直角三角形与勾股定理练习题
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
直角三角形与勾股定理 试题及答案
直角三角形与勾股定理1.下列命题是真命题的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.任意多边形的内角和为360°D.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A.3,4,5B.1,2,3C.6,7,8D.2,3,43.如图K20-1,两个大小形状相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A与A'重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则B'C的长为()图K20-1A.33B.6C.32D.214我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米5.三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于.图K20-26.如图K20-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是.7.如图K20-3,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为米(结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73).图K20-38.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图K20-4所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB=2,则CD=.图K20-49.如图K20-5,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=33,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.图K20-5参考答案1【答案】D对角线相等的平行四边形是矩形,则选项A不正确;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,则选项B不正确;任意多边形的内角和为(n-2)·180°,则选项C不正确;三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,则选项D正确.2【答案】B3【答案】A由题意得∠CAB=∠C'AB'=45°,△ABC≌△AB'C',∴∠CAB'=90°.由勾股定理得AB=AB'=32,∴B'C=33,故选A.4【答案】A将里换算为千米,则三角形沙田的三边长分别为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米,所以S=12×6×2.5=7.5(平方千米),故选A.5【答案】2.5根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知最长边上的中线长=12×5=2.5.6【答案】1.6连接AD,由作法可知AD=BD,在Rt△ACD中,设CD=x,则AD=BD=5-x,AC=3.由勾股定理得,CD2+AC2=AD2,即x2+32=(5-x)2,解得x=1.6,故答案为1.6.7【答案】2.9首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4米,再根据勾股定理及三角函数可得MC2+MB2=(2MC)2,代入数可得答案.∵AM=4米,∠MAD=45°,DM⊥AM,∴DM=4米,∵AM=4米,AB=8米,∴MB=12米,∵∠MBC=30°,∴BC=2MC,∴MC2+MB2=(2MC)2,即MC2+122=(2MC)2,∴MC=43米,则DC=43-4≈2.9(米).8【答案】3-1过点A作AF⊥BC,垂足为点F,∵AB=AC,∴CF=12BC,∵AB=AC=2,∴AD=BC=B2+B2=2,∴CF=1,∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,∴DF=B2-B2=3,∴CD=DF-CF=3-1.9【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,∴△CAD是等边三角形,∴CD=AC=4,∠ACD=60°,过点D作DE⊥BC于E.∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,∴DE=12CD=2,CE=23,∴BE=3,在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=7.。
八年级数学上册直角三角形与勾股定理专项练习 【含答案】
八年级数学上册直角三角形与勾股定理专项练习【知识梳理】1．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，，则a 2＋b 2＝ 。
90=∠C 2．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2＋b 2＝c 2，则∠C= 。
3．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．4．直角三角形斜边上的中线等于 ；三角形中一条边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是。
5．直角三角形中，30°的角所对的边等于 ；一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角等于度。
【名题点拔】考点1 “双垂图”中的计算问题例1 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BA 于D ，∠A=60°，CD=，求线3段AB 的长。
练习已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，BC ＝4，AC ＝3，求线段AB 、CD 、BD 的长。
考点2 勾股定理在轴对称问题中的应用例2 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6c m ，BC =8c m ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长。
考点3 勾股定理逆定理的应用例3 一个零件的形状如右图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角， 工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DB=5，DC=12，BC=13，请你判断这个零件符合要求吗？ 为什么？CC练习1、等腰三角形的周长是20 cm，底边上的高是6 cm，求它的面积.2、（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，求BE的长.（2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,求BE的长.（3）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在边BC上的点F处，折痕为AE，AB=CD=6，AD=BC=10，试求EC的长度.例1：（1）一轮船以16 n mi1e／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 n mi1e／h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距（2）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5 m，消防车的云梯最大升长为13 m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（3）一棵树在离地面9m处断裂，树的顶部落在离底部12 m处，树折断之前有_______m．例2：如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m，梯子的顶端B到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于15 m．同时梯子的顶端B下降至B'，那BB'等于( )A．3m B．4 m C．5 m D．6 m例3：（1）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深是多少米？（2）学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多2米，他把绳子全部拉直且使绳的下端接触地面，绳下端离开旗杆底部6米，则旗杆的高度是多少米？例4：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．例6、如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?例7、如图，在一棵树的10 m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例8、如图，点P是等边△ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接OQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明你的结论；(2)已知PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，请说明理由．例9、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA+PB.（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.一、选择题(每小题6分，共36分)1．在中，，，（ ）Rt ABC △90C ∠=BC =AC =A ∠=A ．B ．C ．D ．906045302．如图，已知中，，，是高和的交点，ABC △45ABC ∠=4AC =H AD BE 则线段的长度为（ ）BH AB ．4C ．D ．53．如图4，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A ．1B ．34C ．D ．2234．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是PQ （ ）A BC cmD ．2cm5．如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是 （）A ．B ． 17252C ．D ．7246．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90º，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF 。
专题39直角三角形与勾股定理
专题39：直角三角形与勾股定理一、选择题1.（浙江金华、丽水3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为A、600mB、500mC、400mD、300m【答案】 B。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC=，从而可求得CE=AC﹣AE=200。
根据图可知从B到E的走法有两种：①BA＋AE=700；②BC＋CE=500。
∴最近的路程是500m。
故选B。
2.. （辽宁本溪3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是A、3B、4C、4.8D、5【答案】A。
【考点】勾股定理，三角形中位线定理。
【分析】由在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，根据勾股定理即可求得，又由DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线等于第三边一半的性质，求得。
故选A。
3．（辽宁丹东3分）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是A．B．C．6 D．4【答案】C。
【考点】角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】由角平分线的定义得到∠CBE＝∠A BE，再根据线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得到EA＝EB，则∠A＝∠ABE，可得∠CBE＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE＝2EC，即AE＝2EC，由AE+EC＝AC＝9，即可求出AE＝6。
故选C。
4.（黑龙江龙东五市3分）在△ABC中，BC:AC:AB=1:1:，则△ABC是A、等腰三角形B、钝角三角形C、直角三角形 D、等腰直角三角形【答案】D。
直角三角形与勾股定理综合练习题
直角三角形与勾股定理综合练习题直角三角形和勾股定理是数学中重要的概念和定理，它们在许多实际问题中都有广泛的应用。
下面将通过一系列练习题来加深对直角三角形和勾股定理的理解和运用。
练习题一：已知一直角三角形的直角边长分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答一：根据勾股定理，斜边的长度等于直角边长的平方和的平方根，即斜边长度为√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5厘米。
练习题二：已知一个直角三角形的斜边长为10厘米，一直角边长为6厘米，求另一直角边的长度。
解答二：根据勾股定理，另一直角边的长度等于斜边长的平方减去已知直角边长的平方再开方，即另一直角边长度为√(10^2-6^2)=√(100-36)=√64=8厘米。
练习题三：已知一个直角三角形的两个直角边长分别为7厘米和24厘米，求斜边的长度。
解答三：根据勾股定理，斜边的长度等于直角边长的平方和的平方根，即斜边长度为√(7^2+24^2)=√(49+576)=√625=25厘米。
练习题四：已知一个三角形的三边长分别为5厘米、12厘米和13厘米，判断该三角形是否为直角三角形。
解答四：根据勾股定理，若三边长满足a^2+b^2=c^2，其中a、b为两个直角边长，c为斜边长，则该三角形为直角三角形。
对于给定的三边长5厘米、12厘米和13厘米，可以计算得到5^2+12^2=25+144=169=13^2，因此该三角形为直角三角形。
练习题五：已知一个三角形的三边长分别为8厘米、9厘米和10厘米，判断该三角形是否为直角三角形。
解答五：对于给定的三边长8厘米、9厘米和10厘米，计算得到8^2+9^2=64+81=145，但10^2=100，因此8^2+9^2≠10^2，不满足勾股定理的条件，所以该三角形不是直角三角形。
通过以上练习题，我们可以巩固直角三角形和勾股定理的知识。
直角三角形的斜边长可以通过勾股定理求得，已知两个直角边长可以判断一个三角形是否为直角三角形。
完整版直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2016 •四川达州-3分）如图，在5X5的正方形网格中，从在格点上的点A , B, C, D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）2 3B.卫C. |应D. 4勾股定理的应用.从点A , B , C, D 中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数,即可求出所求的概率.【解答】解：•••从点A, B, C, D 中任取三点能组成三角形的一共有 4种可能，其中△ ABD△ ADC △ ABC 是直角三角形，中等勾股定理及逆定理，中位线定理，因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形 ABC 为直角三角形，因为DE 为AC 边的中垂线，所以 DE 与AC 垂直，AE=CE=4所以DE 为三角形ABC 的中位线,所以DE=2BC =3,再根据勾股定理求出CD =5［参考答案］ D• ••所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 故选D.2. （ 2016 •广东广州）如图 2, DE 交AB 于D,连接CD CD=（C 已知三角形 ） ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是 AC 的垂直平分线,、4.8［难易］［考点］ 中垂线的性质FA. 3【考点】 B3. （2016年浙江省台州市）如图，数轴上点A, B分别对应1, 2，过点B作PQIAB,以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C,以原点0为圆心，0C长为半径画弧，交数轴于点M则点M对应的数是（）故点M 对应的数是： 故选：B.4. （ 2016 •山东烟台）如图，Rt △ ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合， B 点与0刻度线的一端重合，/ ABC=40 ,射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点 D,若射线CD 将△ ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点 D 在量角器上对应的度数是（ ）B . 70°C . 70° 或 80° D. 80° 或 140°角的计算.如图，点O 是AB 中点，连接 DO 易知点D 在量角器上对应的度数 =/ DOB=Z BCD 只要求出/ BCD 的度数即可解决问题.【解答】 解：如图，点O 是AB 中点，连接DO •••点D 在量角器上对应的度数 =/ DOB=2/ BCD•••当射线CD 将△ ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形时， / BCD=40 或 70°,L■ i1 ? M 3<_X 9A 品VsVsV TA.B.C.D.【考点】 勾股定理；实数与数轴.【分析】 直接利用勾股定理得出 OC 的长, 【解答】解：如图所示 :连接 OC 进而得出答案.由题意可得：OB=Z BC=1, A. 40° 【考点】•••点D 在量角器上对应的度数 =/ DOB=2/ BCD=80或140°, 故选D.3分）如图，在矩形 ABCD 中, AB=4, BC=6点E 为BC 的中点, B 落在矩形内点F 处，连接CF ,贝y CF 的长为（ ）12••• BH= 5 ,型 则 BF= 5 ,•/ FE=BE=EC •••/ BFC=90 ,6.（ 2016 •江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分 别为S 、S 2、S 3；如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角 相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6•其中S=16, S=45, S 5=11, S 6=14,则S 3+S=（12 5 9A.弓 【考点】 【分析】 BFC=90 【解答】 ••• BC=6, ••• BE=3, 又••• AB _______________• - AE==5,1$ 5 D. 翻折变换 13 5B.矩形的性质； 连接BF ,根据三角形的面积公式求出 BH 得到BF ,根据直角三角形的判定得到/，根据勾股定理求出答案.解：连接BF,点E 为BC 的中点， （折叠冋题） DJi5. （ 2016.山东省威海市， 将^ ABE 沿AE 折叠，故选：D.【点评】本题考查了勾股定理、 等边三角形的性质•勾股定理：如果直角三角形的两条直角7. （ 2016 •江苏南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7答案：C考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。
直角三角形与勾股定理练习题含参考答案
直角三角形与勾股定理练习题含参考答案（第3 题）直角三角形与勾股定理练习题含参考答案选择题1、(浙江杭州模拟14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点 C 落在斜边AB 上的点 E 处.已知AB= ,∠B=30°,则DE的长是(). A.6B.4C. D.2答案：B 2.（湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）A.5B.C.7D.答案：A3 ．（年杭州市上城区一模）梯形ABCD 中AB ∥ CD ，∠ ADC +∠ BCD =90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1 、S2 、S3 ，且S 1 + S 3 =4 S 2 ，则CD =（）A.2.5 ABB.3 ABC.3.5 ABD.4 AB 答案：B4．（年浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面3 83 4 3 积为6，则斜边长为（）A.5B.C.7D.答案：A填空题1、（年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D 的面积和是．答案：25cm22．（2010－学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S A ，S B ，已知S A +S B =13，则纸片的面积是. B A C D答案：36 3、(浙江杭州模拟15)如图，将含30°角的直角三角尺ABC绕点B 顺时针旋转150°后得到△EBD，连结CD.若AB=4cm.则△BCD 的面积为．答案：4．(年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm ，则阴影部分的面积_________cm2 ．答案：5.(浙江省杭州市8 模)如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；23cmAB249第2 题图S AS B第4 题图A C E D B F 30°45°图2 A B C 图1 A B C(第5 题图)答案:76 6、（年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度是米. 答案：87、（年浙江杭州八模）如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12 米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米. . 答案：6AB PDC第6 题图（第7 题）A 时B 时图2 A BC 图1 A B C第8 题图8、（年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；答案：76 9 9 .(浙江省杭州市党山镇中年中考数学模拟试卷)如图，将边长为的等边△ ABC 折叠，折痕为DE ，点B 与点F 重合，EF 和DF 分别交于点M 、N ，DF AB ，垂足为D ，AD＝1，则重叠部分的面积为. 答案：B B 组1．（年杭州三月月考）将一副三角板按如图1 位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB = AC =8cm,将△ MED 绕点 A ( M )逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是▲cm2答案：3 3AC 3 934 4+3 16 48__A图2图1A(M)__BA(M)(第1 题)2．（年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为。
直角三角形的勾股定理练习题
直角三角形的勾股定理练习题在数学中，直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。
直角三角形的勾股定理是一个重要的数学定理，用于描述直角三角形中三边之间的关系。
勾股定理的表述如下：在直角三角形中，假设a、b、c分别代表三角形的两个直角边和斜边的长度，那么有a² + b² = c²。
为了帮助你更好地理解和应用勾股定理，下面给出一些练习题。
练习题一：已知一个直角三角形的斜边长为10，直角边长度为6，求另一个直角边的长度。
解析：根据勾股定理，直角边的长度可以通过c² - a²（或c² - b²）再开方来求得。
其中，c代表斜边的长度，a、b分别代表两个直角边的长度。
已知c = 10，a = 6，带入公式：另一直角边的长度= √(c² - a²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8所以，另一个直角边的长度为8。
练习题二：已知一个直角三角形的斜边长为13，其中一个直角边的长度为5，求另一个直角边的长度。
解析：同样根据勾股定理，可以通过斜边和已知直角边的长度来求解。
已知c = 13，a = 5，带入公式：另一直角边的长度= √(c² - a²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12所以，另一个直角边的长度为12。
练习题三：已知一个直角三角形的斜边长为26，另一个直角边的长度为10，求未知直角边的长度。
解析：同样应用勾股定理进行求解。
已知c = 26，b = 10，带入公式：另一直角边的长度= √(c² - b²) = √(26² - 10²) = √(676 - 100) = √576 =24所以，未知直角边的长度为24。
通过以上练习题的解析，我们可以看到勾股定理是一个实用的工具，在解决直角三角形问题时应用非常广泛。
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直角三角形与勾股定理
一、选择题 1. 2. 3. （2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ A.1 , 2, 3 B.2, 3, 4 C.3, 4, 5 D.4 , 5, 6 （2010四川 泸州）在^ ABC 中，AB=6, AC=8, BC=10，则该三角形为（ A .锐角三角形 B .直角三角形 C . 钝角三角形 D .等腰直角三角形 （2010浙江台州市） 如图，△ ABC 中，/ C=90°, AC=3，点P 是边BC 上的动点, 则AP 长不可能是（▲） 4. B (第 3 题) E
A . 2.5
B . 3 （2010山东临沂）如图， 同一条直线上，连接 BD ，则BD 的长为
C . 4 △
ABC 和i DCE 都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在 (A ) 73 ( B ) 2 奥(C ) 3^/3 ( D ) 4 泵 5. （2010广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 现将△ ABC 折叠，使点B 与点A 重合， （A ） 4 cm AC = 6 cm 、BC = 8 cm , 折痕为DE ，贝y BE 的长为 E 第15题
C D 6. （ 2010广西南宁） 式：(A ) a <c c b 7. （2011山东烟台, (B) 5 cm 中，每个小正方形的边长为 1^ABC 的三边a,b,c 的大小关系
a<b<c (C ) cca<b ( D ) cvb<a
7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角
三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心0到三条支路的距离相等来连接管道, 则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心 0为点）是（ A2m
B.3m
C.6m
D.9m
8.
（2011湖北黄石，）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿
上, 另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成
30度 角, 如图⑶，则三角板的最大边的长为（ A. 3cm B. 6cm C. 3 72 cm D. 6 cm 9.直角三角形两条直角边长为 3cm 和4cm,斜边上的高为（ (A)3cm (B ) 2cm (C)2.4cm (D)3.6cm 10. 1 在直线I 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是 、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 S ,、5、S3、S 4,则0+52+& + S 4等于（）. (A)2
(B ) 3 (C) 4 (D) 6 i
二、填空题 1 . （ 10湖南益阳） 如图 4，在△ ABC 中, AB= AC= 8, AD 是底边上的
高, E 为AC 中点，贝y
DE
（第 2题图） O IT 1
F 30 G
2. （2010福建泉州南安） 将一副三角板摆放成如图所示，图中 N 1 度.
3. （2011山东枣庄，15, 4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB =14cm ，则阴影
部分的面积是
cm 2 （2010辽宁丹东市） 直角边，画第二个等腰 ADE …，依此类推，第 5. （2010浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚 以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角 三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验 证勾股定理.在右图的勾股图中，已知/ 4. 已知△ ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以 Rt △ ACD 再以 Rt △ ACD 的斜边 AD 为直角边, n 个等腰直角三角形的斜边长是 ________ . Rt △ ABC 勺斜边AC 为
画第三个等腰 Rt △
ACB=90 , / BAC=30 , AB=4.作^ PQR 使得/ ------------ n
挖£5
R=90° 点H 在边QR 上，点D, E 在边PR 上，点G F 在边_PQ 上，那么"PQR 的周长等于
6. （2010四川宜宾）已知，在^ ABC中，/ A= 45° AC= ^2, AB= {3+1，则边BC的长为.
10. （2011浙江温州，）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅
称其为赵爽弦图”（如图1）.图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接
而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S i,S2, S3.若
S什S2+S3= 10,则S2的值是
7. （2010 河南）如图，Rt △ ABC 中，/ C=9O0, / ABC=300, AB=6.
点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE , 围是
.
则AD的取值范& （2010广西玉林、防城港）两块完全一样的含30 °角的三角板重叠在一起，若绕长直角
边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6
,/ A
=
30 , AC = 10,则此时两直角顶点C、C'间的距离是
9. （2010四川乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和
人文价值•图（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为积之和为S n.设第一个正方形的边长为
请解答下列问题：（1）S = __________
（2）通过探究，用含n的代数式表示
S2,…，第n个正方形和第
1 .图（6）
n个直角三角形的面
S,贝y S n =
弦图”，后人
图6
（第16题團1）（第e题图刃、
4、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1个单位。
(1 )请你在图1中画出两条平行线，要求每条直线至少经过两个格点(网格的交点) 又不与网格线重合；
(2 )请你在图 (3 )请你在图 2中画一个以格点为顶点, 3中画一个以格点为顶点, 面积为 6个平方单位的等腰三角形。
三边都不与网格线重合的直角三角形 ，但是
三•解答题 1.
(2011山东枣庄)如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中，△ ABC 的三个顶点均在 格点上，请按要求完成下列各题：
(1) 画线段 AD // BC 且使AD =BC ,连接 CD ;
(2) 线段AC 的长为 _________ , CD 的长为 _______ , AD 的长为 _________ ;
(3) ______________ ^ ACD 为 ____________________________ 三角形，四边形 ABCD 的面积为 __________________ ;
2。
老师请同学们在一张长为 17cm,宽为16cm 的长方形纸板上，剪下一个腰长为 10cm
的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长 方形的边上).请你帮同学们计算剪下的等腰三角形的面
3. (2010 黑龙江绥化)Rt △ ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC=2，以 AC 为一边，在△ ABC 外部作等
腰直角三角形
ACD ，求线段BD 的长。
长度为 J 10的线段。
(4 )请你在图 4中画一条以格点为端点,
S 也EF =1AE -DF =5V51(cm)2.
4分
【答案】4或2苗或J T5 24.有三种情况:
S 念EF
-BF =40(cm)2.
1【答案】C 2【答案】B 3【答案】 7【答案】C 8【答案】D 9【答案】 11 【答案】4
12
【答案】120
4【答案】D 5【答案】B 6【答案】C
10【答案】C
49
13【答案】
49
14【答案】（应）n
15 19
【答案】■ 16【答案】2
【答案】1 +習；（1 +当
17【答案】 2W AD < 3
18 【答案】5
3 -(4)
n -1
( n 为整数).
20【答案】
10 y
(1)当 AE=AF=10cm 寸 （图 1),
2
= 50(cm).
(2)当 AE=AF=10cm 寸 （图 2), BF=J EF 2 -EB 2
=8(cm),
图
1
A
C
(3)当AE=AF=10cm寸(图3) , DF=J E F2 - ED2=J51(cm),
S也EF =1AE -DF =5V51(cm)2. 4分。