2015年高考数学一轮复习课时训练第10节 导数的概念与计算

第10节导数的概念与计算
课时训练练题感提知能
【选题明细表】
A组
一、选择题
1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则
为( C )
(A)Δx++2 (B)Δx--2
(C)Δx+2 (D)Δx-+2
解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)
=[(1+Δx)2+1]-2
=(Δx)2+2·(Δx),
∴=Δx+2,选C.
2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( D )
(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4
解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x,
∴f′(1)=2f′(1)+2,
∴f′(1)=-2,
∴f′(x)=2x-4,
∴f′(0)=-4.
故选D.
3.(2013合肥模拟)函数y=x2cos x在x=1处的导数是( B )
(A)0 (B)2cos 1-sin 1
(C)cos 1-sin 1 (D)1
解析:∵y′=(x2cos x)′
=(x2)′cos x+x2(cos x)′
=2xcos x-x2sin x,
∴在x=1处的导数为2cos 1-sin 1,
故选B.
4.(2013中山市期末)函数f(x)=x2-bx+a的图象如图所示,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( B )
(A)(,)
(B)(,1)
(C)(1,2)
(D)(2,3)
解析:由题图知f(1)=1-b+a=0,0<f(0)=a<1,
所以1<b<2.
g(x)=ln x+2x-b,
易知g(x)为(0,+∞)上的增函数,
又g(1)=2-b>0,g()=ln +1-b<0,
故函数g(x)的零点所在区间为(,1),故选B.
5.(2013深圳调研)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程为( C )
(A)y=-x-1 (B)y=-x+3
(C)y=x+1 (D)y=x-1
解析:y′=2-,
所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为k=2-1=1,
因此,在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,
即y=x+1,故选C.
6.(2013潍坊模拟)若曲线f(x)=x·sin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( D )
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
解析:f′(x)=sin x+xcos x,依题意,
f′()=1,且-×1=-1,解得a=2,故选D.
7.(2013惠阳一中实验学校高三月考)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( D )
(A)6e2(B)4e2(C)2e2(D)e2
解析:∵y′=·,∴y′|x=4=·e2.
∴曲线y=在点(4,e2)处的切线方程为y-e2=·e2(x-4).令y=0,得x=2,令x=0,得y=-e2,所以,切线与坐标轴所围成的三角形面积
S=×2×|-e2|=e2.故选D.
二、填空题
8.设直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为.
解析:由已知条件可得直线的斜率k=,
y′=(ln x)′==,
得切点的横坐标为x=2,
切点坐标为(2,ln 2).
由点(2,ln 2)在切线y=x+b上可得
b=ln 2-×2=ln 2-1.
答案:ln 2-1
9.(2013广东六校第三次联考)设P为曲线C:y=x3-x上的点,则曲线C 在点P处的切线的倾斜角的取值范围为.
解析:设点P的横坐标是x,则曲线C在点P处的切线斜率是k=3x2-1≥-1,设切线的倾斜角是α,则tan α≥-1,α∈[0,π),解得
α∈[0, )∪[,π).
答案:[0, )∪[,π)
10.等比数列{a n}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.
解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)],
∴f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)]′
∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a2012
=(a1·a2012)1006=41006=22012.
∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22012x.
答案:y=22012x
11.(2013广州高三调研)若直线y=2x+m是曲线y=xln x的切线,则实数m的值为.
解析:设切点为(x0,x0ln x0),由y′=(xln x)′=ln x+x·=ln x+1得切线斜率为k=ln x0+1,故切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)·(x-x0),整理得y=(ln x0+1)x-x0,与y=2x+m比较得
解得
答案:-e
三、解答题
12.(1)求下列函数的导数.
①y=(2x2+3)(3x-1);
②y=(-2)2;
③y=x-sin cos;
(2)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f′(x)=xcos x.
解:(1)①法一y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′
=4x(3x-1)+3(2x2+3)
=18x2-4x+9.
法二∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,
∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.
②∵y=(-2)2=x-4+4,
∴y′=x′-(4)′+4′=1-4×=1-2.
③∵y=x-sin cos=x-sin x,
∴y′=x′-(sin x)′=1-cos x.
(2)由已知f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′
=[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+
(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asin
x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. ∵f′(x)=xcos x,
∴必须有
即⇒a=d=1,b=c=0.
13.已知函数f(x)=在x=处的切线为l,直线g(x)=kx+与l平行,求f(x)的图象上的点到直线g(x)的最短距离.
解:因为f(x)=,
所以f′(x)=.
所以切线l的斜率为k=f′()=1,切点为T(,).
所以切线l的方程为x-y+=0.
因为切线l与直线g(x)=kx+平行,
所以k=1,
即g(x)=x+.
f(x)的图象上的点到直线g(x)=x+的最短距离为切线l:x-y+=0与直线x-y+=0之间的距离,
所以所求最短距离为=.
14.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:
(1)斜率最小的切线方程;
(2)切线l的倾斜角α的取值范围.
解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,
∴当x=2时,y′=-1,y=,
∴斜率最小的切线过,斜率k=-1,
∴切线方程为x+y-=0.
(2)由(1)得k≥-1,
∴tan α≥-1,
∴α∈∪.
B组
15.(2012年高考辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( C )
(A)1 (B)3 (C)-4 (D)-8
解析:y=,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,
点P的坐标为(4,8),点Q的坐标为(-2,2),
∴在点P处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.
在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2),
即y=-2x-2,解得A(1,-4),
则A点的纵坐标为-4.故选C.
16.(2013河北保定一模)设函数f(x)=|sin x|的图象与直线
y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为α,则α等于( B )
(A)-cos α(B)tan α(C)sin α(D)π
解析:如图,若直线与函数有且仅有三个公共点,
则直线y=kx与曲线y=-sin x(x∈[π,2π])相切,
设切点为(α,-sin α),
则-sin α=kα
且k=-cos α,
所以α=tan α.
故选B.。