第六章 第二单元 第4课时
第六章 第4课时 平方根
第六章实数第4课时平方根学习目标1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点)2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点) 教学过程一、情境导入填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________；(2)25的平方等于425，那么425的算术平方根就是________；(3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为________米．还有平方等于9，425，49的其他数吗？二、合作探究探究点一：平方根的概念及性质【类型一】求一个数的平方根(1)12425；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5)81.解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．解：(1)∵12425＝4925，(±75)2＝4925，∴12425的平方根为±75，即±12425＝±75；(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01；(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±（－4）2＝±4；(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±10－6＝±10－3；(5)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3.方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根．【类型二】利用平方根的性质求值一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a＋1和a－4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．探究点二：开平方及相关运算求下列各式中x的值：(1)x2＝361; (2)81x2－49＝0； (3)49(x2＋1)＝50; (4)(3x－1)2＝(－5)2.解析：若x2＝a(a≥0)，则x＝±a，先把各题化为x2＝a的形式，再求x.其中(4)中可将(3x－1)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出x.解：(1)∵x2＝361，∴开平方得x＝±361＝±19；(2)整理81x2－49＝0，得x2＝4981，∴开平方得x＝±4981＝±79；(3)整理49(x2＋1)＝50，得x2＝149，∴开平方得x＝±149＝±17；(4)∵(3x－1)2＝(－5)2，∴开平方得3x－1＝±5.当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝－5时，x＝－43.综上所述，x＝2或－43.方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．三．布置作业完成练习册中相关的习题。
高三数学第六章第4课时精品课件
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【名师点评】 (1)在应用基本不等式求最值时，要把握三 个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为 定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可． (2)对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子 为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式 (该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法． (3)为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等 变形，运用基本 不等式求最值的焦点在于凑配“和” 与 “积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件， 另外，可利用二次函数的配方法求最值．
第4课时
基本不等式
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考纲展示 备考指南 1.主要考查利用基本不等式求函数的
1.了解基本不等式
的证明过程． 2.会用基本不等式 解决简单的最大( 小)值问题.
最值、实际问题中的最优解和不等式 的证明．
2.对基本不等式的考查多以选择题和
填空题的形式出现，考题多为中低档 题，出现证明题难度也不会太大.
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思考探究 2．当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如 何处理？
提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解.
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课前热身 1 1．(教材习题改编)函数 y＝x＋ (x>0)的值域为( x A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞) B．(0，＋∞) D．(2，＋∞) )
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【解】 设铁栅长为 x 米，两侧砖墙长为 y 米，则有 s＝xy. 由题意得 40x＋2×45y＋20xy＝3 200. 由基本不等式得 3 200≥2 40x· 90y＋20xy ＝120 xy＋20xy＝120 S＋20S. ∴S＋6 S≤160. 即( S＋16)( S－10)≤0. ∵ S＋16>0， ∴ S－10≤0，从而 S≤100. 因此 S 最大允许值是 100， 取得最大值的条件是 40x＝90y， 而 xy＝100， 由此求得 x＝15， 即铁栅的长应是 15 米．
第6章第4课时 实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
福建省鲁科版
第六章
机械振动 机械波
4
实验：探究单摆的运动、 用单摆测定重力加速度
一、实验目的 1.探究影响单摆振动周期的因素.
2.利用单摆测定重力加速度.
二、实验原理
1.用控制变量法测量在摆角、摆球 质量和摆长分别不同情况下单摆的周期. 2.在摆角不大于5°的前提下，由 4 2l l 周 g 2 T 2 T g 期公式 得 ,计算 当地的重力加速度.
1.在用单摆测量重力加速度的实验中，下 列说法中正确的是( D ) A．测量摆长时，应该用力拉紧摆线 B．摆线越长，测量的重力加速度越准确 C．为了便于改变摆长，可将摆线的一头绕 在铁架台上端的圆杆上以代替铁夹 D．如果有两个大小相同的空心铁球和实心 铁球可供选择，应该选择实心铁球
2.若单摆的摆长不变，摆球质量增加为原来 的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原 来的一半，则单摆的振动将( A ) A．频率不变，振幅改变 B．频率改变，振幅不变 C．频率不变，振幅不变 D．频率改变，振幅改变
4.在用单摆测重力加速度时，某同学测得 的加速度值大于当地重力加速度的实际值， 引起这一误差的原因可能是( ) A A．摆球做圆锥摆运动 B．测量摆长时，漏测摆球直径 C．测周期时，漏数了1次全振动次数 D．单摆摆角远大于5°
【解析】若摆做圆锥摆运动，由匀速圆周运动向心力公式 g 2 mg tan mw l sin ，可得w ，代入T ， l cos w
(3)描点作图如下图所示，图象的斜 2 率为 4 4, g 2 m / s 2 9.87 m / s 2 . g
点评 (1)全振动次数的计算是本题 易出错的地方，第一次经计数器时为计 时起点，所以经过O点的次数应为n-1， 之后每2次经O点完成一次全振动，全 n 1 振动的次数应为N= . 2 (2)作图象时应让多数的点落在线上 或均匀分布于图线的两侧，对于有些偏 离图线较远的点可视为错误点给予剔除.
部编版九年级语文上册第二单元主题阅读《第4课时-教读引领课-名师教案》精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第4课时博大胸怀令人敬语言犀利有方法【课型】教读引领课【学习内容】教材：《就英法联军远征中国致巴特勒上尉的信》图书：《挫折是存折，而不是骨折》【学习目标】1.理清论证的思路。
2.体会犀利的语言。
3.体味雨果的博大胸怀和高尚品格，培养朴素的爱国情感。
【学习过程】导入：在1856年至1860年的第二次鸦片战争中，英法联军攻入了我国北京对我国的艺术瑰宝圆明园进行了大肆的劫掠，并且焚烧了圆明园。
在这件事之后，英法联军统帅之一巴特勒上尉就这次远征征求法国著名作家雨果的意见，雨果会对这件事儿有什么看法呢？今天我们就来读《就英法联军远征中国致巴特勒上尉的信》。
活动一：明观点理思路环节1：通读全文，看看这封书信主要表达了什么观点，作者又是从哪几个方面进行论述的。
参考答案见《教师教学用书》69页。
环节2：再读文章，分析品味①第3段中，作者从哪些方面描绘圆明园的美？怎样评价圆明园的地位？参考答案见《教师教学用书》69页。
②文章后半部分围绕着“两个强盗”的比喻展开，这样写具有怎样的表达效果？参考答案见《教师教学用书》69页。
环节3：总结明确本文论证思路。
交代写作缘由：征求意见盛赞圆明园表明立场谴责英法联军再次表明态度活动二：学语言悟情怀文章中有许多句子鲜明地表达了作者的态度，请找出来谈谈自己的理解。
本环节重点从反语、夸张等修辞方法的运用上引导学生品味富有讽刺意味的语言，体会雨果的博大胸怀。
活动三：拓展阅读读图书《挫折是存折，而不是骨折》，赏析语言进一步体会富有讽刺意味的语言。
小结：这一节课我们不仅学习了运用反语、夸张及贬义词来增强文章语言力量的方法，更体会到了雨果那博大胸怀和高尚品格，请课下继续去读雨果的作品，走近这个大写的人！【板书设计】博大胸怀令人敬语言犀利有方法交代写作缘由：征求意见反语盛赞圆明园夸张表明立场贬义词谴责英法联军再次表明态度。
北师大版九年级上册数学第六章 第4课时
第4课时§6.2 投针试验教学目标：知识目标：1、经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
2、能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
能力目标：通过活动操作，培养学生解决问题的能力。
情感与价值目标：经历将一些复杂数学问题，用实验的方法解决。
让学生感到从事着一项极具探秘色彩的游戏活动。
让数学教育真正走进学生的世界，为他们所关注、喜爱、认同和向往。
教学重点：掌握实验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。
教学难点：对复杂事件发生的概率的体验教学方法。
教学方法：活动操作，试验探究教学过程：一.创设情境，引起学生注意。
前面的摸牌游戏中,两张纸牌,数字分别为1和2,第一次摸到1,放回去后, 第二次又摸到1,能说摸到1的可能性是百分之百吗？那是多少？（50﹪）,怎么样通过实验说明可能性是50﹪？二. 在操作中学习（布丰投针试验特例）活动一：1.提出问题：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都为2cm，向此平面任投一长度为lcm的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交。
相交和不相交的可能性相同吗？你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗？2、活动用具：（1）桌子，（2）铁针若干枚，长度为lcm，粗细一致，﹙3﹚表格。
注意：每位同学的针都一样。
3、活动方式：小组合作交流，全班研讨。
4、活动步骤：（1）将学生分成两人一组，（2）利用一张大白纸，在纸上画出等距离2ｃｍ的8条平行线（线条要细）。
（3）准备若干枚长度为1ｃｍ的针。
（4）要求学生从一定高度随意抛针，保证投针的随意性；组内同学分工如下：一位投针，一位记录。
注意问题：在试验中有时针与线是否相交较难判断，采取的方法：（1）忽略这次试验；（2）认为相交、不相交各计半次，等等。
（3）每个小组投针100次，而后将各数据填入表格。
5、估计该事件发生的概率。
三.情感体验,激励探究问:如何估计此事件的概率?﹙累加,可使次数变大﹚问: 会发现什么结论?﹙值接近3.14﹚此时同学们的情绪会高涨,引导学生猜想①是否次数越多, 值越接近圆周率②改变平行线之间的距离,结果会怎样?③改变针的长度, 结果会怎样?带着问题,学生会急于探究结果四.实验操作,深化探究活动二.平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都为a，向此平面任投一长度为x（x<a）的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交。
第六章 第4课时 中位数与众数(二)
第4课时中位数与众数(二)1．某电视台为满足观众在北京奥运会期间收看不同比赛项目的要求，做了一个随机调查，2．下列图形反映了甲、乙两班学生的体育成绩．其中不及格、及格、中、良好、优秀依次为55分、65分、75分、85分、95分．根据上图，回答下列问题：(1)不用计算，可判断_________(填“甲”或“乙”)班学生的体育成绩好一些．(2)乙班学生体育成绩的众数是_________分．(3)求甲班学生体育成绩的平均分．3．资阳市某学校初中2008级有四个绿化小组，在植树节那天种下柏树的棵数如下：10，10，x，8．若这组数据的众数和平均数相等，那么它的中位数是_____棵．4．某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15(1)求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数．(2)假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理?为什么?如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由．5鞋店经理最关心的是哪种颜色的鞋最畅销，则对鞋店经理最有意义的统计量是( ) A．平均数B．众数C．中位数D．以上都不正确6．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，得分前10位同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19个同学的分数的( )A．平均数B．众数C．中位数D．最大数7．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品。
对其使用寿命跟踪调查，结果如下(单位：年)：甲：3，4，5，6，8，8，8，10．乙：4，6，6，6，8，9，12，13．丙：3，3，4，7，9，10，11，12．三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪种特征数：甲：___________________，乙：_______________，丙：________________．8(1)若这20名学生的平均成绩为82分，求x与y的值．(2)设这20名学生本次测验成绩众数为a，中位数为b，求a、b的值．9(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数(精确到个位)．(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少(精确到个位)?(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法．参考答案1．乒乓球2．(1)乙(2)75 (3)75分3．104．(1)平均数为320件，中位数为210件，众数为210件(2)不合理理由：15人中有13人销售达不到320件销售额定为210件合适一些理由：210既是中位数又是众数，是大部分人能达到的销售定额5．B 6．C 7．众数平均数中位数8．(1)x=5，y=7(2)众数a为90分，中位数b为80分9．(1)平均数约为2 091元，中位数为1500元，众数为1 500元(2)平均数约为3 288元，中位效为1 500元，众数为1 500元(3)董事长、副董事长的工资为5 500、5 000的时候，其平均数值较接近员工的工资水平，但要能准确反映一般员工的工资水平，用中位数或众数更合适，当个别数较大时，对平均值会产生影响，而中位数、众数则可避免这一问题的发生。
最新人教版九年级数学上册教案：第六章第4课时正切和余切
教学目标：1、使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用tgA、ctgA表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两边的比；2、了解tgA与ctgA成倒数关系；3、熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系．4、逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力．教学重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值．教学难点：了解正切和余切的概念．教学步骤：一、新课引入：1．什么是锐角∠A的正弦、余弦？(结合图6-8回答)．2．填表3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？5．我们已经掌握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值．那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习正切和余切．正切、余切的概念，也是本章的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要．教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切．像这样，把概念、计算和应用分成两块，每块自成一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识．二、新课讲解：1．引入正切、余切概念①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切．”②给出正切、余切概念如图6-10，在Rt△ABC中，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tgA．并把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA，2．tgA与ctgA的关系tgA·ctgA=1)这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与tgA＝ctg(90°-A)区别开．3．锐角三角函数弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目．问：锐角三角函数能否为负数？学生回答这个问题很容易．4、特殊角的三角函数．给出表格：三角函数/0°/30°/45°/60°/90°请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值．(如图6-11)通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使学生熟记特殊角的正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想．0°，90°正切值与余切值可引导学生查“正切和余切表”，学生完全能独立查出．5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系．结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值．即 tgA=ctg(90°-A)，ctgA=tg(90°-A)．练习：1)请学生回答tg45°与ctg45°的值各是多少？tg60°与ctg30°？tg30°与ctg60°呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：tg60°与ctg60°有何关系？为什么？tg30°与ctg30°呢？2)把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：(1)tg52°； (2)tg36°20′； (3)tg75°17′；(4)ctg19°； (5)ctg24°48′； (6)ctg15°23′．6、例题例1求下列各式的值：(1)2sin30°+3tg30°+ctg45°；(2)cos245°+tg60°·cos30°．解：(1)2sin30°+3tg30°+ctg45°(2)cos245°+tg60°·cos30°=2．练习：求下列各式的值：(1)sin30°-3tg30°+2cos30°+ctg90°；(2)2cos30°+tg60°-6ctg60°；(3)5ctg30°-2cos60°+2sin60°+tg0°；(4)cos245°+sin245°；学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力．(四)总结扩展请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及tgA与ctgA关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的数学思想．四、布置作业1．看教材P．20～P．22，培养学生看书习惯．2．教材P．29中习题6．2A组2、3、4、5、6．。
(新教材)人教A版高中数学必修第二册课件：6.4.3 第4课时 三角形中的几何计算
【解析】 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得siAnCB＝siBnCA，所以 AC ＝BCs·insAin B＝6×sisnin301°20°＝6 3. 又因为 C＝180°－120°－30°＝30°， 所以 S△ABC＝12×6 3×6×12＝9 3.
(2)由余弦定理，得 a2＋b2－ab＝4，又△ABC 的面积等于 3，所以
三角形的面积公式 (1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc 分别表示边 a，b，c 上的高)． (2)S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B. (3)S＝12(a＋b＋c)·r(r 为△ABC 内切圆的半径)．
■名师点拨 三角形的面积公式 S＝12absin C 与原来的面积公式 S＝12a·h(h 为 a 边上的高)的关系为 h＝bsin C，实质上 bsin C 就是△ABC 中 a 边上 的高．
解：(1)由正弦定理sinb B＝sinc C， 得 sin B＝bsicn C＝12， 因为在△ABC 中，b<c 且 C＝120°，所以 B＝30°. (2)因为 A＋B＋C＝180°， 所以 A＝180°－120°－30°＝30°， 所以 S＝12bcsin A＝ 43.
本部分内容讲解结束
第六章 平面向量及其应用
第 4 课时 三角形中的几何计算
第六章 平面向量及其应用
考点 有关三角形 面积的计算
三角形的 综合问题
学习目标 掌握三角形的面积公式的 简单推导和应用 能够运用正、余弦定理解决 三角形中的一些综合问题
核心素养 逻辑推理、
数学运算
数学运算
问题导学 预习教材 P53 T10 和 P54 T18 两个题目，思考以下问题： 如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？
高中数学第6章(第4课时)算术平均数与几何平均数(1)
课 题：算术平均数与几何平均数（1）教学目的： 1学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理 2理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力 教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c<d ，是异向不等式2．不等式的性质：定理1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．定理4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且定理5 若0,1)a b n N n >>>∈>且二、讲解新课：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a证明：222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数 ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件 3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦” 以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立三、讲解范例： 例1 已知x,y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P（2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值.412S 证明：因为x,y 都是正数，所以 xy y x ≥+2（1）积xy 为定值P 时，有P y x ≥+2P y x 2≥+∴ 上式当y x =时，取“=”号，因此，当y x =时，和y x +有最小值P 2（2）和x+y 为定值S ,2S ≤ 214xy S ∴≤ 上式当x=y 时取“=”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值41S 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在例2 已知：（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--yx b a b a y x 分析：本题结论中，注意yx b a b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数故此题应从已知条件出发，经过变形，说明yx b a b a y x ----与为正数开始证题证明：∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx∴ax －ay ＋by －bx ＞0∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0∴（a －b ）（x －y ）＞0，即a －b 与x －y 同号∴yx b a b a y x ----与均为正数 ∴yx b a b a y x y x b a b a y x --⋅--≥--+--2＝2 (当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝”号)∴yx b a b a y x --+--≥2 点评：我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了而运用定理：“ab b a ≥+2”时，必须使a 、b 满足同为正数本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断x y a b --与a b x y --是正还是负，是我们今后解题中常用的方法四、课堂练习： 1已知a 、b 、c 都是正数，求证（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果答案：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0；b ＋c ≥2bc ＞0；c ＋a ≥2ac ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 2已知x 、y 都是正数，求证：(1)yx x y +≥2； (2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3 分析：在运用定理：ab b a ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形答案：∵x ，y 都是正数，∴y x ＞0，xy ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)xy y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2 (2)x ＋y ≥2xy ＞0；x 2＋y 2≥222y x ＞0；x 3＋y 3≥233y x ＞0 ∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 33求证：（2b a +）2222分析：利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键答案：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2不等式两边同除以4，得 222b a +≥（2b a +）2，即（2b a +）2222五、小结 ：本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2b a +≥ab ）它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具六、课后作业：(1)“a ＋b ≥2ab ”是“a ∈R ＋，b ∈R ＋”的(B ) A B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件(2)设b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，则此四个数21，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是(A ) A B a 2＋b 2 Ｃ2ab D 21 (3)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( B ) A ≤ab ≤222b a + B ab ＜1＜222b a + C ab ＜222b a +＜1 D 222b a +＜ab ＜1 (4)已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝4，则下列各式恒成立的是(B )A 21≥abB b a 1+≥1 ≥2 D 4122≤+b a (5)若a ＞b ＞0，则下面不等式正确的是(C ) Aab b a b a <+<+2 B ab ba ab <+<22C 2b a ab b a +<<+22b a b a ab +<+< (6)若a ，b ∈R 且a ≠b ，在下列式子中，恒成立的个数为（D ）①a 2＋3ab ＞2b 2 ②a ５＋b ５＞a 3b 2＋a 2b 3 ③a 2＋b 2≥2（a －b －1） ④a b b a +＞2 A 4 B 3 Ｃ2 D 1 (7)设a ，b ，c 是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且p ＝log c 2b a +，q ＝2log log b a c c +，r ＝2log 21b a c +，则p ，q ，r 的大小关系是(C ) A ＞q ＞r B p ＜q ＜r C r ＜P ＜q D p ＜r ＜q(8)已知x ＞y ＞0，xy ＝1，求证：yx y x -+22≥22 证明：∵x ＞y ＞0，xy ＝1 ∴yx y x y x xy y x y x y x -+-=-+-=-+2)(2)(222 ≥2yx y x -⋅-2)(＝22 ，即y x y x -+22≥22 (9)已知a ＞2，求证：log a （a －1）·log a （a ＋1）＜1证明：∵a ＞2 ∴log a (a －1)＞0,log a (a ＋1)＞0,log a (a －1)≠log a (a ＋1)∴log a （a －1）·log a （a ＋1）＜［2)1(log )1(log ++-a a a a ］2 ＝［21log a （a 2－1））2＜（21log a a 2）2＝1 即log a （a －1）·log a （a ＋1）＜1(10)已知a ，b ∈R ，证明：log 2（2a ＋2b 2证明：∵a ，b ∈R∴log 2（2a ＋2b ）≥log 2（2b a 22⋅）＝log 2（2·22b a +）＝1＋2b a + ＝22++b a ,即log 2（2a ＋2b ）≥22++b a (11)若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：2111≥+++++a c c b b a 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1∴2＝（a ＋b ）＋（b ＋c ）＋（c ＋a ）∴［（a ＋b ）＋（b ＋c ）＋（c ＋a ）］·（a c c b b a +++++111） ≥3·))()((a c c b b a +++×3·3111a c c b b a +⋅+⋅+＝９ 故2111≥+++++a c c b b a (12)已知方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根x 1＞0，求证：方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根x 2，使得x 1＋x 2≥2证明：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根x 1＞0 ∴ax 12＋bx 1＋c ＝0,∴a ＋211x c x b +＝0 ∴c （11x ）2＋b ·11x ＋a ＝0(方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根11x ＞0) ∴x 1＋x 2＝x 1＋11x ≥2 故方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根x 2，使得x 1＋x 2≥2七、板书设计（略）八、课后记：。
七(上)数学第六章 第4课时
第4课时 角(2)1．两个锐角的和是 ( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上都有可能2．用一副三角尺画角，下面的度数中，不能画出的是 ( )A ．15°B ．30°C ．135°D ．115°3．如图，OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝∠ ＝ ∠AOB ，∠AOB ＝ 2∠ ＝2∠ ．4．(1164)°＝ ° ′，90°－32°23′17″＝ ． 5．如图，O 是直线AD 上一点，OC 、OE 分别是∠AOB 、∠BOD 的平分线，若∠AOC ＝22°，则∠BOD ＝ ，∠COE ＝ ．6．如图是用一副三角尺拼成的两个图案．(1)试确定图①中∠A 、∠ABD 、∠ACD 、∠D 的度数；(2)在图②中，求∠EFC 、∠CED 、∠AFC 的度数．7．如图，∠AOB ＝90°，OD 平分∠BOC ，∠AOC ＝2∠1，求∠1的度数．8．如图，已知∠AOD＝135°，且∠BOC＝13∠AOC＝23∠COD，求∠BOC的度数．9．一束光线垂直照射水平地面，在地上放置一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为( )A．45°B．60°C．75°D．80°10．如图，已知∠BDC＝2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD＝25°，求∠AOB的度数．11．如图，已知OE为∠COA的平分线，∠AOE＝β，∠AOB＝∠COD＝α．(1)用α、β表示∠BOC；(2)比较∠AOC与∠BOD的大小．参考答案1．C 2．D 3．BOC 12AOC BOC4．16 15 57°36′43″5．136°90°6．(1)60°135°75°90°(2)45°60°135°7．67．5°8．30°9．A 10．50°11．(1)∠BOC＝2β－α(2)因为∠AOC＝2∠AOE＝2β，∠BOD＝2β．。
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◆2013高考总复习•物理◆
方法点窍：子弹动能的损失量与木块获得的动能量及系 统获得的内能量都取绝对值.子弹动能的损失量以及木块获得 的动能量与它们分别对地的位移成正比；系统获得的内能量 与子弹相对木块的位移量成正比.
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能量守恒定律的综合应用 如图所示，一物体质量为m＝2 kg，
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方法点窍：(1)有分有合的思维方法：对各能量交叉 地使用分析与综合的方法，才能对客观事物有一个全面的 深刻的认识.(2)从能量角度综合：能量是沟通各个物体或 一个物体各个阶段最基本的属性，直接从整个过程的能的
转化和守恒的观点出发，可免去许多对复杂细节变化的处
能的减小量？减小量转化为哪些能量？
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解析：(1)最后的D点与开始的A点比较：弹性势能变化 量为0. 1 2 动能减小量：ΔEk＝ mv0－0＝9 J， 2 重力势能的减小量为：ΔEp＝mgsADsin 37° ＝36 J， 机械能的减小量为：ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝45 J. 根据能量守恒定律，机械能的减小量全部用来克服摩擦 力做功， 即转化为内能，有：Wf＝fsAC＝ΔE＝45 J. 而路程：s＝5.4 m， 动摩擦力：f＝μmgcos 37° ， Wf 故μ＝ ＝0.52. mgcos 37° s
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错解备忘 错解：错选D，认为运动员克服摩擦力做功会造成机械
能的减小．漏选B，认为机械能的增加量要加上克服摩擦力
做的功． 答案：BC
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随堂训练
2．如图所示，木块A放在
木板B的左端，用恒力F将木块A 拉到板B的右端．第一次将B固定 在地面上，F做功为W1，系统产生的热量为Q1；第二次让B可 以在光滑水平地面上自由滑动，F做功为W2，系统产生的热量
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C．木块获得的动能与系统获得的内能之比为d ∶s
D．木块获得的动能与系统获得的内能之比为s ∶d 金品质•高追求 我们让你更放心！
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审题突破：本题考查摩擦力做功与能量变化关系的理解，
一定要明确对于各个研究对象，摩擦力所做的功所造成的效
果是不同的． 解析：根据牛顿第三定律，子弹所受的摩擦力f与木块所 受的摩擦力f′的大小相等．如图所示：
解析：重力做功对机械能变化没
有作用，因此只管分析竖直向上的拉力
做功的情况．由于物体都是向上运动的，
运动方向与竖直向上的拉力的方向相同， 该力一直都做正功，故物体的机械能一直 在增加，选项C正确． 答案：C 金品质•高追求 我们让你更放心！
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方法点窍：分析能量的变化，要抓住下面三个要点： (1)动能的变化量等于包含重力在内的所有外力做功的代数
式上和上面相同，以后我们再讨论．
3．能量守恒定律从两个方面理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，
且减少量和增加量相等．
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，
且减少量和增加量相等．
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力做功与机械能的变化
物体在一个竖直向上的拉力作用下，分别做了匀速上 升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种运动过程中，物体 机械能的变化情况是( ) A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升 机械能减小
在倾角为θ＝37°的斜面上的A点以初速度
v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离为 AB＝4 m．当物体到达B后将弹簧压缩到 C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹 到的最高位置为D点，D点距A点AD＝3 m，挡板及弹簧质量
不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
和；(2)重力势能的变化量只等于重力或克服重力做的功；(3)
机械能的改变量等于除重力或弹簧弹力之外的其他外力做功 的代数和．
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滑动摩擦力做功与能量转化 如图所示，一木 块静置于光滑的水平面上， 一颗子弹沿水平方向射入 木块，若子弹进入木块的深度为d，与此同时木块沿水平面移 动了位移s.设子弹在木块中受到的阻力大小不变，则在子弹与 木块相对运动的过程中( ) A．子弹损失的动能与木块获得的动能之比为(s＋d)∶s B．子弹损失的动能与系统获得的内能之比为(s＋d)∶s
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(2)物体由 A 至 C 的过程中， 1 2 动能减小量：ΔEk′＝ mv0－0＝9 J， 2 重力势能的减小量为：ΔEp′＝mgsACsin 37° ＝50.4 J， 因摩擦减小的机械能为：ΔE′＝W′f＝fsAC＝35 J. 由能的转化和守恒定律，有： Epm＝ΔE′k＋ΔEp′－ΔE′＝24.4 J. 答案：(1)0.52 (2)24.4 J
①静摩擦力可以做正功、负功，还可以不做功；②相互摩 静摩擦 擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和等于零；③一对 力 静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另 一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能，也不生热.
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2.搞清做功与能量转化的对应关系 (1)搞清力对“谁”做功；对“谁”做功就对应“谁” 的位移，引起“谁”的能量变化． 如子弹物块模型中，摩擦力对子弹的功必须用子弹的位
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ. (2)弹簧的最大弹性势能Epm. 金品质•高追求 我们让你更放心！
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审题突破：本题考查能量的综合应用，要注意分段审 题，即物体从A到C的过程中，动能如何变化？重力势能如 何变化？弹性势能如何变化？摩擦力做功引起生热如何计
算？从A到D的过程中，弹性势能如何变化？如何计算机械
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◆2013高考总复习•物理◆ 对子弹，根据动能定理，－f(s＋d)＝Ek末－Ek初，所以动能
的损失量为： Ek初－Ek末＝f(s＋d)．① 对木块，根据动能定理，f′s＝Ek末′－Ek初′，所以获得 的动能增加量为：
Ek末′－0＝fs.②
对于系统，①－②，得系统损失的机械能为Ek初－(Ek末＋ Ek末′)＝fd，即系统获得的内能为 Q＝fd.③ 由①②③可得：子弹损失的动能与木块获得的动能之比为 (s＋d)∶s；木块获得的动能与系统获得的内能之比为s∶d. 答案：AD 金品质•高追求 我们让你更放心！
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 C．三种运动过程中，机械能均增加 D．由于这个拉力和重力的大小关系不明确，不能确定物体
的机械能的增减情况
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审题突破：本题考查力做功与机械能变化关系的理解，一 定要明确机械能的变化是由于除重力外其他力做了功而引起的．
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1. 掌握功能关系：功是能量转化的量度，并
能用于处理问题． 2．考查题型齐全，在物理综合题中应用广泛.
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能量转化 1．功能关系：做功的过程就是________的过程，物体
做了多少功 转化 __________就有多少形式的能________为其他形式的能，功
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1.相互作用的一对摩擦力做功的特点
类别 做功的特点 ①滑动摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功； ②相互摩擦的系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，对系 统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于摩擦力 滑动摩 与相对路程的积，即Q＝Ffs相对．③一对滑动摩擦力做功的 擦力 过程中，既有将部分机械能从一个物体转移到另一个物体 上，又有部分机械能转化为内能(滑动摩擦力与相对位移 的乘积)．
移去求解，这个功引起子弹动能变化．
(2)搞清不同的力做功对应不同形式的能的改变．
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说明：变化量统一定义为末量减去初量．另外，分子力 做的功和分子势能的关系、电场力做的功和电势能的关系在形
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第六章
功能关系和机械能
第二单元 第4课
能量守恒定律 能量转化和守恒定律
功能关系
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第4课 功能关系
1
2 3 4 5
ห้องสมุดไป่ตู้
能量转化和守恒定律
知能要求与高考展望
课前自修与基础梳理 重点突破与知识点睛 题型探究与方法点窍
随堂训练与错题备忘
W阻，则在此过程中(
)
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1 2 A．运动员的机械能增加了 mv 2 1 2 B．运动员的机械能增加了 mv ＋mgh 2 C．运动员克服重力做功为W重＝mgh 1 2 D．运动员对自身做的功为W人＝ mv ＋mgh－W阻 2