6-3弹性力学平面问题(极坐标)
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弹性力学第四章平面问题的极坐标解答
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao
弹性力学第四章：平面问题的极坐标解答2
π 2
r
σr +P θ 3σr −σθ 2σcos θ
x3 σx =− π (x2 + y2)2 2P xy2 σy =− π (x2 + y2)2 2P x2 y τxy =− π (x2 + y2)2 2P
2. 位移分量
假定为平面应力情形。 假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为
P
O y
由楔形体受集中力的情形， 由楔形体受集中力的情形，可以得到 P
O y
(令 β =0 ,α =π) : 2P cosθ σr = − ( ) π r （4-26） ） σθ =0 —— 极坐标表示的应力分量 极坐标表示的应力分量 τrθ =τθr =0
利用极坐标与直角坐标的应力转换式（ ）， ），可求得 利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得
∂r ϕ = f (r)sinθ
θ
ϕ = f (r) (M =常 ) 数
ϕ = f (r)sinθ ϕ = f (r)cosθ (M = P⋅rsinθ) (M =M+P⋅rcosθ)
附1：曲梁应力函数确定的基本方法 ：
思路： 思路： 与直梁确定应力函数的方法类似， 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于 梁截面上应力与内力 弯矩、剪力） 应力与内力（ 梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关 应力与应力函数间微分关系， 系、应力与应力函数间微分关系，来推断 应力函数的分离变量形式。 应力函数的分离变量形式。 梁截面上的应力内力的关系： 梁截面上的应力内力的关系：
θ
M = Py = P⋅rsinθ
由材料力学初等理论，可知截面上正应力 由材料力学初等理论， 由此假定： 由此假定：
σθ ∝M(= P⋅rsinθ)
r
σr +P θ 3σr −σθ 2σcos θ
x3 σx =− π (x2 + y2)2 2P xy2 σy =− π (x2 + y2)2 2P x2 y τxy =− π (x2 + y2)2 2P
2. 位移分量
假定为平面应力情形。 假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为
P
O y
由楔形体受集中力的情形， 由楔形体受集中力的情形，可以得到 P
O y
(令 β =0 ,α =π) : 2P cosθ σr = − ( ) π r （4-26） ） σθ =0 —— 极坐标表示的应力分量 极坐标表示的应力分量 τrθ =τθr =0
利用极坐标与直角坐标的应力转换式（ ）， ），可求得 利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得
∂r ϕ = f (r)sinθ
θ
ϕ = f (r) (M =常 ) 数
ϕ = f (r)sinθ ϕ = f (r)cosθ (M = P⋅rsinθ) (M =M+P⋅rcosθ)
附1：曲梁应力函数确定的基本方法 ：
思路： 思路： 与直梁确定应力函数的方法类似， 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于 梁截面上应力与内力 弯矩、剪力） 应力与内力（ 梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关 应力与应力函数间微分关系， 系、应力与应力函数间微分关系，来推断 应力函数的分离变量形式。 应力函数的分离变量形式。 梁截面上的应力内力的关系： 梁截面上的应力内力的关系：
θ
M = Py = P⋅rsinθ
由材料力学初等理论，可知截面上正应力 由材料力学初等理论， 由此假定： 由此假定：
σθ ∝M(= P⋅rsinθ)
弹性力学平面问题极坐标
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
第六章平面问题极坐标解3
G
2(1 E
v)
1 E
v
sin [2 A(1 3v) (1 v) 2B (1 v) D ]
E
3
1 E
v
sin
E
[2
A(3
v)
(1
v)
2B
3
(1
v)
D
]
21
E
v
21 v cos
E
2
A
2B
3
D
代入几何方程
u
sin
E
[2
A(1
3v)
(1
v)
2B
3
(1 v) D ]
f At Bte2t Ce2t D
1
df d
A
2
B(1 2ln ) 2C
d 2 f d 2
A
2
B(3 2ln ) 2C
0
(
d2
d 2
1
d
d
)(
d 2 f d 2
1
df ) 0 d
1
d
d
d
d
1
d
d
d f d
0
d
d
1
d
d
d f d
B1
1
d
d
d f d
B1 ln
u
1
u
sin [2 A(3 v)
E
(1
v
)
2B
3
(1 v) D ]
1
u
u
u
2
1
E
v
cos
2
A
2B
3
D
对第一式积分得
u
sin
弹性力学第四章 用极坐标解平面问题
第四章 用极坐标解平面问题4.1.极坐标中的平衡微分方程工程上常常可以遇到圆形、环形、楔形或扇形类的结构物。
在这些情况下，用直角坐标描述边界条件会变得相当复杂，由于极坐标使得结构的边界与坐标线一致，因而使边界条件的描述更加简单，使问题更易于求解。
首先我们定义极坐标中的应力分量和体积力分量。
用夹角为ϕd 的两条极径和两条半径相差为ρd 的同心圆弧截取一个微元体（图4.1）。
圆弧截面称为ρ面。
面的法向沿径向而且指向ρ增加方向，这一圆弧面称为正ρ面，反之称为负ρ面。
极径截面称为ϕ面。
面的法向沿环向而且指向ϕ增加方向，这一极径截面称为正ϕ面。
反之称为负ϕ面。
ρ面上的正应力用ρσ表示，剪应力用ρϕτ表示。
ϕ面上的正应力用ϕσ表示，剪应力用ϕρτ表示。
用ρf 表示体积力在径向的分量,用ϕf 表示体积力在环向的分量。
应力的符号规定与直角坐标下的规定完全相同：正面上指向正向（坐标增加的方向）的应力为正值应力，负面上指向负向（坐标减小的方向）的应力亦为正值应力，反之，为负值的应力。
体积力符号规定也与直角坐标下的规定相同，指向坐标轴正向（坐标增加的方向）的体积力为正值，反之，为负值。
直角坐标和极坐标之间具有严格的变换关系。
从理论上说，我们完全可以通过坐标变换的方法由直角坐标的基本方程导出极坐标下的相应方程。
但是，为了加深对极坐标下平衡方程物理意义的理解，我们仍然通过极坐标下的微分单元体的平衡导出极坐标下的平衡微分方程。
我们取一个微分单元体研究，各个面上的应力分量和体积力如图4.2所示。
负ρ面上的正应力为ρσ，剪应力为ρϕτ；正ρ面的坐标比负ρ面增加了ρd ，所以正ρ面的应力和负ρ面相比，应力产生了一个增量，分别为ρρσσρρd ∂∂+和ρρττρϕρϕd ∂∂+。
负ϕ面上的正应力为ϕσ，剪应力为ϕρτ；正ϕ面的坐标比负ϕ面增加了ϕd ，所以正ϕ面的应力和负ϕ面相比，应力产生了一个增量，分别为ϕϕσσϕϕd ∂∂+和ϕϕττϕρϕρd ∂∂+。
弹性力学平面问题的极坐标解答课件
b
a
2
ln
a
b2
a
2
0
位移的确定
H, I, K待定
u
1 E
(1 )
A
(1 3 )B
2(1 )B(ln
1)
2(1
)C
I
sin
K
cos
u
4B
E
H
I
cos
K
sin
左端固定：(u )0 0
0,
(u ) 0 0
0,
u
0
0
0
常数的确定：
H
I
0,
K
1 E
极坐标下的双调和方程
代入协调方程，得到应力函数U需满足
的双调和方程
2
2
1
1
2
2
2
2U
2
1
U
1
2
2U
2
0
§7-2 轴对称应力及其位移
应力函数与无关，双调和方程为
d2
d 2
1
d
d
d2 U
d 2
1
dU
d
0
4
d4 U
d 4
23
d3 U
d 3
2
d2 U
d 2
dU
问题描述 任一截面上的弯矩：
M () F cos R tan F R sin
应力函数：
U f () sin
O
m
ba
F
x
n
y
f()的求解及应力表达式
微分方程及其通解
d2
d 2
1
d
d
1
2
d2 f
弹性力学-第八章 平面问题的极坐标解答
径向线段PA的转角： 径向线段 的转角： 的转角 线段PB的相对伸长： 线段 的相对伸长： 的相对伸长 环向线段PB的转角： 环向线段 的转角： 的转角
ur
∂ur ur + dr ∂r A A′
x
εθ1 =
α1 = 0
P′B′ − PB (r + ur )dθ − rdθ ur （c） ） = = PB rdθ r
σ = σ r er ⊗ er +τ rθ er ⊗ eθ +τθ r eθ ⊗ er + σθ eθ ⊗ eθ 剪应力互等定理 τ rθ = τ θ r 极坐标下的平衡方程
∇ ⋅σ + f = ( ∂ σ r 1 ∂ τ rθ σ r − σ θ + + + f r )e r ∂r r ∂θ r ∂τ 1 ∂σ θ 2τ rθ +( rθ + + + fθ )eθ = 0 ∂r r ∂θ r
θ r dθ
σr τ rθ
B
Pτθr
σθ x
∂r ∂σ r C ∂σθ dθ σr + dr y − σθ + dθ dr ∂r ∂θ ∂τθr 2 ∂σθ dθ σθ + dθ τθr + dθ ∂θ + fr rdrdθ = 0 −σθ dr ∂θ 2 高阶小量，舍去） （高阶小量，舍去）
即
Laplace算子 算子
2
∇ = e r ∂ + eθ 1 ∂ ∂r r ∂θ
(8.1) (8.2)
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∇ = ∇ ⋅∇ = 2 + + 2 2 ∂r r ∂r r ∂θ B.极坐标下的几何方程 极坐标下的几何方程
ur
∂ur ur + dr ∂r A A′
x
εθ1 =
α1 = 0
P′B′ − PB (r + ur )dθ − rdθ ur （c） ） = = PB rdθ r
σ = σ r er ⊗ er +τ rθ er ⊗ eθ +τθ r eθ ⊗ er + σθ eθ ⊗ eθ 剪应力互等定理 τ rθ = τ θ r 极坐标下的平衡方程
∇ ⋅σ + f = ( ∂ σ r 1 ∂ τ rθ σ r − σ θ + + + f r )e r ∂r r ∂θ r ∂τ 1 ∂σ θ 2τ rθ +( rθ + + + fθ )eθ = 0 ∂r r ∂θ r
θ r dθ
σr τ rθ
B
Pτθr
σθ x
∂r ∂σ r C ∂σθ dθ σr + dr y − σθ + dθ dr ∂r ∂θ ∂τθr 2 ∂σθ dθ σθ + dθ τθr + dθ ∂θ + fr rdrdθ = 0 −σθ dr ∂θ 2 高阶小量，舍去） （高阶小量，舍去）
即
Laplace算子 算子
2
∇ = e r ∂ + eθ 1 ∂ ∂r r ∂θ
(8.1) (8.2)
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∇ = ∇ ⋅∇ = 2 + + 2 2 ∂r r ∂r r ∂θ B.极坐标下的几何方程 极坐标下的几何方程
弹性力学中平面问题的极坐标解答
用 r 表示，沿 方向的正应力称为 切向正应力，用 表示，剪应力用 r
表示，各应力分量的正负号的规定和 直角坐标中一样。径向及环向的体力
分量分别用 Kr 及 K 表示。如图4-1。
o
d r
r P r
x A
B K
Kr
r
r r
dr
y
dr d
r
r
Cr d
r r
dr
图4－1
考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：
向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须
有B=0。 于是:
A a2
2C
qa
A b2
2C
qb
这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，
得到拉密解答：
r
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1
1
a2
r2 a2
b2
qb
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1 1
a2
r2 a2
b2
qb
下面分别讨论内压力和外压 力单独作用的情况。
两者都属于轴对
o
r
E,
r
E,
r
称应力问题，采用半
逆解法。
设圆筒的应力表达式为：
图4-8
r
A r2
2C,
A r2
2C
设无限大弹性体的应力表达式为：
r
A r2
2C,
A r2
2C
由应力边界条件求待定常数 A 、C 、A 、C。
（1）在圆筒的内表面： ( r )ra q 由此得：
A a2
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
表示，各应力分量的正负号的规定和 直角坐标中一样。径向及环向的体力
分量分别用 Kr 及 K 表示。如图4-1。
o
d r
r P r
x A
B K
Kr
r
r r
dr
y
dr d
r
r
Cr d
r r
dr
图4－1
考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：
向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须
有B=0。 于是:
A a2
2C
qa
A b2
2C
qb
这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，
得到拉密解答：
r
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1
1
a2
r2 a2
b2
qb
b2
r2 b2
a2
1 qa
1
1 1
a2
r2 a2
b2
qb
下面分别讨论内压力和外压 力单独作用的情况。
两者都属于轴对
o
r
E,
r
E,
r
称应力问题，采用半
逆解法。
设圆筒的应力表达式为：
图4-8
r
A r2
2C,
A r2
2C
设无限大弹性体的应力表达式为：
r
A r2
2C,
A r2
2C
由应力边界条件求待定常数 A 、C 、A 、C。
（1）在圆筒的内表面： ( r )ra q 由此得：
A a2
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
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可通过微分关系直接由直角坐标系下的几何方程得到。 同前分析，当 0 时，
所以
即
四. 极坐标系下的物理方程
因、方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。 即 当为平面应变问题时，E1E、1 。
五. 极坐标系下的相容方程
极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零 或关于 ( ， ) 有势。
x y
2
f x f y (1 ) x y 0
f f 1 f 1
2
五. 极坐标系下的应力边界条件
设边界S的外法线方向与 、 方向的方向余弦分别为 l1、 l2 ，其上作用的面力沿、方向的分量分别为f、f 。则其 应力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。 即
2
2 1 1 2 2 2 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义， 过P 点分别以 方向和 方向为法线的截面 上的应力 、、 ， 作为在极坐 标系下的应力分量。 称为径向应力， y 称为环向向应力。 （2）应力分量的坐标转换
d 1 d 2 0 d d
2 2
f 0
1 u
（不计体力）
f f 1
2
应力分量 边界条件
应力分量 （不计体力）
( ) s l1 ( ) s l2 f ( ) s l1 ( ) s l2 f
应力边界条件
位移边界条件
(u ) s u (u ) s u
§6-6 平面问题在极坐标系下求解
一. 轴对称问题的应力与相应的位移
1.轴对称问题的特征
2 2 cos 2 sin 2 2 sin cos 2 xy sin cos cos 2 sin 2 sin cos 2 2 2 2
2 2 2 2 x y
y
x
当 0 时，O点受集中力偶，但无法使 用圣维南原理进行简化。 可使用截面法建立 外力与内力的关系，即O点的应力边界条件。 由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
F
x
0
F
y
0
Mz 0
cos ad sin ad 0 cos sin d 0 a 0 sin cos d 0 a 0 a d M a ad M 0
§6-5 平面问题在极坐标系下的基本方程
在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对 于这类形状的物体宜采用极坐标 ( ,) 来解。
一. 直角坐标与极坐标的微分关系
x y
2 2 2
x cos
y sin
y sin 2 x x cos 2 y
x
P
视 P- 为旧坐标，P点的应力状态为 、、 ； 视 O-xy 为新坐标，求P点的应力分量 x、y、xy yx 。
由应力状态的坐标转换公式
代入计算得
（3）体力分量的坐标转换 设极坐标系下的体力分量为 f 、 f 。 将其分别向 x、y 方向投影得
( ) s l1 ( ) s l2 f ( ) s l1 ( ) s l2 f
例6-6
写出图示问题的应力边界条件
O
（1） 上边： 0，l1 0，l2 1
q0
( ) 0 0
( ) 0
l
l
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系 类似体力分量的投影关系
O
Байду номын сангаас
x
P u
u u
2. 极坐标系下的应变分量
y
v
将P点分别沿 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 、 及其切应变 ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
此即一阶微分关系
同理可得各阶微分关系，如
2 sin sin cos cos 2 x sin sin sin sin cos cos cos cos
O
y arctan x x cos x y sin y
x
x y
P y
sin cos x x x cos sin y y y
以此位置的直角坐标系， 建立平衡微分方程。即
同理
x x 0 y 1 2 y 0
xy x 0 xy 1 y 0
物理方程
相容方程
2
1 1 2 , 0 2 2
2 2
2
（无体力）
（计体力）
f f 1 f 或 1
f f f f
x
u u
y
2.轴对称问题的基本方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 相容方程 计体力时
在不计体力的情况下， 可通过微分关系直接由直角坐 标系下的相容方程得到。
1 1 2 , 0 （展开共8项） 2 2 将O-xy坐标系旋转至 x 与 重合，即 0，此时
2 2 2
所以
y
x
当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程
( ) s f
（不计体力）
(u )s u
3.应力函数与应力分量
将相容方程展开得
令
d 4 2 d3 1 d 2 1 d 2 3 0 4 3 2 d d d d
d dt d 1 d d d dt dt
x
q0
y
斜边： ，l1 0，l2 +1
( ) 0
( ) 0
O
P M
x
（2） 内侧： a，l1 1 ，l2 0
( ) a 0
( ) 0 0
a
外侧： b，l1 +1 ，l2 0
b
( ) b 0
2
2 2sin cos 2 sin 2 2sin cos sin 2 2 2 2 cos 2 2 2 2 2 x 2 2 2sin cos 2 cos2 2sin cos cos2 2 2 sin 2 2 2 y 2 2
0 a 0 a
0 a a a 0 a
2
0
a
0
a
a 0
五. 极坐标系下的基本方程总结
1 f 0 1 2 f 0
平衡微分方程
几何方程
x yx fx 0 y x 0 xy y fy 0 y x 0
f x 0
f
f
y 0
f
代入即得
1 f 0 1 2 f 0
( ) b 0
y
上端： 0，l1 0 ，l2 1
O
P M
x
面力向形心简化
a
b
y
或向O简化
（3） 半无限平面
当 0 时，上边
M O a
( ) 0 0 ( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
f O
x
P f
y
2. 极坐标系下的平衡微分方程 由直角坐标系下的平衡微分方程推导
x sin cos cos2 sin 2 2 sin cos x 3 2 2 cos sin cos 2sin cos x sin 2 cos 2 sin cos 当 时 0 y
sin sin 2 2 sin cos 2sin sin cos cos 2
y x
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
1 2 1 2 cos 2 sin cos 2 sin 2 sin 2 cos sin 2 sin 2 cos
（1）截面的几何形状对称于中心轴，如圆环、圆盘、圆筒。
（2）荷载与约束对称于中心轴。 因此环向体力 f 0 ； 在边界上 ，环向的面力和位移为零；即
所以
即
四. 极坐标系下的物理方程
因、方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。 即 当为平面应变问题时，E1E、1 。
五. 极坐标系下的相容方程
极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零 或关于 ( ， ) 有势。
x y
2
f x f y (1 ) x y 0
f f 1 f 1
2
五. 极坐标系下的应力边界条件
设边界S的外法线方向与 、 方向的方向余弦分别为 l1、 l2 ，其上作用的面力沿、方向的分量分别为f、f 。则其 应力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。 即
2
2 1 1 2 2 2 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义， 过P 点分别以 方向和 方向为法线的截面 上的应力 、、 ， 作为在极坐 标系下的应力分量。 称为径向应力， y 称为环向向应力。 （2）应力分量的坐标转换
d 1 d 2 0 d d
2 2
f 0
1 u
（不计体力）
f f 1
2
应力分量 边界条件
应力分量 （不计体力）
( ) s l1 ( ) s l2 f ( ) s l1 ( ) s l2 f
应力边界条件
位移边界条件
(u ) s u (u ) s u
§6-6 平面问题在极坐标系下求解
一. 轴对称问题的应力与相应的位移
1.轴对称问题的特征
2 2 cos 2 sin 2 2 sin cos 2 xy sin cos cos 2 sin 2 sin cos 2 2 2 2
2 2 2 2 x y
y
x
当 0 时，O点受集中力偶，但无法使 用圣维南原理进行简化。 可使用截面法建立 外力与内力的关系，即O点的应力边界条件。 由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
F
x
0
F
y
0
Mz 0
cos ad sin ad 0 cos sin d 0 a 0 sin cos d 0 a 0 a d M a ad M 0
§6-5 平面问题在极坐标系下的基本方程
在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对 于这类形状的物体宜采用极坐标 ( ,) 来解。
一. 直角坐标与极坐标的微分关系
x y
2 2 2
x cos
y sin
y sin 2 x x cos 2 y
x
P
视 P- 为旧坐标，P点的应力状态为 、、 ； 视 O-xy 为新坐标，求P点的应力分量 x、y、xy yx 。
由应力状态的坐标转换公式
代入计算得
（3）体力分量的坐标转换 设极坐标系下的体力分量为 f 、 f 。 将其分别向 x、y 方向投影得
( ) s l1 ( ) s l2 f ( ) s l1 ( ) s l2 f
例6-6
写出图示问题的应力边界条件
O
（1） 上边： 0，l1 0，l2 1
q0
( ) 0 0
( ) 0
l
l
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系 类似体力分量的投影关系
O
Байду номын сангаас
x
P u
u u
2. 极坐标系下的应变分量
y
v
将P点分别沿 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 、 及其切应变 ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
此即一阶微分关系
同理可得各阶微分关系，如
2 sin sin cos cos 2 x sin sin sin sin cos cos cos cos
O
y arctan x x cos x y sin y
x
x y
P y
sin cos x x x cos sin y y y
以此位置的直角坐标系， 建立平衡微分方程。即
同理
x x 0 y 1 2 y 0
xy x 0 xy 1 y 0
物理方程
相容方程
2
1 1 2 , 0 2 2
2 2
2
（无体力）
（计体力）
f f 1 f 或 1
f f f f
x
u u
y
2.轴对称问题的基本方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 相容方程 计体力时
在不计体力的情况下， 可通过微分关系直接由直角坐 标系下的相容方程得到。
1 1 2 , 0 （展开共8项） 2 2 将O-xy坐标系旋转至 x 与 重合，即 0，此时
2 2 2
所以
y
x
当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程
( ) s f
（不计体力）
(u )s u
3.应力函数与应力分量
将相容方程展开得
令
d 4 2 d3 1 d 2 1 d 2 3 0 4 3 2 d d d d
d dt d 1 d d d dt dt
x
q0
y
斜边： ，l1 0，l2 +1
( ) 0
( ) 0
O
P M
x
（2） 内侧： a，l1 1 ，l2 0
( ) a 0
( ) 0 0
a
外侧： b，l1 +1 ，l2 0
b
( ) b 0
2
2 2sin cos 2 sin 2 2sin cos sin 2 2 2 2 cos 2 2 2 2 2 x 2 2 2sin cos 2 cos2 2sin cos cos2 2 2 sin 2 2 2 y 2 2
0 a 0 a
0 a a a 0 a
2
0
a
0
a
a 0
五. 极坐标系下的基本方程总结
1 f 0 1 2 f 0
平衡微分方程
几何方程
x yx fx 0 y x 0 xy y fy 0 y x 0
f x 0
f
f
y 0
f
代入即得
1 f 0 1 2 f 0
( ) b 0
y
上端： 0，l1 0 ，l2 1
O
P M
x
面力向形心简化
a
b
y
或向O简化
（3） 半无限平面
当 0 时，上边
M O a
( ) 0 0 ( ) 0 0
( ) 0 ( ) 0
f O
x
P f
y
2. 极坐标系下的平衡微分方程 由直角坐标系下的平衡微分方程推导
x sin cos cos2 sin 2 2 sin cos x 3 2 2 cos sin cos 2sin cos x sin 2 cos 2 sin cos 当 时 0 y
sin sin 2 2 sin cos 2sin sin cos cos 2
y x
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
1 2 1 2 cos 2 sin cos 2 sin 2 sin 2 cos sin 2 sin 2 cos
（1）截面的几何形状对称于中心轴，如圆环、圆盘、圆筒。
（2）荷载与约束对称于中心轴。 因此环向体力 f 0 ； 在边界上 ，环向的面力和位移为零；即