多变量广义预测控制

多变量广义预测控制(MGPC)
实验报告
1．GPC 原理介绍
1.1 预测模型
假设系统基于下面的离散时间CARIMA 模型：
)1(/)()1()()()(11∆ξk k u z B k Y z A +-=--
其中，),(),(k u k y 和)(k ξ是系统的m 维输出、p 维输入和m 维噪声向量，并且
a a n n z A z A z A ---+++= 1111)(，
b b n n z B z B B z B +++=-- 1101)(，
i A 和i B 为m m ⨯和p m ⨯阶矩阵。

1.2 目标函数
)2()
1()()|(ˆ1
1
2
2∑∑==-+++-+=N
j N j I d u
m
j k u j k y k j k y
J Λ
∆
其中)|(ˆk j k y +是对)(k y 的向前第j 步预测，Λ为半正定阵，
通常取),,(1p diag λλΛ =，0≥i λ。

)}({j k y d +是设定值的柔化序列向量，由下式产生：
⎩⎨
⎧=-+-+=+=)
3(),,1()
()()1()()()(N j k y I j k y j k y k y k y r m d d αα
其中10)
,,(1<≤=i m diag αααα ，⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=m r r r y y k y 1)(为m 维设定值向量。

1.3 控制器求解
引入下面的矩阵丢番图方程组：
)
5(,,1)4(,,1N
j H z G B E N j F z A E I j
j
j j j j j =+==+=--∆
其中
)1()1(1)1()0(----+++=j j j z E z E E E ， a
a n n j
j j
j z F z F F F --+++=)(1)
1()
0( ，
)1()1(1)1()0(----+++=j j j z G z G G G ， )
1()(1)
1()
0(---+++=b b n n j
j j
j z
H z H H H ，
)(i E 和)(i F 为m 阶方阵，)(i G 和)(i H 是m p ⨯阶矩阵。

矩阵丢番图方程组也采用递推方法求解。

定义：1)*()|(ˆ)|1(ˆ)(ˆ⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=N m k N k y k k y k Y ，1
)*()1()()(⨯⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=u N p u N k u k u k U ∆∆∆ 则可得：)6()()(ˆ0
k Y k U G Y +=∆
)7()
1()()()()(110-+=--k U z H k y z F k Y j j ∆
其中
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=--)()1()
0()1()
0(000
0u N N N G G
G G G G
将（2）写成向量形式：
)8()()()(ˆ2
2Ω
∆k U k Y k Y J N
I d
m +-=
其中
p N p N u u ⨯⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ
Ω00 ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=)()1()(N k y k y k Y d d d
将（6）-（7）代入（8）式，并优化求解
)9()]
()([)()(01k Y k Y G G G k U d T T -+=-Ω∆
1.4 自校正控制算法
辨识模型：
)10()
1()()()(11-=--k u z B k Y z A ∆
)11()
()1()()1()(01b n a n n k u B k u B n k y A k y A k y b
a
-++-+-----=∆∆∆∆∆
对模型逐行进行辨识。

2．仿真研究
取被控模型为：
)2()1()2()1()(1021-+-+----=k u B k u B k y A k y A k y
其中
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=9.01.02.04.11A ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=2.001.048.02A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10010B ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1015.11B 3. Matlab 编程仿真
编程软件：MA TLAB 7.1
3.1 噪声设定
取)(,k I y r ξ=为]05.0,05.0[-上服从均匀分布的随机数，仿真结果对比如下： 3.2.1定常
3,1,0.3u N N λ=== 时，结果如下：
3.2.2 自校正
3,1,0.3u N N λ=== 时，结果如下：
ADDD.m为多项式求和的矩阵多项式求和函数，mconv.m为多项式求积的矩阵多项式求积函数。