线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算
线性代数与矩阵的运算法则
线性代数与矩阵的运算法则矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在矩阵的运算中，我们需要遵循一些规则和法则，以确保计算的准确性和一致性。
本文将介绍线性代数与矩阵的运算法则，并提供相应的例子以便更好地理解。
一、矩阵的加法和减法法则矩阵的加法和减法法则很简单，只需要将相同位置上的元素进行相应的加法或减法即可。
具体表达为：设A和B为两个m×n矩阵，它们的和记作C，差记作D，则有：C = A + B，其中C的元素为C_ij = A_ij + B_ijD = A - B，其中D的元素为D_ij = A_ij - B_ij例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]，B = [1 3 2; 6 8 2]则A + B = [2+1 4+3 1+2; 5+6 7+8 3+2] = [3 7 3; 11 15 5]A -B = [2-1 4-3 1-2; 5-6 7-8 3-2] = [1 1 -1; -1 -1 1]二、矩阵的数乘法则矩阵的数乘法则就是将矩阵的每个元素与一个常数相乘。
具体表达为：设A为m×n矩阵，k为实数，则kA表示将A的每个元素都乘以k，即：kA = [kA_ij]例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]则2A = [2×2 2×4 2×1; 2×5 2×7 2×3] = [4 8 2; 10 14 6]三、矩阵的乘法法则矩阵的乘法法则相对较为复杂，需要满足一定的条件。
设A为m×n 的矩阵，B为n×p的矩阵，则它们的乘积记作C，C为m×p的矩阵，其中C的元素C_ij由以下公式确定：C_ij = Σ(A_ik × B_kj)，其中k的范围为1到n例如：设A = [2 4 1; 5 7 3]，B = [1 3; 6 8; 2 5]则A × B = [(2×1+4×6+1×2) (2×3+4×8+1×5); (5×1+7×6+3×2)(5×3+7×8+3×5)] = [26 48; 70 90]四、转置矩阵的性质矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。
矩阵的运算及其运算规则
矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。
矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。
1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。
加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。
例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。
A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。
例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。
除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。
如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。
2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。
如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。
例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。
矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。
如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。
如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。
逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。
3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。
矩阵的运算规律总结
矩阵的运算规律总结矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
矩阵的运算规律是研究矩阵相加、相乘等运算规律的重要内容，下面我们来总结一下矩阵的运算规律。
1. 矩阵的加法。
矩阵的加法是指同型矩阵之间的相加运算。
对于两个m×n的矩阵A和B来说，它们的和记作A + B，要求A和B的行数和列数都相同，即m和n相等。
矩阵的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 矩阵的数乘。
矩阵的数乘是指一个数与矩阵中的每个元素相乘的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个实数k来说，它们的数乘记作kA，即矩阵A中的每个元素都乘以k。
矩阵的数乘满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA。
3. 矩阵的乘法。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算。
对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B来说，它们的乘积记作AB，要求A的列数和B的行数相等，即n相等。
矩阵的乘法不满足交换律，即AB一般不等于BA。
另外，矩阵的乘法满足结合律，即A(BC) = (AB)C。
4. 矩阵的转置。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵A来说，它的转置记作AT，即A的第i行第j列的元素变成AT的第j行第i列的元素。
矩阵的转置满足(A + B)T = AT + BT，(kA)T = kAT，(AB)T = BTAT。
5. 矩阵的逆。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A来说，存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是n阶单位矩阵。
如果矩阵A存在逆矩阵，则称A是可逆的。
可逆矩阵的逆是唯一的，记作A-1。
非奇异矩阵是指行列式不为0的矩阵，非奇异矩阵一定是可逆的。
6. 矩阵的行列式。
矩阵的行列式是一个重要的概念，它是一个标量，可以用来判断矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A来说，它的行列式记作|A|，如果|A|不等于0，则A是可逆的，否则A是不可逆的。
矩阵的概念及运算知识点
矩阵的概念及运算知识点
矩阵是一个数表，可以用符号()或[]表示，行数和列数可以相等也可以不相等，形状可以是不方的。
所有的数值都是正数的叫实矩阵，所有的矩阵是负数的叫负矩阵。
只有一行的矩阵叫行矩阵，只有一列的矩阵叫列矩阵。
矩阵元素中都是0的是0矩阵。
矩阵的运算包括加法、数乘、提公因子、乘法。
只有同型矩阵可以相加减。
数乘运算中，提公因子外提一次。
乘法运算中，第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数，结果矩阵的形状：结果矩阵行数=第一个矩阵的行数；结果矩阵列数=第二个矩阵的列数。
此外，还有单位阵的概念，单位阵E或者I表示，3阶单位阵只有一个数的矩阵(5)可以不用写符号，直接用5表示。
对于方阵，即矩阵的行数和列数相等的矩阵，可以称为n阶方阵An*n，为了简单写有时会用An表示。
单位阵的主对角线元素全为1，其余的元素都为0。
高考数学中的线性代数中的矩阵运算
高考数学中的线性代数中的矩阵运算线性代数作为数学中的一个重要分支，经常在高考数学中出现。
矩阵运算则是线性代数中很重要的一个概念，它蕴含着很多的数学知识，也是高考数学中比较常考的知识点。
一、矩阵的定义和运算矩阵是由$m$行$n$列数排成的矩形数组，用$\boldsymbol{A}$表示，即$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n}$。
矩阵的元素$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列的数，矩阵的个数为$m\times n$个。
当矩阵的行数和列数相等时，即$m=n$时，该矩阵被称为方阵；当矩阵的元素全都为零时，该矩阵被称为零矩阵。
在矩阵中，有加法和数乘的运算。
设$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是两个$m\times n$的矩阵，$k$是一个实数，则有以下定义：1.加法：$\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$2.数乘：$k\boldsymbol{A}=(ka_{ij})_{m\times n}$可以看到，加法和数乘的运算是把矩阵的每个元素进行了相应的运算，使得它们们组成的矩阵整体进行了相应的变形。
二、矩阵乘法和逆矩阵矩阵乘法是矩阵运算中比较重要的一个概念，它描述了两个矩阵的相乘过程。
设$\boldsymbol{A}$是$m\times n$的矩阵，$\boldsymbol{B}$是$n\times p$的矩阵，则$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$是$m\times p$的矩阵，其中$\boldsymbol{C}$的元素$c_{ij}$由下式决定：$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_ {k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$可以看到，矩阵乘法描述了两个矩阵相乘后每个元素的变换过程，其结果是一个新的矩阵。
《矩阵运算基础》课件
矩阵的数乘
数乘的定义与性质
定义：矩阵的数乘是指将矩阵的每 个元素乘以一个常数，得到一个新 的矩阵
性质2：矩阵的数乘满足交换律
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性质1：矩阵的数乘满足结合律和 分配律
性质3：矩阵的数乘满足可逆性， 即如果矩阵A的数乘为k，那么矩阵 A的逆矩阵的数乘也为k
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加法运算： 矩阵加法的 运算规则是 行与行、列 与列对应元 素相加
加法结果：矩 阵加法的结果 是一个新的矩 阵，其元素是 原矩阵对应元 素的和
应用：矩阵加 法在求解线性 方程组、矩阵 分解、矩阵变 换等领域有广 泛应用
矩阵减法的定义与性质
性质：矩阵减法满足交换律、 结合律和分配律
定义：矩阵减法是将两个矩阵 对应元素相减，得到一个新的 矩阵
伴随矩阵的定义与性质
定义：伴随矩阵是矩阵A的转置乘以A的行列 式
性质：伴随矩阵的行列式等于A的行列式的绝 对值
性质：伴随矩阵的秩等于A的秩
性质：伴随矩阵的迹等于A的迹的相反数
性质：伴随矩阵的逆矩阵等于A的行列式分之 一乘以A的转置
性质：伴随矩阵的伴随矩阵等于A
逆矩阵与伴随矩阵的运算规则
逆矩阵：对于n 阶方阵A，如果 存在n阶方阵B， 使得AB=BA=I， 则称B为A的逆矩 阵，记为A^(-1)
矩阵的转置
矩阵转置的定义与性质
矩阵转置的定 义：将矩阵的 行和列互换， 得到新的矩阵
性质1：转置 矩阵的行列式 等于原矩阵的
行列式
性质2：转置 矩阵的秩等于
原矩阵的秩
矩阵的基本运算与应用知识点总结
矩阵的基本运算与应用知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
它不仅在数学领域有重要作用，还在物理学、统计学、计算机科学等领域得到广泛应用。
本文将对矩阵的基本运算和应用进行总结。
一、矩阵的定义与表示矩阵是一个由m行和n列元素排列成的矩形数组。
一个m×n矩阵的大小通常表示为m×n。
矩阵中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
矩阵常用大写字母表示，如A、B。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
设A、B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，其定义为：(A+B)ij = Aij + Bij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，也是对应元素相减。
两个矩阵相减要求行数和列数相等。
设A、B是同型矩阵，则它们的差A-B也是同型矩阵，其定义为：(A-B)ij = Aij - Bij。
3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数或复数称为数乘。
设A为一个矩阵，k为实数或复数，则数乘后的矩阵kA，其中矩阵kA 的每个元素均为k乘以A相应元素的积。
4. 矩阵的乘法矩阵的乘法不同于数乘，它是指矩阵之间的乘法运算。
设A为m×n 矩阵，B为n×p矩阵，那么它们的乘积AB为m×p矩阵，其定义为：(AB)ij = ΣAikBkj，其中k的范围是1到n。
三、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵在线性方程组的求解中发挥着重要作用。
通过矩阵的系数矩阵和常数矩阵，可以将线性方程组转化为矩阵乘法的形式，进而用矩阵运算求解方程组的解。
2. 特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。
特征值表示了矩阵的某个线性变换的影响程度，而特征向量表示了在该变换下不变的方向。
3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。
转置后的矩阵在一些应用中具有特殊的性质，并且在计算中常常用到。
矩阵及其运算详解
矩阵及其运算详解矩阵是线性代数中重要的概念之一，它不仅在数学理论中有广泛应用，也在各个领域的实际问题中发挥着重要作用。
本文将详细介绍矩阵的概念、性质以及常见的运算法则，以帮助读者深入了解和掌握矩阵相关的知识。
一、矩阵的定义和基本性质矩阵是一个按照矩形排列的数集，通常用方括号表示。
一个 m×n的矩阵包含 m 行和 n 列，并用 aij 表示第 i 行、第 j 列的元素。
例如，一个 2×3 的矩阵可以表示为：A = [ a11 a12 a13a21 a22 a23 ]其中，a11、a12 等分别表示矩阵中不同位置的元素。
对于一个 m×n 的矩阵 A，当且仅当存在 m×n 的矩阵 B，满足 A = B，我们称 B 是 A 的转置矩阵。
转置矩阵中的每个元素是原矩阵对应位置元素的转置。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法规则使其成为一个线性空间。
对于同型矩阵 A 和B，它们的和 A + B 的结果是一个与 A、B 同型的矩阵，其每个元素等于对应位置元素的和。
减法规则类似，也是对应元素相减。
矩阵的数乘指的是将一个矩阵的每个元素乘以一个标量。
即对于矩阵 A 和一个实数 k，kA 的结果是一个与 A 同型的矩阵，其每个元素等于对应位置元素乘以 k。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的一种运算。
对于矩阵 A 和 B，若A 的列数等于B 的行数，则可以进行乘法运算 AB。
结果矩阵C 是一个 m×p 的矩阵，其中的元素 cij 是通过计算矩阵 A 的第 i 行和矩阵 B的第 j 列对应位置元素的乘积，并将结果相加得到的。
4. 方阵和单位矩阵方阵是指行数和列数相等的矩阵，也称为正方形矩阵。
单位矩阵是一种特殊的方阵，它的主对角线上的元素全为1，其它位置元素均为0。
单位矩阵通常用 I 表示。
三、矩阵的性质和应用1. 矩阵的转置性质矩阵的转置运算具有以下性质：- (A^T)^T = A，即两次转置后得到原矩阵。
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3 1 32
23
23
8 7 6
解： AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
5 7 9 3×3
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0 31
23
8 7 6
AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
04 10
10 =
1 0
1 0 2×2
注意四: AC=BC A=B 矩阵乘法一般不满足消去律
例6 线性方程组可用矩阵乘法表示 系数阵
a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2
am1x1am2x2 amnxnbm
一 矩阵的概念及四则运算 二 矩阵的初等变换与矩阵的秩
三 逆矩阵
第四讲 矩阵的概念及其运算
一 矩阵的定义：
由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成 的一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵
a11 a12 a1n
记作
Amn=
a21
例如
1, 2, 3, 4
5
2
7
4 对角矩阵： 如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵
a11 0 0
=
0 a22 0
0 0 ann
记为 =diag(a11, a22, , ann)
例如
diag(1,2,3)
0 0 0
2 方阵 若矩阵A的行数与列数都等于n，
则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵
例如
1 A22 3
42
2 5 3 B33 1 2 2
7 4 4
3 行矩阵与列矩阵： 只有一行的矩阵称为行矩阵
只有一列的矩阵称为列矩阵
也可以用小写黑体字母 , , 表示
0 6 3
（三） 矩阵的乘法 准备：矩阵乘积有意义的条件
(1) 不是任意二矩阵乘积AB都有意义 （2） 二矩阵乘积AB有意义的条件是： 左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等
A B 即 m×s t×n 有意义的条件是 s=t
且 Am×s Bs×n= Cm×n
例 (1)
A=
1 5
0 0 1
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11a22anna1
1 0 0
例如
I3 E3 0
1
0
0 0 1
1 0 0 0
I4
E4
0
0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
7 三角形矩阵：
1 2
1 3
2
1 2 1
1
3 2
3
3
1 3
3 2
1
B 1
1 2
1 3
2
3
n个
3
An ( )n • • •...•
5 7 9
BA 1 2 3 2 1 0
23
1 2 9 4
31
3 8 2×2
注意一: 矩阵乘法一般不满足交换律
即 ABBA
例2 设
A
1 0
1 1
，B
1 0
2 1
，求AB及BA
解
1 AB
0
1 1
1 0
21
10
3 1
BA 1 2 1 1 1 3 01 01 01
可交换阵:
b11 b12 b1j … b1n b21 b22 b2j … b2n
bs1 bs2 bsj … bsn
=
c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn
cij = A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积
3 -1 1 1 x3
10
x4
x1 b1
x2
b2
xn bm
矩阵乘法总结:
矩阵乘法性质除下列几条外
其余和数乘法性质相同
(1) ABBA
乘法一般不满足交换律
(2) ACBC / AB 乘法一般不满足消去律, 如果C可逆,则A=B
(3) ABO / AO或BO
(4) A2O / AO
( A B)2 A2 2AB B2
AB BA ( A B)2 A2 AB BA B2
AB BA
( A B)2 A2 2AB B2
4 方阵的幂：
只有方阵
对于方阵A及自然数k
才能自乘
记 Ak=AA A (k个A相乘)
规定 ( Ann )0 In 性质：(1) ArAsArs
amn±bmn
例1
设
1 A 3
2 4
B
5 7
6 8
求A+B=?
解
A
B
1 3
2 5 4 7
6 8
1+5 3+7
2+6 4+8
6 8 10 12
(二)矩阵的数乘 a11 a12 a1n
给定矩阵
A
a21
a22 a2n
a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn
2x1+5x2+7x3+ 9x4 =5 例如: x1 -3x2+7x3 + x4=3
3x1 -x2+ x3 + x4=10
2 5 7 9 x1
5
1 -3 7 1 x2 = 3
8 7 6
3×3
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0
3 1 32
23
23
8 7 6
解： AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
3×3
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0
aa12nn
a1n a2n ann
12 3 例如 2 5 8
3 86
23 8 6 37 4 2 84 9 7 6 2 7 10
二 矩阵的运算
(一) (二) (三) (四)
矩阵的加法,减法 矩阵的乘法 矩阵的转置 方阵的行列式
(五) 几种特殊矩阵
(一) 矩阵的加法,减法
（1）同型矩阵: 二矩阵行相同，列相同
a22 a2n
am1 am2 amn
只能用[ ]或( ), 不能用{ }一 部分特殊矩阵Fra bibliotek1 零矩阵
所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记为O
0 0 0
例如 0
O22 0
0 0
O23
0 0
0 0
00
O33 0 0 0
am1 am2 amn
规定
ka11 ka12 ka1n
kA
ka21 ka22
ka2n
kam1 kam2
kamn
实数k遍乘A的所有
元素
1 0 3 B 4 5 2
0 2 1
3 0 9 3B 12 15 6
m×n
其中 cij ai1b1jai2b2j aisbsj
(i1, 2, , m；j1, 2, , n)
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0
3 1 32
23
23
解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
(2) (Ar)sArs
注: 一般 (AB)k≠AkBk 但 如果AB=BA,则 (AB)k=AkBk
1
例8 设 2
1
1 2
1 3
求 (1) A
3
(2) B (3) An ?
1
1
解 A
2 1
am1 am2 amn
b11 b12 b1n
B
b21
b22 b2n
bm1 bm2 bmn
A±B=
a11±b11 a21± b21 … am1±bm1
a12±b12 … a22 ±b22 …
…
…
am2±bm2 …
a1n±b1n a2n±b2n
3 7
4 2
12 B=
25
则AB无意义
12 9
15 8 (2) C=
57 2
D= 2 5 2 764
则 CD有意义，且CD是2×3的矩阵
矩阵的乘法定义
设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵
a11 a12 a1s a21 a22 a2s AB= ai1 ai2 ais am1 am2 ams
1 0
0
0 2 0
0 0 3
2 0 0 0
diag(2,1,3,4)
0 0 0
2 0 0
0 3 0
0
0 4
5 数量矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵
a 0 0 A 0 a 0
0 0 a
第二部分 矩阵理论
1850年西尔维斯特首先使用矩阵这个词.1855 年以后,英国数学家凯莱创立了矩阵理论,至二 十世纪,矩阵论已成为一个独立的数学分支,出 现了矩阵方程论,矩阵分解论,广义逆矩阵等矩 阵的现代理论.由于许多线性或非线性问题都可 以转化为对矩阵的讨论,所以它在物理、化学、 经济、工程以及现代科技的许多领域都有着广 泛的应用,矩阵部分主要讨论三个问题