勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理(知识点)
A B C ac 弦勾勾股定理（知识点）【知识要点】1.勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直角三角8,15,17等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4；（1⇒∠A+（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°1AB可表示如下：⇒BC=2∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∠ACB=90°1AB=BD=AD可表示如下： CD=2D为AB的中点6.数轴上表示无理数1.2.、∠B、A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为60cm2.4.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD=12．5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高．．．．为(C)A.12cmB.60cm C.12013cm D.1013cm136.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6，8，10．7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+3 y=0，则第三边的长为5或.8.10.11.别用．12.，分别以13.形A，49cm第4题第11题第12题第13题14.在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知c=17，b=8,求a。
直角三角形常考的10个易错点浅析
直角三角形常考的10个易错点浅析1. 直角三角形的性质性质1：直角三角形两锐角互余.性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质3：直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半.2. 直角三角形的判定判定1：有两个角互余的三角形是直角三角形.判定2：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形.3. 直角三角形的性质勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么222c b a =+.4. 直角三角形的判定勾股定理逆定理：如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.5. 直角三角形全等的判断：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“H L ”）6. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.7. 角平分线的性质定理的逆定理：角平分线性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 易错点1 忽略了运用直角三角形的性质的前提条件在运用直角三角形的性质时，它的前提是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，那么这些性质就不存在了，所以运用时要注意前提条件。
例题1 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，∠A =60°，则∠BCD 的度数为（ ）A .30°B .60°C .90°D .无法确定【错解】B【错因】在本题中没有指明△ABC 是直角三角形，故不能利用直角三角形的性质进行计算。
错解中想当然地认为△ABC 是直角三角形，然后利用了直角三角形的性质，进而造成错解。
【正解】D例题2 如图，在△ABC 中，∠ABC =75°，从顶点B 引射线BD 与CA 交于D 点，使∠CDB =30°，BD =AD 。
求证：AD =2BC 。
【错解】在△BCD 中，∵∠CDB =30°，∴BC =12BD 。
∵BD =AD ，∴BC =12AD ，即AD =2BC 【错因】在本题中没有指明∠C =90O，故不能直接利用直角三角形的性质进行计算。
直角三角形的性质及判定
直角三角形的性质及判定直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC 写作Rt△ABC。
直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
即。
如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。
如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。
（2）（AB)2=BD·BC。
（3）（AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2 性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则BD:DC=AB:AC直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。
（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（也称为直角）。
直角三角形的性质可以用到数学中著名的勾股定理。
在本文中，我们将深入讨论直角三角形的特征和勾股定理的原理及应用。
一、直角三角形的特征直角三角形由三条边构成，其中一条边为直角边，与直角相对的两条边称为两腿。
下面我们将介绍直角三角形中著名的性质。
1. 勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腿的平方之和。
假设直角三角形的两腿分别为a和b，直角边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。
2. 边界性质直角三角形中，较长的一边称为斜边，而斜边是直角三角形中的最长边。
根据勾股定理，斜边的长度为两腿长度平方和的平方根。
3. 角度性质直角三角形中，另外两个角称为锐角和钝角。
锐角是指小于90度的角度，钝角则是大于90度的角度。
在直角三角形中，锐角和钝角的和必定为90度。
二、勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的问题时非常有用。
下面我们将介绍几个应用例子：1. 求解缺失的边长当已知一个直角三角形的两腿长度时，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度。
例如，如果一个直角三角形的两腿长度分别为3和4，我们可以计算斜边的长度：c = √(3^2 + 4^2) = 5。
2. 判断三角形是否为直角三角形我们可以应用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果三条边的边长满足勾股定理，那么这个三角形就是直角三角形。
3. 应用于几何问题勾股定理在解决几何问题时也非常实用。
例如，当我们知道一个平面上的直角三角形的斜边长度和一个锐角的大小，可以利用勾股定理求解另外两个角的大小。
总结：直角三角形和勾股定理是数学中重要的概念和工具。
直角三角形的特征和勾股定理的原理帮助我们解决各种与三角形相关的问题。
通过合理运用勾股定理，我们可以计算边长、判断三角形类型以及解决几何问题。
深入理解和熟练掌握直角三角形和勾股定理的原理和应用，对于数学学习及实际生活中的几何问题都具有重要意义。
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图 14－1－43
[解析] 已经知道 AD＝12，AC＝15，要求 DC 的长， 只需知道∠ADC 为直角即可，而△ABD 的三边长知道，可 以由勾股定理的逆定理，得出 ∠ADB 为直角，从而得出 ∠ADC 为直角．
14.1.2 直角三角形的判定
解：在△ABD 中，AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，根据 勾股定理的逆定理可知△ABD 为直角三角形， 所以∠ADB＝ 90°. 在 Rt△ADC 中，DC2 ＝AC2－AD2＝152－122＝81＝92， 所以 DC＝9.
1．线段垂直平分线的性质定理 完成下列填空，想一想线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离有什么关系？ (1)线段既是__ 中心对称 __图形，又是轴对称图形， 线段的垂直平分线 __； 对称轴是__
13.5.2 线段垂直平分线
(2)如图 13－5－3，设直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线， S.A.S. 垂足为点 O，P 是 MN 上的点，连结 PA，PB.根据__ __，可 PAO≌△PBO，从而 PA＝PB.这表明：线段垂直平分线上 得△____ 的点到这条线段两个端点的距离相等 ____．
14.1.2 直角三角形的判定
[归纳总结] 判定直角三角形的一般步骤： (1)先找出三角 形中最长的边 c；(2)分别计算 a2＋b2 和 c2 的值；(3)判断 a2 ＋b2 和 c2 是否相等．若相等则是直角三角形；若不相等，则 不是直角三角形．
14.1.2 直角三角形的判定
[备选例题] 如图 14－1－43，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求 DC 的长．
14.1.2 直角三角形的判定
14.1.2 直角三角形的判定
勾股定理与三角形
勾股定理与三角形勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了直角三角形三条边的关系。
本文将介绍勾股定理的原理和应用，以及它与三角形的关联。
1. 勾股定理的原理勾股定理由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，它的原理可以用以下公式表示：在一个直角三角形中，设两直角边分别为a和b，斜边为c，则有：a² + b² = c²。
2. 勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用价值，在几何学和物理学中常被使用。
以下是其中的几个应用场景：2.1 计算直角三角形的边长已知直角三角形的两条边长，可以通过勾股定理来计算斜边的长度。
同样地，已知斜边和一条直角边的长度，也可以通过勾股定理求解剩余的边长。
2.2 判断三条边是否构成直角三角形根据勾股定理，如果三条边的边长满足 a² + b² = c²，那么这三条边可以构成一个直角三角形。
通过勾股定理，我们可以快速验证一个三角形是否为直角三角形。
2.3 判断三角形的形状对于一个非直角三角形，我们可以通过勾股定理判断其形状。
如果a² + b² < c²，那么该三角形为钝角三角形；如果 a² + b² > c²，那么该三角形为锐角三角形。
3. 勾股定理与三角形的关联勾股定理与三角形有着密切的联系，三角形的性质可以通过勾股定理来研究。
利用勾股定理，我们可以推导出正弦定理和余弦定理。
其中，正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中A、B、C为三角形的角度。
余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中C为三角形的夹角，a、b为两边的边长。
通过正弦定理和余弦定理，我们可以更全面地研究三角形的性质和关系，进一步拓宽勾股定理的应用范围。
结语勾股定理是数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形边长的关系。
勾股定理判定条件
勾股定理判定条件勾股定理是初中数学中比较基础的知识点之一，其应用广泛，被广泛地运用于各个领域。
勾股定理给出了一个直角三角形边长之间的关系，它可以通过勾股定理判定条件来判断一个三角形是否为直角三角形，从而判断出三角形的性质。
本文将详细介绍勾股定理及其判定条件。
一、勾股定理简介勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，三条边满足勾股定理的条件：斜边的平方等于直角边的平方和。
具体而言，设三角形的三条边分别为a,b,c，且c 为斜边，若满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且直角所对应的边为斜边。
该定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯。
二、勾股定理的证明勾股定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯，但自公元前两千年左右起，许多文化都已经独立地发现过这一定理。
勾股定理的证明，可以使用不同的方法，下面介绍其中的两种：1.图形法证明将正方形按照对角线断开，将原正方形分成四个直角三角形，其中三个直角三角形的三边分别为a,b,c，而第四个直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c的平方，此时，c²由直角三角形的两个直角边的长度计算得到，而a²+b²则是三个直角三角形的面积之和，因此有c²=a²+b²。
2.代数法证明首先假设a²+b²=c²成立，令x=c/a，则b²=a²(1-x²)，由此可以推导出b²的值。
然后，假设不成立，即a²+b²>c²或a²+b²<c²，如果a²+b²>c²，则假设存在一个数e，使得c²=(a+e)²+b²，代入a²+b²=c²中得到a²+2ae+e²+c²-b²=c²，化简后可得2ae+e²>c²-b²，因此e²>(c-b)(c+b-2a)，由于c>b>a，因此(e/a)² > 2，与x=c/a < 1矛盾。
20 直角三角形与勾股定理
第四章 三角形
20 直角三角形与勾股定理
知识盘点
考点一 直角三角形的性质
考点二 直角三角形的判定
考点三 勾股定理的证明
真题探源
► 类型之二 实际问题中勾股定理的应用
命题角度：
1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题． 例3 如图22－2，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙
面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面
爬到柜角C1处．
(1)请你画出蚂蚁能够最
快到达目的地的可能路径；
(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，
求蚂蚁爬过的最短路径的长；
(3)求点B1到最短路是两个矩形ACC1A1和ABC1′D1. 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1′和AC1. (2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1′，爬过的路径的长是
l1＝ 42＋（4＋5）2＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是
l2＝ （4＋4）2＋52＝ 89.
l1>l2，最短路径的长是l2＝ 89.
(3)作B1E⊥AC1于E，
则B1E＝BA1CC11·AA1＝
4
20
89·5＝89
89，
即点B1到最短路径的距离为2809 89.
直角三角形与勾股定理
FI直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形．2、勾股定理逆定理． 二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2． 由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数．简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41．【典例精析】一、勾股定理的证明 例1、《几何原本》中关于勾股定理的证明方法：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，分别以a ，b ，c 为边长向外作正方形，求证：a 2＋b 2＝c 2变式练习：CD 是△ABC 中AB 边上的高，且CD 2=AD •DB ，试说明∠ACB=︒90AA CB AO YB D 例2、如图所示，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=︒30，∠ADC=︒60，AD=DC ．证明：222BC AB BD +=二、勾股定理的应用特殊直角三角形的三边之比三边之比为 三边之比为例3、在△ABC 中，∠B=︒45，∠A=︒105，AC=6，求AB 的长．变式练习：如图，已知∠XOY=︒60，M 是∠XOY 内的一点，它到边OX 的距离MA=2，到边OY 的距离MB=11，求OM 的长．DA BBC 例4、如图所示，P 为△ABC 边BC 上一点，且PB PC 2=，已知∠ABC=︒45，∠APC=︒60，求∠ACB 的度数例5、如图，△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 的三条边分别作垂线PD 、PE 、PF(D 、E 、F 为垂足)，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长．三、勾股定理的逆定理例6、在△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，设c 为最长边，当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．（1）当△ABC 三边分别为6、8、9时△ABC 为 三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时△ABC 为 三角形.（2）猜想：当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为钝角三角形．（3）判断当24==a b ，时，三角形△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围．M CD A B B'变式练习：已知△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，BC 边的高为a h ，b h AC 边的高为，b a h b h a ≤≤，且有求△ABC 的三个内角度数．四、用勾股定理建立方程，用方程思想解决实际问题例7、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B ’为CD 边上的点，B ’C=3，将纸片沿某一条直线折叠，使点B 落在B ’处，点A 的对应点为A ’，折痕分别与AD 、BC 边交于点M 、N ，求BN 和AM 的长．变式练习1、如图， 矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，求AP 的长为.五、综合运用例8、已知△ABC 中，AC AB例9、在直线l 上摆放着三个正方形，（1）如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a ，b ，斜着放置的正方形的面积为S= ，两个直角三角形的面积之和为 ；（均用a ，b 表示） （2）如图2，小正方形面积S 1=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积1m 和2m ，并给出图中四个三角形的面积关系；（3）如图3是由五个正方形所搭成的平面图，T 与S 分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T 与S 的关系式，并说明理由．例10、求9)12(422+-++a a 的最小值B C DAP CD A1997过关测试1．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACD'重合，若AP ＝3，则PD 的长等于 ．2．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=3．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC4．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为 ．5．在锐角△ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是CDA6．如图，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，BC=4，CD=23，求AC 的长．7．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD ，求证：BD 2=AB 2+BC 2．BDA。
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勾股定理及直角三角形的判定
知识要点分析
1、勾股定理
222，即直角三角形两直角边的平方和等于+b=c，斜边为a、bc，那么一定有a如果直角三角形两直角边分别为斜边的平方。
2、勾股定理的验证
勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
222，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理+b=cb、c有关系：a3、如果三角形的三条边a、（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数
222的三个正整数a、b、c称为勾股数。
满足条件a+b =c友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】
考点一：勾股定理
例1：在△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=3，b=4，则c=__________；
（2）若a=6，c=10，则b=__________；
（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.
例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：
考点二：勾股定理的验证
例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）
是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。
（无需证明）
【思路分析】将三个图形拼接在一起，可得到一个直角梯形，用两种方法表示出该直角梯形的面积，利用面积相等即可验证勾股定理。
解：（1）如下图。
直角梯形
. . . .
（2））用4个全等的直角三角形，可以拼出如下图形。
（3
考点三：直角三角形的判别条件2222是否为直角，试判断△ABCn是正整数，且m＞，b=2mn，c=m+nn，其中m例4：已知△ABC中，a=m，－n?
三角形. 思路分析】本题关键是确定最大边，然后根据直角三角形的判别条件来判定该三角形为直角三角形【解：⊥BD. ⊥AD，说明BCAB：如图，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，例5 B C AD
解：222 ABC+c的形状。
+200=12a+16b+20c、b、c满足条件a+b，试判断△例6：若△ABC的三边长a的关系，、c的值，然后确定a、b欲判断△ABC的形状，先将条件中的等式变形，求出a、b、c【思路分析】ABC的形状。
从而判断出△考点四：勾股数的考查7：下列各组数是勾股数吗？为什么？例0.5 0.4，）0.3，，24，25 （2（1）7 解：60分钟）【模拟试题】（答
题时间：一、选择题）121. 若一直角三角形两边长分别为和5，则第三边长为（119D.
15
C. 13或 B. 1315 或 A. 13
），斜边长为5，则面积为（ 2. 直角三角形的周长为12D. 6
B. 10
C. 8 A. 12
）2，则斜边长的平方为（ 3. 如果一个等腰直角三角形的面积是24 D. A. 2 B. 4 C. 8
）5㎝，12㎝，则斜边上的高为（*4. 若直角三角形两条直角边长分别为6080 D.
㎝㎝ C. 8 A. 6㎝ B.
㎝1313），腰长为*5. 等腰三角形底边长1013，则此三角形的面积为（D. 70 C.
60 A. 40 B. 50
）6. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（
. . . .
222 15∶13B∶∠C=12∶－∠A. bB =c －aD. ∠A∶∠B. a∶b∶c=3∶4∶5C. ∠C=∠
A22ab?c?2(a?b)*7. 三角形的三边长为），则这个三角形是（
D. 锐角三角形C. 直角三角形 A. 等边三角形 B. 钝角三角形
都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标和∠BDC*8. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A ）注在图中，由此可知（
都不符合要求都符合要求D. ∠A 和∠BDC A. ∠A符合要求B. ∠BDC符合要求C. ∠A 和∠BDC
6米处，则旗杆折断前高（）*9. 一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 B. 7.5米 C. 12米 D. 8米 A. 10.5米4如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑10.
）分米，那么梯子将平滑（D. 8分米C. 5 B. 15分米分米 A. 9分米二、填空题：，其中、b、c 之间应满足边是直角所对的边. a11. 假如有一个三角形是直角三角形，那么三边*12. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为
直径作半圆，则这个半圆的面积是.
13. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数，，.
*14. 若一个三角形的三边之比为3：4：5，且周长为60cm，则它的面积为.
15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方2.
的面积之和为_______cmC，D，形A，B
*16. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____海里. 三、计算题：
、已知：如图，△ABC中，∠C＝90o，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求
AC的长．*17
. . . .
18. 如果a，b，c是一组勾股数，且a，b，c没有大于1的因子，那么我们称这一组勾股数为基础勾股数，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41都是基础勾股数。
观察这些基础勾股数，你发现各数组中的勾与股及其积各有何特点？勾、股、弦三者的积有何特点?写出你的发现结果。
**19. 如图所示，隔湖有两点A，B，从与BA 方向成直角的BC上的C点，测得CA=50米，CB=40米。
求：（1）A，B两点的距离。
（2）你能知道B点到直线AC的最短距离吗？
. . . .。