高一数学(必修一)《第五章-对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章 对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()2log 1f x x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知对数函数()f x 的图像经过点1,38A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a <<3．函数1()ln f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--5．函数f （x ）＝|ax －a |(a >0且a ≠1)的图象可能为（ ）A． B ． C ． D ．6．下列函数中是减函数的为（ ） A ．2()log f x x = B ．()13x f x =- C ．()f x = D ．2()1f x x =-+7．设0.30.50.514,log 0.6,16a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．已知函数2(43)3,0()log (1)2,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩ (a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈当12x x <时，则都有()()()12122f x f x x x -<-则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．1,2D ．()2,+∞10．函数y ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,211．记函数2log 2x y x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．()0,2D ．(]0,212．下列函数在(),1-∞-上是减函数的为（ ）A ．()ln f x x =-B ．()11f x x =-+ C ．()234f x x x =--D ．()21f x x =13．下列函数是偶函数且值域为[)0,∞+的是（ ）①y x =；②3y x =；③||2x y =；④2y x x =+ .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④14．已知函数22,2()log ,2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．[)1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-15．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>16．已知集合{}1,0,1,2A =-和2{|1}B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,217．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()1()xf x a=与()log b g x x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．设123a -=，1312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭和21log 3c =，则（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<19．已知函数212()log (3)f x x ax a =-+ 在[)2,+∞上单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．(,4]-∞B ．(4,4]-C ．[4,4]-D ．(4,)-+∞20．函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,121．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞二、解答题22．比较下列各数的大小： （1）12log 3与12log π；（2）4log 3与5log 3； （3）5log 2与2log 5.23．已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的图象经过点()3,3ln 2.(1)求a 的值，及()f x 的定义域； (2)求关于x 的不等式()()ln 2f x x ≤的解集.24．已知函数()()9log 91xf x x =++.(1)若()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立，求a 的取值范围； (2)若函数()()9231f x xx g x m -=+⋅+和[]90,log 8x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.25．已知函数()ln f x x =.(1)在①()21g x x =-，②()21g x x =+这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知函数___________，()()()=h x f g x 求()h x 的值域. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)若1x ∀∈R ，()20,x ∈+∞和()1122421ln x xa x x -+<-，求a 的取值范围.26．已知______，且函数()22x bg x x a+=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题. (1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围. 27．定义：若函数()y f x =在某一区间D 上任取两个实数12x x 、，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭则称函数()y f x =在区间D 上具有性质L ．（1）写出一个在其定义域上具有性质L 的对数函数（不要求证明）． （2）判断函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论． （3）若函数21()g x ax x=-在区间(0,1)上具有性质L ，求实数a 的取值范围．三、填空题28．函数()ln(4)f x x =+-的定义域是___________. 29．()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________．30．已知函数211,0()2,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 31．已知函数2(12)0()log (1)0a x a x f x x x +-<⎧=⎨+≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的范围是_________32．已知函数()log (23)1(>0a f x x a =-+且1)a ≠，且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为_________.33．已知函数()2log 081584，，⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x x f x x x ，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是____．34．若0x >和0y >，且111x y+=，则22log log x y +的最小值为___________.四、多选题35．已知函数()f x 和()g x 的零点所构成的集合分别为M ，N ，若存在M α∈和N β∈，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点伴侣”．若函数()1e 2xf x x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．436．已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，下列结论中正确的是（ ）A ．当0a =时，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 一定有最小值C ．当0a =时，则()f x 的值域为RD ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥-参考答案与解析1．A【分析】根据函数的定义域为(),1-∞可排除B 、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当0x =时，则()()20log 10=0f =-，故排除B 、D. 当1x =-时，则()()21log 1110f -=+=>，故A 正确. 故选A.【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的x 值，判断y 的正负号. 2．C【分析】根据对数函数可以解得2a =，4t =再结合中间值法比较大小． 【详解】设()()log 0,1a f x x a a =>≠，由题意可得：1log 38a =-，则2a = ∴log 164a t ==0.1log 40a =<，()40.20,1b =∈和0.141c =>∴a b c << 故选：C ． 3．A【分析】利用函数的奇偶性排除选项D ，利用当01x <<时，则()0f x >，排除选项B ，C ，即得解. 【详解】解：∵函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，1()ln f x x xx ⎛⎫-=-+⋅- ⎪⎝⎭1ln ()x x f x x ⎛⎫--⋅=- ⎪=⎝⎭ ∴()f x 为奇函数，排除选项D ．当01x <<时，则2110x x x x--=<和ln 0x < ∴()0f x >，排除选项B ，C ． 故选：A ． 4．A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，则1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，则函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，则12x y -=-单调递减，故排除C项. 故选：A. 5．C【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】当>1a 时，则,1()=,<1x xa a x f x a a x -≥-⎧⎨⎩显然当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而>1a ，故AB 不符合； 对于CD ，因为渐近线为=2y ，故=2a ，故=0x 时，则=1y 故选项C 符合，D 不符合；当0<<1a 时，则,<1()=,1x xa a x f x a a x --≥⎧⎨⎩当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而0<<1a ，故ABD 不符合； 故选：C 6．B【分析】利用对数函数单调性判断选项A ；利用指数函数单调性判断选项B ；利用幂数函数单调性判断选项C ；利用二次函数单调性判断选项D.【详解】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误； 选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确； 选项C ：由12-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =为增函数.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误. 故选：B 7．B【分析】计算可得2a =，再分析()0.5log 0.60,1b =∈，0.3116c a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭即可判断【详解】由题意0.542a ==，()()0.50.50.5log 0.6log 1,log 0.50,1b =∈=和0.30.30.2511616216c a -⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，故b ac <<故选：B 8．C【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数2(43)3y x a x a =+-+的对称轴为：432a x -=-因为二次函数开口向上，所以当0x <时，则该二次函数不可能单调递增 所以函数()f x 是实数集上的减函数则有01432302343log 122a a a a a <<⎧⎪-⎪-≥⇒≤≤⎨⎪≥+=⎪⎩故选：C 9．B【分析】由题设知()()2h x f x x =-在R 上递增，将不等式转化为2(log )(1)h x h <，利用单调性求解集即可. 【详解】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<. 故不等式解集为()0,2. 故选：B 10．C【分析】依题意可得21log 0x +≥，根据对数函数的性质解不等式，即可求出函数的定义域. 【详解】解：依题意可得21log 0x +≥，即221log 1log 2x ≥-=，所以12x ≥ 即函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C 11．B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x << 所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ． 12．C【分析】根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.【详解】对于选项A ，()ln f x x =-在(),1-∞-上无意义，不符合题意； 对于选项B ，()11f x x =-+在(),1-∞-上是增函数，不符合题意； 对于选项C ，2234,? 4134,? 14x x x x x x x ⎧--≥≤-⎨-++-<<⎩或的大致图象如图所示中由图可知()f x 在(),1-∞-上是减函数，符合题意；对于选项D ，()21f x x =在(),1-∞-上是增函数，不符合题意. 故选：C. 13．C【分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案. 【详解】对于①，y x =是偶函数，且值域为[)0,∞+； 对于②，3y x =是奇函数，值域为R ； 对于③，2xy =是偶函数，值域为[)1,+∞；对于④，2y x x=+是偶函数，且值域为[)0,∞+所以符合题意的有①④ 故选：C. 14．D【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是()21f =，则根据指数函数的性质，列式求实数a 的取值范围.【详解】2x <时，则()2,4xa a a -∈--，2x ≥时，则2log 1x ≥若要使得()f x 存在最小值，只需要2log 2a -≥，即1a ≤-. 故选：D. 15．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m > 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=- 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b >又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)mf x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．16．A【分析】根据一元二次不等式的求解得{}11B x x =-≤≤，根据集合的交运算即可求解. 【详解】因为{}1,0,1,2A =-和{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-故选：A ． 17．B【分析】由对数的运算性质可得ab ＝1，讨论a ，b 的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】22log log 0a b +=，即为2log 0ab =，即有ab ＝1. 当a ＞1时，则0＜b ＜1函数()1()xf x a=与()log b g x x =均为减函数，四个图像均不满足当0＜a ＜1时，则b ＞1函数数()1()xf x a=与()log b g x x =均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B 故选：B ． 18．B【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可 【详解】由题意201313a -<==，故(0,1)a ∈ 1130312212b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭2231log log 10c =<= 故c a b << 故选：B 19．B【分析】转化为函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果. 【详解】因为函数212()log (3)f x x ax a =-+在[)2,+∞上单调递减所以函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立 所以2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，解得44a -<≤.故选：B 20．A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由220x x ->，得02x <<令22t x x =-，则2log y t=22t x x =-在(0,1)上递增，在(1,2)上递减因为2log y t=在定义域内为增函数所以22log (2)y x x =-的单调递减区间为(1,2)故选：A 21．A【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，则函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答.【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，则()4322x xf x =-⨯+当0x <时，则0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+而当0x ≥时，则()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，则0(4322)6x xx --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A22．（1）1122log 3log π>.（2）45log 3log 3>.（3）52log 2log 5<. 【分析】（1）根据12()log f x x=，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；（2）根据3log y x =，在定义域内是增函数，可得330log 4log 5<<，故3311log 4log 5>，即可比较二者大小； （3）根据5log 21<，2log 51>即可比较二者大小. 【详解】（1）设12()log f x x =.3π<且()f x 是减函数 ∴(3)()f f π>即1122log 3log π>.（2）3log y x =是增函数∴330log 4log 5<<. ∴3311log 4log 5> 即45log 3log 3>. （3）55log 2log 51<=且22log 5log 21>=∴52log 2log 5<.【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 23．(1)1a =，定义域为()1,+∞ (2){112}x x <+∣【分析】（1）直接将()3,3ln 2代入函数解析式，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()()2ln 1ln 2x x -，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； （1）解：由题意可得()()ln 31ln 313ln2a ++-=，即()ln 312ln2a +=，所以314a += 解得1a =则()()()ln 1ln 1f x x x =++-.由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >.所以()f x 的定义域为()1,+∞. （2）解：由（1）可得()()()()2ln 1ln 1ln 1,1f x x x x x =++-=->不等式()()ln 2f x x 可化为()()2ln 1ln 2x x -因为ln y x =在()0,+∞上是增函数所以20121x xx ⎧<-⎨>⎩ 解得112x <+.故不等式()()ln 2f x x 的解集为{}|112x x <+. 24．(1)(],0-∞(2)存在 m =【分析】（1）利用分离参数法得到()9log 91x a x <+-对于任意x 恒成立，令()()9log 91xh x x =+-，利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到()9232x xg x m =+⋅+令3x t =， t ⎡∈⎣研究函数()()222222p t t mt t m m =++=++-，t ⎡∈⎣根据二次函数的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m . （1）由题意可知，()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立代入可得()9log 910x x a +-->所以()9log 91xa x <+-对于任意x 恒成立令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx xh x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为1119x +>，所以由对数的图像与性质可得：91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以0a ≤. 即实数a 的范围为(],0-∞. （2） 由()()9231f x xx g x m -=+⋅+，[]90,log 8x ∈且()()9log 91x f x x =++代入化简可得()9232x xg x m =+⋅+.令3x t =，因为[]90,log 8x ∈，所以t ⎡∈⎣则()()222222p t t mt t m m =++=++- t ⎡∈⎣①当1m -≤，即1m ≥-时，则()p t 在⎡⎣上为增函数所以()()min 1230p t p m ==+=，解得32m =-，不合题意，舍去②当1m <-<1m -<-时，则()p t 在[]1,m -上为减函数，()p t 在m ⎡-⎣上为增函数所以()()2min 20p t p m m =-=-=，解得m =m =③当m ≤-，即m ≤-()p t 在⎡⎣上为减函数所以()(min 100p t p ==+=解得m =综上可知m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性. 25．(1)答案见解析 (2)1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据复合函数的性质即可得到()h x 的值域；（2）令()()1ln F x x x =-，求出其最小值，则问题转化为1142x x a <-恒成立，进而求1142x xy =-最小值即可.（1）选择①，()()2ln 1h x x =-令21t x =-，则()0,t ∈+∞，故函数ln y t =的值域为R ，即()h x 的值域为R .选择②，()()2ln 1h x x =+，令21t x =+，则[)1,t ∈+∞因为函数ln y t =单调递增，所以0y ≥，即()h x 的值域为[)0,∞+. （2）令()()1ln F x x x =-.令12x m =，则()0,m ∈+∞，所以112211142244x x m m m ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭故14a <-，即a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.26．(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析； (2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ； 若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中再根据定义判断函数的奇偶性； （2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1） 选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+.选择②.当0a >时，则()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩ 所以()222xg x x =+.()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数.（2） 当0x >时，则()122g x x x=+，因为224x x +≥，当且仅当22x x =，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤； 当0x <时，则因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，则()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立 所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.27．（1）12log y x =；（2）函数1()f x x x =+在区间(0,)+∞上具有性质L ；答案见解析；（3）(,1]-∞．【分析】（1）由于底数在(0,1)上的对数函数满足题意，故可得答案； （2）任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，对()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭作差化简为因式乘积形式，判断出与零的大小，可得结论； （3）函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离求出最值，可得参数的范围． 【详解】（1）如12log y x=（或底在(0,1)上的对数函数）；（2）函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ．证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠()()12121212121211122222f x f x x x x x f x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2212121212121212121241112222x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫=+-== ⎪+++⎝⎭ 因为12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠所以()()21212120,20x x x x x x ->⋅+>，即()()1212022f x f x x x f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭． 所以函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ． （3）任取12,(0,1)x x ∈，且12x x ≠，则()()21222121212121211122222g x g x x x x x g ax ax a x x x x ⎡⎤+⎛⎫++⎛⎫⎛⎫-=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()()()2221212121212121212122244ax x x x x x x x a x x x x x x x x x x -+⎡⎤--⎣⎦=-⋅=-++ 因为12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，所以()()21212120,40x x x x x x ->⋅+> 要使上式大于零，必须()121220a x x x x -⋅⋅+>在12,(0,1)x x ∈上恒成立 即()12122a x x x x <+()212124x x x x +< ()()()()231212*********8x x x x x x x x x x +∴++>=+ 令()()3120,8x x t +=∈，则38y t =在()0,1上单调递减，即()()()()2331212121212228148x x x x t x x x x x x ∴>=++=>++ 所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新概念，考查不等式的恒成立问题，解决本题的关键点是将函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离后转化为求最值问题，并借助于基本不等式和幂函数的单调性得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 28．(3,4)【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得260,40,x x ->⎧⎨->⎩解得34x <<，即()f x 的定义域是(3,4).故答案为：(3,4) 29．413a <<【分析】使复合函数()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，需内增外减或外增内减，讨论a 求解即可 【详解】由题可得，根据对数的定义，0a >且1a ≠，所以4y ax =-是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到1430a a >⎧⎨->⎩，所以413a <<.故答案为：413a <<30．2⎛ ⎝⎭[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可 【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<所以当1≥x 时，则12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增当01x <<时，则21122()loglog g x x x =-+则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得0x <<所以()g x在⎛ ⎝⎭上递增 综上得函数()g x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭ [1,)+∞故答案为：⎛ ⎝⎭，[1,)+∞ 31．1(,0]2-【分析】先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域应该有哪些元素．【详解】当0x ≥时，则2()log 0f x x =≥，因此当0x <时，则()(12)f x a x a =+-的取值范围应包含(,0)-∞ ∴1200a a +>⎧⎨-≥⎩，解得102-<≤a ． 故答案为1(,0]2-． 【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段讨论．32．()2,1【解析】根据对数函数的性质求解．【详解】令231x -=，则2x =，(2)1f =即()f x 图象过定点(2,1)．故答案为：(2,1)33．()820，【分析】利用函数图像，数形结合进行分析.【详解】不妨设a b c <<，画出函数()f x 图像：()()()f a f b f c ==221log log 54a b c ∴==-+－ ()2log 0ab ∴= 10534c <-+< 解得1ab = 820c <<820abc ∴<<．故答案为：()820，34．2【分析】由均值不等式求出xy 的最小值，再由对数的运算及性质即可求解.【详解】因为0x >，0y >且111x y+=所以111x y ≥+=4xy ≥，当且仅当11x y =，即2x y ==时等号成立 即xy 的最小值为4所以2222log log log log 42x y xy +=≥=故答案为：235．AD【分析】首先确定函数()f x 的零点，然后结合新定义的知识得到关于a 的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a 的取值范围即可.【详解】因为函数()1e 2x f x x -=+-是R 上的增函数，且()10f =，所以1α=，结合“零点伴侣”的定义得11β-≤，则02β≤≤又函数()23g x x ax a =--+在区间[]0,2上存在零点，即方程230x ax a --+=在区间[]0,2上存在实数根 整理得2232122411x x x x a x x +++--+==++()4121x x =++-+ 令()()4121h x x x =++-+，[]0,2x ∈所以()h x 在区间[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增 又()03h =，()723h =和()12h =，所以函数()h x 的值域为[]2,3 所以实数a 的取值范围是[]2,3．故选：AD ．36．AC【分析】A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.【详解】对于A ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-，令210x ->，解得1x <-或1x >，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，故A 正确；对于B 、C ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则21y x ax a =+--在[)2,+∞上单调递增，且当2x =时，则0y >则224210aa a⎧-≤⎪⎨⎪+-->⎩，解得3a>-，故D错误．故选：AC．。