离散数学第13讲
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13-群同态
注意：可能有多个同构映射，如f(x)=lg x也是。
同构关系是等价关系
自反：对任意群(G,), G≅G ≅ – 恒等映射 f(x)=x 是同构映射 对称：对任意群G1, G2, 若G1≅ 2, 则G2≅ 1 ≅G ≅G – 设从G1到G2的同构映射为f, 则从G2到G1的同构映 射是f -1 传递：对任意群G1, G2, G3, 若G1≅G2, 且G2≅G3，则 G1≅G3, – 设从G1到G2的同构映射为f, 从G2到G3的同构映射 为g, 则设从G1到G3的同构映射fg,
有单位元e即对任意xg的每个元素均有逆元素即对任意xg存在x1的单位元素由逆元素的唯一性可知
群的同构与同态
离散数学 第13讲
上一讲内容的回顾
子群的定义及其判定 有限群的子群的判定 陪集与集合的划分 陪集关系
–
陪集关系是等价关系
拉格朗日定理 拉格朗日定理的重要推论
群的同构与同态
同构与同构映射 同态与同态映射 满同态 同构、同态与系统性质的保持
满同态与运算性质的保持（ ） 满同态与运算性质的保持（1）
结合律
–
假设f: G1→G2是满同态映射，若G1满足结合律，即对任意 x,y,z∈G1,(xy)z=x(yz) 则：对任意x’,y’,z’∈G2, 因为f 是满射，必有x,y,z∈G1,使得f(x)=x’, f(y)=y’, f(z)=z’, 因此：(x’*y’)*z’ = (f(x)* f(y))* f(z) = f(xy) * f(z) = f((xy)z) = f(x(y z)) = f(x)* (f(y)* f(z)) = x’*(y’*z’)
若群G1与G2满同态，证明：
–
–
群(G1,)与(G2,*)同构 (G1≅G2) 当且仅当： ≅
同构关系是等价关系
自反：对任意群(G,), G≅G ≅ – 恒等映射 f(x)=x 是同构映射 对称：对任意群G1, G2, 若G1≅ 2, 则G2≅ 1 ≅G ≅G – 设从G1到G2的同构映射为f, 则从G2到G1的同构映 射是f -1 传递：对任意群G1, G2, G3, 若G1≅G2, 且G2≅G3，则 G1≅G3, – 设从G1到G2的同构映射为f, 从G2到G3的同构映射 为g, 则设从G1到G3的同构映射fg,
有单位元e即对任意xg的每个元素均有逆元素即对任意xg存在x1的单位元素由逆元素的唯一性可知
群的同构与同态
离散数学 第13讲
上一讲内容的回顾
子群的定义及其判定 有限群的子群的判定 陪集与集合的划分 陪集关系
–
陪集关系是等价关系
拉格朗日定理 拉格朗日定理的重要推论
群的同构与同态
同构与同构映射 同态与同态映射 满同态 同构、同态与系统性质的保持
满同态与运算性质的保持（ ） 满同态与运算性质的保持（1）
结合律
–
假设f: G1→G2是满同态映射，若G1满足结合律，即对任意 x,y,z∈G1,(xy)z=x(yz) 则：对任意x’,y’,z’∈G2, 因为f 是满射，必有x,y,z∈G1,使得f(x)=x’, f(y)=y’, f(z)=z’, 因此：(x’*y’)*z’ = (f(x)* f(y))* f(z) = f(xy) * f(z) = f((xy)z) = f(x(y z)) = f(x)* (f(y)* f(z)) = x’*(y’*z’)
若群G1与G2满同态，证明：
–
–
群(G1,)与(G2,*)同构 (G1≅G2) 当且仅当： ≅
离散数学集合论部分PPT课件
其中P(x)为任何谓词公式。 如：A={x|x∈R ∧ x2+1=0}。 该方程无实数解。 注意： φ ≠{φ } 由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为任意元素x，公式xxA总是 为真。
第23页/共193页
注意： 与{}是不同的。 {}是以为元素的集合， 而没有任何元素，能 用构成集合的无限序列： ，{}，{{}}，···
例 设A={{1,2,3}, 1,2,3}， 则 {1,2,3} A 且 {1,2,3} A 。
第27页/共193页
重要结论
➢对任意集合A, 有A A。 ➢空集是任意集合的子集，且空集是唯一的。 ➢对于任意两个集合A、B，A=B的充 要条件是AB且BA。（这个结论非常简单， 但它非常重要，很多证明都是用这个Fra bibliotek法或思路来证明。）
第2页/共193页
集合的基本概念
例:
1. 二十六个英文字母可以看成是一个集合；
2. 所有的自然数看成是一个集合； 3. 重庆邮电大学计算机学院2010级的本科学生可以看成是一个集合； 4. 这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。
第3页/共193页
集合的元素
组成一个集合的那些对象或单元称为这 个集合的元素。通常，用小写的英文字母a, b, c,…表示集合中的元素。元素可以是单 个的数字也可以是字母，还可以是集合。
下列选项正确的是（ 3 ）；
（1） 1A
（2）{1,2,3} A
（3）{{4,5}} A （4） ØA
例3.4 下列各选项错误的是（2）；
（1） Ø Ø
（2） Ø Ø
（3） Ø { Ø }
（4） Ø { Ø }
例3.5 在0 ___ Ø 之间填上正确的符号：（4）
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注意： 与{}是不同的。 {}是以为元素的集合， 而没有任何元素，能 用构成集合的无限序列： ，{}，{{}}，···
例 设A={{1,2,3}, 1,2,3}， 则 {1,2,3} A 且 {1,2,3} A 。
第27页/共193页
重要结论
➢对任意集合A, 有A A。 ➢空集是任意集合的子集，且空集是唯一的。 ➢对于任意两个集合A、B，A=B的充 要条件是AB且BA。（这个结论非常简单， 但它非常重要，很多证明都是用这个Fra bibliotek法或思路来证明。）
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集合的基本概念
例:
1. 二十六个英文字母可以看成是一个集合；
2. 所有的自然数看成是一个集合； 3. 重庆邮电大学计算机学院2010级的本科学生可以看成是一个集合； 4. 这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。
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集合的元素
组成一个集合的那些对象或单元称为这 个集合的元素。通常，用小写的英文字母a, b, c,…表示集合中的元素。元素可以是单 个的数字也可以是字母，还可以是集合。
下列选项正确的是（ 3 ）；
（1） 1A
（2）{1,2,3} A
（3）{{4,5}} A （4） ØA
例3.4 下列各选项错误的是（2）；
（1） Ø Ø
（2） Ø Ø
（3） Ø { Ø }
（4） Ø { Ø }
例3.5 在0 ___ Ø 之间填上正确的符号：（4）
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学教程PPT课件
A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
离散数学课件演示文稿
(2) 找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
第二十三页，共167页。
例6、将下列命题符号化。 (1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。
设 p ：小王是游泳冠军 q ， ：小王是百米赛跑冠军。
原语句化为 p q。
(2) 小王现在在宿舍或在图书馆。 设 p ：小王在宿舍， q ：小王在图书馆。
原语句化为 p q 。
例1、判断下列句子中哪些是命题。 (1) 北京是中国的首都。 (2) 雪是黑色的。
(3) 3 4 12 。
(4) 请把门关上！ (5) x 是有理数。 (6) 地球外的星球上也有人。
第九页，共167页。
例1、判断下列句子中哪些是命题。 (7) 明天有课吗？ (8) 本语句是假的。 (9) 小明和小林都是三好生。 (10) 小明和小林是好朋友。
第二十五页，共167页。
(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，
她是三好生。
设 p ：小丽是计算机系的学生， q ：小丽生于1982年， r ：小丽生于1983年， s ：小丽是三好生。
原语句化为 p (q r) s 。
第二十六页，共167页。
第二节 命题公式及分类
第二十七页，共167页。
是否重言式 。
第四十四页，共167页。
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (1) A ( p q)， B p q
解：作真值表如下：
第四十五页，共167页。
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (2) A p q ，B ( p q) (q p)
解：作真值表如下：
第四十六页，共167页。
第二十四页，共167页。
例6、将下列命题符号化。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。 设 p ：选小王当班长， q：选小李当班长。 原语句化为 ( p q) (p q) 。 (4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 设 p ：我上街， q ：我去书店看看， r ：我很累。
第二十三页，共167页。
例6、将下列命题符号化。 (1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。
设 p ：小王是游泳冠军 q ， ：小王是百米赛跑冠军。
原语句化为 p q。
(2) 小王现在在宿舍或在图书馆。 设 p ：小王在宿舍， q ：小王在图书馆。
原语句化为 p q 。
例1、判断下列句子中哪些是命题。 (1) 北京是中国的首都。 (2) 雪是黑色的。
(3) 3 4 12 。
(4) 请把门关上！ (5) x 是有理数。 (6) 地球外的星球上也有人。
第九页，共167页。
例1、判断下列句子中哪些是命题。 (7) 明天有课吗？ (8) 本语句是假的。 (9) 小明和小林都是三好生。 (10) 小明和小林是好朋友。
第二十五页，共167页。
(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，
她是三好生。
设 p ：小丽是计算机系的学生， q ：小丽生于1982年， r ：小丽生于1983年， s ：小丽是三好生。
原语句化为 p (q r) s 。
第二十六页，共167页。
第二节 命题公式及分类
第二十七页，共167页。
是否重言式 。
第四十四页，共167页。
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (1) A ( p q)， B p q
解：作真值表如下：
第四十五页，共167页。
例1、判断 A, B两公式是否等值。 (2) A p q ，B ( p q) (q p)
解：作真值表如下：
第四十六页，共167页。
第二十四页，共167页。
例6、将下列命题符号化。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。 设 p ：选小王当班长， q：选小李当班长。 原语句化为 ( p q) (p q) 。 (4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 设 p ：我上街， q ：我去书店看看， r ：我很累。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
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一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
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例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
离散数学13
紫色的序偶是我们补充上去的. 当然我们再补充几个序偶还是能保证关系
具有等价性质,但不能算是由R诱导出的最小等 价关系. R″={<a,a>, <b,b>, <b,c>, <c,b>, <c,c>, <a,c> <c,a> <a,b> <b,a>}
tsr(R)的等价类是{a}和{b,c}，诱导出的等价 关系的每一等价类是<A,R>有向图的一个分 图的结点集合, 与有向弧数量无关。
整数k叫做等价的模数
定理3.5―1 模k等价是任何集合A I上的等价 关系
证：如果A=,例1(c)已指出它是等价关系.如 果A≠,则
(i) 自 反 的 . 因 为 对 任 一 a, a － a= 0·k, 得 出 a≡a(modk) (ii)对称的.因为a≡b(modk)时,存在某m∈I,
使a － b=m·k,于是b － a= (－m)·k,因此 b≡a(modk)
么R1=R2当且仅当
{a ] [R 1a A } {a ] [R 2a A }
证: 必要性。因为R1=R2, 所以对任意a∈A, 有
[a]R1 {xx1 R a}{xxR 2a}[a]R2 故 {a[]R1 ห้องสมุดไป่ตู้A}{a[]R2 aA}
充分性。因为
{a ] [R 1a A } {a ] [R 2a A }
(iii)传递的.设a≡b(modk)和b≡c(modk), 那么存在m1,m2∈I,使a － b=m1k和
b － c=m2·k,将两等式两边相加,得 a － c=(m1+m2)·k,所以 a≡c(modk)
将模k等价 a≡b(modk) 改写成a－b=m·k
具有等价性质,但不能算是由R诱导出的最小等 价关系. R″={<a,a>, <b,b>, <b,c>, <c,b>, <c,c>, <a,c> <c,a> <a,b> <b,a>}
tsr(R)的等价类是{a}和{b,c}，诱导出的等价 关系的每一等价类是<A,R>有向图的一个分 图的结点集合, 与有向弧数量无关。
整数k叫做等价的模数
定理3.5―1 模k等价是任何集合A I上的等价 关系
证：如果A=,例1(c)已指出它是等价关系.如 果A≠,则
(i) 自 反 的 . 因 为 对 任 一 a, a － a= 0·k, 得 出 a≡a(modk) (ii)对称的.因为a≡b(modk)时,存在某m∈I,
使a － b=m·k,于是b － a= (－m)·k,因此 b≡a(modk)
么R1=R2当且仅当
{a ] [R 1a A } {a ] [R 2a A }
证: 必要性。因为R1=R2, 所以对任意a∈A, 有
[a]R1 {xx1 R a}{xxR 2a}[a]R2 故 {a[]R1 ห้องสมุดไป่ตู้A}{a[]R2 aA}
充分性。因为
{a ] [R 1a A } {a ] [R 2a A }
(iii)传递的.设a≡b(modk)和b≡c(modk), 那么存在m1,m2∈I,使a － b=m1k和
b － c=m2·k,将两等式两边相加,得 a － c=(m1+m2)·k,所以 a≡c(modk)
将模k等价 a≡b(modk) 改写成a－b=m·k
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学13教案讲稿
黑板 讲授法，练习法，讨论法 包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题 时 间 分 配 布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 (90 分钟) 引入新课： 重点难点讲授：
教 学 过 程
1 通路和回路 2 无向图的连通性 3、无向图的连通程度 4 有向图的连通性 5 Menger 定理 6、二部图的概念
(G E) (G) ，则称 E 为 G 的一个边割集，同样对于一个边叫割边或桥．
例 3 如在图 5-2-4 中， 割点： v2 ， v6 ； 点割集： {v3 , v5 }
e1
v3
u
e6
v1
v5 e9
e7
v2
e5
边割集： {e3 , e4 }、 {e4 , e5 } 、
e8
e2
3、无向图的连通程度．
等价关系可以导致集合的划分，无向图中连通关系是等价关系，因此任何无向图中顶点集 都存在一种划分，使得每个划分块中的顶点都彼此连通，不同划分块中的顶点都不连通． 定义 6 （连通分支） 在一个无向图 G 中，存在 V 的一个分类， 把 V 分成非空子集 V1 ，V2 ，…，
V , 使得两个顶点 u 和 v 是连通的当且仅当它们属于同一子集 Vi ．子图 G[V1 ] ， G[V2 ] ，…，
G e 中 x 和 y 将被路 C - e 所连．于是， u 和 v 在 G e 中就连通了，导致矛盾．
反之， 假设 e = xy 不是 G 的割边， 则 (G e) = (G ) ． 由于在 G 中存在一条 ( x, y ) 路 （即 ，所以 x 和 y 都在 G 的同一个分支中．由此推知： x 和 y 在 G e 的同一个分支中，从 x y） 而在 G e 中存在一条 ( x, y ) 路 p ，于是 e 就位于 G 的圈 P + e 中了． 定义 8（连通度） 设无向图 G 为连通图, 定义
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11
第六章 集合代数
6.2 集合的运算 定义6.7 定义
设A，B集合，A与B的并集 ∪B，交集A∩B，B对A的相对补 ， 集合， 与 的并集A∪ ，交集 ， 对 的相对补 集合 的并集 集A-B，分别定义如下： ，分别定义如下： 文氏图是用来描述集合关系 A∪B={x|x ∈A ∨ x ∈B} ∪ 与运算的很好的工具，请参见 课本P96。 A∩B={x|x ∈A ∧ x ∈B} A - B={x|x ∈A ∧ x ∉ B} 如：A={1,2,3}, B={3,4,5}，C={6,7} ， 分别为？？？ 则A∪B、A∩B、A-B、 C∩B、C-B、C-C分别为？？？ ∪ 、 、 、 、 、 分别为 两个集合的并交运算可推广至n个集合 两个集合的并交运算可推广至 个集合： A1∪A2 ∪… ∪An ={x|x ∈A1∨x∈A2∨…∨ x∈An } A1∩A2 ∩ …∩An ={x|x ∈A1 ∧x∈A2∧ …∧ x∈An }
谓词表示法 B={x | x∈N ∧1≤x≤5 }
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第六章 集合代数
集合的特征 互异性 {1,2,3,2,4}= {1,2,3,4} 无序性 {4,2,1,3 }= {1,2,3,4} 元素和集合之间的关系 属于（ 不属于（ 属于（∈）或 不属于（ ∉ ） 如：对于A={ 1,{2,3},{{4}}}，
证明：对于任何集合A，有子集定义有 证明：对于任何集合 ， φ⊆A ∀x(x∈φ→ x∈A) ⊆ ∈ → ∈ 右边的蕴涵式为真，所以φ⊆ 也为真 也为真。 右边的蕴涵式为真，所以 ⊆A也为真。
推论：空集是唯一的。 推论：空集是唯一的。
证明：如不唯一，设存在空集 由定理6.1得 证明：如不唯一，设存在空集φ1和φ2，由定理 得 φ1 ⊆ φ2 和φ2 ⊆ φ1 根据集合相等的定义得， 根据集合相等的定义得， φ1 = φ2 。
验证此结论。
…… 它的n元子集的个数为 元子集的个数为： 它的 元子集的个数为：Cnn . 显然：任一n元集 的子集总数为： 元集A的子集总数为 显然：任一 元集 的子集总数为： Cn0 + Cn1 + Cn2 …+ Cnn =2n
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第六章 集合代数
定义6.5 定义6.5 为集合， 的全部子集构成的集合叫做A的幂集 设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做 的幂集 为集合 的全部子集构成的集合叫做 记作P(A) 或 2A。 ，记作 幂集的符号化表示为 P(A)＝｛ ＝｛x|x ⊆ A｝ ＝｛ ｝ 例如： 例如：若B={1，2，c, d}，则P(B)=??? ， ， ， 定义6.6 定义6.6 在一个具体问题中， 在一个具体问题中，若所涉及的集合都是某个集合的 子集，则称这个集合为全集，记作E。 子集，则称这个集合为全集，记作 。
例如： 例如：N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C, 而C ⊆ R. 显然：对于任何集合A，都有A 显然：对于任何集合 ，都有 ⊆ A。 。
6
第六章 集合代数
定义6.2 定义6.2 为集合， 设A，B为集合，如果 ⊆ B且B ⊆ A，则称 与B相等 ， 为集合 如果A 且 ，则称A与 相等 记作A=B。 。 记作 如果A与 不相等 不相等， 如果 与B不相等，则记作 A≠B。 。 相等的符号化表示为： 相等的符号化表示为： A=B A⊆B∧B⊆A
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第六章 集合代数
含有n个元素的集合简称为 元集 它的含有m(m≤n) 含有 个元素的集合简称为n元集，它的含有 个元素的集合简称为 元集， 个元素的子集叫做它的m元子集 个元素的子集叫做它的 元子集 。 任给一个n元集 元集， 任给一个 元集， 它的0元子集的个数为 元子集的个数为： 它的 元子集的个数为：Cn0, 即φ； ； 它的1元子集的个数为 元子集的个数为： 即单元集； 它的 元子集的个数为：Cn1 ,即单元集； 请通过列出集合 即单元集 S={a,b,c}的所有子集来 S={a,b,c}的所有子集来 2； 它的2元子集的个数为 元子集的个数为： 它的 元子集的个数为：Cn 验证此结论。 验证此结论。
离散数学 第13讲 讲
• • • • 本讲基本知识点： 1、集合的基本概念 集合的基本概念 2、集合的运算 3、集合基本恒等式
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第六章 集合代数
6.1 集合的基本概念 直观定义： 直观定义：
一些事物汇集到一起组成的一个整体称为集合， 一些事物汇集到一起组成的一个整体称为集合，而这些事物 集合 就是这个集合的元素 成员。 元素或 就是这个集合的元素或成员。 集合通常用大写字母来标记，如N、Z、Q、R、C。 集合通常用大写字母来标记， 、 、 、 、 。 集合表示方法： 集合表示方法： 列元素法 A={1,2,3,4,5}
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第六章 集合代数
定义6.1 定义6.1 为集合， 中的每个元素都是A中的元素 设A，B为集合，如果 中的每个元素都是 中的元素， ， 为集合 如果B中的每个元素都是 中的元素， 则称B是A的子集合，简称子集。也称B被A包含， 则称 是 的子集合，简称子集。也称 被 包含， 的子集合 包含 包含于A， 包含B，记作B 或B包含于 ，或A包含 ，记作 ⊆ A。 包含于 包含 。 如果B不被 包含，则记作 ⊆ A。 如果 不被A包含 则记作B 不被 包含， 。 包含的符号化表示为： 包含的符号化表示为： B ⊆ A ∀x(x∈B → x∈A) ∈ ∈
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第六章 集合代数
定义6.3 定义6.3 为集合， 设A，B为集合，如果 ⊆ A且B≠A，则称 是A的真 ， 为集合 如果B 且 ，则称B是 的真 子集,也称 被 真包含 真包含， 真包含于A， 子集 也称B被A真包含，或B真包含于 ，或A真包 也称 真包含于 真包 含B，记作 ⊂A。 ，记作B⊂ 。 如果B不被 真包含，则记作 A ⊂ B。 如果 不被A真包含 不被 真包含， 。 真子集的符号化表示为： ⊂ 真子集的符号化表示为：B⊂A 显然：对于任何集合A，都有A 显然：对于任何集合 ，都有 ⊂ A。 。
15
练习2： 练习 ： 个人的调查表明有25人阅读 对60个人的调查表明有 人阅读《每周新闻》杂志，26人 个人的调查表明有 人阅读《每周新闻》杂志， 人 阅读《时代》杂志，26人阅读《财富》杂志，9人阅读 阅读《时代》杂志， 人阅读《财富》杂志， 人阅读 人阅读 每周新闻》 财富》 人阅读《 《每周新闻》和《财富》，11人阅读《每周新闻》和 人阅读 每周新闻》 时代》 人阅读《 财富》 还有8人什么 《时代》，8人阅读《时代》和《财富》，还有 人什么 人阅读 时代》 杂志也不读。 杂志也不读。 （1）求阅读全部三种杂志的人数 ） 时代》 财富》 （2）分别求只阅读《每周新闻》、《时代》和《财富》杂 ）分别求只阅读《每周新闻》 志的人数。 志的人数。
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第六章 集合代数
利用文氏图可以解决一些有限集的计数问题
参见例6.2 、6.3 参见例 练习：某班有 个学生 其中14人会打篮球 个学生， 人会打篮球， 人会打排 练习：某班有25个学生，其中 人会打篮球，12人会打排 人会打篮球和排球， 人会打篮球和网球 还有2 人会打篮球和网球， 球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有 人会打篮球和排球 人会打这三种球。已知会打网球的6个人都会打篮球或 人会打这三种球。已知会打网球的 个人都会打篮球或 排球。求不会打球的人数。 排球。求不会打球的人数。
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A≠B∧B⊆A
例如： 例如：N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, 而C ⊂ C.
第六章 集合代数
定义6.4 定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作φ 不含任何元素的集合叫做空集，记作 。 空集的符号化表示为： {x|x≠x } 空集的符号化表示为： φ 如：C={x|x ∈ Z+ ∧ x<0}. 定理6.1 空集是一切集合的子集。 定理6.1 空集是一切集合的子集。
1 ∈ A, {2,3} ∈ A, 3 ∉ A. 可以用树形图表示这种关系。 可以用树形图表示这种关系。 考虑： 考虑：4, {4}, {{4}} 呢?
4
第六章 集合代数
如： A 本书规定： 本书规定： 对于任何集合A， 对于任何集合 ，都有 1 {2,3} {{4}} A ∉ A。 。
2
3
{4}
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第六章 集合代数 例6.8 利用代入已知恒等式证明 A∪(A∩B)=A.
证明: ∪ 证明 A∪(A∩B) = (A∩E)∪(A∩B) ∪ = A∩(E ∪ B) = A∩E = A ∴ A∪(A∩B)=A ∪ P101列出了关于集合运算性质的一些重要结果 请注意掌握。 ，请注意掌握。
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11-x 25-(11-x) -(9-x)-x =5+x
26-(11-x) -(8-x)-x =7+x
每周新闻 25人 人
x
9-x
8-x
26-(9-x) -(8-x)-x =9+x
Hale Waihona Puke 8人时代 26财富 26
解：(1) (5+x)+ (7+x) +(9+x)+(9-x)+(11-x)+(8-x)+x+8=60 解得x=3 解得 (2)分别是 ，10，12人 分别是8， ， 人 分别是
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第六章 集合代数
定义6.8 定义
集合， 与 的对称差集 + 设A，B集合，A与B的对称差集 A ○ B，分别定义如下： ， 集合 ，分别定义如下： + A ○ B= (A –B) ∪(B-A) 或 + A ○ B= (A ∪ B)- (A ∩ B)
定义6.9 定义6.9
集合， 为全集 为全集， 的绝对补集定义为 的绝对补集定义为： 设A集合，E为全集，A的绝对补集定义为： 集合 ~A= E – A={x| x ∈E ∨ x ∉ A }
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第六章 集合代数
证明A (B∪C)=(A-B)∩(A例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).