3.2边缘分布
3.2边缘分布
( y − µ2 )2 − 2ρ + , 2 σ 1σ 2 σ 2 −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞,
• 其中µ1,µ2,σ1,σ2,ρ都是常数,且σ1>0,σ2>0, |ρ|<1.称(X,Y)为 服从参数µ1,µ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为 (X,Y)~N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ). 试求二维正态随机变量的边缘 概率密度.
x →+∞
= F ( ∞， y )
三、离散型随机变量的边缘分布律
对于二维离散型随机变量( X , Y )，已知其联合分布律为
Pij = P { X = xi ， Y = y j }
( i，j = 1， 2， ⋯)
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X = xi } = ∑ pij ,
j =1
∞
+∞ −∞
f ( x, y ) d x
(2.4)
例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度 6, x 2 ≤ y ≤ x, f ( x, y ) = 0, 其它. 求边缘概率密度f X ( x), fY ( y ).
y y=x y=x2 o 1
解:
f X ( x) = ∫
∞
y
−∞
f ( x, y ) d y
则分量 X 的边缘分布函数为 FX ( x ) = P { X ≤ x} = P { X ≤ x， Y < ∞}
= lim F ( x， y ) = F ( x， ∞ )
概率论-第三章-3.2 边缘分布
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
联合分布函数与边缘分布函数的关系解读.
例2 一射手进行射击, 每次击中目标的概率为p(0<p<1), 射击到击中目标两次为止. 设以X 表示首次击中目标所进 行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.
二、连续型随机变量的条件分布
【引言】在条件分布中,作为条件的随机变量的取值
是确定的数.但是当Y 是连续型r.v.时, 条件分布不能
P{ X xi ,Y y j } pij pi• , i 1, 2, ...
j 1
j 1
P{Y y j } P{ U( X xi ),Y y j } i 1
P{ X xi ,Y y j } pij p• j , j 1, 2, ...
i 1
i 1
联合分布律及边缘分布律
或
P{Y yj } P{X xi Y yj }, P{Y yj } 0
i, j 1,2,L
类似全概率公式(求边缘分布律)
P{ X xi } pij P{ X xi ,Y y j }
j 1
j 1
P{ X xi Y y j } P{Y y j }, P{Y y j } 0, i 1, 2,L j1
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (x, y)d y
当 0 x 1时,
y y x●
fX ( x)
f (x, y)d y
●
O
x
6d y x2
(1,1)
y x2
x
6( x x2 ).
当 x 0 或 x 1时,
联合分布、边缘分布、条件分布的关系
3.2(二维随机变量的边缘分布)
作业：解答题 2 4 5 6
3.2.3
二维连续型随机变量的边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，概率密度为f(x，y). 因为 FX ( x ) F ( x,) ( f ( x, y)dy)dx
由分布函数定义知， X 是一个连续型随机变量， 且其概率密度为 f X ( x ) f ( x, y )dy
设 随 机 变 量X 和 Y 具 有 联 合 概 率 密 度 【补充例】 6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其 他. 求关于 X的 边 缘 概 率 密 度 fX ( x) 和 边 缘 分 布 函 数 FX ( x ).
解:
f X ( x)
f ( x , y)
1 2 1 2
1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ [ 2 ]} 2 2 2 2 2(1 ) 1 1 2 2 1
且
( y 2 ) 2
2 2
2
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：
Y X 0 1 P{Y = yj}
0
9/25 6/25 3/5
1
6/25 4/25 2/5
P{X = xi}
3/5 2/5 1
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
(2) (X，Y)所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、 (1，0)、(1，1)则
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在 1, 2, 3, ,10 十 个 值 中 取 一个值 . 设 D D( N ) 是 能 整 除N 的 正 整 数 的 个 数 , F F(N )是 能 整 除 N的素数的个数 .试 写 出D 和 F 的联合分布律 , 并求边缘分布律 . 解 样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
联合概率密度为
1 2
1
arctan
x;
( x , y ).
FY
(
y)
P{Y
y}
lim
x
F(x,
y)
1
(
2
arctan
y)
1 2
1
arctan
y
.
( x , y ).
《概率统计》
返回
下页
结束
(X,Y)联合分布
(X,Y)边缘分布
任取一球，记录球的编号为X，并将该球放回；然后再从袋中任 取一球，记录第二次取得的球编号为Y.
显然，X与Y的取值互不影响，即有
P{X i,Y j} P{X i} P{Y j} , i, j 1, 2,L , 20. 1. 定义
设二维随机向量(X,Y)的分布为F(x，y)，边缘概率密度分别
fY ( y) f (x, y)dx
y 6dx 6(
y
y y) .
即
fY
(
y)
6( 0,
y y),
0 y 1 .
其它
《概率统计》
返回
下页
结束
例3. 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数为
xe y , 0 x y
f (x, y) 0,
从而得(X,Y)的联合分布为
Y X
1
2
3
1 1/6 1/9 1/18
2 2/6 2/9 2/18
《概率统计》
返回
下页
结束
例2．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量 (X,Y)的联合分布及关于X和Y的边缘分布中的部分数据，请补充 下表：
北邮概率论与数理统计3.2边际分布
§3.2 边缘分布二维随机向量),(Y X 的联合分布（联合分布函数或联合分布列或联合概率密度）完整地刻画了随机变量X 和Y 作为一个整体的概率分布规律。
为应用方便，我们还需要从这个完整的信息中挖掘出某些方面的信息。
这个完整的信息中包含如下信息：（1）每个分量（或部分分量）的概率分布，即边缘分布。
（2）各分量之间的统计联系。
本章将要介绍的随机变量的独立性，及条件分布以及下一章介绍的相关系数就是用来反映和描述他们的统计联系.一．边缘分布 1.边缘分布函数设二维随机向量),(Y X 具有联合分布函数为),(y x F ，而X 和Y 都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为)(x F X 和)(y F Y ,依次称为为),(Y X 关于X 和关于X 的边缘分布函数. 由概率的性质可得),(),(lim },{}{+∞==∞<≤=≤∆+∞→x F y x F Y x X P x X P y可见由),(Y X 的联合分布函数),(y x F 可以X 的边缘分布函数: ),()(+∞=x F x F X (1) 类似地可得),(Y X 关于Y 的边缘分布函数为),()(y F y F Y +∞= (2) 例3.2.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=λ-----其他,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x这个分布称为二维指数分布，其中参数0≥λ，求边缘分布函数。
解：易得X ，Y 的边缘分布函数分别为⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(x x e x F x F x X⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(y y e y F y F y Y这两个边缘分布同为指数分布，且与参数λ无关。
这说明边缘分布确定不了联合分布。
也说明联合分布中不仅含有每个分量的信息，还含有各分量之间统计联系方面的信息。
2．边缘分布律如果),(Y X 为二维离散型随机向量，那么它的每个分量都是离散随机变量。
3.2边缘分布
二、二维离散型随机向量的边缘分布 Y
X
……………
y1
y2 p12 Leabharlann 22… … … …yj p1j … p2j …
P{X=xi}
x1 x2
p11 p21
p1. p2.
xi
pi1
…
pi2
pij …
…
p .
i
P{Y=yj}
p.1
p.j …
1
p.2
…
(i
= 1,2, …)
(j =1,2, …)
-1 0 1 pi ·
三
、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
p(x,y)
[
x
设（X，Y）的联合概率密度
由于 所以
P{ X x, Y }
p( u, v )dv ]du
边缘密度函数的几何解释
例4
已知（X，Y）的联合概率密度
求（X，Y）边缘概率密度 解
例5 设（X，Y）服从区域D：抛物线y =x2和直线y= x所围成的 区域上的均匀分布，求X和Y的联合、边缘概率密度。 解 由于D的面积为 故X，Y联合概率密度为
设 (X,Y) 的联合分布列为
则 (X,Y) 的边缘分布列为
pij = P{X=xi ,Y=yj}
即
X
x1 x2 · · · xi · · ·…
的边缘分布函数为：
· · p i. · · · pi. p1.p2. ·
(X,Y)
FX(x) = F(x,+∞) =
例3、已知随机变量X和Y的分布列分别为 X -1 0 1/2 1 1/4
0
X，Y边缘概率密度：当0≤x≤1时
二维连续随机变量及其概率分布
定理2 二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充 分必要条件是: 对任意实数x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
定理3 若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相 互独立的充分必要条件是
lim F ( x, y) 0
x
lim F ( x, y) 0
y
lim F ( x, y) 1
x, y
性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意 的实数x0和y0，均有
Lim xx0 F(x, y)=F(x0 , y), Lim yy0 F( x, y )=F(x, y0 )
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx.
例3 设随机变量X 和Y 具有联合分布
f
(
x,
y)
6, 0,
求X 和Y 边缘密度
x2 y x 其他
解：
f X (x)
f (x, y)dy
x
6dy x2
0
x 0, y 0 其它
求 (X, Y )的边缘分布函数。
解： X的边缘分布函数为
FX
(x)
F
( x,)
lim
y
F ( x,
y)
1 ex x 0
0 x0
1 ex ey exyxy x 0, y 0
(X ,Y) ~ F(x, y)
0
其它
Y的边缘分布函数为
FY
(
y)
F
(,
概率论笔记——精选推荐
第三章 多维随变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布1.二维rv 的定义：Def:设Ω为随机试验E 的样本空间，若对∀ω∈Ω−−−−→−按一定对应法则∃(X(w),Y(w))为Ω上的二维rv 或称二维的随机变量。
着重讨论：①二维rv 作为一个整体的概率特性。
②其中每一个随机变量的概率特性与整体的概率特性的关系。
2.二维rv 的联合分布函数 1)联合分布函数的定义：Def:设(X,Y)为二维rv ，对∀(X,Y)∈R ×R,称二元函数，F(X,Y)=P(X ≤x)∩(Y ≤y)记为P(X ≤x,Y ≤y)为二维rv 的分布函数或称rvx 与rvy 的联合分布函数。
2)几何意义: 3)性质①0≤F(x,y)≤1,F(+∞,+∞)=1F(-∞,-∞)=0,F(x,-∞)=0,F(-∞,y)=0 ②对每个变量均单调不减固定y 对∀x 1≤x 2，有F(x 1,y)≤F(x 2,y) ③对每个变量均右连续F(x 0+0,y 0)= F(x 0,y 0) F(x 0,y 0+0)=F(x 0,y 0) ④对∀a<b,c<d ,有F(b,d)-F(b,c)-F(a,b)+F(a,c)≥0注：①对于满足以上四个性质的二元函数可以作为某二维rv 的分布函数 ②对于二维的rv ，p(x>a,y>c)=1-F(a,+∞)-F(+∞,c)+F(a,c)≠1-F(a,c)3.二维离散型rv 及其联合分布律1) def:若二维rv(X,Y)的所有可能取值为有限个数对或无穷个可列数对，则称(X,Y)为二维离散型rv.2) 联合分布律设二维rv （X ，Y ）的所有可能值为：(X i,Y j ),I,j=1,2,3……（X=x i,Y=y j ）=P ij ij=1,2……为二维rv （X,Y ）的联合分布律。
eg 1 设F(x,y)= 联合分布律也可以用表格来表示：XYx1 x2 x3 (xi)y 1 y 2y 3 … … y j P 11 p 21 p 31 … … … … p i1 P 12 P 22 P 32 … … … … P I2… … … … … … … …… … … … … … … … … … … … … … … … P 1j p 2j p 3j … … … … p ij性质：①非负性 P ij ≥0； ②归一性 ∑∑ijp =13）联合分布函数 F(x,y)=P(X ≤x,Y ≤y)=∑∑≤≤x Xi yYj pij注：①已知分布律可求分布函数，反之，已知分布函数也可求分布律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y dx 2 y, 0 y 1 y fY ( y ) 0 其他
x
知道，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
d f X ( x) FX ( x) f ( x, y )dy， - dx
同样，Y也是一个连续型随机变量，且其概率密度 为
fY ( y)
-
f ( x, y)dx，
分别称fX(x)、fY(y)为关于X和关于Y的边缘 概率密度。
故关于X和Y的边缘分布律分别为： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5
3.2.2.二维连续型随机变量的边缘分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量,其概率密度 为f(x,y),又设(X,Y)、X及Y的分布函数分别为 F(x,y)、FX(x)、FY(y),则由
ห้องสมุดไป่ตู้
f ( x, y ) dy dx FX ( x) F ( x, ) - -
对于一个二维随机变量(X,Y)，事件{X≤x}就
是指事件{X≤x,Y<∞} ，所以FX(x) =P{X≤x} =P{X≤x,Y<∞} ，即FX(x)=F(x, ∞),同理 FY(y)=F(∞,y).
3.2.1.二维离散型随机变量的边缘分布 若二维离散型随机变量X与Y的联合分布
律为
P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 则称
例2 设(X,Y)服从如图区 域D上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边 缘概率密度 解 因为三角形区域D的面 积为A=1,所以
x=-y
x=y
于是
1, ( x, y ) D f ( x, y ) 0, 其他
1 dy 1 x, 1 x 0 x 1 f X ( x) dy 1 x, 0 x 1 x 0 其他
3.2
边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分 布函数F(x,y)，而X和Y随机变量，各自有自己 的概率分布，自然也都有分布函数. 定义3.5 设(X,Y)是二维随机变量，则称X的 分布函数为(X,Y)关于X的边缘分布函数，记为 FX(x);称Y的分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布 函数，记为FY(y).
P{X＝xi}＝pi.＝
p
j1
ij
，i＝1, 2, …
为(X, Y)关于X的边缘分布律； P{Y＝ yj}＝p.j＝ pij ，j＝1, 2, … 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。
i 1
例1.已知(X,Y)的分布律为 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边缘分布律。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5