多元函数微分学练习题定稿版

多元函数微分学练习题精编W O R D版
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第五章（多元函数微分学） 练习题
一、填空题
1. (,)(0,0)sin()lim
x y xy y →= ． 2. 22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y
→+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xy
x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
则(0,1)x f = ．
5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ．
6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ．
7.
设u =d u = ．
8.
若(,)f a a x ∂=∂
，则x a →= ． 9.
设函数u =，则它在点0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ．
10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ．
11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z
l ==∂=∂ ．
12. 曲线cos ,sin ,tan 2
t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ．
14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ．
15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ．
16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
17. 曲线2226,2
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ．
二、选择题
1. 设0x 是n R ⊂E 的孤立点，则0x 是E 的 （ ）
(A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点．
2. 设0x 是n R ⊂E 的内点，则0x 是E 的 （ ）
(A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点．
3. 设22
2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩
，则(0,0)y f =( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-
4. 若),(y x f 在),(00y x =0x 的两个偏导数)(0x x
f ∂∂，)(0x y f ∂∂存在，则 ( ） (A)f 在0x 可微； (B)f 在0x 连续；
(C)f 在0x 存在任何方向的方向导数； (D)f 在0x 关于x 与y 皆连续．
5. 二元实值函数),(y x f 的两个偏导数x
f ∂∂，y f ∂∂在),(00y x =0x 连续是f 在0x 可微的( ) (A) 充分条件 (B) 必要条件
(C) 充要条件 (D) 既不是充分也不是必要的条件
6. 函数22223u x y xz y =+-+-在点(1,1,2)-处的方向导数的最大值为（ ）
(A)； (B) (C)； (D)
7. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是( )
(A) (0,0) (B) (2,2) (C) (2,0) (D) (0,2)
8. 设),(y x f z =在),(00y x =0x 可微,z ∆是f 在0x 的全增量,则在0x 处有 ( ）
(A)dz z =∆； (B)y x f x f z y x ∆'+∆'=∆)()(00x ；
(C)dy f dx f z y x )()(00x x '+'=∆； (D)))()((),(22y x dz z ∆+∆=+=∆ρρο．
9. 设)(22z x yf z x -=+（其中f 可微），且能确定隐函数),(y x f z =，则=∂∂+∂∂y z y x z z
（ ）
(A) )()(22z x f z y y x -'++； (B) x ；
(C) )()2(22z x f xz y y x -'++； (D) z ．
10. 设方程)()(22y x F y x F y +++=能确定隐函数)(x f y =（其中F 可微），且
1)4(,2
1)2(,2)0(='='=F F f ，则=')0(f （ ） (A) 71； (B)71-； (C)41-； (D)3
1-． 11. 曲面1=xyz 上平行于平面03=+++z y x 的切平面方程是 （ ）
(A)03=-++z y x ； (B)02=-++z y x ；
(C)01=-++z y x ； (D)0=++z y x ．
三、计算与证明题
1. 设(,)w f x y z xyz =++，f 具有二阶连续偏导数，求2,w w x x z
∂∂∂∂∂． 2. 设函数(,)z z x y =是由方程2222(,)0F z x z y --=所确定的隐函数，其中(,)F u v 具有一阶连续偏导数，试求表达式11z z x x y y
∂∂+∂∂． 3. 设函数(,)()x y z f xy g y x =+，f 具有二阶连续偏导数，g 二阶连续可导，求2z x y
∂∂∂．
4. 设函数(), ()y y x z z x ==由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+=确定，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx
． 5. 设(,,)u u x y z =由方程222222(,,)0F u x u y u z ---=所确定，求证： 1111u u u x x y y z z u
∂∂∂++=∂∂∂． 6. 设方程222()z x y z yf y
++=能确定隐函数(,)z z x y =，求证： 222()22z z x y z xy xz x y
∂∂--+=∂∂． 7. 求函数23z x y y =+-的极值．
8. 求函数22(2)x z e x y y =++的极值．
9. 在平面320x z -=上求一点，使它与点(1,0,1)A ，(2,2,3)B 的距离平方和为最小．
10. 求原点到曲线22
1
z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩的最长和最短距离． 11. 设⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f ，证明：),(y x f 在点(0 0)并不连续，但存在两个偏导
数．
12.设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++= 0
, 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 证明：f 在(0,0)连续但不可微.
13.设函数
22
22
3
222
22
, 0 ,
(,)()
0 ,0
x y
x y
f x y x y
x y
⎧
+≠
⎪⎪
=⎨+
⎪
+=
⎪⎩
证明：f在(0,0)连续但不可微.
14.设函数
2
22
22
22
, 0 ,
(,)
0 ,0
x y
x y
x y
f x y
x y
⎧
+≠
⎪
+
=⎨
⎪+=
⎩
证明：f在(0,0)连续，偏导数存在但不可
微．。