正余弦定理完美教案

正余弦定理教案教学标题正余弦定理及其应用教学目标 熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式会用正余弦定理解三角形 会做综合性题目教学重难点 正弦定理、余弦定理的综合应用授课内容：梳理知识1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===. 典型例题探究点一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A <a <b 时，有两解；④当a <b sin A 时，无解．若A 为直角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22.综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22， 或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C sin A ＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4.变式迁移1(1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________.探究点二 余弦定理的应用例2 已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解 (1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)方法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ， 得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A .由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a >a ，∴B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A .∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π3－A ，∴sin(2π3－A )＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ， ∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.变式迁移2在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .探究点三 正、余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系． 解 方法一 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B ) ⇔a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ，∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π， 得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C.(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．课堂练习一、选择题(每小题5分，共25分)1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于 ( )A ．－223B.223C ．－63D.63家庭作业一、 选择题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）1、在ABC ∆中，下列式子与sin aA相等的是 （ ） A 、b c B 、cos b b C 、sin sin B C D 、sin b B2、在ABC ∆中，已知，c=10，∠A ＝30o，则∠B 等于 （ ） A.105oB. 60oC. 15oD.105o 或15o3、在ΔABC 中，∠A=450,∠B=600,a=2,则b= ( )A B ． C ．．4、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A.30,14,7===A b a ，有两解 B.150,25,30===A b a ,有一解 C.45,9,6===A b a ，有两解 D.60,10,9===A c b ，无解 5、在ABC ∆中，sin sin A B =,则ABC ∆是 （ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形6、在△ABC 中，一定成立的等式是 ( )A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA7、在ABC ∆中，若15,10,60a b A ︒===则cos B 等于 （ ）A 、3-、3 C 、 D 二、 填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 1、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于 .2、在中ABC ∆，AB=,75C 45A 3︒=∠︒=∠，，则BC 的长度是3、在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是 .4、 已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，且ABC S ∆＝2224a b c +-，那么角C ＝ .5、已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么 BC 边长是________．6、在ABC ∆中，若,22a b A B ==则cos B . 7、在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1413，则最大角的余弦值是________． 三 、解答题（10分）（要求具体的解题过程，否则按错误处理）1、在ABC ∆中，已知30,33,3===B c b ,解此三角形。

2、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且tan 2tan B a cC c-=， a 2＋b 2＝c 2＋2ab ，求A ．变式迁移1(1)102(2)60°或120°解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110.又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.(2)由b >a ，得B >A ，由a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝25650×22＝32，∵0°<B <180° ∴B ＝60°或B ＝120°. 变式迁移2解 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.∴a 等于1或3. 变式迁移3解题导引 在正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 中，2R 是指什么？a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC 的作用是什么？(1)证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .(2)解 由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13.又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429，cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3 ＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3＝42－7318.1．D 2.D 3.B 4.B 5.A 6．等边三角形解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2＋c 2－ac ， ∴(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 7．1解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°.由正弦定理知，1sin A ＝3sin 60°，即sin A ＝12.由a <b 知，A <B ，∴A ＝30°， C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， ∴sin C ＝sin 90°＝1. 8.π4解析 设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β，则tan α＝13，tan β＝12，∴tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.∵∠BAC 为锐角，∴∠BAC 的大小为π4.9．解 (1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.……………………………………………………(4分)又由AB →·AC →＝3得bc cos A ＝3，所以bc ＝5，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.…………………………………………………………………(8分)(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165bc ＝20，所以a ＝2 5.………(12分)10．解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6， 由余弦定理得，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分)∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.…………………………………………………………(8分) 在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°， ∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.…………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝423bc .由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，……………………………………………(4分)又0<A <π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13.……………………………………………………(6分)(2)原式＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π－A ＋π41－cos 2A ………………………………………………………(8分)＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫A －π42sin 2A＝2⎝⎛⎭⎫22sin A ＋22cos A ⎝⎛⎭⎫22sin A －22cos A 2sin 2A …………………………………………(11分) ＝sin 2A －cos 2A 2sin 2A ＝－72. 所以2sin (A ＋π4)sin (B ＋C ＋π4)1－cos 2A ＝－72.……………………………………………………(14分)。