σσσ,,,21 ). 根据定义，有)()())(()(222D r V D V r UDV UDV r A A r A H H H =====max{n σσσ,,,21 }.7. 若∙是算子范数，则 (1) 1=E ; (2) 11--≥A A;(3) xAxAx 011min≠--=. 证明：根据算子范数定义xAxA x 0max≠=， (1) 1max max00===≠≠x xxEx E x x ; (2) 111--≤==A A AA E ，11--≥A A ；(3) xx A Ax 101max-≠-=，令x A y 1-=，则Ay x =，得AyyAy 01max≠-=，从而xAxy Ay Ayy A x y y 00011minminmax 1≠≠≠--===. 8. 设v A ，μA 是对应于两个向量范数v x ，v Bx x=μ的算子范数，B 可逆，则νμ1-=BAB A .证明：根据定义，有μμμxAx Ax 0max≠=，把νμBx x=代入上式，得到ννμBx BAx A x 0max≠=，令y =Bx ，则y B x 1-=，则νννμ110max--≠==BAB y y BAB Ay .9. 设a x ，b x 是C n 上的两个向量范数，a 1，a 2是两个正实数，证明 (1) c b a x x x =},max{; (2) d b ax x a xa =+21都是C n 上的向量范数.证明：需要证明(1)和(2)满足范数定义中的三个条件即可.(1) (正定性) 当0≠x 时，0>ax ，0>b x ，则0>c x ；当x =0时，0=a x ，0=b x ，则0=cx. 奇次性显然成立. (三角不等式)},m a x {},m a x {b b a a b a cy x y x y x y x yx ++≤++=+c c b a b a y x y y x x +=+≤},max{},max{. (1)证毕.(2) 正定性和奇次性同(1)，容易得到. 下面证明三角不等式：d d b b a a b a d y x y x a y x a y x a y x a y x +=+++≤+++=+)()(2121. 证毕.10. 证明F F A A A n≤≤21. 证明：因为22122)()()(F Hn HA A A tr A A r A ==+++≤=λλλ ，即F A A ≤2，其中i λ为半正定矩阵A H A 的特征值. 又由于22212)()(A n A A r n A H n F ⋅=⋅≤+++=λλλ ，即21A A nF ≤. 证毕. 11．设a A 是nn C⨯上的相容矩阵范数，B ，C 都是n 阶可逆矩阵，且aB1-及aC1-都是小于或等于1，证明对任何nn CA ⨯∈a b BAC A =定义了nn C⨯上的一个相容矩阵范数.证明：首先证明a b BAC A =是一个矩阵范数。
矩阵论(2016研究生) 百度文库第2版, 杨明、刘先忠编著
6 欧氏空间中向量的夹角： 定义：0，0，夹角定义为： cos= ( , ) 和 正交 （，）=0
7 线性空间的内积及其计算： 设{1，2，…, n } 是内积空间Vn(F)的基， ，Vn(F)，则有 =x11＋x22＋…＋x n n = (12… n)X； =y11＋y22＋…＋y n n= (1 2… n)Y 度 (，)=
归纳：
任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。 每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这 组基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。
2、 线性空间V n（F）与Fn的同构
坐标关系
V n （F）
基{1，2，。。。 n}
Fn
由此建立一个一一对应关系
V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间 n Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = xi i ，则x1 ， i 1 x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用 问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
二、教学安排
学时配置 讲授第1章至第6章 (36学时) 第1章：8学时; 第2章：6学时 第3章：6学时； 第4章：6学时； 第5章：6学时； 第6章：4学时
考核方式：课程结束考试
三、教学指导意见
背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书：
矩阵论
课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 36学时 （36 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著）， 华中科技大学出版社，2005
1-2 线性变换及其矩阵表示
定理2：设x1,x2,…,xn是数域K上n维线性空间V的一 组基，在这组基下，V上的每一个线性变换都与 Kn×n中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ③ 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵。 推论1：设T是线性空间V的一组基x1,x2,…,xn下的 f 矩阵， ( x ) am x m am 1 x m 1 a1 x a0 , 则线 性变换f(T)在同一组基下的矩阵是： f ( A) am Am am 1 Am 1 a1 A a0 I .
2. 线性变换的矩阵表示
(a) 线性变换在给定基下的矩阵表示 设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上 的线性变换。
对于V中的任意一个向量x，必存在数域K中的一 组数k1,k2,…,kn使得 x k1 x1 k2 x2 kn xn , 从而有 T ( x ) k1T ( x1 ) k2T ( x2 ) knT ( xn ). 这表明，T(x)由T(x1),T(x2),…,T(xn)完全确定。
设T为线性空间V的线性变换，若有V上的变换S 使得：TS=ST=Te，则称T为可逆变换，并称S为T 的逆变换，记为S=T-1。 1. 可逆变换的逆变换仍然是线性变换。 2. 线性变换T可逆当且仅当T是一一对应。 3. 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无 关的向量组。 4. 设x1,x2,…,xn是线性空间V的一组基，T是V上的 线性变换，则T可逆当且仅当T(x1),T(x2),…,T(xn)也 是V的一组基。 (T1T2 )1 T21T11 . 5. 若T1,T2都是可逆变换，则
矩阵论-第二讲
2、维数公式
定理（维数公式）：设W1和W2是有限维线性空间V的两 个子空间，则 dimW 1 dimW 2 dim(W 1 W 2) dim(W 1 W 2)
x x x 例：对二阶矩阵所构成的线性空间M （ 2 R），令A ，B x y 0 L（A），L（B），L（A） L（B）和 M （ 2 R）的关系。 y ， z
T { A | S1 A A, A M 22 (R)} 2 { A | S2 A A, A M 22 (R)}
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，
W 1 W 2 { | W 1, W 2}
称为子空间W1和W2的交。
W 1 W 2 { 1 2 | 1 W 1, 2 W 2}
(1) ( ) ( ) ( ), , W 1 (2) (k ) k ( ), W 1 , k F
则称 是同构映射，线性空间W1和W2同构。
同构映射的性质：
(1) (0) 0, ( ) ( ). (2) ( k i i )
生成子空间：
给定线性空间V的一组元素 1， ， 2， m, L( 1 , 2 ,, m) { k i i | k i F , i 1,2,, m)
i 1 m
定理：设W是线性空间V的一个非空子集，则W是V的 子空间的充要条件是： W对V的加法和数乘运算是封 闭的。
称为子空间W1和W2的和。
定理：设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则它 们的交以及它们的和仍然是V的子空间。
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，如果
W 1 W 2 {0}
则称W1+W2为子空间W1和W2的直和，记为 W 1 W 2 。
矩阵的三种范数证明
矩阵的三种范数证明矩阵的三种范数是指矩阵的1-范数、2-范数和无穷大范数。
在矩阵理论中，范数是一种度量矩阵大小的方法，它可以帮助我们理解矩阵的性质和特征。
下面我们将分别证明矩阵的三种范数。
1. 矩阵的1-范数证明：矩阵的1-范数定义为矩阵A的每一列元素绝对值之和的最大值，即A ₁= max{∑a_ij : 1 ≤i ≤m}其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
证明过程如下：首先，我们可以证明1-范数是一种范数。
满足下列性质：1）非负性： A ₁≥0，且只有当A=0时， A ₁=0；2）齐次性：对于任意的标量α，有αA ₁= α A ₁；3）三角不等式：A+B ₁≤ A ₁+ B ₁。
接下来，我们来证明矩阵的1-范数的三角不等式。
对于任意两个矩阵A和B，它们的1-范数分别表示为 A ₁和 B ₁，那么根据1-范数的定义，有：A ₁= max{∑a_ij : 1 ≤i ≤m}B ₁= max{∑b_ij : 1 ≤i ≤m}假设C=A+B，那么C的1-范数可以表示为：C ₁= max{∑c_ij : 1 ≤i ≤m}我们知道c_ij = a_ij + b_ij，所以：∑c_ij = ∑a_ij + b_ij ≤∑a_ij + ∑b_ij由于∑a_ij 和∑b_ij 分别是A和B的1-范数，所以根据定义，有：max{∑a_ij : 1 ≤i ≤m} + max{∑b_ij : 1 ≤i ≤m} = A ₁+ B ₁因此，我们得到了结论：C ₁= max{∑c_ij : 1 ≤i ≤m} = A ₁+ B ₁即矩阵的1-范数满足三角不等式。
2. 矩阵的2-范数证明：矩阵的2-范数定义为矩阵A的最大奇异值，即：A ₂= √(λ₁)其中λ₁表示AᵀA的最大特征值，即A的转置矩阵与A的乘积的最大特征值。
证明过程如下：首先，我们需要证明2-范数是一种范数。
同样满足下列性质：1）非负性： A ₂≥0，且只有当A=0时， A ₂=0；2）齐次性：对于任意的标量α，有αA ₂= α A ₂；3）三角不等式：A+B ₂≤ A ₂+ B ₂。
矩阵论5-1-2
矩 阵, 记 作A 0.
正定矩阵是半正定矩阵的一种特殊情形.
正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：
(1) 单位矩阵 I 0； (2) 若A 0, 数k 0, 则kA 0； (3) 若A 0, B 0, 则A B 0；
(4) 若A 0, B 0, 则A B 0.
(5.1.2)
其中1 , 2 ,, n均为实数。
实对称阵的特征向量都是实向量.
5.1.2 矩阵的惯性
定理5.1.5 设 A是n 阶Hermite矩阵，则 A相合于矩阵
Is D0 0 0 0 Irs 0 0 0 On r ( 5 .1 .3 )
5.1.1 Hermite矩阵
A A
H
Hermite矩阵 性质良好 应用广泛
结构特殊
Hermite矩阵具有如下简单性质： (1) 如果 A是Hermite矩阵，则对正整数 k，Ak 也是 Hermite矩阵；
(2) 如果 A是可逆Hermite矩阵，则A-1 是Hermite矩阵； (3) 如果 A,B是Hermite矩阵，则对实数k,p, kA+pB 是 Hermite矩阵；
H
( 2) 若s r n, 则 规 范 形 为 x Ax yi . 对 任 意
H 2 i 1
r
x C 都 有x Ax 0.
n H
( 3) 若s 0, r n, 则规范形为 x Ax yi .若x 0,
H 2 i 1
n
则y 0, x Ax 0.
利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可 表示为 f ( x ) x H Ax
设P是n阶可逆矩阵，作线性变换x = Py，则
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第一节
线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、
k1 k2 kn 0 时才成立，
则称这组向量线性无关.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
k 设 a1 ,a 2 ,,a n 是V(P)中的向量， 1 , k2 ,, kn k1a1 k2a 2 kna n 是P中的数，则
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
② 可以证明： a 0a (1 0)a 1a a , 0a 0, (( a ) a ) 0a ( a ) a , 0 0a 0, 0a 0.
k 0 0,
( 1)a a .
例2
P mn { A (aij )mn aij P };
n 1 k 例3 P[t ]n P ( t ) P ( t ) ak t , ak P ; k 0
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第二节
基变换与坐标变换
注：线性空间V(P)
• 一个数域P，其元素称为标量； • 一个集合V，其元素称为向量； • “加法”运算：运算结果唯一、封闭 且满足：交换律、结合律、 存在零元(称为零向量)、存在负元 • “数乘”运算：运算结果唯一、封闭 且满足： k ( la ) ( kl )a 1a a
( k l )a ka la k (a b ) ka kb
称为向量 a1 ,a 2 ,,a n 的线性组合.
又若向量 b k1a1 k2a 2 kna n ,
则b 也称为向量 a1 ,a 2 ,,a n 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1 ,a 2 ,,a n 线性表示.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
( b 1 , b 2 , , b n ) (a1 ,a 2 ,,a n ) A
l1 l1 ll11 n l2 l2 ll22 a l j b j ( b 1 , b 2 ,, b n ) [(a11,a 222,,,ann)[A] ] (a1 ,a ,a n )) A j 1 l ll l n nnn
(a1 ,a 2 ,,a n )( AB) [(a1 ,a 2 ,,a n ) A]B.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
坐标变换
k1 n k2 设 a kia i (a1 ,a 2 ,,a n ) i 1 k n
ห้องสมุดไป่ตู้
ka k 0 k (a 0) ka , k0 0.
a ( 1)a 1a ( 1)a (1 1)a 0 , ( 1)a a .
ka 0 的充要条件是 k 0 或 a 0.
③ 可以定义元素的减法为 a b a ( b ).
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为 数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V , k P , 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a；
(ⅱ) (a b ) a ( b )； (ⅳ) a ( a ) 0；
(ⅲ) a 0 a； (ⅴ) 1a a；
(ⅵ)
k ( la ) ( kl )a；
(ⅶ) ( k l )a ka la ;(ⅷ) k (a b ) ka kb . 则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
设 a1 ,a 2 ,,a n 为线性空间V(P) 的一个基，
则对任意的 a V , 有
a k1a1 k2a 2 kna n ,
称有序数组 k1 , k2 ,, kn 为a 在基 a1 ,a 2 ,,a n
第一章 线性空间与线性变换
• R3 －最为形象、具体的集合 • 集合的结构属性（彼此相容） 1.集合论：交、并、补运算
2.拓扑结构：度量空间（距离空间）
3.代数结构：向量的加法与数乘
4.欧氏几何学：正交、长度、夹角
5.测度论：点集的长度、面积、体积等
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
三、线性空间举例
例1 V {( x1 , x2 ,, xn ) x1 , x2 ,, xn P }, 记为P n .
例2
P mn { A (aij )mn aij P };
n 1 k 例3 P[t ]n P ( t ) P ( t ) ak t , ak P ; k 0 例4 C[a, b] f ( x ) f ( x )是[a, b]上的连续实函数 ;
向量组a1 ,a 2 ,,a n ( n 2) 线性相关
向量组 a1 ,a 2 ,,a n 中至少有一个向量 能由其余向量线性表示.
向量组a1 ,a 2 ,,a n 线性无关 向量组 a1 ,a 2 ,,a n 中任一向量都不能
由其余向量线性表示.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
例5 例6
S X P n X是齐次线性方程组 0的解 AX ;
R : 全体正实数；数域为 . 定义加法及数乘 R
运算为:
a b ab ; (a , b R )
k a a k . ( k R,a R )
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
下的坐标.
定理1-1：n 维线性空间V(P)中任一向量必可表示 为V的一个基的线性组合,且表示式是唯一的. (即取定坐标系后，每个向量的坐标存在且唯一）
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
线性空间的维数：
例1 P n {( x1 , x2 ,, xn ) x1 , x2 ,, xn P };
及 b1 , b 2 ,, b n
V ( P )的基： a1 ,a 2 ,,a n
设这两个基的关系为：
b 1 a11a1 a21a 2 an1a n b a a a a a a 2 12 1 22 2 n2 n b n a1na1 a2 na 2 anna n
四、基、维数
定义1-2：线性相关,线性无关,线性组合,线性表示 设 a1 ,a 2 ,,a n 是线性空间V(P)的一组向量，
如果存在P中一组不全为0的数 k1 , k2 ,, kn，使得
k1a1 k2a 2 kna n 0
成立，则称向量 a1 ,a 2 ,,a n 线性相关. 若等式 k1a1 k2a 2 kna n 0 当且仅当
则称V为数域P上的线性空间（L.S.).
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
① 可以证明： 零向量是唯一的.
01 01 0 0 01 0 .
负向量是唯一的.
( a )1 ( a )1 0 0 ( a )1 (a ( a )) ( a )1 (( a ) a ) ( a )1 ( a ) (a ( a )1 ) a 0 a
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
于是有
k1 k2 k n
l1 l2 A . l n
过渡矩阵 A总是可逆的.
(a1 ,a 2 ,,a n ) ( b 1 , b 2 ,, b n ) A1 ,
因此又有
l1 k1 k l2 －1 2 A l k n n
坐 标 变 换 公 式
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
过渡矩阵的求法
1. 定义法： 分别求基 b1, b2, …, bn在基 a1, a2, …, an下 的坐标, 设求出 bi在基 a1, a2, …, an下的坐标(列)为Ai, 即有 所以,
bi=(a1, a2, …, an) Ai,
( b1 , b 2 ,, b n ) (a1 ,a 2 ,,a n )( A1 , A2 ,, An ),
故过渡矩阵为 A= (A1, A2, …, An) .
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
上述关系可形式地简记为：
( b1 , b 2 ,, b n ) (a1 ,a 2 ,,a n ) A
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
上述关系可形式地简记为：