最新含参数不等式成立问题中参数范围的确定
含参数不等式成立问题中参数范围的确定含参数不等式成立问题中参数范围的确定一．恒成立问题（全称命题） 1．分离参数法例 1：（2009海南一模）设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=n an n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。
解析： 当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++xx x xxxn n n a a n n 11210121令()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xx x n n n x 1121 ϑ，只要对()x ϑ在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。
故我们可以利用函数的最值分离出参数a 。
解： 由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：()0121>+-+++a n n xxx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔xx x n n n a 1121 ，由指数函数单调性知上式右边的函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xx x n n n x 1121 ϑ的最大值是()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n 1211 ϑ＝()n -121故 a>()n -121温馨提示：适用题型；（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。
例 2：（2009东营一模）已知向量：0),32,(cos ),cos ,sin 2(2>==→→ωωωω其中向量x b x x a ， 函数→→⋅=b a x f )(，若)(x f 图象的相邻两对称轴间的距离为.π（1）求)(x f 的解析式；（2）若对任意实数]3,6[ππ∈x ，恒有2|)(|<-m x f 成立，求实数m 的取值范围.解：（1）)2cos 1(32sin )32,(cos )cos ,sin 2()(2x x x x x x f ωωωωω++=⋅=⋅= 3)32sin(2++=πωx∵相邻两对称轴的距离为21,222,=∴=∴ωπωππ3)3sin(2)(++=∴πx x f（2）]32,2[3],3,6[πππππ∈+∴∈x x 32)(32+≤≤∴x f ，又m x f m m x f +<<+-∴<-2)(2,2|)(|若对任意]3,6[ππ∈x ，恒有⎪⎩⎪⎨⎧+≥+≤+-<-322322,2|)(|m m m x f 则有成立解得3223+≤≤m例 3：（2009北京市一模）已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-，326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。
解：（Ⅰ）/2()32f x x ax =+∴/(1)31f b a ⎧=-⎨=+⎩， 解得32a b =-⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-== ∴()f x 的值域是[4,16]-（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2th x f x g x x t x x =-=-++-∈∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-（1）当[1,2)x ∈时226,2x t x x-≤- 解得1t ≤-； （2）当2x =时 t R ∈；（3）当(2,4]x ∈时2262x t x x-≥-解得8t ≥；综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；2 主参换位法例4：若对于任意a (]1,1-∈，函数()()a x a x x f 2442-+-=的值恒大于0，求x 的取值范围。
分析：此题若把它看成x 的二次函数，由于a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。
若视a 为主元，则给解题带来转机。
解： 设 ()()4422+-+-=x x a x a g ，把它看成关于a 的直线，由题意知，直线恒在横轴下方。
所以 ()01≥-g ()01>g解得： 1<x 或2=x 或3≥x例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式()122-<-x m x 恒成立，求实数m 的取值范围。
分析： 一般的思路是求x 的表达式，利用条件求m 的取值范围。
但求x 的表达式时，两边必须除以有关m 的式子，涉及对m 讨论，显得麻烦。
解： 若设()()()()()m x m x m x x f 212122-+-=---=，把它看成是关于x 的直线，由题意知直线恒在x 的轴的下方。
所以f f 解得： 521≤≤m 3 构建函数法 （1） 构造一次函数例6： 若对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++2222log 21log log 恒成立，求实数x 的取值范围。
解： 原不等式变形为()()01log 2log 1log 2222>+-+-x x x p ，现在考虑p 的一次函数：()()()1log 2log 1log 2222+-+-=x x x p p f∴ ()0>p f 在(]2,2-∈p 上恒成立()()()01log 2log 1log 222222>+-+--=-x x x f()()()01log 2log 1log 222222>+-+-=x x x f解得： 8>x 或210<<x∴ x 的取值范围为()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛,821,0注： 本题对于一切2≤p 不等式恒成立，因此应视p 为主元，视x 为参数，把不等式左边变成关于p 的一次函数型。
（2） 造二次函数例7： 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ，022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求实数m 的范围。
解： 原不等式变形为： 012sin 2sin 2<--+-m m θθ即 012sin 2sin 2>++-m m θθ令 t =θsin ，[]1,0∈t ∴ 01222>++-m mt t令()t f ＝1222++-m mt t∴ 题意为()t f >0在[]1,0∈t 上恒成立。
∴<1>+m11220≤⨯--≤m∆＝()22m-－4×1×(12+m)<01>122++mm>0解得：021<<-m或10≤≤m或1>m∴21->m，即 m的取值范围为：⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,214 数形结合法例8：若不等式0log32<-xxa在⎪⎭⎫⎝⎛∈31,0x内恒成立，求实数a的取值范围。
解析：由题意知：xxalog32<在⎪⎭⎫⎝⎛∈31,0x内恒成立。
在同一坐标系内分别作出23xy=和xyalog=的图象因为⎪⎭⎫⎝⎛∈31,0x时，xyalog=的图象位于函数23xy=的图象上方，当 a> 1时，显见不成立。
故 0<a<1 ①由图可知：xyalog=的图象必须过点⎪⎭⎫⎝⎛31,31或在这个点的上方，则：3131log≥a∴ 271≥a ② 由 ①，② 知 ：1271<≤a ∴ a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,271解析：对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象教容易作出的，可以考虑作出函数图象，用函数图象的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题，也非常容易得到意想不到的效果。
二存在问题（特称命题）例9（2009济宁一模）已知函数21()()ln ()2f x a x x a =-+∈R .（Ⅰ）当1a =时，0[1,]x e ∃∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； 解：（Ⅰ）当1a =时21()ln (0)2f x x x x =+>，1()f x x x'=+ 由[1,]x e ∈，()0f x '>得函数()f x 在区间[1,]e 为增函数，则当[1,]x e ∈时211()[,1]22f x e ∈+。
故要使0[1,]x e ∃∈使不等式0()f x m ≤成立，只需12m ≥即可。
例10（2009泰安一模）已知函数x e x x x f )33()(2+-=.)(,)2(),2](,2[n t f m f t t ==-->-设定义域为（I ）试确定t 的取值范围，使得函数],2[)(t x f -在上为单调函数； （II ）求证：m n >；（III ）求证：对于任意的),2(,20t x t -∈->总存在20)1(32)(,0-='t ex f x 满足，并确定这样的0x 的个数。
解：（I ）因为x x x e x x e x e x x x f ⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2 ……1分()010;()001,f x x x f x x ''>⇒><<⇒<<由或由()(,0),(1,),(0,1)3f x -∞+∞所以在上递增在上递减分()[2,],204f x t t --<≤欲在上为单调函数则分（II ）证：因为1)(,)1,0(,),1(),0,()(=+∞-∞x x f x f 在所以上递减在上递增在处取得极小值e 213(2),()[2,](2)f e f x f e-=<-+∞-又所以在上的最小值为 2,(2)(),7t f f t m n>--<<从而当时即分（III ）证：因为2020200200)1(32,)1(32)(,)(00-=--='-='t x x t ex f x x e x f x x 即为所以， 222222()(1),()(1)033g x x x t g x x x t =---=---=令从而问题转化为证明方程(2,),9t -在上有解并讨论解的个数分22222(2)6(1)(2)(4),()(1)(1)333g t t t g t t t t -=--=-+-=---因为1(2)(1),3t t =+-所以 ①当),2(0)(,0)()2(,124t x g t g g t t -=<⋅-<<->在所以时或上有解，且只有一解………………11分②当0)1(32)0(,0)(0)2(,412<--=>>-<<t g t g g t 但由于且时，所以),2(0)(t x g -=在上有解，且有两解③当),2(0)(,100)(,12t x g x x x x x g t -===⇒=-==在所以或时上有且只有一解；24,()6023,t g x x x x x ==--=⇒=-=当时或()0(2,4)13g x =-所以在上也只有一解分200()2,2,(2,),(1),3x f x t x t t e '>-∈-=-综上所述对于任意的总存在满足0421,;t t x ≥-<≤且当或时有唯一的适合题意 014,.14t x <<当时有两个适合题意分。
含有参数的不等式组解法
含有参数的不等式组解法一般来说，含有参数的不等式组的解法可以分为以下几步：第一步：确定参数的取值范围。
根据问题的条件或约束，找出参数可以取得的范围。
这通常需要对问题进行分析和推理。
第二步：将未知数用符号表示。
用一个字母（通常是x）表示不等式中的未知数。
第三步：将所有不等式整理成标准形式。
标准形式是指不等式两边都是关于x的多项式，并且不等号是"≥"或"≤"，而不是">"或"<"。
如果不等式中有分数、根式或绝对值等，可以通过一系列代数运算将其转化为标准形式。
第四步：通过分析求解。
根据参数的取值范围，可以分析出不等式中的未知数的取值范围。
进而，通过对不等式中两边同时进行一系列代数运算，可以推导出满足条件的解集。
第五步：对参数取值范围的讨论。
有时，不等式的解集对参数的取值范围有限制。
这时，需要根据参数的取值范围对解集进行讨论。
这通常需要对不等式进行分析和推导，以找出对应于不同参数取值范围的解集。
下面我们通过一个例子来说明含有参数的不等式组的解法。
例题：设0＜a＜b＜c，解不等式组：，x-a，+，x-b，+，x-c，≤a+b+c解法：首先，确定参数的取值范围。
由于0＜a＜b＜c，所以参数a、b、c 的取值范围是存在实数并满足0＜a＜b＜c的范围。
然后，将未知数用符号表示。
我们用x表示不等式中的未知数。
接下来，将不等式整理成标准形式。
由于不等式中已经是绝对值不等式的形式，所以不需要进行额外的变形。
然后，通过分析求解。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下三个不等式：1.当x≤a时，x-a，=a-x。
2.当a＜x≤b时，x-a，=x-a，x-b，=x-b。
3.当x＞b时，x-b，=x-b，x-c，=x-c。
将这三个不等式分别代入原始不等式，我们可以得到以下三个不等式：1.a-x+b-x+c-x≤a+b+c，即-3x+2b+c≤3a+2c。
含参不等式恒成立问题中求参数取值范围的几种常见方法
含参不等式恒成立问题中求参数取值范围的几种常见方法【摘要】：不等式是贯穿高中数学的一根主线，高考对不等式的考察注重与函数相结合.运用函数思想、分类讨论思想、数形结合等思想对问题予以解决，此类问题往往多出现在解答题中，而在某一小问中又多于含参不等式恒成立问题中求参数取值范围形式为主，对此本文就此类恒成立问题中出现的常见方法做出了简单地归纳总结.【关键词】：含参不等式恒成立构造函数法1.二次函数法例1.已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围.解：要使在上恒成立由一元二次函数的性质可知：或解得∴满足题意的实数的取值范围为评注：与二次函数有关恒成立问题通常采用数形结合的方法求解，一元二次不等式在上恒成立，一元二次不等式在上恒成立，不等式在给定区间上恒成立则2.分离变量构造函数法例2.已知函数. 求（1） 的最小值；（2）若对所有 ，恒成立，实数 的取值范围.解：（1）由题意 令 得列表如下：- 0 +极小值∴由上表得（2） 在 上恒成立即 在 上恒成立∴令列表如下：-0+极小值由表得∴实数的取值范围为评注：由不等式恒成立求解参数取值范围的问题也常采用分离参数求最值的方法予以解决，即要使恒成立，只需即可；要使恒成立，只需即可，但应参数便于分离，并且构造的函数便于求最值.3.直接构造函数法例3.(渭南市16级高三市一模)已知函数，设，当时，恒成立，求实数的取值范围.解：由题意得对任意的，恒成立设∴在上恒成立即当时，时，，∴在单调递减，故满足题意当时，当时，∴在单调递减，故也满足题意当时，若，即，在上递减，在上递增，故无最大值，不满足题意若，即，在上递增，无最大值，故也不满足题意综上所述：实数的取值范围为评注：在解决某些含参不等式恒成立问题时，若分离参数会遇到讨论的麻烦或参数容易分离但构造的函数的最值不易求出，此时也可直接构造函数，结合条件求其最值进而确定参数的取值范围.4.变换主元法例4.已知函数，若 .(1)当时，不等式恒成立，求的范围；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.解：(1)不等式变形为令函数要使，则由一次函数性质可知：解得的取值范围为：(2)∵∴∴不等式可化为又∵∴即的取值范围为评注：解决含参不等式恒成立问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题简化.解决不等式恒成立问题时，通常要借助于函数思想构造出适当的函数，利用函数的性质转化为求函数的最值来求解参数的取值范围.参考文献：[1] 黄艳珍.有关不等式恒成立问题的探析[J].考试(教研版):2008(01).[2] 顾冬梅.不等式恒成立问题的常用解法[J].新课程学习(基础教育):2010(01).[3] 朱峰.不等式恒成立问题中参数范围的求法[J].中学数学研究：2010（02）.。
如何求不等式恒成立的参数的取值范围
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
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2
在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，
则可利用分类讨论的思想来解决。
例 3、若 x 2, 2时，不等式 x2 ax 3 a 恒成立，求 a 的取值范围。
解：设 f x x2 ax 3 a ，则问题转化为当 x 2, 2时， f x的最小值非
之间的包含关系来求解，即：m, n f a, g a ，则 f a m 且 g a n ，
不等式的解即为实数 a 的取值范围。
例
5、当
x
解： 1 loga x 1
1 3
,
3
时，
loga
x
f x min
min
1 恒成立，求实数 a
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
不等式参数的取值范围解法技巧
不等式参数的取值范围解法技巧在数学中，不等式是用于比较两个数或表达一组数之间的关系的数学语句。
不等式参数的取值范围是指满足不等式条件的参数的取值范围。
在解决不等式问题时，了解并应用合适的解法技巧可以帮助我们更快地找到参数的取值范围。
本文将介绍一些常见的不等式解法技巧，并提供一些示例来帮助读者理解这些技巧的应用。
绝对值不等式绝对值不等式是指形如|x−a|≥b或|x−a|≤b的不等式，其中x是参数，a 和b是常数。
对于不等式|x−a|≥b，我们可以将其分解为两个不等式x−a≥b和x−a≤−b，分别求解这两个不等式得到的参数范围，再取并集即可。
示例：解不等式|x−3|≥2。
将不等式分解为两个不等式：x−3≥2和x−3≤−2。
对于x−3≥2，解得x≥5；对于x−3≤−2，解得x≤1。
取并集，得到参数x的取值范围为(−∞,1]∪[5,∞)。
一元二次不等式一元二次不等式是指形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c是常数，且a≠0。
对于一元二次不等式，可以通过求解相应的二次方程来找到参数的取值范围。
示例：解不等式x2−3x+2>0。
首先，我们需要找到二次方程x2−3x+2=0的解。
通过因式分解或求根公式可以得到解为x=1和x=2。
接下来，我们将二次方程的解点对应在数轴上，并选择一个测试点。
例如，我们可以选择x=0进行测试。
当x<1时，不等式x2−3x+2>0成立；当1<x<2时，不等式x2−3x+2<0成立；当x>2时，不等式x2−3x+2>0成立。
综上所述，参数x的取值范围为(−∞,1)∪(2,∞)。
分式不等式分式不等式是指形如f(x)g(x)>0或f(x)g(x)<0的不等式，其中f(x)和g(x)是多项式。
为了解决分式不等式，我们需要找到分子和分母的零点，然后确定分子和分母对应的区间，进而确定参数的取值范围。
求不等式(组)中参数的取值范围
求不等式(组)中参数的取值范围不等式组参数的取值范围需要通过解不等式来确定。
首先，将不等式组简化为单个不等式，然后使用数学方法求解，得到参数的取值范围。
如果不等式组包含多个参数，则需要对每个参数进行分别求解，并将结果合并，获得最终的参数取值范围。
需要注意的是，不等式组的解法和形式与方程组不同，需要灵活运用不等式的性质和规律。
不等式组参数的取值范围是数学中重要的研究内容，可以应用于许多实际问题，如优化问题、最优化问题等。
在求解参数取值范围时，需要考虑到实际问题中的约束条件和限制条件，将问题转化为数学模型，并通过不等式组的求解来获得最优解或可行解。
因此，不等式组的研究在数学中具有广泛的应用前景。
求不等式恒成立问题中参数的取值范围的“妙招”
思路探寻思路探寻式恒成立问题中参数的取值范围时，可将“数”与“形”结合起来，根据代数式的几何意义画出几何图形，借助图形来讨论不等式成立的条件，从而达到解题的目的.在研究图形时，要关注一些极端情形，以及临界的情形，如相交、相切等.例4.设x ∈[-4,0]，若不等式x (-4-x )<43x +1-a 恒成立，求a 的取值范围.解：设y 1=x (-4-x )，则(x +2)2+y 21=4(y 1≥0)，该式可表示是如图所示的上半圆.设y 2=43x +1-a ，其图象为直线.由图可知，要使不等式恒成立，需使半圆始终在直线的下方，即使圆心(-2,0)到直线4x -3y +3-3a =0的距离d =|-8+3-3a|5>2，且1-a >0，可得a <-5，即a 的取值范围为()-∞,-5.我们将y 1=x (-4-x )看作上半圆，将y 2=43x +1-a 看作一条直线，将问题转化为求使半圆恒在直线下方时的a 的取值范围.根据图形找出临界情形：圆与直线相切，求得此时a 的取值范围，即可解题.借助图象分析问题，不仅可以使解题变得更加简单，还会使解题思路更加明朗.四、分类讨论在求不等式恒成立问题中参数的取值范围时，经常要用到分类讨论法对参数进行分类讨论.在解题时，要首先明确参数对不等式的影响，确定分类的标准；然后分几类情况对问题进行讨论，求得每种情况下的结果；最后汇总所得的结果.例5.当x ∈[2,8]时，不等式log 2a -1x >-1恒成立，求a 的取值范围.解：（1）当2a 2-1>1时，由题意知12a 2-1<x 恒成立，即12a 2-1<x min ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1<2，解得a ∈(-∞,-1)⋃(1,+∞)；（2）当0<2a 2-1<1时，由题意知12a 2-1>x 恒成立，即12a 2-1>x max ；因为x ∈[2,8]，所以12a 2-1>8，解得a ∈(-34,-)⋃(34)；故a∈(-∞,-1)⋃(-34,-)⋃(34)⋃(1,+∞).根据对数函数的性质，可知需分2a 2-1>1和0<2a 2-1<1两种情况进行讨论，才能求得参数a 的取值范围.在进行分类讨论时，要有明确的讨论思路，逐层逐级进行讨论，避免出现遗漏或重复讨论某种情况.五、利用判别式在求二次不等式恒成立问题中参数的取值范围时，可把问题化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，用判别式法求解.一般地，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 恒大于0⇔ìíîa >0,Δ<0,f (x )=ax 2+bx +c 恒小于0⇔{a <0,Δ<0.据此建立关于参数的不等式，解该不等式即可求得参数的取值范围.例6.若不等式2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.解：因为4x 2+6x +3=(2x +32)2+34>0在R 上恒成立，所以2x 2+2mx +m4x 2+6x +3<1⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3⇔f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m >0；要使得f (x )恒大于0，需使Δ=(6-2m )2-8(3-m )<0，解得1<m <3，故实数m 的取值范围为m ∈(1,3).由于4x 2+6x +3>0在R 上恒成立，于是原问题可转化为一元二次函数f (x )=2x 2+(6-2m )x +3-m 在R 恒大于0的问题，由二次函数的图象可知当a >0时，Δ<0，用判别式法即可解题.虽然由恒成立的不等式求参数的取值范围问题较为复杂，但是同学们只要熟练掌握上述五种求解思路，明确其适用条件，根据解题需求选用合适的方法、思路进行求解，就能有效地提升解题的效率.本文系2021年度云南省教育科学规划单位资助课题“基于深度学习的高中数学课堂教学策略研究”（课题批准号:BE21028）阶段性研究成果.（作者单位：云南省曲靖市民族中学）53。
不等式组求参数范围的问题
不等式组求参数范围的问题标题：探究不等式组求参数范围的问题导言：不等式组是高中数学中的重要概念，其中涉及到参数范围的求解。
本文将从简单到复杂逐步介绍不等式组求参数范围的方法，并通过实例详细说明。
一、一元不等式求解1. 一元不等式的基本性质一元不等式中，如果两个数之间的关系保持不变，那么它们所代表的不等式的关系也保持不变。
根据这个性质，我们可以通过图像、试验法以及代数方法来求解一元不等式。
2. 一元不等式组的解法对于一元不等式组，我们可以使用代数方法进行求解。
将每个不等式都转化为标准形式，并确定每个不等式的解集。
通过对这些解集进行取交集或并集的方式，得到整个不等式组的解集。
二、二元不等式组求参数范围1. 二元不等式组的基本性质二元不等式组是由两个不等式组成的方程组。
为了求解二元不等式组中参数的范围，我们需要使用图像、试验法以及代数方法。
2. 利用图像法求解二元不等式组a. 我们可以将每个不等式转化为标准形式，并在坐标平面上画出其对应的图像。
b. 通过分析两个图像的交集部分，确定参数的范围。
3. 利用试验法求解二元不等式组a. 我们可以随机选择一组满足不等式组的参数值。
b. 通过改变参数的值，观察不等式组的解集的变化情况。
c. 根据试验结果确定参数的范围。
4. 利用代数方法求解二元不等式组a. 将每个不等式转化为标准形式。
b. 通过分析参数在不等式中的系数、常数项以及不等式之间的关系，建立参数的范围条件。
c. 求解这些条件，得到参数的范围。
三、实例分析：探究不等式组求参数范围的具体步骤假设我们要求解以下不等式组：{2x - 3y < 5, x + y > 2} 中参数x和y的范围。
1. 图像法求解a. 将不等式转化为标准形式得到：y > (2x-5)/3; y > -x+2。
b. 在坐标平面上画出两个不等式的图像，分别为直线y=(2x-5)/3和y=-x+2。
c. 通过分析两个图像的交集部分，得出参数x的范围为(-∞, +∞)，参数y的范围为(-∞, +∞)。
求不等式恒成立问题中参数的取值范围的两种途径
思路探寻∵sin C =sin ()A +B =sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴cos A =12，∵a sin A =b sin B =c sin C，∴bc =B C =163sin B sin æèöø2π3-B =83sin æèöø2B -π6+43，∵0＜B ＜2π3，∴-π6＜2B -π6＜7π6，当2B -π6=π2，即B =π3时，bc 取最大值4，∵S △ABC =12bc sin A ≤3，∴△ABC 面积的最大值为3.解答本题，需先运用正弦定理进行边角互化，将a cos B =()2c -b cos A 等价转化为sin A cos B =(2sin C -)sin B cos A ，求得角A ，再根据正弦定理求得bc ，便可根据公式S =12ab sin C 求得三角形面积的表达式，最后根据三角函数的有界性求得最值.可见，求解与三角形有关的最值问题，关键要运用正余弦定理进行边角互化，求得角、周长、面积的表达式，然后运用基本不等式、三角函数的有界性来求得最值.一般地，可运用正弦定理来将角化为边，运用余弦定理来将边化为角.在解题的过程中，要注意挖掘一下隐含条件：（1）三角形的内角和为180o ；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3）三角形的三边、三角均为正数.这些条件都是隐含在题目当中，若没有挖掘出来，便会缺少解题的条件，得出错误的答案.（作者单位：安徽省蚌埠第二中学）在学习中，我们经常会遇到求不等式恒成立问题中参数的取值范围.此类问题一般较为复杂，通常要求根据含有参数的不等式、方程、函数求使不等式恒成立时参数的取值范围.由于这类问题涉及的知识点较多，所以其求解途径多种多样.本文结合例题，谈一谈求参数的取值范围的两种常用途径：分离参数、数形结合.一、分离参数分离参数法是求不等式恒成立问题中参数的取值范围的重要方法.其大致的解题步骤为：①对含有参数的不等式、方程、函数进行变形，使参数单独置于一侧，变量置于另一侧，如a ≥f ()x 、a ≤f ()x ；②将问题转化为函数的最值问题，如a ≥f ()x 等价于a ≥f ()x max ，a ≤f ()x 等价于a ≤f ()x min ；③根据函数的单调性求得其最值；④建立新不等式，求出参数的取值范围.例1.已知f ()x =x ln x +a x，g ()x =x -e x -1+1.若∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2恒成立，则实数a 的取值范围为______.解：由题意可知，∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2等价于f ()x 1min ≥g ()x 2max ，∵g '()x =1-ex -1，当g '()x =0时，x =1，当x 2∈()-∞,1时，g '()x >0，g ()x 单调递增；当x 2∈()1,+∞时，g '()x <0，g ()x 单调递减，∴g ()x 2max =g ()1=1，∴f ()x =x ln x +a x ≥1在x ∈éëùû12,3上恒成立，即a ≥x -x 2ln x 在x ∈éëùû12,3上恒成立，令h ()x =x -x 2ln x ，x ∈éëùû12,3，朱红玉48思路探寻∴实数a 的取值范围为a >1.在解答该题时，需首先对函数f ()x =x 3+2判断出函数的单调性，求得其最值，这样便可将问题转化为在x ∈()0,+∞上ax >e x -1恒成立.然后构造-1，画出其图象，O。
不等式的参数与取值范围
不等式的参数与取值范围不等式是数学中常见的一种表示关系的方式，它可以用来描述各种不同的情况和条件。
在解不等式的过程中，我们需要考虑不等式中的参数以及其对应的取值范围。
本文将讨论不等式的参数与取值范围的关系，并通过具体例子来说明。
1. 参数与取值范围的关系不等式的参数是指不等式中的未知数或变量，它们的取值范围会影响整个不等式的解集。
具体来说，参数可以是单个变量，也可以是多个变量之间的关系。
在解不等式时，我们需要确定参数的取值范围，以便找到满足不等式条件的解集。
2. 单个参数的情况首先，我们考虑只有一个参数的情况。
对于这种情况，我们需要确定该参数的取值范围，以便找到满足不等式条件的解集。
例如，我们有不等式 x + 2 > 5，其中的参数是 x。
我们可以通过一系列的代数运算来解这个不等式：x + 2 > 5x > 5 - 2x > 3通过简化不等式的过程，我们可以确定参数 x 的取值范围为 x > 3。
这意味着当 x 大于 3 时，不等式才成立。
同样地，我们可以处理其他类型的不等式，例如含有绝对值、分数等的不等式。
通过对参数的取值范围进行分析，我们可以找到不等式的解集。
3. 多个参数之间的关系当不等式中存在多个参数时，它们之间的关系会对不等式的解集产生影响。
我们需要确定这些参数之间的取值范围，以找到满足不等式条件的解集。
考虑一个例子，不等式 2x + 3y > 10，其中的参数是 x 和 y。
我们可以通过以下步骤解决这个不等式：2x + 3y > 103y > 10 - 2xy > (10 - 2x) / 3在这个例子中，参数 y 的取值范围由 (10 - 2x) / 3 决定。
这意味着 y 必须大于 (10 - 2x) / 3 才满足不等式的条件。
在处理多个参数的情况时，我们可以利用曲线、图形等方法来直观地表示参数之间的取值范围和不等式的解集。
4. 示例分析为了更好地理解不等式的参数与取值范围的关系，让我们来看一个具体的例子。