优质学习-新初一预科班数学讲义(全版)
初一数学上册预科讲义
有理数和实数第一部分第一讲有理数的基本概念1、正数像 3、1、+0.33 等的数，叫做正数。
在小学过的数，除 0 外都是正数。
正数都大于 0。
2、负数像−1、−3.12、−175 、−2012等在正数前加上“−”(读作负)号的数，叫做负数。
负数都小于 0。
0既不是正数，也不是负数。
3、相反意义的量如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
“相反意义的量”的含义包含两部分：相反意义，在相反意义的基础上有数量。
如：南为正方向，向南 1km 表示为+1km ，那么向北 3km 表示为−3km 。
若向东走3km 如何表示？4、有理数整数与分数统称为有理数。
凡是可以化成分数形式的数，都是有理数。
否则，不是有理数。
150.5 1.3 0.1▪23▪ 0.12▪3▪ 0.123▪3.1415926 π5、无理数无限不循环小数，如 π。
有理数分类标准：①性质 、②正负⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数正分数分数零正整数整数有理数：先性质后正负 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数非正数非负数零正分数正整数正有理数有理数：先正负后性质)(⎪⎩⎪⎨⎧小数是有理数不可化成分数形式，不—无限不循环小数理数可化为分数形式，是有无限循环小数有限小数⎭⎬⎫注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例 1：⑴下列各组量中，具有相反意义的量是( )A. 节约汽油 10升和浪费粮食B. 向东走 8 公里和向北走 8公里C. 收入 300元和支出 100元D. 身高 1.8米和身高 0.9米⑵如果零上5 ℃记作+5 ℃，那么零下5 ℃记作( )A. −5B. −10C. −5 ℃D. −10 ℃⑶如果水位升高 4m时水位变化记为+4m，那么水位下降 3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m⑷甲乙两地的海拔高度分别为 200米，−150米，那么甲地比乙地高出( )A. 200米B. 50米C. 300米D. 350米⑸饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600 ± 30(ml) ”字样。
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有理数第一章具有相反意义的量1.1学习目标：用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量； 1. 从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性； 2..理解有理数的意义，会对有理数进行分类 3.学习重点：.用正数和负数表示一对具有相反意义量学习难点：.负数概念的建立用正数、负数表示具有相反意义的量一：、10.5、125、为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用表示，例如：我们小学学过的32”-的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用表示，它是在正数前面加上“等大于0 32.、-等就是负数、.例如：3-1、-0.618（读做负）号3 .既不是，也不是（1）0 .）正数和零统称为，负数和零统称为（2（3）通常把水结冰时的温度规定为0℃，那么比水结冰时的温度低5℃应该记作（4）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m表示点拨：（1）在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为-100米，则向西走80米记作+80米.（2）有的时候在正数前面加上“+”（读作正），以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3）判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就是负数.（4）0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0.典例分析例1、在一次体育课上，体育老师让同学们练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2. （1）这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）解：（1）这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二：有理数的分类有理数的分类(1)．正整数非负数有理数正分数有理数负整数非正数有理数负分数3-0.37、9、-5.14、-1、78(2)有下列数：3.6、-，其中、0、5整数：分数：(3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？11、2010、0、-、2.7、、-10.3、 2 -0.414、-734点拨）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，（1.要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数 .（即自然数））正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数（2 、把下列各数填入相应的大括号内例2131、-、0、-5.32.8 -24、、49、、-（-1）、-5.4 242（1）正整数集合：｛｝（2）负整数集合：｛｝（3）正分数集合：｛｝（4）负分数集合：｛｝（5）非负数集合：｛｝达标检测.吨吨面粉记作50吨，那么运出+200吨面粉记做200、面粉厂运进12、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为米.?0.02kg，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg 标准.4（填“符合”或“不符合”）5、下列关于0的说法中正确的有（）①0是整数，0是有理数②0既不是正数，也不是负数③0不是整数，是有理数④0是整数，不是自然数A、4个B、3个C、2个D、1个6、某班数学平均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（）?）℃，请你写出适合药品保存的温度2、某种药品的说明书上标明保存温度是（720 . 1234、、-、……那么第8、有一列数：-7个数是 .5210179、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……，则这列数的第100个和第2005个数分别是相反数与绝对值数轴1.2数轴1.2.1学习目标：能在数轴上标出表示已知有.2. 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数.3.理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.形结合的数学思想学习重点：. 正确画数轴；在数轴上标出表示已知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数学习难点：.数轴上的点与有理数之间的关系一、概念点拨）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。
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第一章 有理数1.1 具有相反意义的量学习目标： 1.用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量；2.从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性；3.理解有理数的意义，会对有理数进行分类.学习重点： 用正数和负数表示一对具有相反意义量.学习难点：负数概念的建立.一：用正数、负数表示具有相反意义的量为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用 表示，例如：我们小学学过的3、125、10.5、32等大于0的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用 表示，它是在正数前面加上“-”（读做负）号.例如：3、-1、-0.618、-32等就是负数. （1）0既不是 ，也不是 .（2）正数和零统称为 ，负数和零统称为 .（3）通常把水结冰时的温度规定为0℃，那么比水结冰时的温度低5℃应该记作（4）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m 表示 点拨：（1）在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为-100米，则向西走80米记作+80米.（2）有的时候在正数前面加上“+”（读作正），以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3）判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就是负数.（4）0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0.典例分析例1、 在一次体育课上，体育老师让同学们练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2.（1）这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）解：（1）这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二：有理数的分类(1)有理数的分类(2)有下列数：3.6、-53、78、0、-0.37、9、-5.14、-1，其中整数：分数：(3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？-0.414、-7、2.7、-31、2010、0、41、-10.3、 2点拨（1）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数.（2）正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数.（即自然数）例2、把下列各数填入相应的大括号内-24、2.8、49、-5.3、21、-43、0、-（-121）、-5.4（1）正整数集合：｛｝（2）负整数集合：｛｝（3）正分数集合：｛｝（4）负分数集合：｛｝（5）非负数集合：｛｝达标检测1、面粉厂运进200吨面粉记做+200吨，那么运出50吨面粉记作吨.非负数非正数正整数正分数有理数负整数负分数2、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为 米.4、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg +0.02kg ，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果 标准.（填“符合”或“不符合”）5、下列关于0的说法中正确的有（ ）①0是整数，0是有理数 ②0既不是正数，也不是负数③0不是整数，是有理数 ④0是整数，不是自然数A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个6、某班数学平均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（ ）7、某种药品的说明书上标明保存温度是（20+28、有一列数：-21、52、-103、174……那么第7个数是 . 9、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……，则这列数的第100个和第2005个数分别是1.2 数轴 相反数与绝对值1.2.1 数轴学习目标： 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴.2.能在数轴上标出表示已知有理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.3.通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数形结合的数学思想.学习重点：正确画数轴；在数轴上标出表示已知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数. 学习难点： 数轴上的点与有理数之间的关系.一、概念点拨（1）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。
新初一数学预科第1节 美妙的数学世界
美妙的数学世界【知识纵横】从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学,人类任何时候都受到数学的恩惠和影响,数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大的科学体系．走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式的模型、运动变化的函数观念；走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据“世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表示数据和信息．走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知．诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构．”1.数论有1997盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3.......1997,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为3的倍数的灯线拉一下；最后再将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后亮着的灯数为（ C ）A 1464盏B 533盏C 999盏D 998盏2十进制与二进制我们平常用的数是十进制数，如2639=9103106102223+⨯+⨯+⨯，表示十进制的数要用10个数的数码（又叫数字）：0，1，2，3…..9.在电子计算机中用的是二进制,只要两个数码0和1,如二进制中的101=1202112+⨯+⨯等于十进制的5,那么二进制那个中的1101等于十进制的数是几?3.定义新运算设a,b 是两个数，规定,2)(4÷+-⨯=*b a b b a 这里“+，-，⨯，÷”是通常的运算符号，括号的作用也是通常的含义，“*”是新的运算符号，计算：3*（4*6）4 观察归纳与猜想（1）已知 1+3=4=221+3+5=9=231+3+5+7=16=241+3+5+7+9=25=25根据前面各式的规律，可猜想1+3+5+7+………+(2n-1)=________(期中n 为自然数)（2）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，………叫做三角形数它有一定的规律性,则第24,个三角形数与第22个三角形数的差为______________.5.图形计数与面积计算（1）如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别是7、4、6，则阴影部分面积是（2） 图中有多少个三角形？6 数与形A,B,C,D,E,F 六只足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天的时候，统计出A,B,C,D,E,五队已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，则还没有与B 队比赛的球队是（ ）A C 队B D 队C E 队D F 队7基础闯关题目1杯鲜橙汁售价1.80元，现商家促销：买1杯鲜橙汁送奖卷1张，3张奖卷兑换1杯鲜橙汁，每张奖卷的价值相当于（ ）元A 0.3B 0.45C 0.5D 0.6自我评价定级B N CQ。
冀教版七年级整式预科专题讲义
冀教版七年级整式预科专题讲义例3. 当x=1时，代数式13++qx px 的值为2005，求x=－1时，代数式13++qx px 的值.例2. 如果,0)1(22=-++b a 那么代数式(a+b)2005的值为（ ） A. –2005 B. 2005 C. -1 D. 1例3． 某品牌的彩电降价30%以后，每台售价为a 元，则该品牌彩电每台原价为（ ） A. 0.7a 元 B.0.3a 元 C.a 310 元 D. a 710元 几个重要的代数式（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： ； a 与b 差的平方是： ；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： ,则三位整数是： ； （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： ；偶数是： ，奇数是： ；三个连续整数是： ；（4）若b ＞0，则正数是: ，负数是： ，非负数是： ，非正数是： . 归纳法在代数式中的体现（1）观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4------请你将猜想到的规律用自然数n(n ≥1)表示出来______________________.（2）如图，图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3：图１ 图2 图31、填写下表：23、能否分出246个三角形？简述你的理由。
达标练习1. 某机关原有工作人员m 人，现精简机构，减少20%的工作人员，则剩下_____人.2. 甲以a 千米/小时、乙以b 千米/小时（a ＞b ）的速度沿同一方向前进，甲在乙的后面8千米处开始追乙，则甲追上乙需_____________小时.3. 某工厂有煤m 吨，计划每天用煤n 吨，实际每天节约用煤b 吨，节约后可以多用（ ） A 、⎪⎭⎫⎝⎛-+n m b n m 天 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--b n m n m 天 C,⎪⎭⎫⎝⎛+-b n m n m 天 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛--n m b n m天 4. 一艘轮船从A 港顺水航行到B 港的速度为a ，从B 港逆水航行到A 港的速度为b ，则此轮船从A港出发到B 港后再回到A 港的平均速度为（ ） A 、ba ab+B 、ba ab+2 C 、2ba + D 、abba 2+ 5. 某校学生中男生人数为x ，女生人数为y ，教师人数与全校师生人数的比为1:11，则教师人数为（ ） A 、11yx + B 、12yx + C 、10yx + D 、6yx + 6. 某餐饮公司为大庆路沿街20户居民提供早餐方便，决定在路旁建立一个快餐店P ，点P 选在何处，才能使这20户居民到P 点的距离总和最小？7. 某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘3千米；3千米到5千米，每千米价1.3元；超过5千米，每千米价2.4元。
初一预科数学第十一讲
代数式整式一、知识概述1、由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．(1)圆周率π是常数；(2)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．(3)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如321x 写成27x 2、几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式的每一项都包括它前面的符号．多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．3、单项式和多项式统称整式． 二、例题解答1、判断下列各式是否是单项式．如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数．2、下列结论中，正确的是（ ） A 、单项式52a b 2的系数是2，次数是2 B 、单项式a 既没有系数，也没有指数 C 、单项式—a b 2c 的系数是—1，次数是4 D 、没有加减运算的代数式是单项式 3、多项式―35a 3b ―7ab ―6ab 4+1是 次 项式，它最高项的系数是 . 4、下列说法正确的是（ ）A 、5m －2的项是5m 和2B 、31+x 和3xy都是单项式 C 、x y x 2-与x 2－3x ＋2都是多项式 D 、2xy 与52y +都是整式5、在y 3+1，m 3+1，―x 2y ，cab ―1，―8z ，0中，整式的个数是（ ）A. 6B.3C.4D.5 6、如果单项式3a 2b 43-m 的次数与单项式31x 3y 2z 2的次数相同，试求m 的值。
三、练习巩固1、x 的2倍与y 的平方的21的和，用代数式表示为_____，它是__________（填单项式或多项式）；2、单项式-4ab 2，3ab ，-b 2的和是_________，它是____次_____项式；3、3x 3-4 是_____次_____项式；3x 3-2x-4 是___次____项式；-x-2的常数项是____；4、a-5a 2b 3+3ab+1 是_____次____项式，最高次项是____，最高次项的系数是______，常数项是____；5、2x-3πx 3+8 是___次___项式，第二项是____，它的系数是_____． 6、多项式22323z y x yz x -+-是___次____项式 7、在① －a ；②32y x + ；③0 ；○4a 1 ；若○5π2- ；○6x 2＋y ;○7π3 ，中是单项式的有_________（填写序号）8、 如果多项式3x m―（n ―1）x+1是关于x 的二次二项式，试求m ，n 的值。
第7讲.初一预科班.教师版
|初一预科班·第7讲·教师版| 1不等式的基本概念及性质易错点1——不等式不等式：利用不等符号连接的式子叫不等式．不等号包括：“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”． 例如：52−<−，314a +>−+，10x +≤，210a +>，0x ≥，35a a ≠等都是不等式． 注意：不等式32≥成立；而不等式33≥也成立，因为33=成立，所以不等式33≥成立．易错点2——不等式的性质基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么a c b c ±<±基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >（或a bc c >）如果a b <，并且0c >，那么ac bc <（或a bc c<）基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <（或a bc c <）如果a b <，并且0c <，那么ac bc >（或a bc c>）注意：⑴ 在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向．⑵ 在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式32>为例，在不等式32>两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形： ① 如果0a >，那么32a a >； ② 如果0a =时，那么32a a =； ③ 如果0a <时，那么32a a <．不等式具有互逆性和传递性：不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．知识点睛第七讲 不 等 式|初一预科班·第7讲·教师版| 2易错点3——不等式的性质与等式性质的对比：等式的性质 不等式的性质两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式 两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是０），所得结果，仍是等式． 两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变根据等式性质，方程两边可以乘以０，但不能除以０ 而不等式性质中，不等式两边不能乘以０，也不能除以０一元一次不等式易错点1——一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.例如25x >是一个一元一次不等式.易错点2——不等式解（解集）不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4−，2−，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集． 一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．其中x 是未知数，a ，b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b <或ax b >（0a ≠）叫做一元一次不等式的标准形式．易错点3——解一元一次不等式步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成ax b <或ax b >形式）→系数化为1（化成b x a >或bx a<的形式）．|初一预科班·第7讲·教师版| 3一元一次不等式组易错点1——一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．例如1302841x x x ⎧−⎪⎨⎪+<−⎩≥是一元一次不等式组，定义中的“几个”并没有确定个数，但必须是两个或两个以上；另外，这里的几个一元一次不等式必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次方程组了，例如，不等式组24x y >⎧⎨<⎩中的每一个不等式虽然都是一元一次不等式，但在这个不等式组中，未知数共有两个，所以这个不等式组不是一元一次不等式组．易错点2——一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不 等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．易错点3——解一元一次不等式组的步骤：⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．a b >）|初一预科班·第7讲·教师版| 4【例1】 ⑴0a >； ⑵0a ≥； ⑶0a ≤；⑷0x y −<； ⑸1a −≤； ⑹48m ≥； ⑺133x x ≤；⑻ 102q q −−≤【例2】 ⑴不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；⑵不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑶不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变； ⑷不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑸不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．【例3】根据题意可得0a >、0b <、0c =，所以选择B ． 【例4】D 【例5】A 【例6】不等式所有解组成这个不等式的解集当未知数等于某个值，且该值在这个不等式的解集的范围内，则它是不等式的一个解，否则不是这个不等式的解．选A ．【例7】需要注意地方：大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心点”，不包括端点用“空心点”，数轴上没有端点的值，写出端点的值．(1)1.5(2)(3)【例8】不等式32x −<≤的所有整数解为2−、1−、0、1、2，故所有整数解的和为0． 【例9】A 【例10】 ⑴1x ≥； 1⑵，2，3. 【例11】 ⑴3x >．⑵解：去括号，得51286x x −−≤．移项，得58612x x −−+≤． 合并，得36x −≤．系数化为1，得2x −≥．⑶4x −≥ ⑷2x ≤；正整数解1，2.【例12】根据题意，列不等式得：2315x x −−−≤，解得：4x ≥．【例13】解方程得625m x −=，根据题意：得0x ≥，∴6205m−≥，解得3m ≤．满足题意的正整数m 的值是1，2，3．【例14】⑴ D ⑵ C【例15】 ⑴14x −<≤； ⑵23x −<<； ⑶542x <≤； ⑷21x −<−≤ ⑸5x >【例16】依题意列不等式组，3800x x >−>，解得2080x <<．例题答案|初一预科班·第7讲·教师版| 5演练1 ⑴C ； ⑵30%(5)2x +−≤．演练2 让学生说明每一步的依据． ⑴<； ⑵<； ⑶>； ⑷>． 演练3 选择C ，正确应为22ac bc ≥． 演练4 选择D ．演练5 ⑴ 3x <；⑵ C ；⑶ 3演练6 ⑴7x >−，图略； ⑵265x <，教师可再问学生，此不等式的非负整数解为？其非负整数解为0，1，2，3，4，5．图略．演练7 解不等式组得2912x ≤，所以其非负整数解为0，1，2．演练8 由题意可列不等式为：5(1)2(2)(2)x x x −−−>−+，解得14x >−．演练9 由0abcd >得a 、b 、c 、d 中负数的个数为0个、2个或4个，又0a b c d +++>，所以最多 有2个负数，选择B ．演练10 ⑴ 13x −<≤；⑵12x −<≤，图略．演练11 不等式组的解集为：13x <<，整数解为2； 演练12 0x ≥；演练13 设八戒买了x 个西瓜，则35845x ×+≤，解得154x ≤，故八戒至多买3个西瓜．挑战1 ⑴列出方程组2743x y m x y m +=+⎧⎨−=−⎩得325x m y m=+⎧⎨=−⎩，由题意得253m −<<．⑵253m −<<，320m +>，50m −<，∴32532543m m m m m +−−=++−=−．挑战2 设需要B 型车x 辆，由题意得20515300x ×+≥，解得1133x ≥．由于x 是车的数量，应为正整数，所以x 的最小值为14．答：至少需要14台B 型车．大比拼答案演练答案|初一预科班·第7讲·教师版| 6【教师备选1】 如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立（ ）A ．a b −>−B ．11a b< C ．2a b b +> D ．||||a b < 【解析】 选择C ．【教师备选2】 当x 为何值时，代数式2113x +−的值不小于354x+的值？【解析】 依题意，得2135134x x ++−≥，解得177x −≤．【教师备选3】 2(20)203(34)2521623x x x x x −+−+⎧⎪−+⎨<⎪⎩≥ 【解析】2x ≤．【教师备选4】 已知方程组35223x y k x y k +=+⎧⎨+=⎩的解x 与y 的和是负数，求k 的取值范围． 【解析】 解方程组，得264x k y k =−⎧⎨=−⎩，∵0x y +<，∴2640k k −+−<，解得2k <．【教师备选5】 （2007北京市第二中学分校期中质量检测第29题5分）若方程组3223x y ky x +=⎧⎨−=⎩的解满足1x <且1y >，求k 的整数解．【解析】 512k −<<；012k =，，【教师备选6】 已知关于x 的不等式(2)50a b x a b −+−>的解集是107x <，解不等式350ax b +>． 【解析】 ∵(2)5a b x b a −>−的解集为107x <，可得20a b −<，且52b a x a b −<−，∴51027b a a b −=−，解得35b a =，∴3722055a a b a a −=−=<，即0a <．∴不等式350ax b +>的解集为513b x a <−=−．。
七年级新生数学预科班培训资料 第04讲 有理数的减法和加减混合运算
第四讲有理数的减法和加减混合运算一、目标1，理解加减法混合运算统一为加法运算的意义，学会把加减法统一成加法．2，能较为熟练地进行有理数减法的运算；3，会正确熟练地进行有理数加减混合运算，发展学生的运算能力．4，能解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．本节的重点是能把加、减法统一成加法运算，二、重点、难点教学重点：1，掌握有理数减法的法则；2，把加、减混合运算统一成加法运算，并用加法运算律合理地进行运算知识难点：有理数的减法法则，减法转化为加法的条件，把减数变为它的相反数。
三、知识要点1、温故知新1、有理数的加法法则：2、有理数的加法的交换律、结合律（用数学语言表示）3、计算：（1）16+（－25）十24＋（－35）；（2）（－2.48）＋（＋4.33）＋（－7.52）＋（－4.33）．4、小明同学前段时间就碰到过这样一个问题：某地一天的气温是一3～4℃，求这天的温差，可是他不会算，同学们能帮助他解决吗？2、教材解读1、先引导学生回忆：被减数、减数、差之间的关系，被减数－减数=差，再利用减法是加法的逆运算，引导学生得出：差＋减数=被减数·如：计算4－3就是求一个数“x”，使它加上3等于4，同样的，要计算4－（－3）就是求一个数“x”，使x与－3相加等于4。
即X+（－3）=4，因为7+（－3）=4，所以4－（－3）=74＋（＋3)=7与4－（－3)=72、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母把法则表示为[a －b =a ＋（－b ）]3、例世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约为是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米，两处高度相差多少米？4、计算：（－20）＋（＋3）－（－5）一（＋7）5，归纳明确“减法可以转化为加法”． 加减混合运算可以统一为加法运算，如：a ＋b －c =a ＋b ＋（－C ）．5、省略加号．式子(－20)＋（＋3）十（＋5）＋（一7）是－20,+3，＋5,－7的和，为了书写简单，可以省略式中的括号和加号，把它写为－20+3+5－7，读作：“负20正3正5负7的和”，或读作“负20加3加5减7"，鼓励学生使用第一种读法；并让学生体会两种读法的区别．6、例计算：（1）（－7）－（＋5）＋（－4）－（－10）； （2）3712()()14263-+----3、综合运用1. 某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了9℃，则这天夜间的温度是 ℃。
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第一章 有理数1.1 具有相反意义的量学习目标： 1.用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量；2.从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性；3.理解有理数的意义，会对有理数进行分类.学习重点： 用正数和负数表示一对具有相反意义量. 学习难点：负数概念的建立.一：用正数、负数表示具有相反意义的量为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用 表示，例如：我们小学学过的3、125、10.5、32等大于0的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用 表示，它是在正数前面加上“-”（读做负）号.例如：3、-1、-0.618、-32等就是负数.（1）0既不是 ，也不是 .（2）正数和零统称为 ，负数和零统称为 .（3）通常把水结冰时的温度规定为0℃，那么比水结冰时的温度低5℃应该记作 （4）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m 表示 点拨：（1）在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为-100米，则向西走80米记作+80米.（2）有的时候在正数前面加上“+”（读作正），以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3）判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就是负数.（4）0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0. 典例分析例1、 在一次体育课上，体育老师让同学们练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2. （1）这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）二：有理数的分类(1)有理数的分类(2)有下列数：3.6、-53、78、0、-0.37、9、-5.14、-1，其中整数：分数：(3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？-0.414、-7、2.7、-31、2010、0、41、-10.3、 2点拨（1）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数.（2）正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数.（即自然数）例2、把下列各数填入相应的大括号内-24、2.8、49、-5.3、21、-43、0、-（-121）、-5.4（1）正整数集合：｛｝（2）负整数集合：｛｝（3）正分数集合：｛｝（4）负分数集合：｛｝（5）非负数集合：｛｝非负数非正数正整数正分数有理数负整数负分数达标检测1、面粉厂运进200吨面粉记做+200吨，那么运出50吨面粉记作 吨.2、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为 米.4、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg +0.02kg ，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果 标准.（填“符合”或“不符合”）5、下列关于0的说法中正确的有（ ）①0是整数，0是有理数 ②0既不是正数，也不是负数 ③0不是整数，是有理数 ④0是整数，不是自然数 A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个6、某班数学平均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（ ）7、某种药品的说明书上标明保存温度是（20+28、有一列数：-21、52、-103、174……那么第7个数是 . 9、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……，则这列数的第100个和第2005个数分别是1.2 数轴 相反数与绝对值1.2.1 数轴学习目标： 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴.2.能在数轴上标出表示已知有理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.3.通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数形结合的数学思想.学习重点：正确画数轴；在数轴上标出表示已知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数.学习难点： 数轴上的点与有理数之间的关系.一、概念点拨（1）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。
（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（同一数轴的单位长度要一致）（3）任何有理数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数. （4）在数轴上，正数用原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示，反过来，原点右边的点都表示正数，原点左边的点都表示负数，原点表示零. （5）在数轴上标注数字时，负数的次序不能写错. 数轴的画法：a 、画一条直线，(一般画成水平的直线)b 、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零(在原点下面标上“0”)c 、确定正方向，(一般规定向右为正方向，用箭头出来；d 、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3… 。
画数轴时要注意以下几点：第一画数轴时一定要牢牢把握数轴的三个要素，三者缺一不可，常见的错误有：没有方向，没有原点，单位长度不统一，负数排列错误。
检测：（1）下列所画数轴是否正确？正确的画“√” ，不正确的画“×”.并说明错误原因.（2）把下列各数和数轴上对应的点用线连接起来（3）数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示的数是 .0 －2 3 －3.5-2-112340-3数轴上在原点左边距原点5/8个单位长度的点表示的数是 . 数轴上距原点2个单位长度的点有 个，它们分别表示数 . (4)画一条数轴，并标出表示下列各数的点. －2 －0.8 0.8 2 例题分析；1、数轴上的点A 到原点的距离是6，则点表示的数为（ ）数轴上的点A 表示数－132，与点A 距离3个单位长度的点B 所表示的数为 .2、数轴上一个点从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，则该点运动的终点表示的数是 . 达标检测：1.在数轴上表示+3的点A 在原点的 侧，距原点 个单位，表示－4的点B 在原点的 侧，距原点 个单位，AB 相距 个单位.2.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列说法中正解的是（ ）A. a 、b 、c 都是正数.B. a 、b 、c 都是负数.C. a 、b 是正数，c 是负数.D. a 、b 是负数、c 是正数. 3.如图所示，数轴被一滴墨水污染了，被污染的点表示的整数有 个.B.2C.1D.无数4.指出数轴上A 、B 、O 、C 、D 各表示什么数5.分别指出数轴上表示－2、3－4、0、1各数的点 A B C D E F G H6.画一条数轴，并在数轴上描出下列表示各数的点－2、0、4、3、217.在数轴上大于－1.5而小于131的整数有 个,它们是 .8.数轴上一动点向左移动2个单位到达B ，再向右移动5个单位到达点C ，若点C 表示 的数为1，则点A 表示的数为 .-2-112340-3-41.2.2 相反数学习目标：1.借助数轴理解相反数的概念，会求一个数的相反数.2.利用数轴上的数及点的位置特征，体验数形结合的数学思想.学习重点：求一个有理数的相反数.学习难点：互为相反数的两个点在数轴上的表示.1、知识回忆：什么叫数轴，如何画数轴？在画数轴的过程中，要注意哪些方面的问题？(口答)2.（1） 的两个数叫做互为相反数，数a 的相反数记做（ ）。
（2）表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的 ，并与原点的距离 .因为－（+5）读作正5的 ，所以－（+5）＝ .因为－（－5）读作负5的 ，所以－（－5）＝ .－2.8是 的相反数， 的相反数是－231.－(+0.8)＝ －（－9）＝ 3.点拨数a 的相反数记作－a ，这里的a 可以是正数、负数或0，即任何一个数都只有一个相反数. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.所以－a 一定是负数吗？ 互为相反数的两个点，在数轴上分别位于原点的两侧，并且与原点的距离相等. 例题分析：例1、化简：－（－521）＝ +（－451）＝－[－（－9）] ＝ －[－（+2）] ＝ 例2、分别读出下列各数的相反数.8 －π 0 a+5 －54－（－3）例3、已知a －2与－5互为相反数，求a 的值.达标检测：1.－1.6是 的相反数， 的相反数是312.若a ＝－15，则－a ＝ .若－a ＝8，则a ＝ .3.一个数的相反数的倒数是191，则这个数是 . 4.下列几对数中，互为相反数的一对为（ ） A.－（－6）和－（+6） B.－（－6）和+（+6） C.+（－6）和+（+6） D. －（－6）和+（－6）5.若m －2与+1互为相反数，则m 是多少？6.若数4a 与443 a 互为相反数，求a 的相反数.7.已知a 、b 、c 、d 都是不为0的有理数，且a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，求3a+3b －52cd的值.8.已知m 为有理数，试比较m 与－m 的大小.1.2.3 绝对值学习目标：1.借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值。
2.通过对︱a ︱的讨论的学习，体会分类时应做到不重复、不遗漏，感受符号意识：符号是数学表达的重要形式，这里a 可表示任意一个有理数，用符号运算具有一般性。
3.通过绝对值几何意义的理解，感受数形结合的思想。
学习重点：求一个数的绝对值。
学习难点：对︱a ︱的讨论及对绝对值几何意义的理解。
1.知识回忆：在数轴上表示下列各数及它们的相反数的点：4,2,-3,-6 2.点拨1)绝对值的几何意义，在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
所以任意一个数的绝对值都是非负数，也称为绝对值的非负性，即对于任意有理数a 都有│a │≥0.2)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，所以a 为有理（1）求下列各数的绝对值3， 3.14，－51， －2.8（2）－│－2010│＝ －│－2.8│＝ －│85│＝（3） 画一条数轴，并标出表示绝对值等于2、3.5的数的点。
（4）已知│a │=12，求a 的值。
例题分析1）若│a －1│＝2，求a 的值。
│a │＝2）如果│a │－a ＝0，则a 0，如果│a │+a ＝0，则a 0，如果│a │>a ，则a 是 数。
3）若m 、n 为有理数，且│m －1│+│n+2│＝0，则m= ，n= 。
达标检测：1.│+2│= ；│31│= ；│－5│= ； │－21│= ；│+2.6│= ； │0 │=2.绝对值是32的数是 。