安徽省安庆一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理科)试卷Word版含解析
安徽省安庆一中2019-2020学年上学期期末考试高二数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．空间的一个基底{a，b，c}所确定平面的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个以上2．“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=14．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A．10 B．8 C．6 D．45．已知A（1，2，﹣1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则=（）A．（0，4，2）B．（0，﹣4，﹣2）C．（0，4，0）D．（2，0，﹣2）6．下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0””的否定是“∃x0∈R，x2≤0”B．“∃x0∈R，x2＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ＞1D．“∃θ0∈R，sinθ+cosθ＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”7．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=08．若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．，B．C．D．9．方程+=1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（）①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4③曲线C不可能是圆④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．A．1 B．2 C．3 D．410．已知F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（）A．3 B．6 C．3D．211．动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（）A．（4，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）12．已知椭圆x2+y2=a2（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（）A．B．或C．或D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．若向量=（4，2，﹣4），=（6，﹣3，2），则（2﹣3）•（+2）= ．14．命题：“若A∪B=A，则A∩B=B”的否命题是．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点A在双曲线第一象限的图象上，若△AF1F2的面积为1，且tan∠AF1F2=，tan∠AF2F1=﹣2，则双曲线方程为．16．直线y=x+3与曲线=1的公共点个数为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：函数f（x）=loga |x|在（0，+∞）上单调递增；q：关于x的方程x2+2x+loga=0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，F1是椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F1AB是等边三角形，求椭圆的离心率．19．（12分）已知两点M（﹣2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||•| |+=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为．20．（12分）已知直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1交于A、B两点．（1）求a的取值范围；（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．21．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦．22．（12分）如图，设点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线l 1，l 2均与椭圆C 相切，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．安徽省安庆一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理科）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．空间的一个基底{a，b，c}所确定平面的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个以上【考点】空间向量的基本定理及其意义．【分析】利用基底的定义以及平面的基本性质，判断即可．【解答】解：空间的一个基底{a，b，c}，说明三个向量不共线，又两条相交直线确定一个平面，所以空间的一个基底{a，b，c}所确定平面的个数为3个．故选：C．【点评】本题考查空间向量基底的定义，平面的基本性质，基本知识的考查．2．“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k ∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选D．【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法．5．已知A（1，2，﹣1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则=（）A．（0，4，2）B．（0，﹣4，﹣2）C．（0，4，0）D．（2，0，﹣2）【考点】空间中的点的坐标．【分析】写出点A关于面xoy的对称点B的坐标，横标和纵标都不变化，只有竖标变为原来的相反数，再写出B关于横轴的对称点，根据两个点的坐标写出向量的坐标．【解答】解：∵A（1，2，﹣1）关于面xoy的对称点为B，∴根据关于面xoy的对称点的特点得到B（1，2，1）而B关于x轴对称的点为C，∴C点的坐标是（1，﹣2，﹣1）∴=（0，﹣4，﹣2）故选B．【点评】本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，这是一个基础题．6．下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0””的否定是“∃x0∈R，x2≤0”B．“∃x0∈R，x2＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ＞1D．“∃θ0∈R，sinθ+cosθ＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题与全称命题的否定形式判断即可．【解答】解：推出明天的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，考察选项，只有B不满足命题的否定形式，故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．7．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=， =，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．8．若直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．，B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k＜﹣1联立求得k的范围．【解答】解：渐近线方程为y=±x，由消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10=0设（k2﹣1）x2+4kx+10=0的两根为x1，x2，∵直线y=kx+2与双曲线x2﹣y2=6的右支交于不同的两点，∴，∴k＜0，∴故选D【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合．9．方程+=1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（）①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4③曲线C不可能是圆④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】利用椭圆、双曲线的定义，结合标准方程，即可得出结论．【解答】解：由4﹣t=t﹣1，可得t=，方程+=1表示圆，故①③不正确；由双曲线的定义可知：当（4﹣t）（t﹣1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程+=1表示双曲线，故③正确；由椭圆定义可知：当椭圆在x轴上时，满足4﹣t＞t﹣1＞0，即1＜t＜时方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．故选：B．【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程，尤其要注意椭圆在x轴和y轴上两种情况，属于基础题．10．已知F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（）A．3 B．6 C．3D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用⊥及△PF1F2的面积为9列式求得|PF1||PF2|=18．再由勾股定理及椭圆定义即可求得b．【解答】解：如图，∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，又△PF1F2的面积为9，∴，得|PF1||PF2|=18．在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理在解焦点三角形问题中的应用，是中档题．11．动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必经过定点（）A．（4，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的解析式确定出焦点坐标与准线方程，根据动圆恒与直线x+2=0相切，而x+2=0为准线方程，利用抛物线的定义可得出动圆一定过抛物线的焦点．【解答】解：由抛物线y2=8x，得到准线方程为x+2=0，焦点坐标为（2，0），∵动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，∴动圆必经过定点（2，0）．故选B【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键．12．已知椭圆x2+y2=a2（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（）A．B．或C．或D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】因为椭圆与线段无公共点，所以线段AB在椭圆的内部或在椭圆的外部，即由“A，B 两点同在椭圆内或椭圆外”求解．【解答】解：根据题意有：A，B两点同在椭圆内或椭圆外∴或∴或故选B【点评】本题主要通过直线与椭圆的位置关系，来考查点与椭圆的位置关系．当点（x0，y）在椭圆内，则有，点（x0，y）在椭圆外，则有二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．若向量=（4，2，﹣4），=（6，﹣3，2），则（2﹣3）•（+2）= ﹣212 ．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量的坐标形式的四则运算法则、利用向量的数量积公式求出数量积．【解答】解：∵，∴=﹣10×16+13×（﹣4）=﹣212故答案为﹣212【点评】本题考查向量的四则运算法则、考查向量的数量积公式：对应坐标乘积的和．14．命题：“若A∪B=A，则A∩B=B”的否命题是若A∪B≠A则A∩B≠B ．【考点】四种命题．【分析】对所给命题的条件和结论分别否定，即：A∪B≠A和A∩B≠B，作为否命题的条件和结论．【解答】解：“若A∪B=A，则A∩B=B”的否命题：“若A∪B≠A则A∩B≠B”故答案为：若A∪B≠A则A∩B≠B．【点评】本题考查了否命题的定义，属于基础题．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点A在双曲线第一象限的图象上，若△AF1F2的面积为1，且tan∠AF1F2=，tan∠AF2F1=﹣2，则双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（m，n）．m＞0，n＞0．由tan∠AF1F2可得=，由tan∠AF2F1=﹣2可得=2，由△AF1F2的面积为1可得•2c•n=1，联立求出A的坐标，即可得出双曲线的方程．【解答】解：设A（m，n）．m＞0，n＞0．由tan∠AF1F2可得=，由tan∠AF2F1=﹣2可得=2，由△AF1F2的面积为1可得•2c•n=1，以上三式联立解得：c=，m=，n=．所以A（，），F1（﹣，0），F2（，0）．根据双曲线定义可得2a=|AF1|﹣|AF2|=．所以a=，b=，所以双曲线方程为．故答案为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活利用．16．直线y=x+3与曲线=1的公共点个数为 3 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线=1为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线=1为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=x+3与曲线=1的图象，就可找到交点个数．【解答】解：当x≥0时，曲线=1的方程为当x＜0时，曲线=1的方程为，∴曲线=1的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=x+3的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．故答案为3【点评】本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）|x|在（0，+∞）上单17．（10分）（2016秋•大观区校级期末）设命题p：函数f（x）=loga调递增；q：关于x的方程x2+2x+log=0的解集只有一个子集．若“p∨q”为真，“p∧q”a为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先求出命题p，q下的a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假可知p，q一真一假．所以讨论，p真q假，和p假q真两种情况，求出a的范围求并集即可．【解答】解：由命题p得a＞1；由命题q知关于x的方程无解，∴，解得1；由“p∨q”为真，“p∧q”为假知p，q中一真一假；∴若p真q假，则：a＞1，且0＜a＜1，或a，∴；若p假q真，则0＜a＜1，或1，解得a∈∅；综上得，实数a的取值范围为．【点评】考查对数函数的单调性，一元二次方程的解和判别式△的关系，p∨q，p∧q的真假情况和p，q真假情况的关系．18．（12分）（2016秋•大观区校级期末）如图，F1是椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F1AB是等边三角形，求椭圆的离心率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】以O为圆心，以|OF1|为半径的圆的方程为：x2+y2=c2．与椭圆方程联立解得xA，即xD．根据△F1AB是等边三角形，可得∠AOD=60°，因此=cos60°，解出即可得出．【解答】解：以O为圆心，以|OF1|为半径的圆的方程为：x2+y2=c2．联立，化为：c2x2=a2（2c2﹣a2），解得，∵△F1AB是等边三角形，（设AB与x轴相交于点D）．∴∠AOD=60°．∴=cos60°=，化为：e4﹣8e2+4=0，解得e2=4﹣2，e2=4+2舍去．解得e=．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•大观区校级期末）已知两点M（﹣2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||•||+=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为y2=﹣8x ．【考点】轨迹方程；数量积的坐标表达式．【分析】根据题意，设P（x，y），结合M与N的坐标，可以求出||=4，并将、表示出来，代入||•||+=0中，可得4+4（x﹣2）=0，化简整理即可得答案．【解答】解：设P（x，y），又由M（﹣2，0），N（2，0），则||=4， =（x+2，y），=（x﹣2，y）又由||•||+=0，则4+4（x﹣2）=0化简整理得y2=﹣8x；故答案为y2=﹣8x．【点评】本题考查轨迹方程的求法，涉及平面向量的数量积运算与抛物线的定义，求解此类问题时要注意轨迹与轨迹方程的区别．20．（12分）（2016秋•大观区校级期末）已知直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1交于A、B两点．（1）求a的取值范围；（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）根据直线和双曲线的位置关系，即可求a的取值范围；（2）根据条件以AB为直径的圆过坐标原点，消去y，利用根与系数之间的关系即可求实数a 的值．【解答】解（1）由消去y，得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，依题意得，即﹣＜a＜且a≠±．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，∴，∵以AB为直径的圆过坐标原点，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0，则x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0，则（a2+1）x1x2+a（x1+x2）+1=0，∴（a2+1）+a+1=0，解得a=±1，满足条件．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的判断和应用，联立方程利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．21．（12分）（2015春•湖南期末）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ，由已知条件推导出AO ⊥平面BCC 1B 1，连结B 1O ，则B 1O ⊥BD ，AB 1⊥BD ，AB 1⊥A 1B ，由此能证明AB 1⊥平面A 1BD ．（Ⅱ）设AB 1与A 1B 交于点C ，在平面A 1BD 中，作GF ⊥A 1D 于F ，连结AF ，则∠AFG 为二面角A ﹣A 1B ﹣B 的平面角，由此能求出二面角A ﹣A 1D ﹣B 的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连结AO ， ∵△ABC 为正三角形， ∴AO ⊥BC ，∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥平面BCC 1B 1，连结B 1O ，在正方形BB 1C 1C 中，O 、D 分别为BC 、CC 1的中点， ∴B 1O ⊥BD ， ∴AB 1⊥BD ，在正方形ABB 1A 1中，AB 1⊥A 1B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ．（Ⅱ）解：设AB 1与A 1B 交于点C ，在平面A 1BD 中，作GF ⊥A 1D 于F ，连结AF ， 由（Ⅰ）得AB 1⊥平面A 1BD ，∴∠AFG 为二面角A ﹣A 1B ﹣B 的平面角， 在△AA 1D 中，由等面积法可求得AF=，又∵AG==，∴sin==，∴cos ∠AFG=．∴二面角A ﹣A 1D ﹣B 的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）（2014•安徽模拟）如图，设点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线l 1，l 2均与椭圆C 相切，且l 1∥l 2，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）设P （x ，y ），可得向量坐标关于x 、y 的形式，从而得到，结合点P 为椭圆C 上的点，化简得，说明最小值为1﹣c 2=0，从而解出a 2=2且b 2=1，得到椭圆C 的方程．（2）当直线l 1，l 2斜率存在时，设它们的方程为y=kx+m 与y=kx+n ，与椭圆方程联解并利用根的判别式列式，化简得m 2=1+2k 2且n 2=1+2k 2，从而得到m=﹣n ．再假设x 轴上存在B （t ，0），使点B 到直线l 1，l 2的距离之积为1，由点到直线的距离公式列式，并化简去绝对值整理得k 2（t 2﹣3）=2或k 2（t 2﹣1）=0，再经讨论可得t=±1，得B （1，0）或B （﹣1，0）．最后检验当直线l 1，l 2斜率不存在时，（1，0）或（﹣1，0）到直线l 1，l 2的距离之积与等于1，从而得到存在点B （1，0）或B （﹣1，0），满足点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1． 【解答】解：（1）设P （x ，y ），则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分） ∴∵点P 在椭圆C 上，可得，可得y 2=x 2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此，最小值为1﹣c 2=0，解之得c=1，可得a 2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴椭圆C 的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）①当直线l 1，l 2斜率存在时，设其方程为y=kx+m ，y=kx+n ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣把l 1的方程代入椭圆方程，得（1+2k 2）x 2+4mkx+2m 2﹣2=0 ∵直线l 1与椭圆C 相切，∴△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）=0，化简得m 2=1+2k 2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理可得n 2=1+2k 2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴m 2=n 2，而若m=n 则l 1，l 2重合，不合题意，因此m=﹣n ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）设在x 轴上存在点B （t ，0），点B 到直线l 1，l 2的距离之积为1， 则，即|k 2t 2﹣m 2|=k 2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）把1+2k2=m2代入，并去绝对值整理，可得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，而前式显然不能恒成立；因而要使得后式对任意的k∈R恒成立必须t2﹣1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）②当直线l1，l2斜率不存在时，其方程为和，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）定点（﹣1，0）到直线l1，l2的距离之积为；定点（1，0）到直线l1，l2的距离之积为，也符合题意．综上所述，满足题意的定点B为（﹣1，0）或（1，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题给出椭圆上一点P，在最小值为0的情况下求椭圆的方程，并讨论x轴上存在定点B到l1，l2的距离之积恒为1的问题，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离公式、向量数量积运算和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．。
2019-2020学年人教A版安徽省安庆市高二第一学期期末理科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．命题“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”的逆否命题是（）A．若x＝3，则x2﹣2x﹣3＝0 B．若x2﹣2x﹣3≠0，则x≠3C．若x≠3，则x2﹣2x﹣3＝0 D．若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠02．实数x，y的取值如表所示，从散点图分析，y与x有较好的线性相关关系，x 3 4 5 6 7y 4 9 10 14 18则y关于x的回归直线一定过点（）A．（5，11）B．（5，10）C．（6，11）D．（6，16）3．将三进制数2120（3）转化为二进制数，下列选项中正确的是（）A．1000110（2）B．1000101（2）C．1000100（2）D．100101（2）4．椭圆C：4x2+3y2＝1的焦点坐标为（）A．B．C．（0，±1）D．（±1，0）5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如图扇形统计图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入略有增加B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入不变D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长七尺，竹长三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为7，3，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．圆C：（x+m）2+（y﹣1）2＝2上总存在两个不同点关于直线2x﹣y+3＝0对称，则实数m 等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．不等式成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣2＜x＜1 B．﹣2≤x＜1 C．﹣2≤x≤1 D．x＜﹣29．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成，在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为P，则P等于（）A．B．C．D．10．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以F为圆心的圆与一条渐近线交于A，B两点，，相交弦AB长为b，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．11．已知M，N分别是圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2＝1与圆C2：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1上的两个动点，点P是直线x﹣y＝0上的任意一点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．B．C．6 D．412．已知函数f（x）＝x2﹣2x+2，g（x）＝log4x+t，对使得f（x1）＝g（x2），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[，+∞）C．（0，）D．[0，]二、填空题13．掷一颗骰子，记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量，则向量与共线的概率为．14．方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是15．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣1＝0，则圆C1与圆C2的公切线有条16．命题“∃x∈（﹣1，2），有+1≥0成立”是假命题，则实数m的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，答案写在试题卷上无效.17．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式．（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．十八届五中全会首次提出了绿色发展理念，将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念，某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2015年初至2019年初，该地区绿化面积y（单位：平方公里）的数据如表：年份2015 2016 2017 2018 2019年份代号x 1 2 3 4 5绿化面积y 2.8 3.5 4.3 4.7 5.2（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年初的绿化面积．（参考公式：线性回归方程：＝x，＝＝，其中为数据平均数）19．某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在[165，185]，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为[160，165），第2组成绩为[165，170），第3组成绩为[170，175），第4组成绩为[175，180），第5组成绩为[180，185），样本频率分布直方图如图：（1）估计全体考生成绩的中位数；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自同一组的概率．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2的周长为6，离心率等于．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点（4，0）的直线l交椭圆C于M、N两点，且OM⊥ON，求直线l的方程．21．已知圆C过点A（﹣1，0）和点B（﹣3，2），且圆心C在直线2x﹣y+6＝0上．（1）求圆C的方程；（2）动点P在直线2x﹣y﹣2＝0上，从P点引圆C的两条切线，切点分别为M、N，求四边形PMCN面积的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C关于x轴对称，顶点为坐标原点，且经过点（2，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点Q（1，0）的直线交抛物线于M，N两点，是否存在定直线l：x＝a，使得l 上任意点P与点M，Q，N所成直线的斜率k PM，k PQ，k PN成等差数列，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．命题“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”的逆否命题是（）A．若x＝3，则x2﹣2x﹣3＝0 B．若x2﹣2x﹣3≠0，则x≠3C．若x≠3，则x2﹣2x﹣3＝0 D．若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0【分析】根据题意，由逆否命题的形式分析可得答案．解：根据题意，命题“若x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣2x ﹣3≠0”；故选：D．2．实数x，y的取值如表所示，从散点图分析，y与x有较好的线性相关关系，x 3 4 5 6 7y 4 9 10 14 18则y关于x的回归直线一定过点（）A．（5，11）B．（5，10）C．（6，11）D．（6，16）【分析】由已知表格中的数据求得样本点的中心坐标得答案．解：由已知表格可得，，．∴样本点的中心为（5，11）．∴y关于x的回归直线一定过点（5，11）．故选：A．3．将三进制数2120（3）转化为二进制数，下列选项中正确的是（）A．1000110（2）B．1000101（2）C．1000100（2）D．100101（2）【分析】先把三进制数化为十进制数，再把十进制数化为二进制数；首先把五进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以5的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以2，倒序取余即可．．解：S1：先把三进制数化为十进制数：2120（3）＝2×33+1×32+2×31+0×30＝69．S2：再把十进制数化为二进制数：69÷2＝34 (1)34÷2＝17 017÷2＝8 (1)8÷2＝4 04÷2＝2 02÷2＝1 01÷2＝0 (1)故：69（10）＝1000101 （2）故：2120（3）＝69（10）＝1000101 （2），故选：B．4．椭圆C：4x2+3y2＝1的焦点坐标为（）A．B．C．（0，±1）D．（±1，0）【分析】把椭圆方程化为标准方程，再利用c＝即可得出．解：椭圆4x2+3y2＝1化为，∴a2＝，b2＝，∴c＝＝＝∴椭圆的焦点坐标为（0，±）．故选：A．5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如图扇形统计图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入略有增加B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入不变D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，通过选项逐一分析即可解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，对于A，建设后种植收入为37%×2a＝74%a＞60%a，略有增加，故A正确；对于B，建设后其他收入为5%×2a＝10%a＞4%，增加了一倍以上，故B正确；对于C，建设后养殖收入为30%×2a＝60%a，而建设前，养殖收入为30%a，明显增加，故C错；对于D，建设后，种植收入占比为37%＜60%，明显下降，故D正确，故选：C．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长七尺，竹长三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为7，3，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】模拟程序的运行过程，即可得出输出n的值．解：模拟程序的运行过程，如下；输入a＝7，b＝3，则n＝1，a＝7+＝，b＝3+6＝9，a＞b，n＝2，a＝+＝，b＝9+18＝27，a≤b；输出n＝2．故选：A．7．圆C：（x+m）2+（y﹣1）2＝2上总存在两个不同点关于直线2x﹣y+3＝0对称，则实数m 等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】因为圆上两点关于直线2x﹣y+3＝0对称，所以直线2x﹣y+3＝0过圆心（﹣m，1），由此可求出m的值．解：因为圆上两点关于直线2x﹣y+3＝0对称，所以直线2x﹣y+3＝0过圆心（﹣m，1），从而﹣2m﹣1+3＝0，即﹣2m＝﹣2，所以m＝1，故选：C．8．不等式成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣2＜x＜1 B．﹣2≤x＜1 C．﹣2≤x≤1 D．x＜﹣2【分析】解不等式，得﹣2≤x＜1．由此能求出不等式成立的一个必要不充分条件．解：∵，∴≤0，解得﹣2≤x＜1．∴不等式成立的一个必要不充分条件是﹣2≤x≤1．故选：C．9．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成，在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为P，则P等于（）A．B．C．D．【分析】设四分之一圆的半径为r，求出A区域的面积为S A＝r2以及阴影部分及整个的面积，再代入几何概型计算公式求解即可．解：设四分之一圆的半径为r，则A区域的面积为S A＝，M+阴影区域的面积为S M+阴影＝π＝r2π，S阴影＝πr2﹣S A＝πr2﹣r2；∴在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率P＝＝＝．故选：B．10．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以F为圆心的圆与一条渐近线交于A，B两点，，相交弦AB长为b，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y＝x，即bx﹣ay＝0，以F为圆心的圆与一条渐近线交于A，B两点，，相交弦AB长为b，∴焦点到渐近线的距离d＝b，所以a＝b，平方得a2＝b2＝c2﹣a2，离心率e＝＝，故选：D．11．已知M，N分别是圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2＝1与圆C2：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1上的两个动点，点P是直线x﹣y＝0上的任意一点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．B．C．6 D．4【分析】画出图形，根据对称性，观察可知当M，P，N′三点共线时距离最小，进而得解．解：圆C2：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1关于直线x﹣y＝0对称的曲线，点N关于直线x﹣y＝0对称的点N′在圆上，则有|PN|＝|PN′|，故|PM|+|PN|＝|PM|+|PN′|，显然当M，P，N′三点共线时，距离和最小，从而转化为求M，N′两点距离的最小值，显然．故选：D．12．已知函数f（x）＝x2﹣2x+2，g（x）＝log4x+t，对使得f（x1）＝g（x2），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[，+∞）C．（0，）D．[0，]【分析】对∀x1∈[0，2]，∃x2∈[，16]，使得f（x1）＝g（x2），等价于x∈[0，2]时f（x）的值域为g（x）值域的子集，利用单调性求得两函数的值域，由集合的包含关系可得不等式，解出即可．解：根据二次函数的性质可知，f（x）＝x2﹣2x+2在[0，2]上先减后增，当x＝1时，函数取得最小值1，当x＝0或x＝2时，函数取得最大值2，故函数f（x）的值域A＝[1，2]，由g（x）＝log4x+t，x可得，g（x）∈[t﹣，t+2]，若对使得f（x1）＝g（x2），则[1，2]⊆[t﹣，t+2]，即，解可得，0．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷相应区域，答案写在试题卷上无效.13．掷一颗骰子，记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量，则向量与共线的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×6＝36，向量，利用列举法求出向量与共线包含的基本事件（m，n）有3 个，由此能求出向量与共线的概率．解：掷一颗骰子，记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，基本事件总数N＝6×6＝36，向量，则向量与共线包含的基本事件（m，n）有：（2，1），（4，2），（6，3），共3 个，∴向量与共线的概率为p＝．故答案为：．14．方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）【分析】利用双曲线的性质直接求解．解：∵方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线，∴，解得m＜﹣1．∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．15．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣1＝0，则圆C1与圆C2的公切线有 3 条【分析】根据题意，分析两个圆的圆心以及半径，进而分析可得两圆外切，由圆与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝4，其圆心C1为（﹣1，2），半径r1＝2，圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣1＝0，即（x﹣2）2+（y+2）2＝9，其圆心C2为（2，﹣2），半径r2＝3，两圆的圆心距|C1C2|＝＝5＝r1+r2，两圆外切，则圆C1与圆C2的公切线有3条；故答案为：316．命题“∃x∈（﹣1，2），有+1≥0成立”是假命题，则实数m的取值范围是[，+∞）【分析】写出特称命题的否定，把“∀x∈（﹣1，2），有+1＜0成立”是真命题，转化为∀t∈（，2），t2﹣mt+1＜0是真命题，进一步得到关于m的不等式组求解．解：命题“∃x∈（﹣1，2），有+1≥0成立”是假命题，则命题“∀x∈（﹣1，2），有+1＜0成立”是真命题，令（＜t＜2），即∀t∈（，2），t2﹣mt+1＜0是真命题．∴，解得m≥．∴实数m的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，答案写在试题卷上无效.17．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式．（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a．（a＞0）．q：实数x满足不等式．解得：2＜x＜8．（1）当a＝1时，p：1＜x＜3．根据p∧q为真命题，p，q都为真命题，即可得出实数x 的取值范围．（2）￢q：x≤2，或x≥8．根据p是￢q的充分不必要条件，可得3a≤2或a≥8．解得实数a的取值范围．解：p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a（a＞0）．q：实数x满足不等式，解得：2＜x＜8．（1）当a＝1时，p：1＜x＜3，p∧q为真命题，p，q都为真命题，∴，解得2＜x＜3，∴实数x的取值范围是（2，3）．（2）￢q：x≤2，或x≥8．若p是￢q的充分不必要条件，则3a≤2或a≥8．解得：a≤或a≥8．∴实数a的取值范围是a≤或a≥8．18．十八届五中全会首次提出了绿色发展理念，将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念，某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2015年初至2019年初，该地区绿化面积y（单位：平方公里）的数据如表：年份2015 2016 2017 2018 2019年份代号x 1 2 3 4 5绿化面积y 2.8 3.5 4.3 4.7 5.2（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年初的绿化面积．（参考公式：线性回归方程：＝x，＝＝，其中为数据平均数）【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝11求得y值得答案．解：（1），，＝＝＝0.6，．∴y关于x的线性回归方程为；（2）在中，取x＝11，得．∴预测该地区2025年初的绿化面积为8.9平方公里．19．某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在[165，185]，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为[160，165），第2组成绩为[165，170），第3组成绩为[170，175），第4组成绩为[175，180），第5组成绩为[180，185），样本频率分布直方图如图：（1）估计全体考生成绩的中位数；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自同一组的概率．【分析】（1）由频率分布直方图求出[160，170）的频率为（0.01+0.07）×5＝0.4，[170，175）的频率为0.06×3＝0.3，由此能估计全体考生成绩的中位数．（2）在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，第3组抽到3名学生，第4组抽取2名学生，第5组抽到1名学生，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，基本事件总数n＝＝15，这2名学生均来自同一组包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出这2名学生均来自同一组的概率．解：（1）由频率分布直方图得：[160，170）的频率为（0.01+0.07）×5＝0.4，[170，175）的频率为0.06×3＝0.3，∴估计全体考生成绩的中位数为：170+＝．（2）在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，第3组抽到：6×＝3名学生，第4组抽取：6×＝2名学生，第5组抽到：6×＝1名学生，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，基本事件总数n＝＝15，这2名学生均来自同一组包含的基本事件个数m＝＝4，∴这2名学生均来自同一组的概率p＝．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2的周长为6，离心率等于．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点（4，0）的直线l交椭圆C于M、N两点，且OM⊥ON，求直线l的方程．【分析】本题第（1）题由题意可得，解出a、c的值，即可得到a2，b2的值，即可得到椭圆C的标准方程；第（2）题先设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣4）．然后联立直线与椭圆方程，化简整理可得一元二次方程，根据△＞0可初步判断k的取值范围，再根据韦达定理有x1+x2＝，x1•x2＝．依据题意OM⊥ON有•＝0，即有x1•x2+y1•y2＝0．代入可化简整理得到关于k的表达式，则可求得k的值，由此可得直线l的方程．解：（1）由题意，可得：，解得．∴a2＝4，c2＝1，b2＝3．∴椭圆C的标准方程为+＝1．（2）由题意，设M（x1，y1），N（x2，y2）．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣4）．联立，整理，得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．则△＝（32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＝﹣144（4k2﹣1）＞0．即4k2﹣1＜0，即﹣＜k＜．x1+x2＝，x1•x2＝．∵OM⊥ON，∴•＝0．又∵＝（x1，y1），＝（x2，y2）．∴x1•x2+y1•y2＝0．∵y1•y2＝k（x1﹣4）•k（x2﹣4）＝k2x1•x2﹣4k2（x1+x2）+16k2．∴x1•x2+y1•y2＝（k2+1）x1•x2﹣4k2（x1+x2）+16k2＝（k2+1）•﹣4k2•+16k2＝＝0．解得k＝±．∴直线l的方程为y＝±（x﹣4）．21．已知圆C过点A（﹣1，0）和点B（﹣3，2），且圆心C在直线2x﹣y+6＝0上．（1）求圆C的方程；（2）动点P在直线2x﹣y﹣2＝0上，从P点引圆C的两条切线，切点分别为M、N，求四边形PMCN面积的最小值．【分析】（1）依题意，设圆心坐标为（a，2a+6），半径为r，表示出圆的标准方程，根据题设条件，建立方程组，解出即可得到答案；（2）作图，由切线性质及点到直线的距离容易得到答案．解：（1）设圆心坐标为（a，2a+6），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a﹣6）2＝r2，又圆过点A（﹣1，0）和点B（﹣3，2），∴，解得，∴圆C的方程为（x+3）2+y2＝4；（2）由切线性质知，，而|PC|的最小值即为点C到直线2x﹣y﹣2＝0的距离，∴，∴，即四边形PMCN面积的最小值为．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C关于x轴对称，顶点为坐标原点，且经过点（2，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点Q（1，0）的直线交抛物线于M，N两点，是否存在定直线l：x＝a，使得l 上任意点P与点M，Q，N所成直线的斜率k PM，k PQ，k PN成等差数列，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．【分析】（1）设抛物线的方程，将点代入抛物线方程，即可求得p的值；（2）设直线MN的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理，直线的斜率公式和k PM+k PN＝2k PQ，可得（1﹣a）（1+a）＝（1+a）（1+my P），因此，存在当a＝﹣1时，使得l上任意点P与点M，Q，N所成直线的斜率k PM，k PQ，k PN成等差数列．解：（1）由题意可知设抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），由抛物线过（2，2），则4＝4p，即p＝1所以抛物线方程为y2＝2x；（2）存在直线x＝﹣1时，使得l上任意点P与点M，Q，N所成直线的斜率k PM，k PQ，k PN 成等差数列．理由如下：设直线MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），P（a，y P），联立方程组，消去x，整理得y2﹣2my﹣2＝0，所以y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，则x1+x2＝m（y1+y2）+2＝2m2+2，x1x2＝•＝1，由题意可知k PM+k PN＝2k PQ，即+＝，即＝，整理得＝，代入整理得（1﹣a）（1+a）＝（1+a）（1+my P），由无论m与y P取何值时，上式恒成立，因此，当1+a＝0，即a＝﹣1时，上式恒成立，所以存在直线x＝﹣1时，使得l上任意点P与点M，Q，N所成直线的斜率k PM，k PQ，k PN 成等差数列．。
安徽省安庆市第一中学高二数学上学期期末考试试题理(含解析)
安徽省安庆市第一中学高二数学上学期期末考试试题理（含解析）高二数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1．抛物线22y x =的焦点坐标是( )A ．1(0,)4 B ．1(0,)8 C ．1(,0)8 D ．1(,0)42．a ＝（1－t ，1－t ，t ），b ＝（2，t ，t ），则|b －a |的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为（ ） A ．x y 23±= B ．x y 3±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 4．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥5．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是 ( )．6 66 66．设F 1（－4，0），F 2（4，0）为定点，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是（ ）. A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 7．若直线y kx k =-交抛物线2y 4x =于A,B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则AB =( )A 、12B 、10C 、8D 、68．已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于( ) A ．24B ．48C ．50D ．569．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．2010．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于( )．A.44 C.2 D.211．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 22－y 25＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 24－y 23＝112．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（ ）A C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在答题卡的相应位置上）13．已知命题:p R x ∈∃，0122≤++ax ax ．若命题⌝p 是真命题，则实数a 的取值范围是 ．14．已知(2,1,2)a =-，(1,3,3)b =--，(13,6,)c λ=，若向量,,a b c 共面，则λ= ．15．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为 ．16．已知ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1AC ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |.其中正确命题的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知命题p ：实数m 满足227120m am a -+<(0)a >，命题q ：实数m 满足方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围． 18．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为3,0F -（）,且过点2,0D （）. （1）求该椭圆的标准方程；（2）设点），（211A ，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程. 19．（本小题满分12分）在边长是2的正方体ABCD -1111A B C D 中，,E F 分别为1,AB A C 的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.（1）求EF 的长；（2）证明：//EF 平面11AA D D ； （3）证明: EF ⊥平面1A CD .x zyCD 1A20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点)0,1(F 的距离与到定直线1:-=x l 的距离相等，记P 的轨迹为Γ,又直线AB 的一个方向向量)2,1(=d 且过点)0,1(，AB 与Γ交于B A 、两点，求||AB 的长．21．（本小题满分13分）如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AC BC =．O 为AB 的中点，OF EC ⊥． （1）求证：OE FC ⊥；（2）若32AC AB =时，求二面角F CE B --的余弦值． 22．（本小题满分13分）如图，椭圆221:14x C y +=，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于C 1的长半轴长. （1）求实数b 的值；（2）设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与C 1相交于点D 、E.①证明：0MD ME ⋅=②记△MAB ，△MDE 的面积分别是12,,S S 若12S S λ=，求λ的取值范围.参考答案1.C【解析】本题考查抛物线的标准方程与焦点坐标的求解.∵在抛物线y=2x2，即，∴p= ，= ，∴焦点坐标是 (0，)，故选C.【备注】求抛物线的焦点或准线方程通常先根据条件把抛物线化为标准方程,再利用相关公式即可得出结论.2.C【解析】本题主要考查空间向量的坐标运算与模.因为＝(1-t,1-t,t),＝(2,t,t),所以则,当t=时,||的最小值是,故选C.3.A【解析】本题主要考查椭圆与双曲线的简单几何性质.因为椭圆的离心率为,所以a=2c,则b2=3c2,所以双曲线方程可化为,解方程可得,即为双曲线的渐近线方程,故选A.4.D【解析】本题以真假命题的判定为载体考查逻辑联结词、全称命题、特称命题以及充分条件、必要条件的判定;若为真命题,则可能全真或一真一假,则不一定为真命题,故A错误;当成立,故B错误;命题“若,则或”的逆否命题为“若且,则”,故C错误;命题,使得,则,使得,故D正确;故选D.【备注】判断命题真假的关键:一是识别命题的构成形式;二是将命题简化或转化,对等价简化或转化的命题进行判断.等价转化的依据主要有:逆否命题与原命题等价,命题的否定与原命题真假性相反;要判断一个命题是假命题,只需举出反例.5.D【解析】本题主要考查异面直线所成的角、余弦定理.连接BC1,因为∠ACB＝90°,AA1＝2,AC ＝BC＝1,所以A1C1=1,AB=,A1B=,BC1=,因为AC∥A1C1,所以∠BA1C1异面直线A1B与AC所成的角或补角,在三角形A1BC1中,由余弦定理可得∠BA1C1=,故选D.6.D【解析】本题主要考查动点的轨迹.因为|MF1|＋|MF2|＝8=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段.7.C【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.直线y=kx-k恒过(1,0),恰好是抛物线y2=4x的焦点坐标,设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物y2=4x的线准线x=-1,线段AB中点到y轴的距离为3,x1+x2=6,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8,故选C.8.C【解析】由已知得|PF2|=|F1F2|=6,根据双曲线的定义可得|PF1|=10,在△F1PF2中,根据余弦定理可得cos∠F1PF2=,所以·=10×6×=50.9.D【解析】本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质.因为b＝4,离心率为,且a2=b2+c2,则a=5,c=3,由椭圆的定义可知,|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,则△ABF2的周长为20,故选D.10.A【解析】如图,作B1D⊥A1C1于D,连结AD.由于B1D⊥平面ACC1A1,则∠B1AD即AB1与侧面ACC1A1所成的角;由于侧棱长与底面边长相等,设其长为a,在直角三角形AB1D中,AB1=a,B1D=a,那么sin B1AD==.11.B【解析】本题主要考查双曲线方程.由题意可知c=,设双曲线的方程:,M(x1,y1),N(x2,y2),将y＝x-1代入双曲线方程,化简可得(b2-a2)x2-2a2x-a2-a2b2=0,由题意可得,又因为a2+b2=7,所以a2=2,b2=5,则此双曲线的方程是,故选B.12.C【解析】本题抛物线的简单几何性质、余弦定理、基本不等式,考查了计算能力.设,则,,∴===,当且仅当时,等号成立,故的最大值是.13.[0,1)【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.因为命题,所以命题,又因为命题¬是真命题,所以a=0或,解得.14.3【解析】本题主要考查共面定理.由题意可知,存在实数x、y使,则,解得.15.【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质、平分线定理.考查特殊情况,设双曲线的右顶点为A,当P A时,射线PT直线x=a，此时PM AO,即|PA|a,特别地,当P与A重合时，||=a,由,即,所以双曲线的离心率为.16.①③【解析】本题主要考查利用空间向量研究空间点线面的位置关系.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为＋＋=,则(＋＋)2＝32,即①正确;因为,且与不垂直,所以②)＝0不正确;利用向量的夹角公式易求证③正确;因为与垂直,所以·=0,因此|··|=0,则④错误.17.由,则,即命题由表示焦点在轴上椭圆可得:,∴,即命题,由是的充分不必要条件,则是的充分不必要条件,从而有:,∴.【解析】本题主要考查命题真假的判断、原命题与逆否命题的判断、充分条件与必要条件、一元二次不等式的解法、椭圆的标准方程.解不等式可得命题p;由椭圆的焦点在y轴上可得命题q, 由是的充分不必要条件,则是的充分不必要条件,求解可得结果.18.(1)由已知得椭圆的半长轴,半焦距,则半短轴.又椭圆的焦点在轴上,∴椭圆的标准方程为.(2)设线段的中点为,点的坐标是,由,得,由点在椭圆上,得,∴线段中点的轨迹方程是.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、中点坐标公式、点的轨迹.(1)根据题意,易知a、c的值,则可求得b的值,即可求得椭圆方程;(2) 设线段的中点为,点的坐标是,由中点坐标公式可得,求解,代入椭圆方程,化简可得点M的轨迹方程.19.(1)如图建立空间直角坐标系,所以.(2),而面,平面.(3),又,平面.【解析】本题主要考查利用空间向量证明线面平行与垂直、空间两点间的距离.(1)建立空间直角坐标系,求出,再求模即可;(2)求出,判断与共线,再利用线面平行的判定定理证明即可;(3)证明成立,再利用线面垂直的判定定理证明即可.20.由抛物线的定义知,动点的轨迹是抛物线,方程.直线的方程为,即.设代入,整理,得.所以.【解析】本题主要考查抛物线的定义与方程、平面向量的坐标表示、直线方程,考查了方程思想.由抛物线的定义知,动点的轨迹是抛物线,即可求得抛物线的方程,由题意,求出直线的方程,设联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理与抛物线的定义求的长.21.(1)证明:连结OC,因AC=BC,O是AB的中点,故.又因平面ABC平面ABEF,故平面ABEF,于是.又,所以平面OEC,所以,又因,故平面,所以.(2)由(1),得,不妨设,取EF的中点D,以O为原点,OC,OB,OD所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,则,则,从而设平面的法向量,同理可求得平面CEF的法向量,设平面FCE的法向量,由,得,同理可求得平面CEB的法向量,设的夹角为,则,由于二面角为钝二面角,则余弦值为.【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应用,考查了空间想象能力.(1)连结OC,由题意易得,进而可得平面ABEF,再证明平面,即可得结论;(2) 由(1),得,不妨设,取EF的中点D,以O为原点,OC,OB,OD所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,分别求出平面的一个法向量、平面CEB的一个法向量,设的夹角为,再利用公式求解即可.22.(1)由题意知:半长轴为2,则有.(2)①由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为,由得,设,则是上述方程的两个实根,于是.又点的坐标为,所以===,故,即,故②设的斜率为,则的方程为,由解得或,则点的坐标为,又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.于是,由得,解得或,则点的坐标为,又直线的斜率为,同理可得点的坐标,于是,因此,又由点的坐标可知,,平方后代入上式,所以故的取值范围为.【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、直线方程、平面向量的数量积、三角形的面积公式,考查了方程思想与计算能力.(1)根据椭圆方程易求a、b的值;(2)①由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为,设,由,利用根与系数的关系,计算可得结果;②设的斜率为,则的方程为,由解得点A的坐标,同理求出点B的坐标,由两点间的距离公式,结合三角形面积公式与条件进行求解.。
2019-2020学年安徽省安庆市高二(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年安徽省安庆市高二（上）期末数学试卷（理科）12小题，每小题 5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的B .新农村建设后，其他收入增加了一倍以上、选择题：本大题共1. （ 5分）命题“若 2x 3”的逆否命题是（A .若x 3，则 2xB .若 x 2 2x 3C •若x 3，则2xD .若x3，则 x 22x 3 0y 与x 有较好的线性相关关系,x3 4 5 6 7 y491014183.A . (5,11) （5分）将三进制数 A . 1000110(2)2（5分）椭圆C : 4x A . (0, A6B . (5,10)C . (6,11)2120（3）转化为二进制数，下列选项中正确的是 1000101(2) 1000100(2) (6,16)100101(2)23y 1的焦点坐标为 (-3,0) 6(0, 1)(1,0)（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好y 的取值如表所示，从散点图分析,2. （ 5分）实数x , 则y 关于x 的回归直线一定过点（ ）地了解该地区农村的经济收入变化情况， 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成C •新农村建设后，养殖收入不变D .新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降6.（ 5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长七尺，竹长 三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入数m 等于（ ）C . 12x 1 ,1成立的一个必要不充分条件是（x 1B . 2, x 19. （ 5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个 四分之一圆面组合而成， 阴影部分是两个图形叠加而成， 在此图内任取一点， 此点取自阴影C . 47. (5 分)圆 C:(xm)(y 21） 2上总存在两个不同点关于直线2x y 3 0对称，则实& （ 5分）不等式 n 等于（部分的概率记为P，则P等于（）二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷相应区域，答案写在试 题卷上无效•（5分）掷一颗骰子，记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为 n ，向量（m,n ）,, （2,1），则向量p 与q 共线的概率为 ____ •15（5分）已知圆 G : x 2 y 2x 4y 1 2 20，圆 C 2 : x y 4x 4y 1 0 ,则圆G 与圆C 2的公切线有 条16.（5分）命题“ x ( 1,2) ，有 1 m 2x 1…0成立”是假命题，则实数 m 的取值范围是_三、解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步B .22 210. (5分)已知双曲线C:二 2 1(a a buur uuuB 两点，OA 2 AB , 0,b 0）的右焦点为F （c,O ），以F 为圆心的圆与条渐近线交于A , 相交弦AB 长为b ，则双曲线的离心率等于 （）A •厘5C 」 211. （5分）已知MN 分别是圆G ：（x 23)2 2 (y 1)1 与圆 C2 :(x 1)(y 23） 1上的两个动点，点P 是直线 x y 0上的任意一点, |PM | | PN |的最小值为A . 2 .10 2B . 2、10C . 6 12. （5分）已知函数 2f (x) x 2xg(x)log 4 xt ，对 人[0,2],x 2 1［护6］使得f （x ） gX ），则实数 t 的取值范围是 A . (, 0]B . [2，C . (0,|)D . [0 ,（5分）方程x 22m^1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是2骤，答案写在试题卷上无效•17. （10分）已知p :实数x满足不等式（x a）（x 3a）0（a 0）, q :实数x满足不等式x 2x 1 log2x（1 ）当a 1时，p q为真命题，求实数x的取值范围;（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18. （12分）十八届五中全会首次提出了绿色发展理念，将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念，某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2015年初至2019年初，该地区绿化面积y （单位：平方公里）的数据如表：x;（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年初的绿化面积.n n(X i x)(y i y) X i y nxy（参考公式：线性回归方程：）? bx 召,l? i 1n i n ，其中x,y 为(X i x)2X i2 nx2i 1 i 1数据平均数）19. （12分）某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在［165 , 185］，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为［160 , 165），第2组成绩为［165 , 170），第3组成绩为［170 , 175），第4组成绩为［175 , 180），第5组成绩为［180 , 185），样本频率分布直方图如图：（1 ）估计全体考生成绩的中位数；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3, 4, 5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2 名学生均来自同一组的概率.20. (12分)已知椭圆C:冷爲1(a b 0)的左、右焦点分别为F l、F2，上顶点为A ,a b1△ AF1F2的周长为6，离心率等于•2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(4,0)的直线I交椭圆C于M、N两点，且OM ON，求直线I的方程.21. (12分)已知圆C过点A( 1,0)和点B( 3,2)，且圆心C在直线2x y 6 0上.(1)求圆C的方程；(2)动点P在直线2x y 2 0上，从P点引圆C的两条切线，切点分别为M、N，求四边形PMCN面积的最小值.22. (12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C关于x轴对称，顶点为坐标原点，且经过点(2,2).(1 )求抛物线C的标准方程；(2)过点Q(1,0)的直线交抛物线于M , N两点，是否存在定直线l : x a ,使得I上任意点P与点M , Q , N所成直线的斜率k pM , k pQ , k pN成等差数列，若存在，求出直线I的方程，若不存在，说明理由.第5页(共18页)2019-2020学年安徽省安庆市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析12小题，每小题 5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2x 2x 3 0 ； 故选：D .样本点的中心为（5,11）.y 关于x 的回归直线一定过点（5,11）. 故选：A .3. （ 5分）将三进制数2120（3）转化为二进制数，下列选项中正确的是 【解答】解：s :先把三进制数化为十进制数: 3 2 1 02120 （3） 2 31 323 0 3 69 .S,:再把十进制数化为二进制数： 69 2 34 1 34 2 17A .若x 3，则 x 22x 3 0 B .若 2x2x 3 0 ,贝U x3 C .若x 3，则 x 2 2x 3 0 D .若 x 3 , 则 x 2 2x 3 0【解答】解:根据题意,命题右x 22x 30，则 x 3 ”的逆否命题是“若 x 3，则1. （ 5分）命题“若 3”的逆否命题是（0 ,则x2x 3 )2x则y 关于x 的回归直线一定过点（)2. （ 5分）实数x , y 的取值如表所示，从散点图分析,、选择题：本大题共 y 与x 有较好的线性相关关系,A . (5,11)B . (5,10)C . (6,11)D . (6,16)【解答】解：由已知表格可得， x4 9 10 14 1811 .A . 1000110(2)B . 1000101(2)C . 1000100(2)D . 100101(2)17 2 8 1。
2019-2020年高二上学期期末考试理科数学含答案.docx
2019-2020 年高二上学期期末考试理科数学含答案注意事项：1.答题前，请先将自己的姓名、考场、考号在卷首的相应位置填写清楚；2.选择题答案涂在答题卡上，非选择题用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） .1．在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a,b, c ，且 a 3b sin A ，则 sin BA.3B. 6C.3D.63332．抛物线 yx 2 焦点坐标是A ． ( 1，0)B ． ( 1 ， 0)C ． (0,1 ) D ． (0, 1 )44443．“ x 1”是“ x 2x ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．椭圆x 2y 21与双曲线x 2y 2 1有相同的焦点，则 a 的值是4 aa21B ．1 或－ 2C ．1 或1 D ． 1A ．225．若 A (x,5x,2 x1) ， B (1,x 2, x) ，当 AB 取最小值时，x 的值为A ．6B ．3C ．2D ． 16．下列命题中为真命题的是①“若 x 2y 2 0 ，则 x, y 不全为零” 的否命题； ②“等腰三角形都相似” 的逆命题； ③“若m1，则不等式x 2 2x m 0 的解集为”的逆否命题。
RA ．①B ．①③C ．②③D ．①②③7. 设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列，其公比为2，则2a 1 a 2 的值为2a 3 a 4A ． 1B ．1112C ．D ．488．设 A 是△ ABC 中的最小角，且cos Aa 1 ，则实数 a 的取值范围是a 1A ． a ≥ 3B ． a ＞－ 1C ．－ 1＜ a ≤ 3D ． a ＞ 09．已知方程 ax 2by 2 ab 和ax by c 0(其中 ab0, a b, c 0) ，它们所表示的曲线可能是A ．B ．C ．D ．10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 1B 1C 1 D 1 中， M 和 N 分别为 A 1B 1 和 BB 1 的中点，那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值是2 3 10 2 A ．B ．C ．D ．5510511. 正方体 ABCD - A 1 B 1C 1D 1 中， BB 1 与平面 ACD 1 所成角的余弦值为A ．23 2 63B ．C ．D ．33312. 椭圆 x2y 21上有两点 P 、Q ，O 为原点，若 OP 、 OQ 斜率之积为1 ，16 4422则 OPOQ为A . 4B. 20C. 64D. 不确定2011—2012 学年度上学期期末模块质量调研试题高二（理）数学2012. 1第II 卷综合题（共90 分）题号二17 18 19 202122总分得分二、填空题 ：（本大题共 4 小题，每小题13．已知命题 p : xR ， sin x 1 ，则4 分，共 16 分．把正确答案填在题中横线上）p ： ____________.x2y21的离心率为 3 ，则两条渐近线的方程为________________. 14．若双曲线2b2a15．等差数列{a n}的前 n 项和为 S n,且a4a2 8 ， a3 a526.记T n S n，如果存在正整2n，T n M 都成立.则M的最小值是n数 M，使得对一切正整数.x y 5 016．若不等式组y a表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_______.0x2三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）在△ ABC 中，a,b, c分别为角 A，B， C所对的三边，a2(b c)2bc,（I）求角 A；（II）若b c 2，求 b 的值. sin B18．（本小题满分 12 分）设 { a} 是等差数列， {b } 是各项都为正数的等比数列，且a b 1 ， b1 b2a2，n n11b3是 a1与 a4的等差中项。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理科)附解答
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，，，则A. B. 0， C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.已知数列中，，则A. 4B. 9C. 12D. 13【答案】D【解析】解：数列中，，则．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：，其焦点在x轴上，若，，则，则椭圆的方程为；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.若向量，，则A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】解：向量，，0，，．故选：D．利用向量坐标运算法则求解0，，由此能求出的值．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．5.设a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：若，，不等式等价为，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立．若，当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即．当，时，．当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即即必要性成立，综上“”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．6.若x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：x，y满足的区域如图：设，则，当此直线经过时z最小，所以z的最小值为；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由于抛物线上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线的准线为，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设是等差数列的前n项和，若，，则A. B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，化为：，解得．则．故选：D．设等差数列的公差为d，根据，，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.下列各组两个向量中，平行的一组向量是A. ，2，B. ，1，C. ，1，D. ，【答案】B【解析】解：在A中，，2，，，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，，1，，，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，1，，，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，，，，故D中两个向量不平行，故D错误．故选：B．利用向量平行的性质直接求解．本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，，，则的面积是A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】解：的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，利用正弦定理得：，整理得：，由于：，所以：，由于：，则：．由于：，，则：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：双曲线C：的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，，，，，在三角形中，由余弦定理可得，，即，即，，故选：C．先根据点到直线的距离求出，再求出，在三角形中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12.已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，由，可得，0，，1，，则，0，，设平面PAB的法向量为y，，由，且，可得，且，可取，而平面ABCD的法向量为0，，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为．故选：B．以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为y，，由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为0，，运用两个向量的夹角公式计算可得所求值．本题考查平面和平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列中，，，则______．【答案】【解析】解：等比数列中，，，，解得，．故答案为：．由等比数列中，，，得到，由此能求出．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知，，，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：当且仅当，时取等故答案为：8先变形：，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.已知，1，，则，______．【答案】【解析】解：，1，，，．故答案为：．利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设，若时均有成立，则______．【答案】【解析】解：若，则当时，，由二次函数的性质可知，不等式不可能在时恒成立，故当时不可能都有成立，故，故当时，，当时，，当时均有成立，故当时，，当时，，故是方程的实数根，故，解得：舍或，综上：，故答案为：．通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出，进而得到是方程的实数根，求出a的值即可．本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式【答案】解：当时，不等式化为，；分当时，原不等式化为，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或；分综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．【解析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当时，把代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．18.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为，直线l交椭圆于A，B 两个不同点．求椭圆的方程；求m的取值范围．【答案】解：设椭圆方程为则分解得，分椭圆方程为；分直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又，的方程为：由直线方程代入椭圆方程，分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，，分解得，且分【解析】设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.设数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：，当时，，得，，时，得，，符合上式．数列的通项公式为；，，得．．【解析】由求得，验证成立后得数列的通项公式；把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前n项和．本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．求A的大小；若，求．【答案】解：，可得：，可得：，解得：，，，，．，．由可得：，，由三角形的面积公式可得：．【解析】由已知利用余弦定理可求，，联立解得，，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求A的值．由已知及可得：，，由三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算了和转化思想，属于中档题．21.如图，已知四棱锥，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点．Ⅰ证明：平面PAB；Ⅱ求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，为PD的中点，，在四边形ABCD中，，，F为中点，，平面平面ABP，平面EFC，平面PAB．解：Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，，，推导出四边形BCDF为矩形，，平面PBF，又，平面PBF，，设，由，得，，，，又平面PBF，，平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面PBC的距离为，在中，由余弦定理得，设直线CE与平面PBC所成角为，则．【解析】Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，推导出，，从而平面平面ABP，由此能证明平面PAB．Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而，进而平面PBF，由，得，再求出，由此能求出．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．22.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由题意可设椭圆方程为，由得，所以，椭圆方程为分由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，则由，消去y得．，且，．分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即分由于直线OQ的斜率存在，且，得且．设d为点O到直线l的距离，则，所以的取值范围为分【解析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出面积，即可求出面积的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。
2019-2020学年安徽省安庆市高二上学期期末教学质量监测数学(理)试题
安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测高二数学（理科）试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“若0322=--x x ，则3=x ”的逆否命题是A.若3x =，则2230x x --=B.若0322≠--x x ，则3≠xC.若3≠x ，则2230x x --=D.若3≠x ，则0322≠--x x 2.实数y x ,的取值如下表所示，从散点图分析，y 与x 有较好的线性相关关系，则y 关于x 的回归直线一定过点A.()166，B.()116，C.()105，D.()11,53.将三进制数()32120转化为二进制数，下列选项中正确的是 A.()21000110B.()21000101 C .()21000100 D.()21001014.椭圆134:22=+y x C 的焦点坐标为A. )63,0(±B.)0,63(± C.)1,0(± D.)0,1(±5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形统计图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确．．．的是 A.新农村建设后，种植收入略有增加. B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上. C.新农村建设后，养殖收入不变.D.新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降. 6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问 题：松长七尺，竹长三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日 而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的b a ,分 别为7，3，则输出的n 等于A.2B.3C.4D.57.圆()()2122=-++y m x C ：上总存在两个不同点关于直线032=+-y x 对称，则 实数m 等于A.-1B.0C.1D.28.不等式1112≤-+x x 成立的一个必要不充分条件是 A.12<<-x B.12<≤-x C.12≤≤-x D.2-<x9.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成.在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为P ，则P 等于 A.21-+ππ B.22-+ππ C.423-2+ππ D.425-2+ππ 10.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为()0,c F ，以F 为圆心的圆与一条渐近线交于B A 、两点，AB OA 2=,相交弦AB 长为b ，则双曲线的离心率等于A.529 B.313 C.25 D.211.已知M 、N 分别是圆()()113221=-++y x C ：与圆()()131222=-+-y x C ：上的两 个动点，点P 是直线0=-y x 上的任意一点，则PN PM +的最小值为 A.2102- B.102 C.6 D.412.已知函数()222+-=x x x f ，()4log g x x t =+，对[]2,01∈∀x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃16,212x 使得()()21x g x f =，则实数t 的取值范围A.(]0,∞-B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23C.⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0 D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷的相应区域，答案写在．．．．试题卷上无效．．．．．．。
2019-2020学年安徽省安庆市高二上学期期末数学(理)试题
2019-2020学年安徽省安庆市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．命题“若2230x x --=，则3x =”的逆否命题是（ ） A ．若3x =，则2230x x --= B ．若2230x x --≠，则3x ≠ C ．若3x ≠，则2230x x --= D ．若3x ≠，则2230x x --≠【答案】D把条件与结论位置互换并都进行否定． 解：命题“若2230x x --=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”， 故选：D ． 点评：本题考查逆否命题，属于基础题．2．实数,x y 的取值如下表所示，从散点图分析，y 与x 有较好的线性相关关系，则y 关于x 的回归直线一定过点（ ）A ．(616)，B ．(611)，C ．(510)，D ．(5,11)【答案】D求出,x y ，由回归直线过点(,x y )求解． 解： 由题意3456755x ++++==，49101418115y ++++==，回归直线一定过中心点(5,11). 故选：D ． 点评：本题主要考查两个变量的相关关系，回归直线一定过中心点(),x y ， 3．将三进制数()32120转化为二进制数，下列选项中正确的是（ ）A ．()21000110B ．()21000101C ．()21000100D ．()2100101【答案】B先把三进制数化为十进制，再由十进制化为二进制． 解：()323212023132369=⨯+⨯+⨯=，69÷2＝34...1 34÷2＝17...0 17÷2＝8...1 8÷2＝4...0 4÷2＝2...0 2÷2＝1...0 1÷2＝0 (1)故：69（10）＝1000101 （2）故：2120（3）＝69（10）＝1000101 （2）， 故选：B ． 点评：本题考查进位制之间的相互转化．掌握进位制之间的关系是解题关键． 4．椭圆22:431C x y +=的焦点坐标为（ ）A ．(0,)6±B．(6±C ．(0,1)±D ．(1,0)±【答案】A化方程为椭圆的标准方程，然后可得,a b ，从而求得c ，得焦点坐标． 解：椭圆的标准方程为2211134y x +=，213a =，214b =，6c =，而焦点在y 轴上， 故选：A 点评：本题考查椭圆的性质，掌握椭圆标准方程是解题关键．5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形统计图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确．．．的是（）A．新农村建设后，种植收入略有增加．B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上．C．新农村建设后，养殖收入不变．D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降．【答案】C设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，通过选项逐一分析即可解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，对于A，建设后种植收入为37%×2a＝74%a＞60%a，略有增加，故A正确；对于B，建设后其他收入为5%×2a＝10%a＞4%，增加了一倍以上，故B正确；对于C，建设后养殖收入为30%×2a＝60%a，而建设前，养殖收入为30%a，明显增加，故C错；对于D，建设后，种植收入占比为37%＜60%，明显下降，故D正确，故选：C．点评：本题考查统计知识，考查统计图表的认识，认真阅读题意是解题关键．题中有新农村建设后经济收入增加了一倍，即收入总量翻番了，即使所占比例相同，但收入也翻番了．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长七尺，竹长三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为7，3，则输出的n等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B模拟程序运行，观察变量值的变化可得． 解：当7,3a b ==可得：211,,62n a b ===，不满足条件a b ≤，执行循环体， 632,,124n a b ===，不满足条件a b ≤，执行循环体，1893,,248n a b ===，满足条件a b ≤，退出循环体，输出3n =， 故选：B ． 点评：本题考查程序框图，考查循环结构，解题模拟运行即可得结论．7．圆()()22:12C x m y ++-=上总存在两个不同点关于直线230x y -+=对称，则实数m 等于（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】C由圆心在已知直线230x y -+=上可求解． 解：由条件知圆心(),1m -在直线230x y -+=上，即2130m --+=，∴1m =． 故选：C ． 点评：本题考查圆的对称性．经过圆心的所有直线都是圆的对称轴，圆的对称轴一定经过圆心．8．不等式2111x x +≤-成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．21x -<< B ．21x-? C ．21x -≤≤ D ．2x <-【答案】C求出不等式的解集，根据集合的包含关系选择． 解：2111x x +≤-⇒201x x +≤-21x ⇒-≤<．由题意知21x -?是目标选项的真子集，故选：C ． 点评：本题主要考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件与集合包含关系的联系是解题关键．9．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成．在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为P ，则P 等于（ ）A ．12ππ-+ B ．22ππ-+ C ．2324ππ-+D ．2524ππ-+【答案】B设四分之一圆半径为R ，求出整个图形的面积和阴影部分面积后可求概率． 解：由题意，设四分之一圆的半径为R ，则半圆的半径为22R ， 整个图形面积222112222222R S S S R R ππ∆⎛⎫+=+=+⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭总半圆阴影部分的面积2221124222R S R R ππ-=-=⨯阴影， 由几何概型知，2222222222R S P R S ππππ-⨯-===++⨯阴影总， 故选：B ．点评：本题主要考查几何概型．属于基础题．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(c,0)F ，以F 为圆心的圆与一条渐近线交于A 、B 两点，2OA AB =u u u r u u u r,相交弦AB 长为b ，则双曲线的离心率等于（ ） A ．295B ．133C ．5 D ．2【答案】A不妨取一三象限的渐近线，作FC AB ⊥于C ，则C 是AB 中点．把OC 且两种不同方法表示得,,a b c 的关系式后可求得离心率． 解：本题主要考查双曲线的几何性质．F 点到渐近线0bx ay -=的距离22bc d b a b==+，因为2OA AB =u u u ru u u r，且AB b =，所以2OA b =， 作FC AB ⊥于C ，则C 是AB 中点． 又22OC c b a =-=，所以2bOA a =-， 从而22b a b -=，即52b a =，29b c = 离心率29c e a ==故选：A ． 点评：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是寻找到关于,,a b c 的等式．本题中通过取AB中点C ，用两种不同方法表示出OC 得到一个等式．11．已知M 、N 分别是圆()()221:311C x y ++-=与圆()()222:131C x y -+-=上的两个动点，点P 是直线0x y -=上的任意一点，则PM PN +的最小值为（ ） A ．2102- B ．210C ．6D ．4【答案】D求出圆2C 关于直线0x y -=对称圆2C '的方程，N 点关于直线0x y -=的对称点N '在圆2C '上，||||PN PN ='， PM PN PM PN +=+'，而PM PN +'要取最小，则三点共线即可．MN '的最小值可通过12C C '求解． 解：圆2C 关于直线0x y -=对称的曲线()()222:311C x y '-+-=N 点关于直线0x y -=的对称点N '在圆2C '上，则有||||PN PN ='，故PM PN PM PN +=+' 当M ，P ，N '三点共线时，距离和最小． 从而转化成求M ，N '两点距离的最小值． 而12min 24MN C C ''=-=， 故选：D 点评：本题主要考查两圆上点的距离最值问题．由于一个动点在直线上，两圆在直线的一侧，因此把其中一圆关于直线对称，由对称圆来求解最小值．12．已知函数()222f x x x =-+，()4log g x x t =+，对[]10,2x ∀∈，21,162x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x =，则实数t 的取值范围（ ） A ．(],0-∞ B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D根据条件求出()f x 的值域A 和()g x 的值域B ，题意相当于A B ⊆，由此可得t 的范围． 解：2()(1)1f x x =-+，当[0,2]x ∈时，()[1,2]f x ∈，即()f x 值域为[1,2]A =，()4log g x x t =+是增函数，1[,16]2x ∈时，1()[,2]2g x t t ∈-+，即()g x 的值域为1[,2]2B t t =-+，∵对[]10,2x ∀∈，21,162x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x =，∴[]11,2,22t t ⎡⎤⊆-+⎢⎥⎣⎦，从而有11222t t ⎧-≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得302t ≤≤． 故选：D ． 点评：本题主要考查全称命题与特称命题的综合应用．解题关键是总量转化为两个函数的值域之间的包含关系．二、填空题13．掷一颗骰子两次，记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量(),p m n =u r ，()2,1q =r ，则向量p u r 与q r共线的概率为_______________．【答案】112. 首先求出向量p u r共有多少个，然后求出与q r 平行的向量有几个，再由概率公式计算概率．解：由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果，又由向量(),p m n =u r ，()2,1q =r 共线，即，即2m n =，满足这种条件的基本事件有：()2,1，()4,2，()6,3共有3种结果，所以向量p u r 与q r 共线的概率为313612P ==．故答案为：112． 点评：本题考查古典概型．关键是求出基本事件的个数．14．方程22112x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是_________________． 【答案】(),1-∞-.由10,20m m +<-<可得．也可化为双曲线的标准方程再得结论． 解：化成标准方程形式22121y x m m --=-+--，由2010m m -+>⎧⎨-->⎩ 可得1m <-，故(),1m ∈-∞-． 故答案为：(),1-∞-． 点评：本题主要考查双曲线的标准方程形式．掌握双曲线的标准方程是解题关键．15．已知圆1C ：222410x y x y ++-+=，圆2C ：224410x y x y +-+-=，则圆1C 与2C 的公切线有_______________条． 【答案】3.先判断两圆的位置关系，然后可得公切线条数． 解：()()221:124C x y ++-=，()()222:229C x y -++=，12125C C r r ==+，两圆外切，从而公切线有3条．故答案为：3. 点评：本题考查两圆的公切线，本质考查圆与圆的位置关系，属于基础题． 16．命题“(1,2)x ∃∈-，有11042xx m-+≥成立”是假命题，则实数m 的取值范围是________________． 【答案】17,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.写出原命题的否定，由这个否定是真命题求解．分离参数后转化为求函数最值． 解：由题意(1,2)x ∀∈-，不等式11042xx m-+<恒成立， 122x xm >+对()1,2x ∀∈-恒成立， 令()1()2,1,22xx f x x =+∈-，令2x t =，1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则1y t t=+，1,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，由对勾函数性质得1724y ≤<，从而174m ≥．故答案为：17,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．点评：本题考查由特称命题的真假求参数范围，在命题为假时可利用其否定命题为真命题求解．根据条件知道原命题的否定为真命题．三、解答题17．已知p ：实数x 满足不等式()()()300x a x a a --<>，q ：实数x 满足不等式2201log 3x x x -⎧>⎪+⎨⎪<⎩． （1）当1a =时，p q ∧为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,3x ∈；（2）[)20,8,3a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦.（1）分别解二次不等式和分式不等式得x 的范围，求它们的交集可得结论； （2）求出命题p 对应的集合A ，再求出q ⌝对应的集合B ，由A B ⊆可得a 的范围． 解：（1）当1a =时，p ：实数x 满足13x <<q ：x 满足0812x x x <<⎧⎨-⎩或，即x 满足28x <<；∵p q ∧为真命题，∴p 、q 都为真命题，于是有1328x x <<⎧⎨<<⎩，即23x <<，故()2,3x ∈．（2）记{}|3A x a x a =<<，{2B x x =≤，或}8x ≥ 由p 是q ⌝的充分不必要条件知A B ，从而有32a ≤或8a ≥ ,又0a >故[)20,8,3a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦点评：本题考查复合命题的真假，考查充分必要条件．掌握复合命题真值表、充分必要条件与集合包含关系是解题关键．18．十八届五中全会首次提出了绿色发展理念，将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念．某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2015年初至2019年初，该地区绿化面积y （单位：平方公里）的数据如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号x 1 2 3 4 5 绿化面积y 2.83.54.34.75.2（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年初的绿化面积．（参考公式：线性回归方程：y b x a ∧∧∧=+，()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx ∧====---==--∑∑∑∑，,x y 为数据平均数）【答案】（1）0.6 2.3y x ∧=+；（2）预测2025年初该地区绿化面积约为8.9平方公里． （1）根据所给数据，所给公式计算系数得回归直线方程； （2）11x =代入回归方程可估算结论． 解： （1）1234535x ++++==， 2.8 3.5 4.3 4.7 5.24.15y ++++==，511 2.82 3.55 5.267.5i ii x y==⨯+⨯++⨯=∑L ，52222112555i i x ==+++=∑L ，515221567.561.50.655455i iiiix y xybx x∧==--===--∑∑4.10.63 2.3a yb x∧∧=-=-⨯=从而回归方程为0.6 2.3y x∧=+；（2）到2025年初时，即11x=，解得0.611 2.38.9y∧=⨯+=故预测2025年初该地区绿化面积约为8.9平方公里．点评：本题考查线性回归直线方程，考查回归方程的应用．考查学生的运算求解能力．19．某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在[]160,185，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为[)160165,，第2组成绩为[)165170,，第3组成绩为[)170175,，第4组成绩为[)175,180，第5组成绩为[]180,185，样本频率分布直方图如下：（1）估计全体考生成绩的中位数；（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自同一组的概率．【答案】（1）17250；（2）415．（1）由频率分布直方图中把频率（矩形面积）等分的点对应的成绩为中位数．（2）由频率分布直方图中的频率求出从三组中各抽取的人数，并编号，用列举法写出任取2人的事件，并列出来自同一组的事件，计算个数后可求概率．解：（1）样本中位数为x，从频率分布直方图可知[)170,175x∈，从而有()00.050.351700.040.5x ++-⨯=，解得0172.50x = 故全体考生成绩的中位数约为17250．（2）记A 为事件“这两名学生均来自同一组”，用分层抽样第3组抽取2人，第4组抽取3人，第5组抽取1人， 记第3组学生为12,a a ，第4组学生为123,,b b b ，第5组学生为c ；从这6人中抽取2人有15种方法，分别为：()()()()()()()()()()()()()()()1211121312122232121312323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a c a b a b a b a c b b b b b c b b b c b c其中事件A 共有4种，为()()()()12121323,,,,,,,a a b b b b b b 由古典概型公式得()415P A =故这两名学生均来自同一组的概率为415． 点评：本题考查频率分布直方图，考查古典概型，解决古典概型的基本方法是列举法．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、,上顶点为A ，12AF F △的周长为6，离心率等于12． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()4,0的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，且OM ON ⊥,求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（250y --=50y +-=. （1）由12AF F △的周长为6，得226a c +=，再由离心率得12c a =，求得,a c 后可得b ，从而得椭圆标准方程；（2）设直线:4l x my =+交椭圆C 于()()1122,,,M x y N x y ，直线方程与椭圆方程联立并消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入OM ON ⊥所得12120x x y y +=中可求得m ，得直线方程． 解：（1）由条件知22612a c c e a +=⎧⎪⎨==⎪⎩可得：故椭圆的方程为22143x y +=（2）显然直线l 的斜率存在，且斜率不为0， 设直线:4l x my =+交椭圆C 于()()1122,,,M x y N x y由224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360m y my ⇒+++= 当()()2224434360m m ∆=-+⨯>时，有1222434m y y m +=-+，1223634y y m =+， 又条件OM ON ⊥可得，0OM ON ⋅=u u u u r u u u r,即12120x x y y +=从而有()()1212440my my y y +++=21212(1)4()160m y y m y y ++++=()2223624141603434mmm m m -+++=++ 解得2253m =，故3m =>0∆从而直线l 3530x y --=3530x y +-= 点评：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题中采取的是设而不求思想，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设出直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入题设中其他条件后求得相应参数．21．已知圆C 过点()1,0A -和点(3,2)B -,且圆心C 在直线260x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）动点P 在直线220x y --=上，从P 点引圆C 的两条切线，切点分别为M 、N ，求四边形PMCN 面积的最小值． 【答案】（1）()2234x y ++=；（2）4555． （1）求出线段AB 的中垂线方程，由AB 中垂线和已知直线相交求出圆心坐标，再求出半径可得圆的方程；（2）求出圆心C 到直线220x y --=的距离即为PC 的最小值，也即得所求四边形面积最小值． 解：（1）线段AB 的中垂线方程为：3y x =+由326y x y x =+⎧⎨=+⎩得圆心()30C -，圆C 的半径2r =从而圆C 的方程为()2234x y ++= （2）由切线性质知2PMCN PMC S S =，而12PMC S PM MC =⋅ 故122222PMCN PMC S S PM PM ==⨯⨯⨯= 2224PM PC MC PC =-=-PC 的最小值即为点C 到直线220x y --=的距离，点C 到直线220x y --=的距离d ==于是minPM==从而()minmin 2PMCN S PM==，故四边形PMCN ． 点评：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．掌握切线长公式是解题关键． 22．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 关于x 轴对称，顶点为坐标原点，且经过点()2,2．（1）求抛物线C 的标准方程；（2） 过点()1,0Q 的直线交抛物线于M 、N 两点．是否存在定直线:l x a =，使得l 上任意点P 与点M ，Q ，N 所成直线的斜率PM k ，PQ k ，PN k 成等差数列．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）22y x =；（2）存在定直线，:1l x =-. （1）设抛物线为22y px =，代入点的坐标可得；（2））假设存在直线:l x a =使得直线上的任意点(),P a t 有,,PM PQ PN k k k 成等差数列，设MN ：1x my =+交抛物线于()11,M x y 、()22,N x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得1212,y y y y +，计算11PM y t k x a -=-，22PN y t k x a -=-，1PQ t k a =-，并计算PM PN k k +，代入1212,y y y y +并化简，由2PM PN PQ k k k +=为恒成立的，可求得a ． 解：（1）由条件设抛物线为22y px =，而点()2,2在抛物线上，从而有1p =，故抛物线方程为22y x =（2）假设存在直线:l x a =使得直线上的任意点(),P a t 有,,PM PQ PN k k k 成等差数列， 由条件知直线MN 的斜率不等于0，设MN ：1x my =+交抛物线于()11,M x y 、()22,N x y ， 由212x my y x=+⎧⎨=⎩可得：2220y my --= 从而有12122,2y y m y y +==-11PM y t k x a -=-，22PN y t k x a -=-，1PQ t k a =- 1212PM PN y t y t k k x a x a --+=+--()()()()()()1212221212212111my y a mt y y a tm y y a m y y a +--+--=+-++- ()()()2222222121PM PN tm a m a tk k am a --+--+=-+-若,,PM PQ PN k k k 成等差数列，则2PM PN PQ k k k +=即()()()222222212121tm a m a tta am a --+--=--+- 化简有()2110a mt a ++-=从而有21010a a +=⎧⎨-=⎩，即1a =- 故存在定直线:1l x =-，使得l 上任意点P 与点M ，Q ，N 所成直线斜率成等差数列 点评：本题考查求抛物线方程，考查直线与抛物线相交问题，考查存在性问题．存在性问题属于探索性问题．解决探索性问题的注意事项,探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. 1当条件和结论不唯一时要分类讨论；2当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；3当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.。
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)带答案
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z 的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．68．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可．【解答】解：由log（x+2）＜0得x+2＞1，即x＞﹣1，则“x＞1”是“log（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】由题意可得a3+a5=14，进而可得a1+a7=a3+a5=14，而S7=，代入即可得答案．【解答】解：由题意可得a3+a5=14，由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14，故S7====49，故选C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．正确命题有①③．故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为cosA=，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，即cosA=，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由题意可知直线过圆心，可得3m+n=2，从而+=（+），展开后利用基本不等式可求答案．【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选A．【点评】该题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，变形+=（+）是解决本题的关键所在．10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面EFD所成角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，D为坐标原点．P（0，0，a），B（a，a，0），=（a，a，﹣a），又=（0，，），=0+=0，∴PB⊥DE．由已知DF⊥PB，又DF∩DE=D，∴PB⊥平面EFD，∴PB与平面EFD所成角为90°．故选：A．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）【分析】根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于20，因此G 的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．【解答】解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=4∴a=10，b==，可得椭圆的方程为∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为=1（y≠0）故选：D【点评】本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．【分析】⊥（﹣λ）⇔•（﹣λ）=0，解出即可得出．【解答】解：﹣λ=（﹣3+λ，2，1﹣4λ），∵⊥（﹣λ），∴•（﹣λ）=﹣3（﹣3+λ）+4+1﹣4λ=0，解得λ=2．∴向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．【分析】利用余弦定理，构建方程，根据解此三角形有两解，可得方程有两个不等的正根，从而可求x的取值范围【解答】解：由余弦定理可得：4=c2+x2﹣2cx×cos45°∴c2﹣xc+x2﹣4=0∵解此三角形有两解，∴方程有两个不等的正根∴△=2x2﹣4（x2﹣4）＞0，且x2﹣4＞0，x＞0∴x2﹣8＜0，且x2﹣4＞0，x＞0∴2＜x＜2故答案为：．【点评】本题重点考查余弦定理的运用，考查解三角形解的个数，解题的关键是利用余弦定理，构建方程，将解此三角形有两解，转化为方程有两个不等的正根．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．【分析】（1）设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，﹣），能求出双曲线方程．（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=．由此能求出•的值．【解答】解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，∵双曲线过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6，∴双曲线方程为=1．（2）∵点M（3，m）在此双曲线上，∴=1，解得m=．∴M（3，），或M（3，﹣），∵F 1（﹣2，0），，∴当M（3，）时，=（﹣2﹣3，﹣），=（，﹣），•=﹣12﹣6=0；当M（3，﹣）时，=（﹣2﹣3，），=（，），•=﹣12﹣6+6+9+3=0．故•=0．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。
2019-2020年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二上学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共17小题，每小题3分，共51分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．2．已知集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，则M∩N等于（）A．{2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，4，5}3．下列函数中，奇函数是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=log2x D．y=2x4．已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣ D．﹣5．y=cos（x∈R）的最小正周期是（）A．B．2πC．3πD．6π6．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出的结果是（）A．3 B．9 C．27 D．817．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣8．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．c﹣a＜c﹣b D．9．在平行四边形ABCD中， +等于（）A．B．C．D．||10．两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．重合11．已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为（）A．B．C． D．12．双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3） B．（3，0） C．（0，1） D．（1，0）13．抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）14．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.615．等轴双曲线的离心率是（）A．1 B．C．2 D．16．已知a∈R，则“a＞2”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）18．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是．19．计算log28+log2的值是．20．直线3x﹣y+1=0在y轴上的截距是．21．函数y=2x在[0，1]上的最小值为．22．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5﹣S4=3，则S9=．三、解答题（本大题共4个小题，第23、24、25题各8分，第26题10分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．已知函数y=（sinx+cosx）2（1）求它的最小正周期和最大值；（2）求它的递增区间．24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥BD1（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．25．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明函数f（x）为奇函数．26．已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=﹣1，过点（1，0）作倾斜角为的直线l交该抛物线于两点（x1，y1），B（x2，y2）．求（1）p的值；（2）弦长|AB|．2016-2017学年云南省昆明市黄冈实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共17小题，每小题3分，共51分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：A．2．已知集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，则M∩N等于（）A．{2}B．{2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，4，5}【考点】交集及其运算．【分析】由题意和交集的运算直接求出M∩N．【解答】解：因为集合M={1，2，3，4}，集合N={1，3，5}，所以M∩N={1，3}，故选：C．3．下列函数中，奇函数是（）A．y=x2 B．y=2x C．y=log2x D．y=2x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可．【解答】解：对于A是偶函数，对于B是奇函数，对于C、D是非奇非偶函数，故选：B．4．已知角α的终边经过点（﹣4，﹣3），那么tanα等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】直接由正切函数的定义得答案．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，﹣3），由正切函数的定义得：tanα=故选：A．5．y=cos（x∈R）的最小正周期是（）A．B．2πC．3πD．6π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期即可．【解答】解：y=cos（x∈R）∴函数f（x）的最小正周期T=；故选D．6．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出的结果是（）【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件a＞30，跳出循环，计算输出a的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a=3×1=3；第二次循环a=3×3=9；第三次循环a=3×9=27；第四次循环a=3×27=81，满足条件a＞30，跳出循环，输出a=81．故选：D．7．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=，故选：B．8．如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．﹣a＞﹣b C．c﹣a＜c﹣b D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．【解答】解：对于A，c≤0时，不成立，对于B，﹣a＜﹣b，对于C，根据不等式的性质，成立，对于D，a，b是负数时，不成立，故选：C．9．在平行四边形ABCD中， +等于（）【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的平行四边形法则即可得出．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴+=．故选；A．10．两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．重合【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由条件根据这两条直线的斜率互为负倒数，可得这两条直线垂直．【解答】解：两条直线x+2y+1=0与2x﹣y+1=0的斜率分别为﹣、2，它们的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，故选：B．11．已知直线的点斜式方程是，那么此直线的倾斜角为（）A．B．C． D．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】根据题意得直线的斜率k=﹣，从而得到倾斜角α满足tanα=﹣，结合倾斜角的取值范围，可得α．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα=﹣，∵α∈[0，π），∴α=，故选C．12．双曲线的一个焦点坐标是（）A．（0，3） B．（3，0） C．（0，1） D．（1，0）【考点】双曲线的简单性质．【分析】据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由c2=a2+b2，可得c 的值，又可以判断其焦点在x轴上，即可求得其焦点的坐标，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为，可得a=2，b=，则c=3，且其焦点在x轴上，则其焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），故选：B．13．抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】数形结合，注意抛物线方程中P的几何意义．【解答】解：抛物线y2=﹣8x开口向右，焦点在x轴的负半轴上，P=4，∴=2，故焦点坐标（﹣2，0），答案选B．14．椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，进而计算可得c的值，结合椭圆的几何性质可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：25x2+9y2=225，变形可得+=1，则其中a==5，b==3，则有c==4；故椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e==0.8；故选：B．15．等轴双曲线的离心率是（）A．1 B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】不妨设等轴双曲线的方程为：﹣=1，从而可求得其离心率．【解答】解：设等轴双曲线的方程为：﹣=1，则c=a，∴其离心率e==．故选B．16．已知a∈R，则“a＞2”是“a≥1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵集合A=（2，+∞）⊊B=[1，+∞），∴“a＞2”是“a≥1”的充分不必要条件，故选：A．17．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）18．命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”的否定是∀x∈R，使x2+2x+1≥0．【考点】命题的否定．【分析】根据命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x∈R，使x2+2x+1≥0．从而得到答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R使x2+2x+1＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0故答案为：∀x∈R，使x2+2x+1≥0．19．计算log28+log2的值是2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．【解答】解：因为==3﹣1=2．故答案为：2．20．直线3x﹣y+1=0在y轴上的截距是．【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线x﹣3y+1=0，令x=0，解得y即可得出．【解答】解：由直线x﹣3y+1=0，令x=0，解得y=．∴直线在y轴上的截距是．故答案为：21．函数y=2x在[0，1]上的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】分析函数y=2x在[0，1]上单调性，进而可得答案．【解答】解：函数y=2x在[0，1]上为增函数，故当x=0时，函数取最小值1，故答案为：122．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5﹣S4=3，则S9=27．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由数列性质得a5=S5﹣S4=3，由等差数列的通项公式及前n项和公式得S9==9a5，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∵S5﹣S4=3，∴a5=S5﹣S4=3，∴S9==9a5=27．故答案为：27．三、解答题（本大题共4个小题，第23、24、25题各8分，第26题10分，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．已知函数y=（sinx+cosx）2（1）求它的最小正周期和最大值；（2）求它的递增区间．【考点】二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．【分析】（1）由条件利用二倍角的正弦公式可得y=1+sin2x，再根据正弦函数的周期性性和最大值得出结论．（2）由条件根据正弦函数的单调性求得f（x）的递增区间．【解答】解：（1）∵y=（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x，∴函数的最1=2．小正周期为，y最大值=1+（2）由，k∈z，可得要求的递增区间是，k∈z．24．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（1）求证：AC⊥BD1（2）求异面直线AC与BC1所成角的大小．【考点】直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．【分析】（1）根据正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质加以证明，可得AC⊥BD1；（2）连结AD1、CD1，可证出四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．等边△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得异面直线AC与BC1所成角的大小．【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1；（2）连结AD1、CD1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．25．已知函数（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明函数f（x）为奇函数．【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．【分析】（1）由lg，得＞0，进而求出x的取值范围，得到答案．（2）证明f（﹣x）+f（x）=0，进而证明f（x）=﹣f（﹣x）得出答案【解答】（1）解：∵由lg，得出＞0，且1+x≠0∴有（1﹣x）＞0且（1+x）＞0或者（1﹣x）＜0且（1+x）＜0∵解得第一个不等式有﹣1＜x＜1，第二个不等式不存在∴函数的定义域{x|﹣1＜x＜1}（2）证明∵f（﹣x）+f（x）=lg+lg=lg1=0∴f（x）=﹣f（﹣x）∴函数f（x）为奇函数26．已知抛物线y2=2px的准线的方程为x=﹣1，过点（1，0）作倾斜角为的直线l交该抛物线于两点（x1，y1），B（x2，y2）．求（1）p的值；（2）弦长|AB|．【考点】抛物线的应用．【分析】（1）由准线的方程为x=﹣1可求p的值；（2）直线l：y=x﹣1，与y2=4x联立，利用抛物线过焦点的弦长公式|AB|=x1+x2+2=8．可求【解答】解：（1）由准线的方程为x=﹣1，可知：，即p=2（2）易得直线l：y=x﹣1，与y2=4x联立，消去x得y2﹣4y﹣4=0，y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴x1+x2=y1+y2+2=6，所以：弦长|AB|=8．2017年2月18日。
安徽省安庆市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
安庆一中2019~2020学年度第一学期高二年级期末考试数学学科（理科）考试试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列四个数中数值最小是（ ） A. (2)1111B. 16C. (7)23D. (3)1022.在ABC V 中，“B C ∠>∠”是“AC AB >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A.1636B.1736C.12D.19364.已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+必过 A. ()2,2B. ()1.5,4C. ()1,2D. ()1.5,05.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有1个白球”和“都是红球” B. “至少有2个白球”和“至多有1个红球” C. “恰有1个白球” 和“恰有2个白球”的D. “至多有1个白球”和“都是红球”6.过点P (3,﹣4)作圆(x ﹣1)2+y 2＝2的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ） A. x +2y ﹣2＝0B. x ﹣2y ﹣1＝0C. x ﹣2y ﹣2＝0D. x +2y +2＝07.若向量(1,0,)a z =v与向量(2,12)b =v ，的夹角的余弦值为23，则z = ( ) A. 0B. 1C. 1-D. 28.已知点()1,2A 在圆22230x y x y m ++++=外，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()13,-+∞B. 1313,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ()13,13,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭9.曲线1y =()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ） A. 34k ≥B. 35412k -≤<- C. 512k >D.53124k <≤ 10.已知双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线被圆C ：x 2+y 2﹣12x ＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. 2212016x y -=B. 2211620x y -=C. 2211224x y -=D. 2212412x y -=11.已知12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点，P 为椭圆上的点，O 为坐标原点，且120PF PF ⋅=u u u v u u u u v，123PF PF =u u u v u u u u v ，则该椭圆的离心率为（ ）A.5B.4C.3D.212.已知椭圆22143x y +=，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆C 上，设它的三边,,AB BC AC 中点分别为,,D E M ，且三边所在直线的斜率分别为123,,k k k （均不为0），O 为坐标原点，若直线,OE,OM OD 的斜率之和为1，则123111k k k ++=（ ） A. 43-B. 1813-C. 32-D. 3-二、填空题13.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，Q 是抛物线C 上一点且点Q 在第一象限，若||5QF =，则Q 点的坐标为__________．14.平面α的法向量u v=(x,1,-2),平面β的法向量v v =1-1,,2y ⎛⎫⎪⎝⎭,已知α∥β,则x+y=______. 15.已知菱形ABCD 的边长为4，ABC 150︒∠=，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率______.16.已知点()0,1A -是抛物线22x py=准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为______.三、解答题17.已知圆22:24200C x y x y +---=及直线l ：(21)(1)74()m x m y m m R +++=+∈(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程.18.某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；的.（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[]80,100的学生至少有1人被抽到的概率.19.已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<。