高考数学第一轮复习线性规划备考

线性规划问题

【2014年高考会这样考】

1．考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)．2．考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围．

【复习指导】

1．掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)．

2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．

基础梳理

1．二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：

①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；

②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；

③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.

所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．

(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

2．线性规划相关概念

一种方法

确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．

(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．

(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．

一个步骤

利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域；

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

两个防范

(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．

(2)求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的

斜截式：y＝－a

b

x＋

z

b

，通过求直线的截距

z

b

的最值间接求出z的最值．要注意：

当b＞0时，截距z

b

取最大值时，z也取最大值；截距

z

b

取最小值时，z也取最小值；

当b＜0时，截距z

b

取最大值时，z取最小值；截距

z

b

取最小值时，z取最大值．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为

( )．

A．2x－y－3＜0

B．2x－y－3＞0

C．2x－y－3≤0

D．2x－y－3≥0

解析将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x－y －3＞0.

答案B

2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是( )．

A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3)

解析逐一代入得点(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内．

答案C

3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )．

解析两条直线方程为：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0.

将原点(0,0)代入x＋y－1得－1＜0，

代入x－2y＋2得2＞0，

即点(0,0)在x－2y＋2≥0的内部，

在x＋y－1≤0的外部，

故所求二元一次不等式组为??

?

x ＋y －1≥0，

x －2y ＋2≥0.

答案 A

4．(2011·安徽)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为

( )．

A ．1，－1

B ．2，－2

C ．1，－2

D ．2，－1

解析 法一 特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，排除A ，C ；当y ＝－1，

x ＝0时，x ＋2y ＝－2，排除D ，故选B.

法二 直接求解：如图，先画出不等式|x |＋|y |≤1表示的平面区域，易知当直线x ＋2y ＝u 经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以u max ＝2，u min ＝－2. 答案 B

5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是________．

答案 ???

50x ＋40y ≤2 000x ∈N

＋y ∈N

＋

考向一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例1】(2011·湖北)直线2x ＋y －10＝0与不等式组???

x ≥0

y ≥0，

x －y ≥－2，

4x ＋3y ≤20

表示

的平面区域的公共点有( )． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个

[审题视点] 准确画出不等式组所表示的平面区域，比较直线2x ＋y －10＝0与4x ＋3y －20＝0的斜率即可判断．

解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)． 直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，

且斜率k ＝－2＜k AB ＝－4

3

，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点

A (5,0)．

答案 B

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，

因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．

【训练1】 已知关于x ，y 的不等式组???

0≤x ≤2，

x ＋y －2≥0，

kx －y ＋2≥0

所表示的平面区域的

面积为4，则k 的值为( )． A ．1 B ．－3 C ．1或－3

D ．0

解析 其中平面区域kx －y ＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx －y ＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．

平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A (2,4)，代入直线方程，得k ＝1. 答案 A

考向二 求线性目标函数的最值

【例2】(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组?????

0≤x ≤ 2，

y ≤2，x ≤ 2y

给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)则

z ＝O M →·O A →的最大值为( )．

A ．3

B ．4

C ．3 2

D ．42

[审题视点] 作出平行域D ，然后解出目标函数z 的表达式，用截距法求z 的最大值．

解析 画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝O M →·O A →＝2x ＋y ，∴y ＝－2

x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4. 答案 B

求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函

数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．

【训练2】 已知变量x ，y 满足条件???

x ＋2y －3≤0，

x ＋3y －3≥0，

y －1≤0，

若目标函数z ＝ax ＋y (其

中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是( )．

解析 画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a ＜－12，∴a ＞12.

答案 D

考向三 求非线性目标函数的最值

【例3】变量x 、y 满足???

x －4y ＋3≤0，

3x ＋5y －25≤0，

x ≥1.

(1)设z ＝y

x ，求z 的最小值；

(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．

[审题视点] 利用目标函数所表示的几何意义求解．

解

由约束条件???

x －4y ＋3≤0，

3x ＋5y －25≤0，

x ≥1.

作出(x ，y )的可行域如图所示．

由??

? x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ?

?

???1，225.

由??

? x ＝1，x －4y ＋3＝0，

解得C (1,1)．

由??

?

x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．

(1)∵z ＝y x ＝

y －0

x －0

.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可

知z min ＝k OB ＝2

5

.

(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.∴2≤z ≤29.

求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，

再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．

【训练3】 如果点P 在平面区域???

2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，

2y －1≥0

上，点Q 在曲线x 2

＋(y ＋

2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )． －1 C ．22－1 －1 解析

如图，当P 取点? ?

???0，12，Q 取点(0，－1)时，|PQ |有最小值为32.

答案 A

考向四 线性规划的实际应用

【例4】某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：

万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润

[审题视点] 题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润”，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此A ，B 两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，这里两种产品的生产数量是问题的主要变量，故可以设出A ，B 两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数．

解 设生产A ，B 两种产品分别为x

吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得

???

3x ＋10y ≤300，

9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.

目标函数为z ＝7x ＋12y . 作出可行域，如图阴影所示．

当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20,24)时z 取最大值． ∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．

线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的

关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题．

【训练4】 (2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重

量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的

乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )． A ．4 650元 B ．4 700元 C ．4 900元

D ．5 000元

解析 设派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，获得的利润为z 元，z ＝450x ＋350y ，

由题意，x 、y 满足关系式?????

x ＋y ≤12，

2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，

0≤x ≤8，0≤y ≤7，

作出相应的平面区域，z ＝

450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，在由??

?

x ＋y ＝12，

2x ＋y ＝19确定的交点(7,5)处取得最大值

4 900元． 答案 C

难点突破16——高考中线性规划问题

近几年新课标高考对线性规划问题的考查主要是以选择题或填空题的形式出现，线性约束条件下的线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．

【示例1】 (2011·山东)设变量x ，y 满足约束条件???

x ＋2y －5≤0，

x －y －2≤0，

x ≥0，

则目

标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )． A ．11 B ．10 C ．9

【示例2】 (2010·浙江)若实数x ，y 满足不等式组???

x ＋3y －3≥0，

2x －y －3≤0，

x －my ＋1≥0，

且z

＝x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2