多目标规划
多目标规划在工程项目管理中的应用
多目标规划在工程项目管理中的应用一、引言工程项目管理中的多目标规划是一种重要的决策工具，可以帮助项目管理者在不同目标之间进行权衡和平衡。
本文将探讨多目标规划在工程项目管理中的应用，并介绍其概念、优势和方法。
二、概念解析1. 多目标规划多目标规划是指在决策过程中存在多个独立且相互竞争的目标，需要在这些目标之间找到一组最佳的解，使得各个目标都能得到满足或最大化程度地满足。
在工程项目管理中，这些目标可以是项目的时间、成本、质量、风险等。
2. 工程项目管理工程项目管理是指通过科学的方法和技术，对工程项目进行规划、组织、控制和实施，以达到项目目标的过程。
项目管理的成功与否直接关系到项目的完成情况、效益和质量。
三、多目标规划在工程项目管理中的应用1. 目标的明确和权衡多目标规划可以帮助项目管理者在项目开始之前明确各个目标，并在项目执行过程中进行权衡。
例如，我们可以设定时间目标、成本目标和质量目标，并通过多目标规划的方法找到最佳的平衡点，以实现项目成功。
2. 项目资源的优化配置在项目管理中，资源是有限的，项目管理者需要合理配置这些资源，以满足不同目标的要求。
多目标规划可以帮助管理者找到最佳的资源配置方案，避免资源的浪费和不足。
3. 项目风险的评估和控制项目管理中的风险是不可避免的，但通过多目标规划，可以对项目风险进行全面评估和控制。
通过考虑风险对不同目标的影响，可以制定相应的风险应对策略，减少项目风险对整体目标的影响。
4. 周期管理和进度控制在多目标规划中，可以将项目的周期和进度作为目标之一，通过合理的规划和控制，提高项目的执行效率和质量。
管理者可以利用多目标规划的方法，制定最佳的进度安排，并通过实时监控和调整，确保项目按时完成。
5. 项目质量的提升多目标规划可以帮助项目管理者在质量目标、时间目标和成本目标之间找到最佳的平衡点。
通过全面考虑项目质量的要求和资源的限制，可以提高项目的质量水平，并降低项目的变更和重工风险。
多目标规划应用实例
02
投资者需要在满足一定风险承 受能力的前提下，最大化投资 组合的预期收益，同时考虑市 场波动、政策风险等因素。
03
投资决策问题需要考虑多个目 标之间的权衡和折中，以实现 整体最优。
目标函数
收益最大化
投资者希望获得尽可能高的投资回报率，通 常以预期收益率作为目标函数。
风险最小化
投资者希望将投资风险降至最低，通常以方 差或标准差作为目标函数。
城市发展需满足环境保护的相关法律法规和标准。
3
3. 资源利用约束
城市发展需遵循资源利用的可持续性原则。
求解方法与结果分析
• 多目标规划问题通常采用权重法、目标规 划法、遗传算法等求解方法进行求解。通 过对不同方案进行比较和评估，可以得出 最优解或满意解。在城市规划与交通管理 中，多目标规划的应用可以帮助决策者全 面考虑各种因素，制定出更加科学、合理 的城市规划方案，提高城市运行效率，促 进城市的可持续发展。
多目标规划能够为决策者提供一个 系统的方法来权衡和比较不同目标 之间的优劣，从而提高决策的科学 性和合理性。
折衷与平衡
多目标规划可以帮助决策者在多个 目标之间找到一个相对最优的折衷 方案，实现不同目标之间的平衡发 展。
多目标规划的方法与步骤
方法
多目标规划常用的方法包括层次分析 法、多属性决策分析、数据包络分析 等。
问题描述
目标函数
• 目标函数包括两个部分：最小化生产成本 和运输成本。生产成本由各个工厂的生产 费用决定，运输成本则取决于各个工厂之 间的运输距离和运输量。
约束条件
• 约束条件包括：各个工厂的生产能力限制、市场需求量限制以及产品种类限制等。这些约束条件确保了生产计 划的可实施性和有效性。
多目标规划
解:
x2
A B C
x1
Eab = E pa = {B}, Ewp = AB, BC
{
}
O
T 2 2 例2 设 X = {( x1 , x2 ) ( x1 + 1) + 2 x = 4}, 求 X , 的 Eab , E pa , Ewp
2
解:
x2
Eab = φ , E pa = Ewp
= AB
{ }
第二节 多目标规划问题的解 一,向量集的极值 1 多目标规划的标准形式是
min( f1 ( x),..., f p ( x))T , p > 1, x ∈ E n g i ( x) ≥ 0 i = 1,..., m s.t. h j ( x) = 0 j = 1,..., l (2.1)
1
介绍A.M.Geoffrion于1968年提出的—种 真有效解—G-有效解.
�
min f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x))T
x∈D
f1 ( x) = x1 + 2 x2 , f 2 ( x) = x1 x2 , D = ( x1 , x2 )T 0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1
的有效解和弱有效解. f1 ( x) = 3 x2 1 B
{
}
R pa = Rwp = {OA, AB}
解: 1 画出 D 及 D 的像 f (D )
f1
x
f1 , f 2 联立消去 x
O 1
得
f1 = f 22 + 2 f 2
f2
1
R pa = Rwp
. .
2
.
f2
x
o
1 2
多目标规划模型及其在生产优化中的应用
多目标规划模型及其在生产优化中的应用多目标规划是一种在优化问题中同时考虑多个目标的方法。
与传统的单目标规划相比，多目标规划更加适用于现实生产优化中存在多个相互关联的目标的情况。
在生产优化中，多目标规划可以帮助企业在平衡多种目标之间找到最佳的决策方案，提高生产效率和经济效益。
1.决策变量：表示决策者可以调整的各种生产资源和生产参数，如生产数量、生产设备分配等。
2.约束条件：表示各种技术和资源限制，如设备产能、雇员工时等。
3.目标函数：表示需要优化的目标，可以包括多个目标函数，如最小化生产成本、最大化产出、最小化生产时间等。
在生产优化中，多目标规划可以应用于多个方面，如生产调度、生产设备配置和物料采购等。
下面以生产调度为例来具体说明多目标规划的应用。
生产调度是指在生产过程中，根据生产资源和生产任务的需求，合理安排和调度各个工序和设备的完成时间和数量，以达到最佳的生产效率和经济效益。
在生产调度中，通常存在多个决策变量和多个目标。
决策变量可以包括产品的生产顺序、工序的分配和设备的调度等。
不同的决策变量选择可能导致不同的生产成本、生产时间和质量水平等目标的变化。
多目标规划可以将生产调度问题转化为一个多目标优化问题。
在模型中，决策变量可以是各个工序的完成时间和数量，目标函数可以是最小化生产成本、最小化生产时间和最大化产品质量等。
同时，还需要考虑各种资源约束条件，如设备产能、雇员工时和原材料供应等。
通过多目标规划模型求解，可以得到一组最优解，即在满足约束条件的前提下，使得多个目标函数达到最优的决策方案。
这些最优解通常形成一个“帕累托前沿”，即在无法同时改善所有目标的情况下，提供了各种权衡和选择的可能性。
在实际应用中，多目标规划可以帮助企业决策者综合考虑多种目标和约束条件，合理安排生产资源和生产任务，以提高生产效率和经济效益。
同时，多目标规划还可以用于方案比较和灵敏度分析，帮助决策者评估不同决策方案的优劣和稳定性。
多目标规划
这种求解多目标问题的解的方法就称为评价函数法。
不同的构造的方法(当然得到不同的有效解) 形成不同的评价函数法。
4.1线性加权法 (最基本的评价函数法)
取(z)=u1z1+u2z2+…+urzr,其中ui≥0,i=1:r,u1+…+ur=1
f i(x’) ≤ f i(x*),(i=1:r,至少有一个严格小于成立)， 而为严格单调增函数，故(f(x’))< (f(x*)) 与x*是单目标函数的最优解矛盾！
f:RnRr, :RrR1,x*是min (f(x))的极小点 s.t. x D
若为单调增函数，则x* Pw(f,D)
意义：这样只要找到一个适当的函数，求出转化后 的单目标问题的最优解，即得到原问题的一个弱有效解)
特别地，若ui>0,i=1:r,则可验证(z)是严格单调增函数。
评价算法的理论依据
f:RnRr, :RrR1, x*是min (f(x))的极小点
s.t. x D 若为严格单调增函数，则x* P(f,D)
意义：这样只要找到一个适当的函数，求出转化后的 单目标问题的最优解，即得到原问题的一个有效解) 证明:反证法。 设x*P(f,D),则必存在一点x’ D,使得
现验证minf1(x),xD的最优解x*是多目标问题的一个有效解：
按定义只要说明找不到x D使得
f1(x) ≤f1(x*) f2(x)<f2(x*)
或
f1
f2
f1(x)<f1(x*) f2(x)≤f2(x*)
或
x* ·
f1(x) <f1(x*)
f2(x)<f2(x*)
多目标规划
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标
最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式：
决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn)
甲级糖数量最大。
那么这种先在第1优先层次极小化总花费， 然后在此基础上再在第2优先层次同等的极大化 糖的总数量和甲级糖的问题，就是所谓分层多目 标最优化问题。可将其目标函数表示为：
L-min{P1[f1(X)]，P2[f2(X)，f3(X)]} 其中P1，P2是优先层次的记号，L-min表示 按优先层次序进行极小化。 下面，我们来看一个建立分层多目标最优化 模型的例子
……………… minfp(x1，……，xn)
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
则模型一般式也可简记为
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策方法是现代管理科学的重要内容，也是系统
分析的基本工具。按照决策变量是连续的还是离散的，多目 标决策可以分为多目标规划决策(Multiple Objective Decision Making)和多准则决策(Multiple Attribute Decision Making)两大类，前者是以数学规划的形式呈现的决策问题， 后者则是已知各个方案及它产生的结局向量，由此选择最优 方案的决策。
多目标规划模型及其在生产优化中的应用
多目标规划模型及其在生产优化中的应用随着科技的不断进步，企业在生产的过程中需要考虑的因素也越来越多，例如成本、质量、效率、环保等多个方面。
这些因素不仅对企业的发展起到了决定性的作用，而且对于整个行业的发展也具有重要意义。
因此，在这个时代，如何能够完成多目标规划，对于企业的生产优化是非常重要的。
本文将从多目标规划模型及其在生产优化中的应用方面进行探讨。
一、多目标规划模型的概述多目标规划（multi-objective programming，MOP）是指在满足多个目标的基础上，寻求最优方案的一种决策方法。
多目标规划模型是通过建立目标函数，对每个目标进行评价和权衡，从而实现多目标的决策优化模型。
多目标规划模型可以被用来解决许多现实生产和决策问题，例如资源配置问题、供应链管理问题、营销决策问题、风险管理和环境保护问题等等。
在这些问题中，优化目标多个，且有时目标之间存在着矛盾性，因此需要采用多目标规划模型来解决。
二、多目标规划模型在生产优化中的应用1. 降低成本和提高质量对于一个企业来说，成本和质量是两个非常重要的因素。
如何同时降低成本和提高质量成为了企业的一个难题。
多目标规划模型可以帮助企业在进行生产决策时，考虑多个目标，实现成本和质量的平衡。
在多目标规划模型中，建立成本和质量的目标函数，对企业的各项指标进行量化和分析，然后对目标函数进行加权，最终得到最优方案。
通过这种方式，企业可以在不降低产品质量的条件下，实现成本的降低，从而提高企业的效益。
2. 提高生产效率和降低能耗随着市场竞争的加剧，企业需要不断提高生产效率，从而降低成本，并提高企业的竞争力。
另一方面，环境保护也成为了现代企业生产的一个必须考虑的因素。
多目标规划模型可以在生产过程中，同时考虑生产效率和能耗，实现生产的可持续发展。
在多目标规划模型中，建立生产效率和能耗的目标函数，评估企业的各项指标，加权得到最优方案。
通过这种方式，企业可以在提高生产效率的同时，降低能耗，实现生产效率与环境保护的双赢。
多目标规划的原理和
多目标规划的原理和多目标规划是一种优化方法，用于解决同时存在多个目标函数的问题。
与单目标规划不同，多目标规划的目标函数不再是单一的优化目标，而是包含多个决策者所关心的目标。
目标函数之间可能存在冲突和矛盾，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标都能得到满意的结果。
1.目标函数的建立：多目标规划需要明确各个决策者所关心的目标，并将其转化为数学模型的形式。
目标函数可以是线性的、非线性的，也可以包含约束条件。
2.解集的定义：解集是指满足所有约束条件的解的集合。
在多目标规划中，解集通常是一组解的集合，而不再是单个的最优解。
解集可以是有限的或无限的，可以是离散的或连续的。
3.最优解的确定：多目标规划中的最优解不再是唯一的，而是一组解的集合，称为非劣解集。
非劣解集是指在所有目标函数下都没有其他解比其更好的解。
要确定最优解，需要考虑非劣解集中的解之间的关系，即解集中的解是否有可比性。
4.解的评价：首先需要定义一种评价指标来比较不同解之间的优劣。
常用的方法有加权法、广义距离法、灰色关联法等。
评价指标的选择应该能够反映出决策者对不同目标的重视程度。
5. Pareto最优解：对于一个多目标规划问题，如果存在一组解，使得在任意一个目标函数下都没有其他解比其更好，那么这组解就被称为Pareto最优解。
Pareto最优解是解集中最为重要的解，决策者可以从中选择出最佳的解。
6.决策者的偏好：在实际应用中，决策者对不同目标的偏好有时会发生变化。
因此，多目标规划需要考虑决策者的偏好信息，并根据偏好信息对解集进行调整和筛选。
多目标规划在解决实际问题中具有广泛的应用，尤其在决策支持系统领域发挥了重要作用。
它不仅能够提供一组有竞争力的解供决策者参考，还能够帮助决策者更好地理解问题的本质和各个目标之间的权衡关系。
多目标规划既可以应用于工程、经济、管理等领域的决策问题，也可以用于社会、环境等领域的问题求解。
总之，多目标规划通过将多个目标函数集成为一个数学模型，寻找一组最佳的解集，从而在多个目标之间实现平衡和协调。
多目标规划
多目标规划
多目标规划是一种管理和决策方法，用于解决具有多个竞争目标的问题。
在日常生活和商业环境中，我们常常面临多个目标的冲突和权衡，面临难以做出有效决策的情况。
多目标规划通过将多个目标和约束条件转换为数学模型，帮助决策者找到最优的解决方案。
多目标规划的基本思想是将多个目标转化为一个目标函数，然后通过优化算法求解这个目标函数的最优解。
在多目标规划中，每个目标对应着一个权重，决策者可以根据实际需求和优先级为每个目标分配不同的权重。
优化算法会考虑各个目标的权重，尽量减小目标函数的值。
多目标规划的优势在于它能够同时优化多个目标，避免了单一目标规划的片面性。
它能够帮助管理者在多个目标之间进行权衡，找到最合理的解决方案。
例如，一个公司希望在降低成本的同时提高产品质量，采用多目标规划可以帮助公司找到一个平衡点，实现成本和质量的最优化。
多目标规划还可以应用于各种复杂的决策问题，如资源分配、供应链管理、生产计划等。
在资源分配问题中，多目标规划可以考虑到多个资源的利用效率和经济性，从而提高整体资源利用率。
在供应链管理中，多目标规划可以考虑到多个目标，如减少库存成本、提高交付效率和降低物流成本等，从而优化供应链的绩效。
多目标规划方法有许多不同的求解算法，如线性加权法、加权
规范化法、最坏目标法等。
不同的算法适用于不同的问题，可以根据实际情况和具体需求选择合适的方法。
总而言之，多目标规划是一种强大的管理和决策工具，能够帮助决策者在多个目标之间进行权衡和平衡，找到最优的解决方案。
它可以应用于各种不同的领域和问题，帮助解决现实生活和商业环境中的复杂决策问题。
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
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V (VP) V min F ( x) min F ( x) 或(VP) g ( x)0 xR
T R { x | g ( x ) 0 }, g ( x ) ( g ( x ), g ( x ), , g ( x )) . 其中, 1 2 m
主要特点:
（1）多目标数学规划中,评价一个可行解的好坏是由
p个目标所决定的,即用一个向量F(X)来比较好坏,但 是对于两个可行解,谁好谁坏有时不能比较出来.
Hale Waihona Puke 设置显示参数：显示每次迭代的输出 options=optimset('Display','iter'); 调用fgoalattain函数： [x,favl,attainfactor,exitflag] =fgoalattain(@ff12,x0,goal,weight,A,b, [],[],lb,[],[],options) 运行后，输出结果为：
x= 5 4 favl = 29700 -44000 attainfactor = -0.0100 exitflag = 4
例：（投资问题）某企业拟用1000万元投资A、 B两项目的技术改造.设x1，x2分别表示分配 给A、B项目的投资（万元）.据估计，投资 项目A、B的年收益分别为投资的60%和70%； 投资风险损失，与总投资和单项投资的关系 为：0.001x12+0.002x22+0.001x1x2.根据市 场调查显示，A项目的投资前景好于B项目， 因此希望A项目的投资不小于B项目，试问应 该如何在A、B两个项目之间分配投资，才能 既使年利润最大，又使风险损失为最小。
fun：为多目标函数文件名字符串，其定义方 式与前面fun的定义方式相同； x0：为初始解向量； goal：为用户设计的目标函数值向量； weight：为权值系数向量，用于控制目标函 数与用户定义目标值得接近程度； A、b：满足线性不等式约束A· x≤b，没有时 取A=[],b=[]; Aeq、beq：满足线性等式约束Aeq· x=beq， 没有时取Aeq=[],beq=[];
Attainment Max Line search Directional Iter F-count factor constraint steplength derivative Procedure 0 4 0 5 1 8 0.03095 0 1 0.00875 2 12 0.0269 0 1 -0.0635 Hessian modified twice 3 16 -0.01 0 1 -0.0635 Hessian modified
分析：该问题是一个线性多目标规划问题.如 果计划决策变量用x1和x2表示，她们分别代 表A、B产品每月的生产量(单位：t)； f1(x1,x2)表示生产两种产品的总投资费用(单 位：元)；f2(x1,x2)表示两种产品获得的总利 润(单位：元).那么，该多目标规划问题就 是求x1,x2使得:
x1 5 min f1 ( x1 , x2 ) 2100x1 4800x2 x 8 max f ( x , x ) 3600 x 6500 x 2 2 1 2 1 2 而且满足： x1 x 2 9 x1 , x 2 0
xR
h( f 1 , f 2 , , f p ) 题 min h( F ( x)) min
xR xR
( f j f j *)2 , 再求规划问
j 1 2 ( f ( x ) f *) 的最优解x. j j j 1 p
p
2、平均和加权法
先对每个目标函数确定 一个下界，即确定 f j 满足 min f j ( x ) f j ( j 1,2, , p )，令评价函数h( F )
在同一约束下，当目标 函数处于冲突状态时， 不存在最优解 x使所有目标函数同时达 到最优. 此 时，我们使用有效解， 即如果不存在 x R，使得 f i ( x) f i ( x*)，i 1,2, p，则称x * 为有效解.
在matlab中，多目标问题的标准形式为：
min imize
x,
F ( x) weight goal C ( x) 0 Ceq( x) 0 sub. to A x b Aeq x beq lb x ub
的
接 近 程 度 ；
其中：x、b、beq、lb、ub是向量；A、 Aeq为矩阵；C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的 函数；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数 ；weight为权值系数向量，用于控制对应目标 函数与用户定义的目标函数值的接近程度； goal为用户设计的与目标函数相应的目标函数 值向量；γ为一个松弛因子标量；F(x)为多目 标规划中的目标函数向量。
xR p 2 T ( f f ) ， 其中 ( , , , ) 为事先给定的 j j j 1 2 p 0 j 1 0 0
一组权系数，它满足 （或 0 0)， j 1，再求规
j 1
p
划问题 min h( F ( x )) min j ( f j ( x ) f j ) 2 的最优解x.
0 xR xR j 1
p
3、虚拟目标法
先确定f j 满足 min f j ( x ) f j ，f j 0,
xR 0 0 0
j 1,2, , p.令评价函数h( F ) { [( f j f j ) / f j ] } ，
0 0 2 j 1 p 1 2
然后求规划问题： min h( F ( x))
多目标规划
一、多目标规划的特点 二、多目标规划的标准形式 三、多目标规划的求解方法 四、 MATLAB编程 五、 实 例
一、多目标规划的特点
例: (项目投资问题) 假设在一段时间内可用 于投资的总金额为C亿元,可供选择的项目共
有n个,其编号为1,2,...,n.各项目的投资总额及
收益总额由下表给出.问如何使用总资金,才能
options为指定的优化参数； favl为多目标函数在x处的值； attainfactor为解x处的目标规划因子； exitflag为终止迭代条件.
返回
5、实例
例：(生产计划问题)某企业拟生产A和B两种 产品，其生产投资费用为2100元/t和4800元/t ，A、B两种产品的利润分别为3600元/t和 6500元/t. A、B产品每月的最大生产能力分别 为5t和8t；市场对这两种产品总量的需求不少 于9t. 试问该企业应该如何安排生产计划，才 能既满足市场需求，又节约资源，而且使生 产利润达到最大.
go al为 用 户 设 计 的 与 目 标 函 数 相 应 相 应 的 目 标 函 数 量 ； 为 ； 为 一 个 松 弛 因 量 ；
F (x )为 多 目 标 规 划 中 的 目 标
函
在Matlab中，它的最优解由fgoalattain函数实现.
函数 fgoalattain 格式 x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b, Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) [x,favl,attainfactor,exitflag] =fgoalattain(...)
lb、ub：为变量的上界和下界，满足 lb<x<ub; nonlcon：作用是通过接受的向量x来计算非 线性不等式约束C(x)≤0和等式约束。 例如:>>x=fgoalattain(@myfun,x0,goal, weight,A,b, Aeq,beq,lb,ub,@mycon),先 建立非线性约束函数， 并保存为mycon.m: fuction[C,Ceq]=mycon(x). C=... %计算x处的非线性不等式约束 C(x)≤0的函数值. Ceq=... %计算x处的非线性等式约束 Ceq(x)=0的函数值.
分析：该问题是一个非线性多目标规划问题， 将它用数学语言描述出来，就是求x1，x2， 使： max f1 ( x1 , x2 ) 0.60 x1 0.70 x2
min f ( x1 , x2 ) 0.001x 0.002 x 0.001x1x2
2 1 2 2
而且满足：
x1 x 2 1 0 0 0 x1 x 2 0 x1 , x 2 0
返回
四、多目标规划的matlab求 解 多目标规划是指在一组 约束下，对多个不同目 标
函数进行优化 .它的一般形式为min[ f1 ( x), f 2 ( x), , f p ( x)] , sub. to g i ( x) 0, i 1,2, m. 其中x ( x1 , x 2 , , x n ) .
（2）在约束集合R中往往不存在 x R ,它对于每个
目标都是最优解.
返回
三、多目标规划的求解方 1. 理想点法 法
先求p个目标 目 标f1 (x),f 2 (x) , , f p (x) 的最优值, 记 f j * = min f j ( x), j 1,2, , p, 令评价函数h( F ( x))
f
j 1 p i s 1
s
j
f
，再求规划问题 min h( F ( x)) min
xR xR i
f
j 1 p i s 1
s
j
f
i
的最优解 x.
总结： 至此，我们给出了4种评价函数的方法。 所谓评价函数的方法，实际上是根据决策 者的偏好去确定函数h(F)的形式，然后用 符号函数的方法，将多目标规划中的函数 代入到h(F)中，化为单一目标函数来评价 和求最优解。