2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 (文科)

2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （文科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2012.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角α的终边经过点(3,4)P -，则cos α=
2、 函数2log ()1y x m =-+的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m =
3、 若全集{}{}{}|13,,1,2,3,1,3U U x x x Z A C B =-<∈==-，则A B ⋂=
4、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）12
5、124、122、123、126，则该样本方差2s =
5、一平面截一球得到直径为6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 3cm
6、已知tan()24
x π
+
=，则
tan tan 2x x
的值为
7、根据右图所示的程序框图，输出结果i =
8、从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}1,2,3中随机选取一个数为b ，则
b a >的概率是 （结果用数值表示）
9、若1()2n x x
+
的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中4
x 项的系数
为
10、已知函数2
()1f x x =-的定义域为D ，值域为{}1,0,1,-，试确定这样的集合D 最多有 个
11、在A B C ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,6a b c AB AC ⋅= ，向量(cos ,sin )m A A = 与向量(4,3)
n =-
相互垂直。

若7b c +=，则a 的值为 12、已知函数()l o g (0,a
f x x x b a a =
+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点
*
0(,1)
()x n n n N ∈+∈
，则
n = 13、已知各项为正数的等比数列765{}:2,n a a a a =+满足若存在两项m a 、
B M
n a
使得
1=，则14m
n
+的最小值为
14、如图所示：在A O B ∆中，,3,2,3
A O
B O A O B B H O A π
∠=
==⊥于H ，M 为线段B H 上的点，且
5
,4
M O M A B M x B O y B A ⋅=-=+ 若，则x y +的值等于
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是…………( )
（A ）若//m α，n αÜ，则//m n ； （B ）若//m n ，m α⊥，则n α⊥； （C ）若//m α，//n α，则//m n ； （D ）若m αβ= ，m n ⊥，则n α⊥．
16、设,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a
<
”的…………………（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件
17、已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2
π
，直线3
x π
=
是其图象
的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是 …………………（ ）
（A ）4sin(4)6
y x π=+ （B ）2sin(4)26
y x π
=++
（C ）2sin(2)23
y x π
=++ （D ）2sin(4)2
3
y x π
=+
+
18、由9
个互不相等的正数组成的矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛333231
232221
131211a a a a a a a a a 中，每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++、
232221a a a ++、333231a a a ++成等比数列，下列三个判断正确的有……………………（ ）
①第2列322212,,a a a 必成等比数列 ②第1列312111,,a a a 不一定成等比数列 ③12322123a a a a +>+
（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知复数()2
1332
z a i a =
+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）。

（1）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围； （2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值.
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，2==BC AP ，
︒=∠30CBA ,D 是AB 的中点.
（1）求PD 与平面PAC 所成的角的大小；
（2）求PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积.
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。

已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系式可近似的表示为：
2
20040000y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元。

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？
P
C
D
A
22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分, 第3小题满分6分.
设,a R ∈把三阶行列式
2
3
5
14042
1
x a
x
+中第一行第二列元素的余子式记为()f x ，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(2,0)-。

各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，点列*
(,)
)n n a S n N ∈（在函数()y f x =的图象上。

（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）若2
n
a n
b =，求21lim 2
n n n b b →∞
-+的值；
（3）令2
,,n n n a n c c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数
为偶数，求数列{}n c 的前20项之和.
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.
设函数()y f x =与函数(())y f f x =的定义域交集为D 。

若对任意的x D ∈，都有(())f f x x =，则称函数()f x 是集合M 的元素。

（1）判断函数()1f x x =-+和()21g x x =-是否是集合M 的元素，并说明理由；
（2）设函数2()log (12)x
f x =-，试求函数()f x 的反函数1
()f
x -，并证明1
()f
x M -∈；
（3）若()(,0)ax f x M a b a x b
=
∈>+为常数且，求使()1f x <成立的x 的取值范围.。