电磁学复习

[解]将空腔看作是同时填满+r和-r的电荷， 腔内任一点的电场强度就由一个实心大 球电荷密度为+r和一个实心小球电荷 密度为-r的叠加而成，如图所示：
得
同理可得：
r E r' 3 0
所以，
a为矢量，方向由O指向O’。可见空腔内电 场强度是均匀的。
二、静电场的环路定理
对闭合环路L, 有:
[例] 一个带电量为q的均匀带电球面，半径为a，若 切割成两个半球面，求其中一个带电半球面受 另一个带电半球面的静电力。 [解] 由高斯定理可得
s / 0 Et 0
考虑电荷分布相 对z轴的对称性
s / 2 0 E s / 2 0
F Fz a
2 ( 右半球面 )
若A点在电偶极子的延长线上，正负电 荷生的场强为：
q 1 q E , E l 2 l 2 4p 0 4p 0 (r ) (r ) 2 2 1
对r>>l, 有：
l 2 l 2 (r ) r (1 ) 2 r
注意到p的方向，有：
1 p Er = 2π 0 r 3
其中A是SI单位制中电流的单位，称为安培，s 为时间的单位，称为秒。
设两个点电荷的电量 q1＝q2＝1C，在真空中 相距r12＝1m，力用N量度，这样确定的k的值 为: k 8.987551787 109 Nm2 / C 2 9 109 Nm2 / C 2
= × ≈ ×
由此由k=1/4p0可以确定0的值，即真空介电常数，
电势函数的值与电势的零参考点的选择有关， 而电势零参考点的选择有很大的任意性，电场 中任何一点都可以作为电势的零点。
把电势的零点取在无穷远处是因为分布在有限区域 中的电荷产生的电场在远离电荷处的场强按 1／r2减少， 故无限远处任意两点的电势差为零，无限远处是电势 的等势区域，因而我们可以把电势的零点取在这个区 域中。
高斯定理
（1）对任意曲面的电通量
E dS
假定电场由一电量为q的点电荷产生，dS是曲面 上的任一面元，它的位置由径矢r表示，r的起 点取在点电荷上．电场对dS的通量为：
电场对任意封闭曲面的电通量只决定于被包围 在封闭曲面内部的电荷，且等于包围在封闭曲面内 电量代数和除以0，与封闭曲面外的电荷无关。这 一结论就是静电场的高斯（Gauss）定理。
1

dE dEz
2 2 3/ 2 4p 0 ( R z ) 0
s e RzddR
则总的电场强度为：
sez sez RdR 1 E Ez [ 2 ] 2 2 3/ 2 2 1/ 2 2 0 0 ( R z ) 2 0 ( R z ) se 2 0
如果静电场不是由单个点电荷产生的，而是由某 种确定的电荷分布，例如静止的点电荷系或带电 体所产生的，由叠加原理可知整个带电系统产生 的静电场的环量亦为零:
它表明任何静电场的环量都为零。这就是 静电场的环路定理。它表明，静电场是无 旋场。
静电场作功与路径无关，只与起点 与终点的位置有关；或静电场沿任何闭 合环路作功为零。
电场强度的大小也可用等势面的疏密程 度来量度。
为此可设想相邻等势面的电势差都一样， 那末将单位正电荷沿法线方向从一个等势面移 到与其相邻的等势面上，电场所作的功的大小 也会一样。这功的大小为电场强度与相邻等势 面间距离的乘积。因此，等势面间距越小，电 场就越大。等势面间距的大小正反映了等势面 的疏密程度。所以，电场的大小可用等势面的 疏密程度来量度。
（r = a +0） （ r = a − 0）
( E
0
t
E ) cosq sdS

2p
0
d
p /2
s cosq s sin qdq 2 0
a 2s 2p q2 2 0 32p 0 a 2
应用举例
[例] 求电偶极子 的电势及电场 的分布。
[解] 取电偶极子的中点为坐标原点O，r》l， 则：
第1章
真空中的静电场
§1.1 电荷与库仑定律 §1.2 电场与电场强度
§1.3 静电场的高斯定理及其应用
§1.4 静电场的环路定理与电势
§1.5 电场对带电体系的作用力
k值的确定
• 库仑定律中的比例系数k的数值、量纲与单位制 的选择有关。在SI制中，力的单位是N(牛顿)， 电量的单位是C(库仑); 1C 1A s
4p 0 ( R 2 z 2 )3 / 2
s e RzddR
则总的电场强度为：
sez sez RdR 1 E Ez [ 2 ] 2 2 3/ 2 2 1/ 2 2 0 0 ( R z ) 2 0 ( R z ) se 2 0
0
[例] 求均匀带电半球面在球心的电场。
式中n为r方向的单位矢量。
2. 线电荷
[例]一半径为R的 无限细且均匀带电 的圆环，环上线电 荷密度为l．求过 环心垂直于圆环面 的中轴线上的一点 A的电场强度。
[解]在圆环上任取一线电荷ldl，它在A点产生的 电场强度为dE，从对称性可以看出，由圆环在A 点所产生的电场强度将只有沿z轴的分量。于是:
考察点在场中任一点，坐标为（r，q），把电偶极 子分解成平行分量和垂直分量p//和p，
p// p
⊥
=
p cos p sin
θ
θ
=
于是p点的场强可以看成是由两个电 偶极子的叠加而成，由以上结果有：
p sin q Eq 3 4p 0 r 1
1 p cosθ Er = 3 2π 0 r
综合以上结果，我们有：
[解]取如图所示的坐标，在球体内r’处取一 厚为dr’的球壳，该球壳无限薄，可看成 均匀带电球面，其面密度为ρ dr’, 则该 球面在r处产生的电场强度为： 1 r 4pr' 2 dr' dE er 2 4p 0 r
er E dE 4pr r' dr' 2 即一个均匀带电球体 4p 0 r 0 在球外任一点的电场 er 1 4 3 强度，等于它的电荷 pR r 2 4p 0 3 r 全部集中在球心的点 电荷所产生的电场强 q e 度。 2 r 4p 0 r 1
但是，当电荷分布在无限大区域中时，无限远处并 不是等势区域。在这种情况中，虽然可以取远处某一 确定点作为电势的零点，但却不能把无限远处作为电 势的零参考点（无限远处是一个区域）。
在均匀电场E0中放入一个 点电荷q, 则空间的电势如何? 对均匀电场, 不能取无限 远处为电势零点, 取原点O为 参考点, 则:
电势的一般表达式
1．点电荷的电势
点电荷的电场强度为
由电势的定义可得：
2．等势面的特性
一根电场线不可能与同一等势面相交两次或 多次。 空间某点的电场强度应与该处的等势面垂直。
用反证法来证明。设该结论不真，即电场强度 不垂直等势面，这时电场强度可分解为沿等势面的法 向和切向的两个分量，且切向分量不为0。再由电势 的公式，等势面上位于该切向方向的两点之间将存在 电势差，以至与等势面的定义发生矛盾，所以原结论 成立。由这个结论可知，电场线和等势面之间将处处 正交。
U1 E0r cosq
对点电荷, 不能取原点为电势 零点, 可取无限远处为电势零点, 则: 合电势为: U U U U 1 2 0
无限远处与 原 点均不能作为 电势零点.
U2
q 4p 0 r
E0 r cosq
q 4p 0 r
U0
除这两点外任 一点的电势都 可做参考点. U0取值由该 点决定.
由数学的级数展开，近似可以得到：
-1
把上两式代入，注意z=rcosq，有
考虑到电偶极子的方向，P点的电势为
由该式和电场强度与电势的关系式可求得：
有：
1 2 p cosq 3 E r 4p r 0 1 p sin q Eq 3 4 p r 0 E 0
2 r ˆ rcosq dV k 3 0 （右半球）
r2 3 ˆ r cosqsinqdqddrk 3 0 （右半球） r2 3 0

a
0
ˆ r dr cos qsinqdq dk
3 2 0 0
p
2p
3q2 ˆ k 2 64p 0 a
或
高斯定理的讨论
高斯定理表明静电场是有源场
高斯定理给出了场和场源的一种联系， 这种联系是场强对封闭曲面的通量与场源间 的联系，并非场强本身与源的联系。电荷是 静电场的源.
高斯面上的电荷问题
高斯面把电荷区分为内外两种，是否存 在一种点电荷正好在高斯面上？这是不存在 的，因为只有点电荷的线度要远小于q与高 斯面间的距离，才能视为点电荷。
在电偶极子的延长线上，q=0， 有
Байду номын сангаас
2p E Er 3 4p 0 r
1
在电偶极子的中垂面上，q=p/2，有
“-”来源于q的正方向是Z的负方向
电偶极子的电场强度也可写成：
由此得到：
q E , 2 4p 0 r
1
(r R)
[例]求无限大均匀带电平面的电场，设 其面电荷密度为σ
[解1]过A作平板的垂线 AO, AO=z,以O为圆心， 将平板分割成无数个 圆环．设其中任一圆 环的半径为R，环宽为 dR, 见图, 由例1.2的结 果，这宽度为dR的环 对A点电场强度的贡献 为：
3.面电荷
[例]均匀带电的无 穷大平板，其 面电荷密度为s, 求与板距离为z 的一点A处的电 场强度。
[解]过A作平板的垂线AO, AO=z,以O为圆心，将平 板分割成无数个圆环．设其中任一圆环的半径为 R，环宽为dR, 见图, 由上题的结果，这宽度为dR 的环对A点电场强度的贡献为：