函数的单调性(新)

归纳总结
本节课主要学习了以下内容： 设量定大小； 1、单调函数的图象特征； 作差定符号； 2、函数单调性的定义； 判断定结论。 3、判断单调性的方法：图象、定义 ; 4、证明函数单调性的步骤.
y x2
O
能否写成
,0 0， ?
x x1
两区间之间用和或用逗号隔开.
1 例３、求证：函数 f ( x) 1 在区间 x
（0，+∞）上是单调增函数．
证明：设 x1 , x 2 是（0，+∞）上的任意
（1）怎样证明？ 两个实数，且 x1 x 2 ．
1 1 1 1 x1 x2 则f ( x1 ) f ( x2 ) ( 1) ( 1) x1 x2 x2 x1 x1 x2
y
3
1
0 1 2
x
（2）若x＝1，2，3，4，时，相应地 y＝1，3，4，6，能否说在区间(0，+∞) 上，y 随x 的增大而增大呢？
y
0 1 2 3 4
x
（3）若有n个正数x1< x2<x3<··< xn，它 ·· ·· 们的函数值满足: y1< y2<y3<··< yn．能 ·· ·· 否就说在区间(0，+∞) 上 y 随着x的增大 若x取无数个呢? 而增大呢？ 若x 取全部呢? y
证明：设x1 , x2是区间 -,1 上任意两实数，且x1 x2 . 2 2 （设量） f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 2 x1 ) ( x2 2 x2 )
（比较） x1 x2 1, x1 x2 0, x2 x1 2 0
再 见
问题1、 作出下列函数的图象,并指出图 象的变化趋势:
(1). y x 1 (2). y 2x 2
1 2 (3). y x (4). y x
y
y
y x 1
1
O
y 2x 2
2
1
O
-1
x
x
y
y x
O
2
y
1 y x
O
x
x
问题2、你能明确地说出“图象呈逐 渐上升或下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内， 图象在该区间呈上升趋势 当x的值增大时，函数值y也增大 图象在该区间呈下降趋势 当x的值增大时，函数值y反而减小 函数的这种性质称为函数的单调性。
德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
时间间隔
刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 …
记忆保持量
100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …
1、艾宾浩斯遗忘曲线
记忆保持量（百分数） 100 80 60
1 练2、求证：函数 f ( x) 1 在区间 x
（0，+∞）上是单调增函数．
布置作业
必做： P38 习题 2.3 A组2、3、4
选做（1）判断函数
4 y x x
ax f ( x) 2 (a 0) x 1
在区间 (1,1)上的单调性。 （2） 研究 的单调性， 并给出证明，试求出该函数的值域。
yn
y3 y2 y1
0 x1 x2 x3
xn
x
例题分析
例1、根据图象说出函数的单调区间
θ/ºC
10 8 6 4 2 0 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
y＝f(t)，t∈[0，24]
t/h
练1、画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x 2
2
x1 x2 0, x1 x2 0, f ( x1 ) f ( x2 )
1 故 f ( x) 1在区间 0， 上是单调增函数． x
课堂练习1：填表
y kx+b（k 0）
函数
k y (k 0) x
k >0
k <0
k >0
k <0
单调区间 (, ) (, ) (,0),(0, ) (,0),(0, ) 单调性 增函数 减函数 减函数 增函数
问题3、如何用数学语言表述一个函数 是增函数呢？
0
X
问题3、如何用数学语言表述一个函数 是增函数呢？
Y
f(X2) f(X1)
0
X1
X2
X
X不断增大，f(x)也不断增大
y
y=f(x)
f(x1) f(x2) x2 x
O
x1
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，
区间I A. 如果对于区间I内的任意两个值
练习2：填表（二）
y ax 2 bx c (a 0)
函数
a0
单调区间
b (, ) ( b , ) 2a 2a
a0
b (, ) 2a
( b , ) 2a
单调性
减函数
增函数
增函数
减函数
练习3：证明函数 f ( x) x 2 x
2
在区间 ,1上是减函数．
( x1 x2 ) 2( x1 x2 ) ( x1 x2 )( x1 x2 2)
2 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 （定号）
f (x) x f ( x2 )
. 上是减函数
（结论）
问题讨论
问题1、 作出①y=x+1②y=-2x+2③ y x 2
函数的图象,并指出图象的变化趋势: 问题2、你能明确地说出上述图像的变化趋势的意 思吗？
问题3、如何用数学语言表述一个函数是增函数呢？
问题4、如何用数学语言表述一个函数是减函数呢？
问题3：
思考
（1）对于某函数，若在区间(0，+∞)上， 当x＝1时， y＝1；当 x＝2时，y＝3 ，能否 说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?
y＝f(x)，x∈[0，24]
t/h
[0，4]
[4，14]
[14，24]
例2、画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x 2
2
y
2
单调增区间为 , 0
1
-2 -1
O
单调减区间为 0,
1
2
x
1 (2) y ( x 0) x
两个单调减区间 , 0 和 0，
x1，x2，当 x 1＜x2 时，都有 f（x1）＜f（x2）
那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.
问题４：
如何定义一个函数是单调减函数？
y
f(x1)
f(x2) x2
0 x1
x
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，
区间I A. 如果对于区间I内的任意两个值 x1，x2，当 x 1＜x2 时，都有 f（x1）＞f（x2）
那么就说y= f(x)在区间I上是单调减函数.
单调区间
如果函数y=f(x)在区间I是单调增函 数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在 区间I上具有单调性. 单调增区间和单调减区间统称为单 调区间.
例题分析
例1、根据图象说出函数的单调区间
θ/ºC
10 8 6 4 2 0 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Hermann Ebbinghaus
德国有一位著名的心 理学家名叫艾宾浩斯 (Hermann Ebbinghaus， 1850-1909)，他在18791880年的记忆实验中用无 意义音节来进行记忆研究。 研究的中心问题之一就是 学习后记忆保持量的变化 规律。他以自己为实验对 象，共做了163次实验.
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函数的单调性与最大（小）值
（ 第一课时）
讲课人:
教学目标


（思想方法）通过自主探究活动，体验数学 概念形成过程的真谛，学会运用函数图像理 解和研究函数的性质； （具体内容） ①理解并掌握函数的单调性及其几何意义； ②会求函数的单调区间; ③掌握用定义证明函数单调性的步骤,提高 运用知识解决问题的能力；
y
2
1
-2 -1
O
1
2
x
1 (2) y ( x 0) x
两个单调减区间 , 0 和 0，
y x2
O
能否写成
,0 0， ?
x x1
两区间之间用和或用逗号隔开.
例2：证明函数
f ( x) x 2 x
2
在区间 ,1上是减函数．
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