直角三角形(勾股定理)
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角度为90度的直角。
勾股定理是直角三角形中一条重要的几何定理，它描述了直角三角形三条边之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨直角三角形和勾股定理的相关内容。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中包含一个角度为90度的角。
这个角被称为直角。
直角三角形的其他两个角度则被称为锐角和钝角。
直角三角形的特点是，它的两条边相互垂直。
二、勾股定理的定义勾股定理是直角三角形中的一条定理，表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：a² + b² = c²，其中a和b 表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
勾股定理可以用来计算直角三角形中任意一条边的长度，只要已知其他两条边的长度即可。
三、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。
下面举几个例子来说明：1. 测量距离：假设你想要测量两个不相邻点之间的距离，但是这两个点之间有一片湖泊无法直接测量。
你可以选择一个合适的位置作为测量起点，然后以直角三角形的形式测量出湖泊的宽度和起点到目标点的距离，再利用勾股定理计算出两个目标点之间的距离。
2. 建筑斜坡：在建筑设计中，经常会遇到需要设计斜坡的情况。
假设你需要设计一个台阶高度为a，长度为b的斜坡，你可以应用勾股定理计算出斜坡的斜边长度，以确定所需材料的长度和角度。
3. 导航和航空：导航和航空领域利用勾股定理来计算飞机或船只的航行距离和角度，以便安全导航和飞行。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
毕达哥拉斯定理是勾股定理的一个特例，即当直角三角形的两条直角边长度分别为3和4时，斜边的长度为5。
根据毕达哥拉斯定理，我们可以推导出勾股定理的一般表达式。
证明过程略。
五、总结直角三角形和勾股定理是几何学中的重要概念和定理。
直角三角形的定义是包含一个90度角的三角形，而勾股定理则描述了直角三角形的三边之间的关系。
直角三角形定理公式
直角三角形定理公式直角三角形，这可是数学世界里的“明星角色”！咱们先来说说直角三角形中最出名的定理——勾股定理。
它就像是直角三角形的“身份证”，一亮相，身份就确认无误啦。
勾股定理说的是：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用公式表示就是 a² + b² = c²，这里的 a 和 b 是两条直角边，c 是斜边。
我记得有一次给学生们讲这个定理的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我在黑板上画了一个大大的直角三角形，标上了边的长度，准备给他们演示勾股定理的应用。
我刚写完题目，就有个调皮的小男生举起手说：“老师，这太简单啦，我一眼就看出来啦！”我心里想，这小家伙口气还不小。
于是我就让他到黑板前来给大家讲讲。
结果他上来就懵了，支支吾吾半天也没说出个所以然。
其他同学都在下面偷笑，他自己也不好意思地挠挠头。
我笑着对他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后带着大家一起分析，最后算出了结果。
从那以后，这个小男生再也不盲目自信啦，学习也变得更踏实了。
除了勾股定理，直角三角形还有一些其他重要的公式和性质。
比如，直角三角形的面积公式，就是两条直角边乘积的一半。
如果用 S 表示面积，a 和 b 表示两条直角边，那面积公式就是 S = 1/2 × a × b 。
这个公式在解决很多几何问题的时候都特别管用。
再说说三角函数。
在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）这些三角函数可是大有用处。
正弦等于对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。
想象一下，咱们要测量一座高楼的高度，但是又没办法直接量。
这时候如果知道一个角度和一段距离，利用直角三角形的三角函数公式，就能算出高楼的高度啦。
还有啊，直角三角形中的特殊角度，像 30°、45°、60°，它们对应的边的比例关系也得记住。
比如，一个 30°的直角三角形，斜边是短直角边的两倍。
直角三角形的勾股定理应用
直角三角形的勾股定理应用一、勾股定理的定义与记忆•勾股定理是指直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
•勾股定理的数学表达式为：a² + b² = c²，其中c为斜边，a和b为直角边。
二、勾股定理的证明•证明方法有多种，如几何拼贴法、代数法、欧几里得证法等。
三、勾股定理的应用1.计算直角三角形的未知边长•已知两个直角边长，可求斜边长。
•已知斜边长和一个直角边长，可求另一个直角边长。
2.计算直角三角形的面积•直角三角形的面积等于两个直角边长的乘积除以2，即S = (ab)/2。
3.判断一个三角形是否为直角三角形•若一个三角形的三边满足a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形。
4.在坐标系中求直角三角形的边长和面积•在直角坐标系中，若一个直角三角形的顶点坐标为(a, b)、(c, d)和(e,f)，可利用距离公式求出各边长，进而判断是否为直角三角形。
四、勾股定理在实际生活中的应用1.测量身高和距离•当目测一个人的身高和其影子的长度时，可利用勾股定理求出实际身高。
2.测量建筑物的高度•在地面上测量建筑物底部到顶部影子的长度和建筑物底部的宽度，利用勾股定理求出建筑物的高度。
3.求解物体在空中的飞行轨迹•利用勾股定理求解物体在抛射运动中的飞行距离和落地位置。
五、拓展知识1.勾股定理的推广•勾股定理不仅适用于直角三角形，还适用于非直角三角形，即一般三角形的余弦定理。
2.勾股定理的应用领域•勾股定理在工程、物理、数学等领域都有广泛的应用。
3.相关数学问题•例如，求解直角三角形中的角度、求解三角形的面积等。
知识点：__________以上是对直角三角形的勾股定理应用的详细知识归纳，希望能帮助您更好地理解和掌握这一重要定理。
习题及方法：1.习题：已知直角三角形两个直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长。
答案：斜边长= √(3² + 4²) = 5cm解题思路：直接应用勾股定理，计算斜边长。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
直角三角形定理
直角三角形定理直角三角形定理，也称勾股定理，是几何学中的一个重要定理，它证明了直角三角形的斜边的平方等于两个直角边平方的和。
直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个内角是直角，也就是90度。
在直角三角形中，由于有一个直角，所以其他两个角的和必须等于90度。
直角三角形定理可以用数学符号表示为：c² = a² + b²其中，c代表直角三角形的斜边（也称为斜边或长边），a和b代表直角三角形的两个直角边（也称为短边或邻边）。
这个公式可以通过尝试不同的直角三角形来进行验证。
例如，可以构造一个直角三角形，其中斜边的长度为5，一个直角边的长度为3，另一个直角边的长度为4。
根据直角三角形定理，可以计算得到：5² = 3² + 4²25 = 9 + 1625 = 25这表明定理成立。
直角三角形定理的证明方法有很多种，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
毕达哥拉斯是古希腊的一位著名数学家，他发现了这个重要的定理，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
毕达哥拉斯定理的一个经典证明方法是使用面积。
假设有一个直角三角形ABC，其中斜边c对应的高度为h。
根据面积的计算公式，可以得到：面积ABC = 1/2 * AB * AC面积ABC = 1/2 * a * b另一方面，根据直角三角形定理，可以得到：面积ABC = 1/2 * c * h将两个等式相等，可以得到：1/2 * a * b = 1/2 * c * h消去公共项，可以得到：a *b =c * h另一方面，根据勾股定理，可以得到：c² = a² + b²将c²替换为a² + b²，可以得到：a *b = (a² + b²) * h分配乘法，可以得到：a *b = a² * h + b² * h将a和b提取出来，可以得到：1 = (a * h) / a + (b * h) / b简化表达式，可以得到：1 = h + h1 = 2h因此，h = 1/2。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理逆定理 二、直角三角形的性质 1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．5.直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数。
简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
【典例精析】◆例1：在△ABC 中，∠BAD ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，现将它们折叠，使B 点与C 点重合，求折痕DE 的长。
【巩固】1、四边形ABCD 中，∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝1，CD ＝2；求对角线AC 的长A BDC E ABCD◆例2：如图所示．已知：在正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，作EF ⊥AC 于F ，作FG ⊥AB 于G ．求证：AB 2＝2FG 2．【巩固】已知△ABC 中，∠A ＝90°，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC 上，ME ⊥MF ，求证：EF 2＝BE 2＋CF 2◆例3：已知正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF＝b ,且S EFGH ＝32求：a b 的值◆例4：已知：P 为等边△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数G F AE BD CFEC MB A HDAB C E F G A BP【巩固】如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O 点，AB ＝15，BC ＝40，CD ＝50，则AD ＝________.◆例5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_______种可能，其中最大的值是______.【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。
直角三角形的三边关系勾股定理及其变形
直角三角形的三边关系勾股定理及其变形直角三角形的三边关系: 勾股定理及其变形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一角为90度（直角），另外两个角的和为90度。
直角三角形的三边之间有一种重要的数学关系被称为勾股定理，它是一条基本的几何定理。
本文将介绍勾股定理及其变形，并探讨其在几何、三角学和实际应用中的重要性。
一、勾股定理在直角三角形中，勾股定理描述了直角边（两条与直角相邻的边）与斜边（直角边的对边）之间的关系。
勾股定理可以表述为：直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方之和。
表达式如下：c² = a² + b²其中，c代表斜边（也称为斜边的长度），a和b分别代表直角边的长度。
这个简单而优雅的数学定理由古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出，并因此而得名。
勾股定理的应用非常广泛。
它可以用来解决与直角三角形及其相关性质有关的各种问题。
例如，我们可以利用勾股定理计算直角三角形的边长，判断一个三角形是否为直角三角形，计算三角形的面积等等。
勾股定理的几何证明有多种方法，其中最传统的方法之一是通过利用面积相等来证明。
以边长为a和b的两个正方形为例，如下图所示：```------a------| || |a| || ||-----------|------b-b```我们可以将这两个正方形组合成一个大正方形，边长为a+b。
该大正方形的面积为(a+b)²，同时由两个小正方形和一个直角三角形组成。
小正方形的面积分别为a²和b²，直角三角形的面积为0.5ab。
因此，我们可以得到以下等式：(a+b)² = a² + b² + 2ab(a+b)² = a² + b²从这个等式可以看出，当直角三角形满足勾股定理时，上述等式成立。
勾股定理还有一些有趣和实用的变形形式。
下面介绍两个常见的变形：1. 推论一：勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边长度满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是一个直角三角形。
勾股定理
勾 股 定 理１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：利用勾股定理求线段长度——例题6 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.BAC7.关于翻折问题例7、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.课后训练： 一、填空题1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．图(1)2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
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1.如图，凸四边形ABCD 中，∠A=90° AB=3,AD=4,BC=12,CD=13
则四边形ABCD 的面积为
2.锐角三角形的两边分别为1、2，
则第三边x 的取值范围是
3.已知直角三角形的三边均为整数，且一直角边为1997， 则另一直角边是
4如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°AC=BC, D 为AB 边的中点，∠EDF=90°,AB=10 则DE+DF 的取值范围是
5. 如图，△ABC 中，AB=13,AC=15,BC=14,AD ⊥BC 则AD=
6. 如图，△ABC 是直角三角形，∠C=90° D 为AB 边的中点，∠EDF=90° 求证：2
2
2
EF BF
AE =+
7.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°AC=BC, △ABD 、△CDE 都是等边三角形，AB=2 求 BE 的长
8.如图，△ABC 是直角三角形，∠C=90°，AD=BC,DC=BE 求∠AFD
9.如图，凸四边形ABCD 中, ∠BAD=60°∠BCD=30°AB=AD 求证：2
2
2
AC BC CD =+
10.如图，△ABC 是等边三角形，O 为内一点，AO=3,BO=4,CO=5 求∠AOB
11.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC ,O 为内一点，AO=1, CO=2, BO=3, 求∠AOC
C
C
A
C
E
C
P
B 12.如图，O 为矩形ABCD 中一点 求证：2
2
2
2
OD OB OC AO +=+
13.正方形ABCD 中，边长为1，∠DOC=90°
2
122=
-OB AO 求∠DCO
（需用三角函数，超纲）
14如图，P 为三角形ABC 的边BC 上一点，且PC=2PB ∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB
15. ∆ABC 中，AB=AC ，P 为BC 边上的一点 求证：AB 2
=AP 2
+BP ∙CP
若P 在直线BC 上结论是否成立呢？
16.如图，∆ABC 中，AB=AC=37，D 为BC 边延长线上的一点, AD=58,BC DC 均为整数 求BC DC 的长
17.勾股数， 例3、4、5；
5、12、13；
6、8、10；
7、24、25；
8、15、17；
9、40、41； 10、24、26 11、60、61 12、35、37 ………….
22n m - 2mn 22n m + 12-n 2n 12+n
2n 12
-n 12
+n (第一个数为偶数)
2n+1 2n(n+1) 2n(n+1)+1(第一个数是奇数)。