17.1.1勾股定理

a c
b
1.勾股定理揭示了直角三角形 三边 之 间的关系. 2.根据勾股定理,已知直角三角形两 边 可求第三边
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ， 较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 。
弦
勾
股 勾2 + 股2 = 弦2
勾 股 （ 商 高 ） 定 理
毕 是第一个不定方程 达 哥 数与形的第一定理 拉 导致第一次数学危机 斯 定 数学由计算转变为证明 理
毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572～前497），西方理 性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人， 比商高晚出生五百多年． 相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达 哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他 的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定 理又叫做“百牛定理”．
A.3 米 B.4 米 C.5米
B
D.6米
３
C
４
A
4.应用知识之学海无涯
一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单
位mm),求两孔中心A、B之间的距离. 解： 过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则
∠ACB=90°， AC=90-40=50（mm） BC=160-40=120（mm) 由勾股定理有： AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2) ∵AB＞0, ∴AB=130(mm)
3 B 1 ，3
3 B C ⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝， 那么它的宽是（ B ） 5 5 A 2 5㎝ B C ㎝ D ㎝ 5㎝ 2 2
A 2,
B 1,
C
2,
D
１.基础练习之出谋划策
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( C )
A，B，C 面积关 系
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
直角三 角形三 边关系
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
探究二：SA+SB=SC 在图2中还成立吗？
A的面积是 16 个单位面积． B的面积是 9个单位面积． C的面积是 25 个单位面积．
A B
图2
C
你是怎样得到正 方形C的面积的？ 与同伴交流交流．
第17章 勾股定理
17.1.1探索勾股定理
一、创设情境
除地球外，别的星球上有没有生命呢？
自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别 是近年来不断出现的UFO事件，更让人们相信有 外星人的说法，如果真的有，那我们怎么和他们交 流呢？
我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的 设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千 年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”， 也必定认识这种图形.
C
Sb
Sa
B
A
Sc
Sa+Sb=Sc
赵爽拼图证明法：
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方 形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它 拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。
b
c
a
图1
朱实 朱实 黄实 朱实
c
b
a
图2
朱实
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀， 将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.
C
方法总结：利用勾股定理建立方程.
1.求下列直角三角形中未知边的长:
5
x
20
16
x
12
8
17
x
方法: 可用勾股定理建立方程.
勾股定理的运用 练习： 2.设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边长为c. (1)已知a=6，c=10，求b. (2)已知a=5，c=12，求c. A (3)已知c=25,b=15,求a.
问题1:去掉网格结论会改变吗？ 问题2:式子SA+SB=SC能用直
角三角形的三边a、b、c来表示 吗? 2 2 2
B
a +b =c
A
a a C
c b b B
c
C
A
问题3:去掉正方形结论会改变吗？ 问题4:那么直角三角形三边a、
b、c之间的关系式是:
a2 + b 2 = c 2
我们猜想：
命题１：如果直角三角形的两直角边长分 别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
a
c
b
证法一： 用 拼 图 法 证 明
a
b
2 a
2 +b
=c2
证法一：
a、b、c 之间的关系
a2 +b2 =c2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
a b
b c a
c b a
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4· ab+c2
=c2+2ab
a
c b
∴a2+b2+2ab=c2+2ab
2 ∴a 2 +b 2 =c
证法二：
现在我们一起来探 索“弦图”的奥妙吧！
c a
b
S大正方形＝c2 S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形
1 即：c 2=4 ab+(b-a) 2 2 C2=2ab+a2-2ab+b2
弦图

2 2 a +b
=
2 c
用赵爽弦图证明勾股定理
c
a
∴ a 2 + b 2 = c2
b
证明结论得到定理 y=0 经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别 为a、b,斜边为c，那么 a
弦 股
c
b
a b c
2 2
2
勾
即 直角三角形两直角边 在西方又称毕达 的平方和等于斜边的平方。 哥拉斯定理耶！
谈谈你对勾股定理的理解
商高定理就 是勾股定理哦！ 商高定理：
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代 是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西 汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对 话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。” 商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分 别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。 以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，所 以在我国人们就把这个定理叫作 “商高定理”。
x
13
12
x
一 填空题：
1) 在直角三角形中，两条直角边 2+b2 2 a 分别为a,b, 斜边为c，则c =____ 2) 在RT△ABC中∠C=90°, 5 ⑴若a=4,b=3,则c=____
12 ⑵若c=13,b=5,则a=____
15 ⑶ 若 c=17,a=8,则b=____
（3 ） 等边三角形的边长为12，
40
A
90
B
C
160 40
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
A
B
图1-4 A的面积 B的面积 C的面积 （单位面积） （单位面积） （单位面积）
图1-3
图1-4
16
4
9
9
25
13
（2）得出结论： 三个正方形A，B， A C的面积之间有 的关系？
C
B
图1-3
C
A
B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等 于 斜边上的正方形的面积
至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正 方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC
结论：仍然成立。
（图中每个小方格是1个单位面积）
S正方形c
1 4 4 3 1 2
A B
图1-3
C
C
25
（面积单位）
AB图1-4 Nhomakorabea分“割” 成几个直角边为整数的三角形
做一做
你是怎样得 到表中的结 果的？与同 伴交流交流。
A B
图1-3
C
C
（1）观察图 1-3、图1-4， 并填写右表：
1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理， 即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；
2.勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危 机，大大加深了人们对数的理解； 3.勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方 程，它引出了费马大定理； 4.勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实 用价值．这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目 的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数 学和其他科学领域也有着广泛的应用．1971年5月15 日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十 个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家 选出的，勾股定理是其中之首。
朱实
朱实 黄实 朱实
b
b
a
朱实
a
a
经过证明被确认正确的命题叫做定理.
用赵爽弦图证明勾股定理
b a b a
c
美国总统的证明
伽菲尔德 -----美国 第二十任 总统
a b
c
c a
b
证法三：
a b c
c
伽菲尔德证法（总统法）:
1 S梯形 (a b)( a b) 2 1 1 2 S梯形 a b a b c 2 2
剪、拼过程展示：
b
a
c a
b
ba
朱实
朱实 黄实朱实
朱实
b b a
2
c
2〓 b 2
c
a
P
a
M
a
b b