概率中考复习(知识点+题型分类复习)
2024九年级数学上册“第二十五章 概率初步”必背知识点
2024九年级数学上册“第二十五章概率初步”必背知识点一、随机事件与概率1. 随机事件定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
对比：与随机事件相对的是确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件。
必然事件是事先能肯定它一定会发生的事件；不可能事件是事先能肯定它一定不会发生的事件。
2. 概率的定义一般定义：在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p。
取值范围：概率的取值范围是0≤p≤1。
特别地，P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0。
二、概率的计算方法1. 理论概率在一次试验中，如果包含n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n。
2. 列举法求概率列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，常用列表法列出所有可能的结果，再求出概率。
树状图法：当试验涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。
三、用频率估计概率原理：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n 稳定于某一个常数p，那么可以认为事件A发生的概率为p。
即，频率可以作为概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
四、概率的应用与理解1. 概率的意义概率是对事件发生可能性大小的量的表现，它反映了随机事件的稳定性和规律性。
2. 游戏公平性判断游戏公平性需要计算每个事件的概率，并比较它们是否相等。
如果概率相等，则游戏公平；否则，游戏不公平。
五、综合应用概率知识在解决实际问题中的应用：如抽奖、天气预测、投资决策等领域的概率计算和分析。
示例题目1. 理论概率计算例题：从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃的概率。
解析：一副扑克牌共有54张 （包括大王和小王），其中红桃有13张。
因此，抽到红桃的概率为P=13/54。
2. 列举法求概率例题：一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同。
概率应用中考知识点总结
概率应用中考知识点总结一、基本概率概念首先，我们需要了解一些基本的概率概念。
概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，通常用一个介于0和1之间的数值来表示。
若一个随机事件的概率为0，表示该事件不可能发生；若概率为1，表示该事件必然发生；而概率介于0和1之间，表示该事件在一次试验中发生的可能性大小。
在实际应用中，概率可以用来描述掷硬币、抛骰子、购买彩票等随机事件的可能性。
二、概率题型归类概率题型大致分为几类，包括基本概率、排列组合和事件独立性等。
在考试中，常见的概率题型包括以下几种：1. 基本概率问题：如掷硬币、抛骰子、抽卡片等随机事件的概率计算；2. 排列组合问题：考察在一定条件下，不同的排列组合可能性；3. 事件独立性问题：考察两个或多个事件同时发生的概率；4. 条件概率问题：在一定条件下，某一事件发生的概率。
针对以上的题目类型，我们可以针对性地进行练习和复习，以提高解题效率。
三、基本概率计算在概率题型中，最基本的是基本概率计算。
基本概率是指在一次试验中，某一事件发生的可能性大小，通常用概率公式来计算。
例如，掷硬币的概率可以用P(A) = n(A)/n(S)来计算，其中n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示总的可能发生的次数。
当然在实际中，我们也可以使用频率来计算概率，即事件A发生的次数/总次数。
在考试中，我们需要对基本概率计算掌握得比较熟练，因为这类题型是概率题目中最基础的部分。
四、排列组合排列组合是数学中一个重要的概念，也经常出现在概率题型中。
排列是指在一个序列中，不同元素的排列情况；组合是指在一个元素集合中，不同元素的组合情况。
在概率题目中，排列组合通常用来求解在一定条件下，不同元素的排列组合可能性。
这需要我们对排列组合公式进行了解和掌握，然后灵活运用到不同的题目中。
五、事件独立性事件独立性是指在某一试验过程中，两个或多个事件相互独立的情况。
在概率题目中，我们经常需要计算两个或多个事件同时发生的概率。
中考数学概率题型知识点归纳
中考数学概率题型知识点归纳概率是中考数学中的一个重要知识点，它与我们的日常生活息息相关，能够帮助我们理解和预测各种随机现象。
下面就为大家归纳一下中考数学中常见的概率题型及相关知识点。
一、概率的基本概念1、随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。
3、不可能事件在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件。
4、概率表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。
概率通常用 P（事件）来表示。
二、概率的计算1、古典概型如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么某个事件 A 发生的概率为 P（A）＝事件 A 包含的结果数÷所有可能的结果数。
例如：一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？总共有 8 个球，摸到红球的可能性有 5 种，所以摸到红球的概率为5÷8 ＝ 5/8 。
2、列表法和树状图法当一次试验要涉及两个或两个以上因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法或树状图法。
例如：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求出现“一正一反”的概率。
我们可以通过列表法：｜第一枚硬币｜正｜正｜反｜反｜｜｜｜｜｜｜｜第二枚硬币｜正｜反｜正｜反｜共有 4 种等可能的结果，其中“一正一反”的结果有 2 种，所以概率为 2÷4 ＝ 1/2 。
或者通过树状图法：｀｀｀第一枚硬币／＼正反／＼／＼正反正反｀｀｀同样可以得出“一正一反”的概率为 1/2 。
3、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
例如：在一个边长为 4 的正方形内随机取一点，求该点到正方形顶点的距离小于 2 的概率。
此时，点到正方形顶点的距离小于2 的区域是以正方形顶点为圆心，以 2 为半径的四分之一圆，其面积为π×2²×1/4 ＝π。
中考数学复习《概率》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《概率》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 事件的分类【命题规律】1.事件的分类主要考查事件的判断，确定事件分为必然事件(概率为1)和不可能事件(概率为0)，随机事件发生概率介于 0和1 之间.2.考查形式：①下列事件是…事件的是；②下列说法正确的是；③…事件是….【命题预测】事件的分类是研究概率知识的基础，值得关注．1.在1，3，5，7，9中任取出两个数，组成一个奇数的两位数，这一事件是( )A . 不确定事件B . 不可能事件C . 可能性大的事件D . 必然事件1. D 【解析】在1，3，5，7，9中任取出两个数，组成一个奇数的两位数，是一定发生的事件，因而是必然事件，故选D.2.下列事件中，是必然事件是( )A . 两条线段可以组成一个三角形B . 400人中有两个人的生日在同一天C . 早上的太阳从西方升起D . 打开电视机，它正在播放动画片2. B3.下列说法中，正确的是( )A . 不可能事件发生的概率为0B . 随机事件发生的概率为12C . 概率很小的事件不可能发生D . 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次3. A正面朝上的次数不确定命题点2 一步概率计算【命题规律】1.主要考查概率计算公式P (A )＝mn (m 表示满足事件A 的可能结果数，n 表示所有可能结果数)的应用，只需一步便可解决.2.解决此类问题，首先找准所有可能发生的结果数，再找准事件A 发生的可能结果数，最后应用概率公式直接运算，注意事件A 的可能结果数要不重不漏，避免出错．【命题趋势】一步概率计算结合一些简单的游戏设计进行计算，是常考的基础概率计算． 4.某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是( )A . 110B . 19C . 13D . 124. A 【解析】随机选取一个数字，共有10种等可能结果，能打开密码锁的结果只有一种，所以一次就能打开密码锁的概率是110.5.已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其他都相同，若随机摸出一个，摸到红球的概率是14，则袋中球的总个数是( )A . 2B . 4C . 6D . 85. D 【解析】由概率的意义可知：袋中球的总数＝红球的个数÷摸到红球的概率，即袋中球的总个数是2÷14＝8(个)．6.如图，在3×3的方格中，A 、B 、C 、D 、E 、F 分别位于格点上，从C 、D 、E 、F 四点中任取一点，与点A 、B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是________．6. 34 【解析】由题意知，C ，D ，F 三点可与A ，B 构成等腰三角形，E 点不可以，则概率为34.第6题图 第7题图7.小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是________．7. 35 【解析】∵黑色地砖有2块，白色地砖有3块，且小球停在每块地砖上的可能性相同，∴小球停在白色地砖上的概率为35.8.从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．8. 45 【解析】从五个图形中任取一个，则共有5种等可能的结果，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种，故其概率为45.命题点3 树状图或列表法计算概率【命题规律】1.这类题的考查与实际生活比较贴近，命题背景一般有：①摸球游戏(分两次摸球或从两个袋子中分别摸球)；②掷骰子游戏(两次求点数之和等)；③抽卡片游戏；④和其他知识相结合如物理电路图.2.试题解法有固定的模式：主要是利用画树状图或列表法将所有等可能结果不重不漏地列举出来，使所有等可能结果清晰呈现，进而根据题设条件选择满足要求的事件的可能结果，最后再运用概率公式求解即可．【命题趋势】用树状图或列表法计算概率主要考查两步以上概率计算的方法，是概率计算命题的一大趋势．9.一个盒子装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为( )A . 25B . 23C . 35D . 3109. C 【解析】画树状图分析如下：红1、红2、白1、白2、白3，由树状图可知，共有20种均等可能的结果，其中取到一红一白的结果有12种，所以P (一红一白)＝1220＝35.故选C. 10.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6.随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是( )A . 12B . 14C . 310D . 1610. B 【解析】列表如下：第一次第二次 积1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 661218243036共有36种等可能情况，其中积为奇数的有9种，所以P (积为奇数)＝936＝14.11.如图，随机地闭合开关S 1，S 2，S 3，S 4，S 5中的三个，能够使灯泡L 1，L 2同时发光的概率是________． 11. 15【解析】画树状图如解图：共有60种等可能结果，符合要求的结果是12种，故概率为1260＝15.12.从数－2，－12，0，4中任取一个数记为m ，再从余下的三个数中，任取一个数记为n ，若k ＝mn ，则正比例函数y ＝kx 的图象经过第三、第一象限的概率是________． 12. 16【解析】画树状图如下：第由树状图可知共有12种等可能的结果，其中k ＝mn 为正的有2种，当k ＝mn 是正数时，正比例函数y ＝kx 的图象经过第一、第三象限．∴P ＝212＝16.13.在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用表示)的评定结果．节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级． (1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果； (2)求选手A 晋级的概率．13. 解：(1)用树状图表示选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果，如解图：由树形图可知，选手A 一共能获得8种等可能的结果，这些结果的可能性相等． (2)由(1)中树状图可知，符合晋级要求的结果4种， ∴P(A 晋级)＝48＝12.14.A 、B 两组卡片共5张，A 中三张分别写有数字2、4、6，B 中两张分别写有3、5.它们除数字外没有任何区别．(1)随机地从A 中抽取一张，求抽到数字为2的概率；(2)随机地分别从A 、B 中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？14. 解：(1)P(抽到数字为2)＝13.(2)游戏规则不公平，理由如下．画树状图表示所有可能结果，如解图：由图知共有6种等可能结果，其中两数之积为3的倍数的有4种． ∴P(甲获胜)＝46＝23，P(乙获胜)＝26＝13∴游戏规则不公平．15.在四张编号为A ，B ，C ，D 的卡片(除编号外，其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好，现从中随机抽取一张(不放回)，再从剩下的卡片中随机抽取一张．(1)请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果；(卡片用A ，B ，C ，D 表示) (2)我们知道，满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数a ，b ，c 称为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．15. 解：(1)列表法如下：A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD DDADBDC或画树状图如下：(2)在A 中，22＋32≠42；在B 中，32＋42＝52；在C 中，62＋82＝102；在D 中52＋122＝132，则A 中正整数不是勾股数，B ，C ，D 中的正整数是勾股数． ∴P(抽到的两张卡片上的数都是勾股数)＝612＝12.命题点4 统计与概率结合【命题规律】此类题将概率和统计结合，一般为2～3问，第1问通常考查统计知识，最后1问涉及列表或树状图法计算概率，有时还会涉及到游戏的公平性.【命题预测】统计与概率都是与日常生活结合紧密，联系实验生活，是全国命题趋势之一，值得关注． 16.为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意、一般、满意、非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中的信息，解决下列问题： (1)求此次调查中接受调查的人数； (2)求此次调查中结果为非常满意的人数； (3)兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率． 16. 解：(1)由图知，满意20人，占调查人数的40%.∴此次调查中接受调查的人数为：20÷40%＝50(人)． (2)∵非常满意的人数占调查人数的36%， ∴非常满意的人数为：50×36%＝18(人)． (3)画树状图如下：∴市民均来自甲区的概率为：212＝16.中考冲刺集训一、选择题1.在英文单词“parallel”(平行)中任意选择一个字母“a”的概率为( )A . 12B . 38C . 14D . 182.下列说法正确的是( )A . 为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查B . 为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查C . “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件D . “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件3.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6.若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x ，计算|x －4|，则其结果恰为2的概率是( )A . 16 B . 14 C . 13 D . 124.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5.随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是( )A . 310B . 320C . 720D . 7105.如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是( )A . 613 B . 513 C . 413 D . 313二、填空题6.有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记．掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是________．7.已知一包糖果共有五种颜色(糖果仅有颜色差别)，如图是这包糖果颜色分布百分比的统计图，在这包糖果中任取一粒糖果，则取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率是________．8.不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是________．9.已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，(23，32)，(－5，－15)，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．三、解答题10.已知反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝x ＋2的图象交于点A(－3，m)．(1)求反比例函数的解析式；(2)如果点M 的横、纵坐标都是不大于3的正整数，求点M 在反比例函数图象上的概率．11.一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． (1)写出按上述规定得到所有可能的两位数；(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率．12.甲、乙两人利用扑克牌玩“10点”游戏．游戏规则如下：①将牌面数字作为“点数”，如红桃6的“点数”就是6(牌面点数与牌的花色无关)；②两人摸牌结束时，将所摸牌的“点数”相加，若“点数”之和小于或等于10，此时“点数”之和就是“最终点数”；若“点数”之和大于10，则“最终点数”是0；③游戏结束前双方均不知道对方“点数”；④判定游戏结果的依据是：“最终点数”大的一方获胜，“最终点数”相等时不分胜负．现甲、乙均各自摸了两张牌，数字之和都是5，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是4，5，6，7.(1)若甲从桌上继续摸一张扑克牌，乙不再摸牌，则甲获胜的概率为________；(2)若甲先从桌上继续摸一张扑克牌，接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌，然后双方不再摸牌．请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果，再列表呈现．．．．甲、乙的“最终点数”，并求乙获胜的概率．13.今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如下尚不完整的统计图表.评估成绩n(分) 评定等级频数90≤n≤100 A 280≤n<90 B70≤n<80 C 15n<70 D 6根据以上信息解答下列问题：(1)求m 的值；(2)在扇形统计图中，求B 等级所在扇形的圆心角的大小；(结果用度、分、秒表示)(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A 等级的概率．答案与解析：1. C2. C3. C 【解析】任意抛掷一次，朝上的面的点数有6种等可能的结果，其中满足|x －4|＝2的有2和6两种，所以所求概率为26＝13.4. A 【解析】从这5张卡片中，随机抽取3张，不同的抽法有：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种，其中抽到的三个数字作为边长能构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，共3种，则P (能构成三角形)＝310.5. B 【解析】∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5种情况，如解图所示，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是513.第5题解图6. 13 【解析】抛一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面有1，2，3，4，5，6这6种均等的结果，其中是3的倍数只有3和6两个，∴P(3的倍数)＝26＝13.7. 12 【解析】棕色糖果占总数的百分比为1－(20%＋15%＋30%＋15%)＝20%.绿色糖果或棕色糖果占总数的百分比为30%＋20%＝50%，∴取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率＝50%，即12.8. 49 【解析】本题主要考查了古典概型中的概率问题．做此类型题目注意放回和不放回的区别，列表或画树状图都可解决此类问题．本题列表如下：红黄 黄由上表可知：4种，所以两次摸出球都是黄球的概率为49.9. 12 【解析】先将各点分别代入反比例函数解析式中，即y ＝1－1＝－1≠1，y ＝12≠2，y ＝123＝32，y ＝1－5＝－15，所以(23，32)，(－5，－15)这两个点在反比例函数y ＝1x 的图象上，因此，所求的概率为24＝12.10. 解：(1)把A(－3，m)代入y ＝x ＋2中，得m ＝－3＋2＝－1， ∴A(－3，－1)，把A(－3，－1)代入y ＝kx 中，得k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x .(2)由题意列表如下：由上可知，共有9与(3，1)两种结果， ∴点M 在反比例函数图象上的概率P ＝29.11. 解：(1)所有可能的两位数用列表法列举如下表：(2)7，即大于16且小于49的两位数共6种等可能结果：17，18，41，44，47，48，则所求概率P ＝616＝38.12. 解：(1)12.(2)画树状图如解图，第12题解图或列表如下：甲 乙4 5 6 7 4 (4，5) (4，6) (4，7) 5 (5，4) (5，6) (5，7) 6(6，4)(6，5)(6，7)7 (7，4) (7，5) (7，6)由树状图或列表法可以得出，所有可能出现的结果共有12种，他们的“最终点数”如下表所示：甲 9 9 9 10 10 10 0 0 0 0 0 0 乙109910910(7分)比较甲、乙两人的“最终点数”，可得P (乙获胜)＝512.13. 解：(1)由统计图表知，评定为C 等级的有15家，占总评估连锁店数的60%， 则m ＝15÷60%＝25.(2)由题意知B 等级的频数为25－(2＋15＋6)＝2， 则B 等级所在扇形的圆心角大小为 225×360°＝28.8°＝28°48′. (3)评估成绩不少于80分的为A 、B 两个等级的连锁店．A 等级有两家，分别用A 1、A 2表示；B 等级有两家，分别用B 1、B 2表示，画树状图如下：第13题解图由树状图可知，任选2家共有12种等可能的情况，其中至少有一家是A 等级的情况有10种． 所以，从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家，其中至少有一家是A 等级的概率是P ＝1012＝56.。
中考计算概率知识点总结
中考计算概率知识点总结一、随机事件与概率随机事件是在确定条件下，不确定是否发生的事件，例如：掷一枚硬币，掷一颗骰子，抽一张牌等。
概率是随机事件发生的可能性大小的量度，通常用P(A)表示，其中A为事件。
二、基本概率公式基本概率公式是指在n次试验中，事件A发生的次数除以总的试验次数n的比，用P(A)=n(A)/n表示。
当试验次数n很大时，可以用频率代替概率进行近似计算。
例如：投掷一枚硬币，正面朝上的概率为1/2。
三、排列与组合在概率计算中，排列和组合是很重要的概念。
排列是指从n个元素中，取出m(m≤n)个元素进行排成一行的操作，共有n(n-1)(n-2)……(n-m+1)种方法，记为A(n,m)。
组合是指从n个元素中，取出m(m≤n)个元素进行排列的操作，不考虑元素之间的先后顺序，共有C(n,m)=A(n,m)/m!种方法。
四、加法概率加法概率是指如果事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B=∅，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
例如：掷一颗骰子，出现1或2的概率为1/6+1/6=1/3。
五、乘法概率乘法概率是指如果事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B)=P(A)×P(B|A)，其中P(B|A)表示在A发生的条件下B发生的概率。
例如：从一副扑克牌中先抽出一张牌后不放回，再从中抽出一张牌，则第一次抽出桃心的概率为13/52，第二次抽出桃心的概率为12/51，故两次抽出桃心的概率为(13/52)×(12/51)。
六、条件概率条件概率是指在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，通常用P(B|A)表示。
例如：在一副扑克牌中，从中抽出一张牌，这张牌是红桃的概率为1/4，如果已知这张牌是红桃，再从中抽出一张牌是黑桃的概率为1/3，即在已知条件下的概率。
七、独立事件如果事件A和事件B的发生不影响对方发生的概率，则称事件A和事件B是独立事件，它们的关系表示为P(A∩B)=P(A)×P(B)。
概率中考复习(知识点+题型分类复习)
知识梳理一、事件的有关概念1．必然事件在现实生活中必然会发生的事件称为必然事件．2．不可能事件在现实生活中不可能发生的事件称为不可能事件．3．随机事件在现实生活中，有可能发生，也有可能不发生的事件称为随机事件．4．分类必然事件确定事件事件不可能事件随机事件二、用列举法求概率1．定义(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个__________时，该__________就可认为是这个事件发生的概率．概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．概率常见题型分析1．下列说法正确的是( )A．打开电视机，正在播放新闻为必然事件D．盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出两个球，一定一红一黑2.下列事件属于必然事件的是( )3.下列事件中，为必然事件的是( )A．购买一张彩票，中奖B．打开电视，正在播放广告C．抛掷一枚硬币，正面向上D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球)2C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的）（）B．抛掷一枚普通的正方体骰子1点朝上D．明天会下雨中考真题1．(2012浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( )C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大2．(2016·武汉)不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从)A．掷一枚硬币，正面朝上．B．a是实数，l a l≥0．C．某运动员跳高的最好成绩是20 .1米．D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品．）1”表示抽奖100次就一定会中奖B．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为61D．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是4.（2011安徽）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M：“这个四边形是等腰梯形”．下列判断正确的是（）A．事件M是不可能事件B．事件M是必然事件1C．事件M发生的概率为D．事件M发生的概率为55.（2011四川）下列说法正确的是（）A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上。
九年级概率初步知识点及题
九年级概率初步知识点包括：1. 概率的基本性质：概率是非负数，并且所有概率的和必须等于1。
2. 必然事件和不可能事件：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。
3. 独立事件：一个事件的发生不受另一个事件是否发生的影响，这样的两个事件称为独立事件。
独立事件同时发生的概率是各自概率的乘积。
4. 条件概率：在某个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的概率叫做条件概率，记作P(A|B)。
5. 事件的概率：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的k个结果，那么事件A发生的概率为P(A)=k/n。
6. 概率的加法公式：如果两个事件A和B是互斥的（即两个事件不能同时发生），那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
7. 概率的乘法公式：对于任意两个事件A和B，如果它们是独立的，那么P(A∩B)=P(A)×P(B)。
8. 贝叶斯定理：在已知某个事件的概率和一些条件概率的情况下，可以使用贝叶斯定理计算其他条件概率。
以上是九年级概率初步知识点，可以通过做题来巩固这些知识点。
例如：1. 小明和小颖按如下规则作游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后一次取完铅笔的人获胜。
如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应该取走几支铅笔？根据题意，我们知道小明获胜的概率为1，即他一定会赢。
所以我们需要找出小明第一次应该取走几支铅笔才能确保他获胜。
根据游戏规则，每次只能取1支或2支铅笔，如果小明第一次取走2支铅笔，那么无论小颖取走几支（1支或0支），小明都能在第二次取完剩下的所有铅笔，从而获胜。
因此，小明第一次应该取走2支铅笔。
初三数学概率知识点总结
初三数学概率知识点总结一、事件的分类。
1. 必然事件。
- 在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
例如：太阳从东方升起。
2. 不可能事件。
- 在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中都不可能发生的事件。
例如：掷骰子得到的点数大于6。
3. 随机事件。
- 在一定的条件下重复进行试验时，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷一枚硬币，正面朝上。
二、概率的定义。
1. 概率的概念。
- 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=(m)/(n)。
- 例如：掷一枚均匀的骰子，共有6种等可能的结果（1点、2点、3点、4点、5点、6点），掷出偶数点（事件A）包含3种结果（2点、4点、6点），则P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)。
2. 概率的取值范围。
- 对于任何事件A，0≤ P(A)≤1。
- 当P(A) = 0时，事件A是不可能事件；当P(A)=1时，事件A是必然事件；当0时，事件A是随机事件。
三、用列举法求概率。
1. 直接列举法。
- 当试验的结果较少时，可以直接列举出所有可能的结果，然后计算事件的概率。
- 例如：一个布袋中有1个红球和2个白球，除颜色外其余都相同。
从袋中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。
- 这里总共有3个球（1个红球和2个白球），摸出红球这一事件包含1种结果，所以P(摸到红球)=(1)/(3)。
2. 列表法。
- 当一次试验涉及两个因素（例如掷两枚骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，可以采用列表法。
- 例如：同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子点数之和为7的概率。
- 列表如下：第一枚骰子\\第二枚骰子 1 2 3 4 5 6。
1 2 3 4 5 6 7.2 3 4 5 6 7 8.3 4 5 6 7 8 9.4 5 6 7 8 9 10.5 6 7 8 9 10 11.6 7 8 9 10 11 12.- 共有36种等可能的结果，点数之和为7的情况有6种（1和6、2和5、3和4、4和3、5和2、6和1），所以P(点数之和为7)=(6)/(36)=(1)/(6)。
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知识梳理一、事件的有关概念１.必然事件在现实生活中必然会发生的事件称为必然事件.2.不可能事件在现实生活中不可能发生的事件称为不可能事件.3.随机事件在现实生活中，有可能发生,也有可能不发生的事件称为随机事件．４．分类事件错误!二、用列举法求概率1.定义在随机事件中,一件事发生的可能性大小叫做这个事件的概率.2．适用条件（１)可能出现的结果为有限多个；(2)各种结果发生的可能性相同．3.求法(1）利用列表法或树形图的方法列举出所有机会均等的结果;（2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果;(3）求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．列表法一般应用于两个元素,且结果的可能性较多的题目,当事件涉及三个或三个以上元素时,用树形图列举．三、利用频率估计概率1．适用条件当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等.２.方法进行大量重复试验,当事件发生的频率越来越靠近一个＿____＿＿_＿_时,该＿＿＿_＿_____就可认为是这个事件发生的概率.四、概率的应用概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判,如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策.概率常见题型分析题型一、概念判断中考模拟1.下列说法正确的是( )A．打开电视机，正在播放新闻为必然事件Ｂ.给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个C.调查某品牌饮料的质量情况适合普查D．盒子里装有2个红球和２个黑球，搅匀后从中摸出两个球,一定一红一黑2.下列事件属于必然事件的是( )A．在1个标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾B．明天我市最高气温为56 ℃C．中秋节晚上能看到月亮D．下雨后有彩虹3.下列事件中,为必然事件的是( ）Ａ．购买一张彩票，中奖B．打开电视,正在播放广告Ｃ.抛掷一枚硬币，正面向上Ｄ．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球４.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为错误!未定义书签。
,下列说法错误的是（ )A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上Ｂ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C.大量反复抛一枚均匀硬币,平均100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的5．一个口袋里有1个红球，2个白球,３个黑球,从中取出一个球,该球是黑色的。
这个事件是( ）A.不确定事件ﻩＢ.必然事件 C.不可能事件D．以上都不对6.下列事件为必然事件的是（）A．买一张电影票,座位号是偶数；B．抛掷一枚普通的正方体骰子1点朝上Ｃ.百米短跑比赛，一定产生第一名；Ｄ．明天会下雨中考真题1.(2012浙江杭州）一个不透明的盒子中装有2个红球和１个白球，它们除颜色外都相同.若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( ）A．摸到红球是必然事件B.摸到白球是不可能事件C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D.摸到红球比摸到白球的可能性大2.（２016·武汉)不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球,其中4个黑球、2个白球,从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是( )Ａ．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球C.摸出的是２个白球、1个黑球Ｄ．摸出的是２个黑球、１个白球3．（20１１浙江)下列事件中，必然事件是A.掷一枚硬币,正面朝上.B．a是实数,l aｌ≥０．C ．某运动员跳高的最好成绩是20 .1米．D ．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品. ３．（201１湖南)下列说法正确的是（ ) A ．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖 B ．随机抛一枚硬币,落地后正面一定朝上C ．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6D.在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张,抽到的牌是6的概率是4．(２011安徽)从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M ：“这个四边形是等腰梯形” .下列判断正确的是( ) Ａ.事件M 是不可能事件 B ．事件Ｍ是必然事件Ｃ.事件Ｍ发生的概率为 错误! D ．事件M 发生的概率为 错误! ５．（201１四川）下列说法正确的是（ ）Ａ．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上。
B.从1，２，3,4,5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大。
C ．某彩票中奖率为，说明买1０0张彩票,有36张中奖。
D ．打开电视,中央一套正在播放新闻联播。
题型二、转盘问题 中考模拟1．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成５个和4个扇形，每个扇形上都标有数字,同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ )Ａ.错误!未定义书签。
B.错误!未定义书签。
Ｃ.错误! D.错误! 2．如图所示,一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1，2,3,４,转盘指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止.转动转盘一次,当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为Ｐ(3）,指针指向标有“4”所在区域的概率为P （4),则P (3)_________＿P (4）.(填“>”、“<”或“＝”）3.小明的小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下:分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时,小明得 2 分，当所转到的数字之积为偶数时,小刚得 １ 分,这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由，若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？11001130036４． “五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘(如图，转盘被平均分成12份),并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准红色、黄色、绿色区域,那么读者就可以分别获得45元、３０元、2５元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得１0元的购书券． （1)写出转动一次转盘获得4５元购书券的概率；(2）转转盘和直接获得购书券,你认为哪种方式对读者更合算?请说明理由． 中考真题1．（20１1江苏宿迁）如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上,那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（） A.1 B ．C. D ．2.（２01０湖北孝感）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘,每个转盘被分成面积相等的四个区域,分别用数字“1”、“２”、“3”、“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止,若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜;若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是( ） Ａ.B. C. D.3.(20１1甘肃兰州)如图,有A 、B 两个转盘,其中转盘A 被分成４等份,转盘B 被分成3等份,并在每一份内标上数字。
现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效,重转），21314114123456若将A 转盘指针指向的数字记为x ，B 转盘指针指向的数字记为ｙ，从而确定点P 的坐标为P （x ,ｙ)。
记Ｓ＝x +y 。
(１）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点Ｐ的坐标;（2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏:当S<6时甲获胜，否则乙获胜。
你认为这个游戏公平吗？对谁有利？4．(20１１广东肇庆)如图是一个转盘,转盘分成8个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,时,当作指向右边的扇形).求下列事件的概率: (1)指针指向红色;（2)指针指向黄色或绿色．题型四、“摸小球”(注意放回与不放回的区别） 中考模拟 一、放回1.在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌,它们分别标有数字1，2,３,4．随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回,洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．黄黄红 绿(1)计算两次摸出的纸牌上的数字之和为６的概率;(2)甲、乙两个人玩游戏,如果两次摸出纸牌上的数字之和为奇数,则甲胜;如果两次摸出纸牌上的数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗?请说明理由．2.在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上．（１)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少?（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下:先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后,再由小李随机抽出一张牌,记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时,小王赢;当两张牌面的花色不相同时，小李赢.请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．3．在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字１,2，3,4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子,摇匀后,再由小田随机取出一个小球,记下数字为y.（１)用列表法或画树状图法表示出(ｘ，y)的所有可能出现的结果;(2)求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x,y)落在反比例函数y＝错误!未定义书签。
的图象上的概率；(3)求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y＜错误!未定义书签。
的概率.二、不放回1．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同）,将3件礼物放在一起,每人从中随机抽取一件.若甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A),请列出事件A的所有可能的结果，并求事件Ａ的概率.2．有一个不透明口袋，装有分别标有数字１，2,3,4的４个小球（小球除数字不同外,其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字１,２,３的卡片.小敏从口袋中任意摸出一个小球，小颖从这３张背面朝上的卡片中任意摸出一张，然后计算小球和卡片上的两个数的积.(1）请你用列表或画树状图的方法，求摸出的这两个数的积为6的概率；（2）小敏和小颖做游戏，她们约定：若这两个数的积为奇数，小敏赢；否则,小颖赢．你认为该游戏公平吗?为什么？如果不公平，请你修改游戏规则,使游戏公平．中考真题1．(２０16·梧州)三张背面完全相同的数字牌,它们的正面分别印有数字“1”“2”“３”,将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张,记录牌上的数字并把牌放回,再重复这样的步骤两次，得到三个数字a,b，c，则以a，b,ｃ为边长正好构成等边三角形的概率是（）Ａ．＼ｆ（1,9) B．错误!Ｃ．错误!未定义书签。
D.错误!未定义书签。
２.（2０12福建泉州)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从盒中提出1子,则提出白子的概率是多少？（2）随机地从盒中提出1子,不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果,并求恰好提出“一黑一白”子的概率．3．(2011山东威海）甲、乙二人玩一个游戏，每人抛一个质地均匀的小立方体（每个面分别标有数字1、2、3、4、５、6）,落定后,若两个小立方体朝上的数字之和为偶数，则甲胜；若两个小立方体朝上的数字之和为奇数,则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由.4.（２011四川南充）在一个不透明的口袋中装有４张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2,3,４．随机地摸取出一张纸牌然后放回,在随机摸取出一张纸牌.（1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；(2)甲、乙两个人进行游戏,如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数,则乙胜。