空间向量的概念和运算(一)
空间向量及其运算
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题． 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程． 这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量
空间向量的基本运算
第六节 空间向量1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝ 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是 的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
空间向量的基本概念与运算
空间向量的基本概念与运算空间向量是三维空间中具有大小和方向的量，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
本文将介绍空间向量的基本概念和运算。
一、空间向量的定义空间向量是由三个有序数组成的有向线段，通常用箭头标记表示。
一个空间向量具有大小和方向两个基本特性。
大小表示向量的长度或模，用绝对值表示，记作|V|。
方向则是从向量的起点指向终点的指向性。
二、空间向量的表示方法空间向量可以使用不同的表示方法，包括坐标表示、分量表示和符号表示。
1. 坐标表示：空间向量的坐标表示方式是将向量的起始点与终止点的坐标数值进行相减。
例如，向量AB可以表示为(AB) = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起始点的坐标，(x2, y2, z2)为终止点的坐标。
2. 分量表示：分量表示方式将向量分解为三个轴方向上的分量。
例如，向量V可以表示为V = Vx * i + Vy * j + Vz * k，其中Vx, Vy和Vz分别代表向量V在x、y和z轴上的分量，i、j和k分别代表x、y和z轴的单位向量。
3. 符号表示：符号表示方式则利用向量的起点和终点的字母符号进行表示，例如向量AB用→AB表示。
三、空间向量的基本运算空间向量的基本运算包括加法、减法、数量乘法和点乘。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，向量A和向量B的加法可以表示为C = A + B，其中C的每个分量等于A和B对应分量之和。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量。
例如，向量A和向量B的减法可以表示为C = A - B，其中C的每个分量等于A和B对应分量之差。
3. 数量乘法：数量乘法是指将向量的每个分量乘以一个常数，得到一个新的向量。
例如，向量A的数量乘法可以表示为B = k * A，其中k为常数，B的每个分量等于A的对应分量乘以k。
空间向量的概念与运算
空间向量的概念与运算空间向量是指在空间中有大小和方向的量。
它在物理学、几何学和工程学等领域具有重要的应用。
空间向量的概念和运算是研究空间中物体位置和运动的基础。
一、空间向量的概念空间向量由大小和方向来确定。
空间中的向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
例如，一个位移向量可以表示为⃗d，箭头的长度表示位移的大小，箭头的方向表示位移的方向。
空间向量的大小也称为向量的模或长度，通常使用两点之间的距离来计算。
二、空间向量的运算1. 向量的加法空间中的两个向量可以进行加法运算。
向量的加法可以表示为：⃗a + ⃗b = ⃗c其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，⃗c是它们的和向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
即：⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a(⃗a + ⃗b) + ⃗c = ⃗a + (⃗b + ⃗c)2. 向量的减法空间中的两个向量可以进行减法运算。
向量的减法可以表示为：⃗a - ⃗b = ⃗d其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，⃗d是它们的差向量。
向量的减法可以通过向量的加法来实现，即：⃗a - ⃗b = ⃗a + (-⃗b)3. 向量的数量积空间中的两个向量可以进行数量积运算。
向量的数量积可以表示为：⃗a ⋅ ⃗b = abcosθ其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，a和b分别是它们的大小，θ是它们之间的夹角。
向量的数量积满足交换律和分配律。
即：⃗a ⋅ ⃗b = ⃗b ⋅ ⃗a⃗a ⋅(⃗b + ⃗c) = ⃗a ⋅ ⃗b + ⃗a ⋅ ⃗c4. 向量的矢量积空间中的两个向量可以进行矢量积运算。
向量的矢量积可以表示为：⃗a × ⃗b = |⃗a||⃗b|sinθ⃗n其中，⃗a和⃗b是两个空间向量，|⃗a|和|⃗b|分别是它们的大小，θ是它们之间的夹角，⃗n是法向量。
向量的矢量积满足反交换律和分配律。
即：⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a⃗a ×(⃗b + ⃗c) = ⃗a × ⃗b + ⃗a × ⃗c以上是对空间向量的概念与运算进行的简要介绍。
空间向量的基本概念和运算
空间向量的基本概念和运算空间向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的数学工具。
它是研究几何和物理问题时不可或缺的基本工具之一。
在本文中，我们将介绍空间向量的基本概念和运算。
一、空间向量的定义和表示空间向量是空间中的一个有向线段，由起点和终点确定。
根据终点减去起点的坐标差得到的坐标集合，表示了这个向量的大小和方向。
一般而言，我们用字母加箭头上标来表示空间向量，例如向量A可以表示为向量A—>。
二、空间向量的基本运算空间向量的基本运算包括加法、数乘和内积。
1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量端点相连后得到的向量。
具体而言，给定两个向量A—>和B—>，它们的和向量C—>可以表示为C—> = A—> + B—>。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量与一个实数相乘后得到的新的向量。
给定一个向量A—>和一个实数k，它们的数乘kA—>可以表示为kA—>。
向量的数乘满足分配律。
3. 向量的内积向量的内积也称点乘，它是两个向量的数量积，得到的是一个标量。
给定两个向量A—>和B—>，它们的内积可以表示为A•B = ||A|| ||B||cosθ，其中||A||和||B||分别表示向量A—>和B—>的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
内积具有交换律和分配律。
三、空间向量的基本性质空间向量具有很多重要的性质，这些性质在解决实际问题时起到了重要的作用。
1. 平行向量的性质如果两个向量A—>和B—>是平行的，则它们的模长相等且方向相同；若A—>和B—>的夹角为0度或180度，则它们互为平行向量。
2. 垂直向量的性质如果两个向量A—>和B—>垂直，则它们的内积为0，即A•B = 0。
3. 正交向量的性质如果两个非零向量A—>和B—>的内积为0，则称它们互为正交向量或垂直向量。
1第一讲 空间向量及其运算-教师版
第一讲空间向量及其运算【基础知识】一、空间向量的有关概念1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.3.表示法(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为|a|或AB.【解读】1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决;4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.二、空间向量的线性运算三、向量共线定理对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb . 四、共面向量定理（重点）1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x ,y ),使p =x a 【解读】1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A ,B ,C ,可通过 证明下列结论来证明三点共线: (1)存在实数λ,使AB AC λ=成立;(2)对空间任一点O ,有OA OB tBC =+(t ∈R ); (3)对空间任一点O ,有OA xOB yOC =+(x +y =1). 五、空间向量的数量积及运算律 1.数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 2.空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .【考点讲解】考点一：对空间向量有关概念的理解 1．下列说法正确的是（ ） A ．零向量没有方向 B ．空间向量不可以平行移动C ．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】D【解析】对于A ：零向量的方向是任意的，A 错误； 对于B ：空间向量是自由向量可以平移，B 错误；对于C 、D ：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C 中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C 错误；D 符合定义，正确. 故选D.考点二：空间向量的线性运算例2．化简算式：()()234323a b c a b c ----+=______． 【答案】3417a b c +-【解析】由题意得()()2343236283693417a b c a b c a b c a b c a b c ----+=---+-=+-. 考点三：几何体中空间向量的线性运算例3．（2021-2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D【解析】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+. 故选D考点四：几何体中共线共面定理的应用例4．如图，已知O ､A ､B ､C ､D ､E ､F ､G ､H 为空间的9个点，且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，,R k m ∈.求证：(1)A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面； (2)AC EG ∥（平行）； (3)OG kOC =.【解析】(1)因为AC AD mAB =+，EG EH mEF =+，所以由共面向量定理可得,,AC AD AB 是共面向量，,,EG EH EF 是共面向量， 因为,,AC AD AB 有公共点A ，,,EG EH EF 有公共点E ， 所以A ､B ､C ､D 四点共面，E ､F ､G ､H 四点共面， (2)因为()EG EH mEF OH OE m OF OE =+=-+-()()k OD OA km OB OA =-+-()k AD kmAB k AD mAB k AC =+=+=，所以AC EG ∥；(3)()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=考点五：利用数量积公式进行计算例5．（2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中）如图，在三棱锥P ABC -中，,,AP AB AC 两两垂直，2,1,AP AB AC M ===为PC 的中点，则AC BM ⋅的值为（ ）A ．1B ．13C ．14D ．12【答案】D【解析】由题意得()111222BM BA AM BA AP AC BA AP AC =+=++=++，故1122AC BM AC BA AP AC ⎛⎫⋅=⋅++ ⎪⎝⎭211112222AC BA AC AP AC AC AC =⋅+⋅+⋅==.故选D.考点六：利用数量积公式求长度或距离例6．（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（ ）AB ．CD 【答案】C【解析】由题意得11,2AB AD AA ===，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒， 因为11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++,所以()2211AC AB AD AA =++212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅ 114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒ 10=，所以110AC =C【课堂练习】1.（2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中）下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（ ） A ．OA OB OC OP ++=- B ．OA OB OC OP ++= C ．2OA OB OC OP ++= D ．3OA OB OC OP ++=【答案】D【解析】对于A 选项，OP OA OB OC =---，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面； 对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选D.2.（2021-2022学年浙江省北斗联盟高二上学期中联考）在如图所示的平行六面体ABCD A B C D ''''-中，已知AB AA AD '==，60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，14BM BC =为C D ''上一点，且D N D C λ'''=，若DM AN ⊥，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D【解析】令(0)AB AA AD m m '===>，则AB AD AA m '===， 因为14BM BC =， 所以113444DM DA AB BM AD AB BC AD AB AD AD AB =++=-++=-++=-+，因为D N D C λ'''=，所以AN AD DD D N AD AA D C AD AA AB λλ''''''=++=++=++， 因为DM AN ⊥，所以0DM AN ⋅=，所以()304AD AB AD AA AB λ⎛⎫'-+⋅++= ⎪⎝⎭所以223330444AD AD AA AD AB AB AD AB AA AB λλ''--⋅-⋅+⋅+⋅+=,因为60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，(0)AB AA AD m m '===>，所以222222333cos60cos60cos60cos600444m m m m m m λλ--︒-︒+︒+︒+=，所以33311048822λλ---+++=，解得15λ=，故选D3.（多选）（2020-2021学年江苏省常州市第一中学高二下学期期中）已知四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．||||AB AC AD AB AC AD ++=+- B ．2222||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++ C ．()0AB AC AD BC ++⋅= D ．AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅ 【答案】ABD【解析】由题可知，可做如图所示的长方体，设,,AC a AD b AB c ===.2,AB AC AD AE AD AE EF AF AF a ++=+=+== 2,AB AC AD AE AD DE DE a +-=-==A 正确；22222222||||||AB AC AD AF a b c AB AC AD ++==++=++，故B 正确；∵AD ⊥平面ACEB ，∵AD BC ⊥，0AD BC ⋅=，∵()()AB AC AD BC AE AD BC AE BC ++⋅=+⋅=⋅，但无法判断AE 和BC 是否垂直，故C 不一定正确；由图易知,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥，故AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅＝0，故D 正确. 故选ABD ．4.（多选）（2021-2022学年辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高二上学期期中）已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是直角三角形，且AB AC ⊥，3AB =，4AC =，12AA =，1160A AB A AC ∠=∠=︒，则（ ）A ．17AC =B ．133BC =C ．119AC BC =-D ．异面直线1AC 与1B C 【答案】BD【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，3a c ⋅=，4b c ⋅=， 1AC b c =+，1BC a b c =-+-，22119AC B C a b b b c a c b c c ⋅=-⋅+-⋅-⋅+⋅-=， 221227AC b c b c =++⋅=222122233B C a b c a b b c a c =++-⋅-⋅+⋅=，所以11111121cos ,14AC B C AC B C AC B C⋅==．故选BD.5．（2021-2022学年安徽省安庆市潜山第二中学高二上学期月考）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设→→=AB a ，→→=AC b ，AD c →→=，用a →，b →，c →表示向量DM →=______【答案】122a b c →→→⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】画出对应的正四面体，则11()(2)22DM DA AM c a b a b c →→→→→→→→→=+=-++=+-.6.（2021-2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第二次学情调研）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为_________. 【答案】12- 【解析】根据题意ABCD 为正四面体，,,BC BD BA 两两成60角，所以12AE BE BA BC BA =-=-， 1122CF BF BC BA BD BC =-=+-，所以111()()222AE CF BC BA BA BD BC ⋅=-⋅+-11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-. 7．（2021-2022学年河北省唐山市第十一中学高二上学期期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，化简下列向量表达式：(1)111AA A B +； (2)11111A B A D C C ++．【解析】 (1)依题意1111AA A B AB +=. (2)依题意111111111AB AD C C AC C C AC ++=+=.【课后练习】1. （2021-2022学年江苏省连云港市赣榆区高二下学期期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（ ） A ．OP OA OB OC =++ B ．2OP OA OB OC =-- C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC =++【答案】D【解析】设OP xOA yOB zOC =++， 若点P 与点,,A B C 共面， 则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意； 对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意； 对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意； 对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选D.2.（2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】54BD PA PB PC λ=-+⇒54PD PB PA PB PC λ-=-+ 53PD PA PB PC λ=-+，由A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线 可得531λ-+=，解之得1λ=-，故选D3. （2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中）设A 、B 、C 、D 是空间中不共面的四点，令u AD BC =+，v AB CD =+，w AC BD =+，则u 、v 、w 三个向量（ ）A ．互不相等B ．有且仅有两个相C ．都相等D ．以上均有可能【答案】B【解析】ω=+=++=+=u AD BC AC CD BC AC BD ，=+=++=+DB v AB CD A A CB D CD D ，若=v u ，则BC CB =，即0BC =，则B ，C 重合，于是A 、B 、C 、D 共面，矛盾， 所以≠v u ，即u 、v 、w 三个向量有且仅有两个相等，故选B4.（多选）（2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，则1BD =（ ）A ．111A D A A AB --B ．111BC BB DC +- C ．1AD AB DD --D ．1111B D A A DD -+【答案】AB【解析】如图：对A ，11111A D A A AB AD AB BD →→→→→→--=-=，正确；对B ，1111111111BC BB D C BC D C BC C D BD →→→→→→→→==+=+--，正确；对C ，1111AD AB DD BD DD BD BB B D →→→→→→→→===----，错误；对D ，11111111111111B D A A DD B D DD A A B D BB A A BD A A →→→→→→→→→→→-++-+--===，错误.故选AB.5．（2021-2022学年广东省广州市增城区高二上学期期末）下列说法正确的是（ ） A ．设,a b 是两个空间向量，则,a b 一定共面B ．设,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c 一定不共面C ．设,a b 是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅D ．设,,a b c 是三个空间向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】AC【解析】对于A ：因为,a b 是两个空间向量，则,a b 一定共面，故A 正确；对于B ：因为,,a b c 是三个空间向量，则,,a b c 可能共面也可能不共面，故B 错误； 对于C ：因为,a b 是两个空间向量，则a b b a ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：因为,,a b c 是三个空间向量，则()a b c ⋅与向量a 共线，()a b c ⋅与向量c 共线，则D 错误．故选AC ．6.（2021-2022学年河南省焦作市高二上学期期末）已知在四面体ABCD 中，236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=，则BC BD ⋅=______．【答案】24【解析】由题设，可得如下四面体示意图，则()()2·BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+，又236AB AC AD ===，3BAC CAD DAB π∠=∠=∠=， 所以1113236623624222BC BD ⋅=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+=.7. （2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13AA =，则1AC 的长为__________.【解析】因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++ 所以()2211AC AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 11119202132131722=+++⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，即117AC =8.（2019-2020学年北京大学附中石景山学校高二上学期期中）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -，点M 、N 分别在1AC 和BC 上，且满足1AM k AC →→=，()01BN k BC k →→=≤≤.(1)用向量AB →和1AA →表示向量MN →；(2)向量MN →是否与向量AB →，1AA →共面？【解析】 (1)解：∵()1AN AB BN AB k AC AB k AB k AC →→→→→→→→⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭， 11AM k AC k AA AC →→→→⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∵()()1111MN AN AM k AB k AC k AA k AC k AB k AA →→→→→→→→→=-=-+--=--.(2)解：由（1）可知，()11MN k AB k AA →→→=--，∵向量MN →与向量AB →，1AA →共面.9．（2021-2022学年安徽省亳州市第一中学高二上学期10月质量检测）已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++. （1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；（2）若三棱锥O ABC -为棱长为2正四面体，求OM .【解析】 (1) 211333MA OA OM OA OB OC =-=--，211333MB OB OM OB OA OC =-=--，211333MC OC OM OC OA OB =-=--，所以MA MB MC =--，所以MA ，MB ，MC 三个向量共面. (2) 111333OM OA OB OC =++222111222999999OA OB OC OA OB OB OC OA OC =+++⋅+⋅+⋅. 又因为三棱锥O ABC -为棱长为2正四面体，所以OA 、OB 、OC 之间的夹角均为60︒.所以OM =.。
空间向量及其运算(共22张PPT)
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量的概念与运算
空间向量的概念与运算空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量。
它在数学、物理和工程等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨空间向量的概念和运算。
一、空间向量的概念空间向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在三维坐标系中，一个空间向量可以表示为三个实数的有序三元组，分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
例如，一个空间向量A可以表示为(Ax, Ay, Az)。
空间向量具有以下特点：1. 大小：空间向量的大小就是箭头的长度，可以通过勾股定理计算得出。
2. 方向：空间向量的方向由箭头的方向所表示，通常用夹角或与坐标轴的夹角来描述。
3. 相等性：空间向量的相等性满足对应分量相等的条件，即两个向量A和B相等，当且仅当Ax = Bx，Ay = By，Az = Bz。
二、空间向量的运算空间向量可以进行一系列的运算，包括加法、减法、数量积和向量积。
1. 加法：空间向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加所得到的向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
对应分量相加可得结果向量的分量。
2. 减法：空间向量的减法可以通过将要减去的向量取反后进行加法运算。
即A -B = A + (-B)。
3. 数量积：空间向量的数量积也被称为点积或内积，结果是一个实数。
数量积的计算公式为：A·B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz。
数量积满足交换律，即A·B = B·A。
数量积还可以通过向量间的夹角的余弦值计算得出：A·B = |A| |B| cosθ。
4. 向量积：空间向量的向量积也被称为叉积或外积，结果是一个新的向量。
向量积的计算公式为：A x B = (AyBz - AzBy, AzBx - AxBz, AxBy - AyBx)。
向量积满足反交换律，即A x B = -B x A。
通过向量积可以计算出向量的模长和方向。
空间向量(知识点梳理)
-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。
1.1.1空间向量及其线性运算
C
p
P
b
A aB
3.空间四点P、A、B、C共面 存在唯一实数对（x , y）, 使得AP x AB y AC
OP xOA yOB zOC(其中，x y z 1)
C'
C
p
P
b
A aB
O
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 a、b满足| a || b |，则 a b ；
长度相等且方向 相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
思考：空间任意两个向量是否都可以平移到同 一平面内？为什么？
B
b
O
A
a
结论：空间任意两个向O量′ 都可以平移到同一个平面内，
内，成为同一平面内的两个向量。
说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们。
（3）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，必有 AC A1C1 ；
（4）若空间向量 m、n、p 满足m n, n p ，则 m p ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ C 4
例2 已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
求证：
O DC
⑴四点E、F、G、H共面； A
B
⑵平面EG//平面AC.
H
G
E
F
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合
定理 a // b(a 0)
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§9.5.1 空间向量的概念和运算
教学目标：
⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
教学方法：讨论式．
教学过程设计：
一、复习引入
复习有关平面向量的一些知识
1．向量的概念，向量的表示，相等向量，自由向量，向量的平移
2．向量的加减以及数乘运算法则和运算律：
在平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．
二、新课讲授
1．空间向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做向量．
空间的一个平移就是一个向量，平移实际就是点到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向量是共面的．
2．空间向量的表示方法：用有向线段表示
3．相等向量的内涵：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
4．空间向量的加法、减法、数乘向量的定义
总结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b ，
OA OB AB -=（指向被减向量），
=OP λa )(R ∈λ
5．空间向量的加法与数乘向量的运算律．
⑴加法交换律：a + b = b + a ；
⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件
验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．
说明：空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向
末尾向量的终点的向量．即：
n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首
尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为
零向量．即：
011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
三、例题讲解
例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
；
⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++ '2
1CC AD AB ++⑶ ．⑷)'(3
1AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’
的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —
A’B’C’D’．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做
平行六面体的棱．
解：（见课本P 27）
说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
四、课堂练习
课本P 27 练习
五、课时小结
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．
关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
六、课后作业
课本P 27 练习
教学后记：。