古典概型
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古典概型的定义
古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。
所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。
具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。
以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。
古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。
1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。
比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。
比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。
3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。
在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。
所有的基本事件发生
概率之和为1。
应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。
比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。
总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。
通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。
3.2古典概型
分别对红球编号为1 对黄球编号6 解： ⑴分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号6、7、 从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下： 8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：
）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） （1，2）、（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ 7
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
变式1：两数之和不 变式1 低于10 10的结果有多少 低于10的结果有多少 种？两数之和不低于 10的的概率是多少 的的概率是多少？ 10的的概率是多少？
设“摸出两个球都是红球”为事件A 摸出两个球都是红球”为事件A 中包含的基本事件有10个 则A中包含的基本事件有 个， 因此 P ( A) = 中包含的基本事件有
m 10 5（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） ， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ） （2，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ） （3，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ） （4，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（5， ）、（ ）、（5， ） （5，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（6， ） （6，7）、（ ，8） ， ）、（ （7，8） ， ）
）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） （1，2）、（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ 7
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数
6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
变式1：两数之和不 变式1 低于10 10的结果有多少 低于10的结果有多少 种？两数之和不低于 10的的概率是多少 的的概率是多少？ 10的的概率是多少？
设“摸出两个球都是红球”为事件A 摸出两个球都是红球”为事件A 中包含的基本事件有10个 则A中包含的基本事件有 个， 因此 P ( A) = 中包含的基本事件有
m 10 5（ ，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ）、（ ）、（1， ） ， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ）、（ ）、（2， ） （2，3）、（ ，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ）、（ ）、（3， ） （3，4）、（ ，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ）、（ ）、（4， ） （4，5）、（ ，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（5， ）、（ ）、（5， ） （5，6）、（ ，7）、（ ，8） ， ）、（ ）、（6， ） （6，7）、（ ，8） ， ）、（ （7，8） ， ）
1-4古典概型
解：以分钟为单位, 则上一次报时时刻为下一次报时时刻长为60，
10 P ( A) 60
例9：(会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率. 记7点为计算时刻的0时, 以分钟为单位, 用 x , y 分别记表 解： 示甲、乙两人到达指定地点的时刻, 显然
A 表示“n 个人的生日均不相同”, 这相当于每间房子至
多做一个人，
于是由例4有： P( A)
Cn 365 n ! 365n
Cn 365 n ! 365
50
n
P( A) 1 P( A) 1
经计算可得下述结果： N 20 23 30 40
.
64
100
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
0 x 60,0 y 60
则样本空间为：
S {( x, y) | 0 x 60,0 y 60}
用字母A表示事件“两人能会面”, 则
A {( x, y ) | ( x, y) S , | x y | 20}
P(A) = 阴影部分的面积/正方形的面积
( A) 602 402 5 . 2 (S ) 60 9
1 Cm (n 1)! m n! n
练习: 一个八位数的电话号码，记住了前5位，而后三位只记 的是0、5、6三个数，而具体排列记不住，问试拨一次就拨 对的可能性有多大？
解：用A来表示“试拨一次就拨对”，
3 总的基本事件总数： P 3
3! 6
A所包含的基本事件数： 1
古典概型定义及公式
古典概型定义及公式好的，以下是为您生成的文章：咱今儿就来唠唠古典概型，这玩意儿在咱数学里头可是挺重要的角儿。
话说我之前教过一个学生，叫小李。
这小李啊，平时看着挺机灵，但一碰到古典概型的问题，就跟那霜打的茄子——蔫儿了。
有一次课堂测验，有道题是这样的：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这小李可好，抓耳挠腮半天，愣是没整明白。
咱先来说说古典概型的定义哈。
简单来讲，古典概型就是那种试验结果有限，而且每个结果出现的可能性相等的概率模型。
比如说掷骰子，骰子就六个面，1 点到 6 点，每次掷出的结果就那么几种，而且出现每个点数的可能性都一样，这就是典型的古典概型。
再比如抽奖，假设箱子里有 100 张奖券，其中 10 张有奖，你随机抽一张，这也是古典概型。
为啥呢？因为结果就那么 100 种，而且每张奖券被抽到的机会均等。
那古典概型的公式是啥呢？就是P(A) = n(A) / n(Ω) 。
这里的 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 表示样本空间Ω包含的基本事件总数。
还是拿前面说的盒子里取球的例子来说。
总共有 8 个球，取出红球这个事件 A 包含 5 个基本事件（也就是 5 个红球），样本空间Ω包含的基本事件总数是 8 个球，所以取出红球的概率 P(取出红球) = 5 / 8 。
咱再举个例子，抛硬币。
抛一次硬币，结果不是正面就是反面，这就是有限的结果，而且出现正面和反面的可能性相等。
假设我们关心的事件 A 是抛出正面，那 n(A) 就是 1 ，n(Ω) 就是 2 ，所以抛出正面的概率 P(抛出正面) = 1 / 2 。
我后来给小李单独辅导的时候，就拿这些例子反复跟他讲。
我让他自己动手多做几道类似的题目，慢慢地，小李好像开了窍。
其实啊，古典概型在生活中也挺常见的。
像买彩票，虽然中奖概率低得可怜，但从概率的角度来看，也能算是古典概型。
古典概型
(2) 没有两位及两位以上乘客在同一层离开,即6位乘客必在十层中的任意6层离开,故有 种离开方式,于是
(3)恰有两位乘客在同一层离开,由于没有规定在哪一层离开,故有 种离开方式,有两人在某一层离开,有 种离开方式,其余4人的离开方式不在同一层离开,这有以下三种方式：4人在同一层离开共有 种离开方式;有3个人在同一层离开,另一个人在其余8层中的任一层离开,共有 种可能;4个人都不在同一层离开,共有 种结果.于是,有利结果数为
[例2] 一套五卷的选集，随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.
解：以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量（a,b,c,d,e）对应，而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值（而且不许重复取某一个值），故这种向量数共有5！=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型 ,而有利事件 发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以
一、古典概型
一个随机试验,数学上是用样本空间 、事件域 和概率 来描述的.对一个随机事件 ,如何寻求它的概率 是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:
对于一个试验 ,如果具有:
(1)样本空间 的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为 个,并记它们为 ,
(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有
.
[例7] 9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，求事件 ：每一组有一名女生，及事件 ：3 名女生在同一组中的概率.
解：(1)9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，共有 种分法.
对于事件 ,先将男生分到组里去,每组2名,这有 种,再将女生分到每一组,每组一名,共有3!种,因此 的有利样本点共有 种.所以
(3)恰有两位乘客在同一层离开,由于没有规定在哪一层离开,故有 种离开方式,有两人在某一层离开,有 种离开方式,其余4人的离开方式不在同一层离开,这有以下三种方式：4人在同一层离开共有 种离开方式;有3个人在同一层离开,另一个人在其余8层中的任一层离开,共有 种可能;4个人都不在同一层离开,共有 种结果.于是,有利结果数为
[例2] 一套五卷的选集，随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.
解：以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量（a,b,c,d,e）对应，而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值（而且不许重复取某一个值），故这种向量数共有5！=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型 ,而有利事件 发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以
一、古典概型
一个随机试验,数学上是用样本空间 、事件域 和概率 来描述的.对一个随机事件 ,如何寻求它的概率 是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:
对于一个试验 ,如果具有:
(1)样本空间 的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为 个,并记它们为 ,
(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有
.
[例7] 9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，求事件 ：每一组有一名女生，及事件 ：3 名女生在同一组中的概率.
解：(1)9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，共有 种分法.
对于事件 ,先将男生分到组里去,每组2名,这有 种,再将女生分到每一组,每组一名,共有3!种,因此 的有利样本点共有 种.所以
古典概型
解:有放回的连取两次取得两件,其一切可能的结 果组成的 有放回的连取两次取得两件, 基本事件是
={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c) } ∴n=9 表示" 用B表示"恰有一件次品"这一事件, 表示 恰有一件次品"这一事件, 则 (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } B={ ∴m=4 ∴P(B) = 4
9
练 习 巩 固
从含有两件正品a,b和一件次品 的三件产品中任取2 和一件次品c的三件产品中任取 1 从含有两件正品 和一件次品 的三件产品中任取 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 件,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 解:试验的样本空间 ={ab,ac,bc} ∴n = 3 设事件A={取出的两件中恰好有一件次品 ,则 取出的两件中恰好有一件次品}, 设事件 取出的两件中恰好有一件次品 A={ac,bc} ∴m=2 ∴P(A)=
∴n = 1000000
表示" 用A表示"能取到钱"这一事件,它包 表示 能取到钱"这一事件, 含的基本事件的总数只有一个. 含的基本事件的总数只有一个.
∴m=1 ∴P(A) =
1 = 0 .0 0 0 0 0 1 1000000
和一件次品c的三件产品 例5,从含有两件正品 和一件次品 的三件产品 ,从含有两件正品a,b和一件次品 中每次任取1件 每次取出后不放回, 中每次任取 件,每次取出后不放回,连续取两 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 次,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 每次取一个, 解:每次取一个,取后不放回连续取 两次, 两次,其基本事件是
小 结
={ (a,a),(a,b),(a,c), (b,a), (b,b),(b,c),(c,a), (c,b),(c,c) } ∴n=9 表示" 用B表示"恰有一件次品"这一事件, 表示 恰有一件次品"这一事件, 则 (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } B={ ∴m=4 ∴P(B) = 4
9
练 习 巩 固
从含有两件正品a,b和一件次品 的三件产品中任取2 和一件次品c的三件产品中任取 1 从含有两件正品 和一件次品 的三件产品中任取 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 件,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 解:试验的样本空间 ={ab,ac,bc} ∴n = 3 设事件A={取出的两件中恰好有一件次品 ,则 取出的两件中恰好有一件次品}, 设事件 取出的两件中恰好有一件次品 A={ac,bc} ∴m=2 ∴P(A)=
∴n = 1000000
表示" 用A表示"能取到钱"这一事件,它包 表示 能取到钱"这一事件, 含的基本事件的总数只有一个. 含的基本事件的总数只有一个.
∴m=1 ∴P(A) =
1 = 0 .0 0 0 0 0 1 1000000
和一件次品c的三件产品 例5,从含有两件正品 和一件次品 的三件产品 ,从含有两件正品a,b和一件次品 中每次任取1件 每次取出后不放回, 中每次任取 件,每次取出后不放回,连续取两 求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 次,求取出的两件中恰好有一件次品的概率. 每次取一个, 解:每次取一个,取后不放回连续取 两次, 两次,其基本事件是
小 结
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
《古典概型》ppt课件
有限性
样本空间中包含的基本事件是有 限的。，每个基本
事件都有确定的概率。
这一性质使得古典概型在实际应 用中具有可操作性和实用性。
互斥性
两个或多个基本事件不能同时发 生。
在古典概型中，由于每个基本事 件发生的概率是相等的，因此它 们之间是互斥的，即不可能同时
在统计学中的应用
样本统计
在统计学中，样本统计量是用来描述数据特征的重要工具。 古典概型可用于计算样本统计量的概率分布，如样本均值、 样本方差等。
假设检验
古典概型在假设检验中也有应用，特别是在使用似然比检验 和贝叶斯统计时。通过比较不同假设下的概率，可以判断哪 个假设更合理。
在实际生活中的应用
决策制定
发生。
互斥性是古典概型中一个重要的 性质，它确保了概率计算的正确
性和合理性。
03
古典概型的应用
在概率论中的应用
概率计算
古典概型提供了一种计算概率的简单 方法，特别是对于离散随机事件。通 过列举所有可能的结果和满足条件的 结果，可以直接计算概率。
概率分布
在概率论中，古典概型常用于推导离 散随机变量的概率分布，如二项分布 、泊松分布等。这些分布在实际应用 中具有广泛的应用价值。
古典概型可以帮助人们在不确定的情况下做出决策。例如，在赌博游戏中，玩 家可以使用古典概型来计算获胜的概率。
风险评估
在风险评估中，古典概型可以用来计算风险事件发生的概率。例如，在保险行 业中，保险公司可以使用古典概型来评估不同风险事件的发生概率和损失程度。
04
古典概型与现代概率论的联系
古典概型在现代概率论中的地位
古典概型是现代概率论的基础
古典概型为概率论的发展提供了基本的概念和原理，为后续的概率模型和理论奠 定了基础。
1.3 古典概型
15 2
正整数解的组数为
C 1 5 1 C 1 4 9 1
2 3 1
特点：球相同，盒子不同. 球不相同，盒子不同.（此即为多组组合模式）
例1 在自然数1,2,…,120中任取一数，求此数能被3整除的概率. 解：
设A=“此数能被3整除”
{ 1 , 2 , 120 }
A { 3 , 6 , 120 }
n=120, nA=40.
P ( A)
由古典概型的计算公式：
40 120 1 3
例2 100只同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按电流
放大系数分类，有40只属于甲类，60只属于乙类。在按 1）有放回抽样 2）不放回抽样条件下，
求下列事件的概率:
An
r
即为通常的排列公式.
例如：从数字1,2,3中有重复的取出3个，有重复的 组合数为10，从数字1,2,3，4，5中有取出3个的组合 数也是10. 对应关系如下： 可重复的组合
111 112 113 122 123 133 222 223 233 333
5个元素取出3的组合
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
§1.3
古典概型
1 定义： 若随机试验具有下列性质 (1) 具有有限个样本点 1 , 2 , n (2) 每个样本点出现的机会均等 P (1 ) P ( 2 ) P ( n ) 1 则称此试验为古典概型。
n
2 概率计算：
P ( A) k A 中所含基本事件数 n 基本事件总数 A 中样本点数 样本点总数
P ( Am ) C k ( n 1)! n!
1
k n
正整数解的组数为
C 1 5 1 C 1 4 9 1
2 3 1
特点：球相同，盒子不同. 球不相同，盒子不同.（此即为多组组合模式）
例1 在自然数1,2,…,120中任取一数，求此数能被3整除的概率. 解：
设A=“此数能被3整除”
{ 1 , 2 , 120 }
A { 3 , 6 , 120 }
n=120, nA=40.
P ( A)
由古典概型的计算公式：
40 120 1 3
例2 100只同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按电流
放大系数分类，有40只属于甲类，60只属于乙类。在按 1）有放回抽样 2）不放回抽样条件下，
求下列事件的概率:
An
r
即为通常的排列公式.
例如：从数字1,2,3中有重复的取出3个，有重复的 组合数为10，从数字1,2,3，4，5中有取出3个的组合 数也是10. 对应关系如下： 可重复的组合
111 112 113 122 123 133 222 223 233 333
5个元素取出3的组合
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
§1.3
古典概型
1 定义： 若随机试验具有下列性质 (1) 具有有限个样本点 1 , 2 , n (2) 每个样本点出现的机会均等 P (1 ) P ( 2 ) P ( n ) 1 则称此试验为古典概型。
n
2 概率计算：
P ( A) k A 中所含基本事件数 n 基本事件总数 A 中样本点数 样本点总数
P ( Am ) C k ( n 1)! n!
1
k n
等可能概型(古典概型)
概率的取值具有非负性，即对于任何事 件A，都有P(A)>=0。
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。
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第三章
概率
教学目标：
（1）理解古典概型及其概率计算公式； （2）会用“列举法”计算一些简单的随机事件的概
率。
教学重点：古典概型的概念
教学难点：古典概型的特征及用“列举法”求基本
事件的个数
问题引入
观察两个试验：
试验1：掷一枚质地均匀的硬币，只考虑朝上 的一面，有几种不同的结果？ 试验2：抛掷一颗质地均匀的骰子，只考虑朝 上的点数，有几种不同的结果？
乙 布 剪 锤
※
⊙
△ ※ ⊙ 布 甲
⊙ △ △ 锤 ※ 剪
O
按照古典概率的计算公式，设平局的事件为A；甲 赢的事件为B，乙赢的事件为C，则
3 1 P(A)=P(B)=P(C)= 9 3
例2. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件 产品中，每次任取一件，每次取出后不放回， 连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次 品的概率。
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(
记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}， {A1，A3}，{A2，A3}，共3种，
3 1 所以 P(B)＝ ＝ . 15 5
例4. 甲、乙两人作出拳游戏(锤子、剪刀、布)， 求：
（1）平局的概率； （2）甲赢的概率； （3）乙赢的概率.
解：甲有3种不同点出拳方法，每一种出发是等可能的， 乙同样有等可能的3种不同点出拳方法。
（2）取出的球是红球的概率；
（3）取出的球是白球或红球的概率；
0 1 —— 3 1
考向二 古典概型 [ 例 2] (2012 年高考天津卷 ) 某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层 抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对 学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的 学校数目； (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校 做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．
可能性相等。（等可能性）
我们将具有这两个特 点的概率模型称为 古典概率概型，简称 古典概型。
一枚硬币连续抛掷三次，有哪些基本事件？
概念辨析
问题1：单选题是标准考试中常用的题型。假设某
考生不会做。他随机地从A，B，C，D四个选项中 选择一个答案。你认为这是古典概型吗？为什么？
问题2：向一个圆面内随机地投射一个点，如果该
4 2 6 3
例3. 在例2中，把“每次取出后不放回”这一 条件换成“每次取出后放回”其余不变，求取 出两件中恰好有一件次品的概率。
解：有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成 的基本事件a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)， (a2，a2) ，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)
即
1 P （“出现偶数点”）＝ 2
变式1：掷一颗均匀的骰子,事件B为“出现奇
数点”,请问事件B的概率是多少？
变式2：掷一颗均匀的骰子,事件C为“出现点
数为3的倍数”,请问事件C的概率是多少？
变式3：掷一颗均匀的骰子,事件D为“出现点
数不少于3”,请问事件C的概率是多少？
公式推导
由上可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
1 2
B．
1 3
c．
2 3
D．
1
变式：连续两次抛掷同一枚质地均匀的硬币， （1）求“恰好有一次正面向上”的概率？ （2）求“至少出现1次正面向上”的概率？
练习：同时抛掷两枚质地均匀的硬币， （1）写出所有的基本事件？ （2）“同时出现正面朝上”共有几种基本事件？概 率是多少？ （3）“一个正面，一个反面”共有几种基本事件？ 概率是多少？
1 12
1 1.一年按365天算，2名同学在同一天过生日的概为 —— 365
2.一个密码箱的密码由5位数字组成，五个数字都可任 意设定为0－9中的任意一个数字，假设某人已经设 定了五位密码。 (1)若此人忘了密码的所有数字，则他一次就能把锁打 1 开的概率为 ______
课堂练习:
100000
(2)若此人只记得密码的前4位数字，则一次就能把锁 1 打开的概率
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别
记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5 ，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可 能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4} ，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2， A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}， {A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4， A6}，{A5，A6}，共15种．
公式推导
例1：掷一颗均匀的骰子,记事件A为“出现偶
数点”，请问事件A的概率是多少？
解：基本事件包括有{1点}，{2点}，{3点}，{4点}，{5点}，{6点} 利用加法公式可以计算 P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4点”）＋P（“6 点”）
1 1 1 3 1 ＝ 6 + 6 + 6 = 6 = 2
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切 可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)， (a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)。其中小括号内 左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2 次取出的产品. 用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一 事件，则A={(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. 事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)=
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
第一次抛掷后向上的点数
4、一个口袋内装有白球、红球、黑球、黄球大小相 同的四个小球，求： （1）从中任意取出两球，求取出是白球、红球的 1 概率。 6 （2）先后各取一球，求取出是白球、红球的概率。
b a c d b d c c d
树状图
解：所求的基本事件共有6个：
我们一般用列举法列 A {a, b} B {a, c} C {a, d } 出所有基本事件的结果， 画树状图是列举法的基 D {b, c} E {b, d } 本方法。 F {c, d }
你能从上面的两个试验和问题1发现它们的共
公式应用
例2：同时掷两个骰子，计算向上的点数之和
为5的概率是？
1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6） （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6）
基本事件
我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，
它是试验的每一个可能结果。
基本事件有如下的两个特点： （1）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成 基本事件的和。
问题1：从字母a，b，c，d中任意取出两个不同的字母 的试验中，有哪些基本事件？
分析：为了避免重复和遗漏，我们可以按照一定的顺序， 把所有可能的结果都列出来。
用B表示“恰好有一件次品”这一事件，则 B={(a1，b1)， (a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. 事件B由4个基本事件组成，因此P(B)=
4 9
例5. 抛掷一红、一篮两颗骰子，求 （1）点数之和出现7点的概率；
（2）出现两个4点的概率；
解：用数对(x，y)来表示掷出的结果，其中x是红骰子 掷出的点数，y是蓝骰子掷出的点数，所以基本事件
A所包含的基本事件的个数 P （A）＝ 基本事件的总数
在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么？
（1）要判断该概率模型是不是古典概型； （2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中 基本事件的总数。
3、一个口袋内装有20个白球和10个红球，从中任 意取出一球。求：
（1）取出的球是黑球的概率；
—— 10
课堂检测：
1.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中任选一个，
所选中的数是3的倍数的概率是（ ）
2.从分别写有ABCDE的5张卡片中任取两张,两字母恰好相 连的概率（ ）
A 、 0.2
B 、0.4
C、 0.3
D、 0.7
3．从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为（ ） A．
同特点吗？
基本事件
试 “正面朝上” 验 “反面朝上” 一
可能性
概括总结后得到：
（1）试验中所有可能出现 的基本事件只有有限个； （有限性） （2）每个基本事件出现的
2个
1பைடு நூலகம்2 1 6 1 6
试 “1点”、“2点” 验 “3点”、“4点” 6个 二 “5点”、“6点” 问 “A”、“B”、“C” 6个 题 “D”、“E”、“F” 1
第 二 (1)记“点数之和出现7点” 次 的事件为A, 抛 掷 后 从图中可以看出事件A 向 上 包括的基本事件有6个. 的 点 数
6 5 4 3 2 1
即(6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6).
6 1 所以P(A)= 36 6
7 6 5 4 3 2 1
例2：同时掷两个骰子，计算向上的点数之和为 5的概率是？
1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6） （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6）
概率
教学目标：
（1）理解古典概型及其概率计算公式； （2）会用“列举法”计算一些简单的随机事件的概
率。
教学重点：古典概型的概念
教学难点：古典概型的特征及用“列举法”求基本
事件的个数
问题引入
观察两个试验：
试验1：掷一枚质地均匀的硬币，只考虑朝上 的一面，有几种不同的结果？ 试验2：抛掷一颗质地均匀的骰子，只考虑朝 上的点数，有几种不同的结果？
乙 布 剪 锤
※
⊙
△ ※ ⊙ 布 甲
⊙ △ △ 锤 ※ 剪
O
按照古典概率的计算公式，设平局的事件为A；甲 赢的事件为B，乙赢的事件为C，则
3 1 P(A)=P(B)=P(C)= 9 3
例2. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件 产品中，每次任取一件，每次取出后不放回， 连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次 品的概率。
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(
记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}， {A1，A3}，{A2，A3}，共3种，
3 1 所以 P(B)＝ ＝ . 15 5
例4. 甲、乙两人作出拳游戏(锤子、剪刀、布)， 求：
（1）平局的概率； （2）甲赢的概率； （3）乙赢的概率.
解：甲有3种不同点出拳方法，每一种出发是等可能的， 乙同样有等可能的3种不同点出拳方法。
（2）取出的球是红球的概率；
（3）取出的球是白球或红球的概率；
0 1 —— 3 1
考向二 古典概型 [ 例 2] (2012 年高考天津卷 ) 某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层 抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对 学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的 学校数目； (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校 做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．
可能性相等。（等可能性）
我们将具有这两个特 点的概率模型称为 古典概率概型，简称 古典概型。
一枚硬币连续抛掷三次，有哪些基本事件？
概念辨析
问题1：单选题是标准考试中常用的题型。假设某
考生不会做。他随机地从A，B，C，D四个选项中 选择一个答案。你认为这是古典概型吗？为什么？
问题2：向一个圆面内随机地投射一个点，如果该
4 2 6 3
例3. 在例2中，把“每次取出后不放回”这一 条件换成“每次取出后放回”其余不变，求取 出两件中恰好有一件次品的概率。
解：有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成 的基本事件a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)， (a2，a2) ，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)
即
1 P （“出现偶数点”）＝ 2
变式1：掷一颗均匀的骰子,事件B为“出现奇
数点”,请问事件B的概率是多少？
变式2：掷一颗均匀的骰子,事件C为“出现点
数为3的倍数”,请问事件C的概率是多少？
变式3：掷一颗均匀的骰子,事件D为“出现点
数不少于3”,请问事件C的概率是多少？
公式推导
由上可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
1 2
B．
1 3
c．
2 3
D．
1
变式：连续两次抛掷同一枚质地均匀的硬币， （1）求“恰好有一次正面向上”的概率？ （2）求“至少出现1次正面向上”的概率？
练习：同时抛掷两枚质地均匀的硬币， （1）写出所有的基本事件？ （2）“同时出现正面朝上”共有几种基本事件？概 率是多少？ （3）“一个正面，一个反面”共有几种基本事件？ 概率是多少？
1 12
1 1.一年按365天算，2名同学在同一天过生日的概为 —— 365
2.一个密码箱的密码由5位数字组成，五个数字都可任 意设定为0－9中的任意一个数字，假设某人已经设 定了五位密码。 (1)若此人忘了密码的所有数字，则他一次就能把锁打 1 开的概率为 ______
课堂练习:
100000
(2)若此人只记得密码的前4位数字，则一次就能把锁 1 打开的概率
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别
记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5 ，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可 能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4} ，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2， A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}， {A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4， A6}，{A5，A6}，共15种．
公式推导
例1：掷一颗均匀的骰子,记事件A为“出现偶
数点”，请问事件A的概率是多少？
解：基本事件包括有{1点}，{2点}，{3点}，{4点}，{5点}，{6点} 利用加法公式可以计算 P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4点”）＋P（“6 点”）
1 1 1 3 1 ＝ 6 + 6 + 6 = 6 = 2
解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切 可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)， (a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)。其中小括号内 左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2 次取出的产品. 用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一 事件，则A={(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. 事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)=
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
第一次抛掷后向上的点数
4、一个口袋内装有白球、红球、黑球、黄球大小相 同的四个小球，求： （1）从中任意取出两球，求取出是白球、红球的 1 概率。 6 （2）先后各取一球，求取出是白球、红球的概率。
b a c d b d c c d
树状图
解：所求的基本事件共有6个：
我们一般用列举法列 A {a, b} B {a, c} C {a, d } 出所有基本事件的结果， 画树状图是列举法的基 D {b, c} E {b, d } 本方法。 F {c, d }
你能从上面的两个试验和问题1发现它们的共
公式应用
例2：同时掷两个骰子，计算向上的点数之和
为5的概率是？
1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6） （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6）
基本事件
我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，
它是试验的每一个可能结果。
基本事件有如下的两个特点： （1）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成 基本事件的和。
问题1：从字母a，b，c，d中任意取出两个不同的字母 的试验中，有哪些基本事件？
分析：为了避免重复和遗漏，我们可以按照一定的顺序， 把所有可能的结果都列出来。
用B表示“恰好有一件次品”这一事件，则 B={(a1，b1)， (a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. 事件B由4个基本事件组成，因此P(B)=
4 9
例5. 抛掷一红、一篮两颗骰子，求 （1）点数之和出现7点的概率；
（2）出现两个4点的概率；
解：用数对(x，y)来表示掷出的结果，其中x是红骰子 掷出的点数，y是蓝骰子掷出的点数，所以基本事件
A所包含的基本事件的个数 P （A）＝ 基本事件的总数
在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么？
（1）要判断该概率模型是不是古典概型； （2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中 基本事件的总数。
3、一个口袋内装有20个白球和10个红球，从中任 意取出一球。求：
（1）取出的球是黑球的概率；
—— 10
课堂检测：
1.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中任选一个，
所选中的数是3的倍数的概率是（ ）
2.从分别写有ABCDE的5张卡片中任取两张,两字母恰好相 连的概率（ ）
A 、 0.2
B 、0.4
C、 0.3
D、 0.7
3．从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为（ ） A．
同特点吗？
基本事件
试 “正面朝上” 验 “反面朝上” 一
可能性
概括总结后得到：
（1）试验中所有可能出现 的基本事件只有有限个； （有限性） （2）每个基本事件出现的
2个
1பைடு நூலகம்2 1 6 1 6
试 “1点”、“2点” 验 “3点”、“4点” 6个 二 “5点”、“6点” 问 “A”、“B”、“C” 6个 题 “D”、“E”、“F” 1
第 二 (1)记“点数之和出现7点” 次 的事件为A, 抛 掷 后 从图中可以看出事件A 向 上 包括的基本事件有6个. 的 点 数
6 5 4 3 2 1
即(6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6).
6 1 所以P(A)= 36 6
7 6 5 4 3 2 1
例2：同时掷两个骰子，计算向上的点数之和为 5的概率是？
1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6） （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6）