用MATLAB解决线性三自由度系统微振动问题
第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
振动力学基础与matlab应用_概述说明
振动力学基础与matlab应用概述说明引言是一篇文章的开篇部分，用于介绍文章的背景、目的和结构。
在本文中，引言部分将包括概述、文章结构以及研究目的。
1.1 概述振动力学作为工程领域的一个重要分支，研究物体在受到外界激励时发生的振动现象。
振动力学的理论与应用在许多工程领域都有广泛应用，包括结构工程、机械工程、航空航天等。
了解振动力学的基础知识和掌握相应的计算工具是进行相关工程设计和问题分析的必要前提。
1.2 文章结构本文将按照以下方式组织：第二部分将介绍振动力学的基础知识。
我们将阐述振动概念，并详细讨论振动模型及其方程。
此外，还将重点介绍自由振动与强迫振动之间的区别以及其在实际问题中的应用。
第三部分将探讨Matlab在振动力学中的应用。
我们将回顾Matlab基础知识，并简要介绍Matlab中常用的振动计算工具箱。
通过案例分析与实践应用，我们将展示如何利用Matlab解决振动力学中的实际问题。
第四部分将重点讨论典型振动问题及其解决方法。
我们将介绍频率响应分析与谱密度法在振动工程中的研究应用，以及模态分析与阻尼系统优化设计方法的论述。
此外，本文还将给出数值仿真模拟在振动工程中的应用示例讲解。
最后，我们将在第五部分总结本文所得结果，并讨论研究的局限性。
同时，对未来研究方向进行了展望。
1.3 目的本文旨在提供一个关于振动力学基础和Matlab应用的概述说明。
通过深入了解振动力学理论和掌握相关计算工具，读者可以更好地理解和解决振动问题。
同时，本文还旨在为未来相关研究提供参考和启发，促进该领域的进一步发展与探索。
通过本篇文章，“振动力学基础与Matlab应用”的概述说明已经清晰地介绍了引言部分内容，并包含了概述、文章结构以及研究目的等方面的信息。
2. 振动力学基础：2.1 振动概念介绍振动是物体在时间和空间上的周期性运动。
它是一种重要的物理现象，在工程领域中有广泛的应用。
振动可以分为自由振动和强迫振动两种类型。
基于MATLAB的振动模态分析
基于MATLAB的振动模态分析摘要振动系统是研究机械振动的运动学和动力学，研究单自由系统的振动有着实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。
模态是振动系统的一种固有振动特性，模态一般包含频率、振型、阻尼。
振动系统问题是个比较虚拟的问题，比较抽象的理论分析，对于问题的分析可以实体化建立数学模型，通过MATLAB可以转化成为图像。
单自由度频率、阻尼、振型的分析，我们可以建立数学模型，最后通过利用MATLAB编程实现数据图形；多自由度主要研究矩阵的迭代求解，我们在分析抽象的理论的同时根据MATLAB编程实现数据的迭代最后可以得到所要的数据，使我们的计算更加简便。
利用MATLAB编程并验证程序的正确性。
通过程序的运行，能快速获得多自由度振动系统的固有频率以及主振型，为设计人员提供了防止系统共振的理论依据，也为初步分析各构件的振动情况以及解耦分析系统响应奠定了基础。
关键词：振动系统；单自由度；MATLAB；多自由度AbstractVibration system is to study the kinematics and dynamics of mechanical vibration, the vibration of a single free system has practical significance, because there are many engineering problems by simplifying, using the vibration theory of a single degree of freedom system can be satisfied with the results.Vibration system problems is a relatively virtual problems, more abstract and theoretical analysis, problem analysis for a mathematical model can be materialized by MATLAB can be converted into images. Single degree of freedom frequency, damping, mode shape analysis, we can create mathematical models, the final program data through the use of MATLABgraphics; many degrees of freedom main matrix iterative solution, our analysis based on abstract theory, while MATLAB programming The last iteration of data can be the desired data, so our calculations easierUsing MATLAB programming and verify the correctness of the program.Through the process of operation, can quickly obtain multiple degrees of freedom vibration system and the main vibration mode natural frequency for the design to prevent resonance provide the theoretical basis for the preliminary analysis of the vibration of each component, and laid the decoupling of system response basis.Key words:vibrating system; Single Degree of Freedom ;MATLAB; multiple degree offreedom辽宁工程技术大学毕业设计（论文）1 绪论1.1问题的提出机械振动是一门既古老又年轻的科学，随着人类科学技术的不断进步振动理论得到不断的发展和完善。
基于MATLAB语言的非线性系统相空间分析
基于MATLAB语言的非线性系统相空间分析一、简述非线性系统相空间分析是研究非线性系统的动力学行为和稳定性的一种方法。
在MATLAB语言中，我们可以通过构建合适的数学模型来描述非线性系统，并利用其强大的数值计算和绘图功能进行相空间分析。
本文将介绍如何使用MATLAB语言对非线性系统进行相空间分析的基本步骤和技巧，包括：建立非线性系统方程、求解方程组、绘制相空间轨迹图等。
通过这些内容的学习，读者可以掌握MATLAB 在非线性系统相空间分析中的应用方法，为进一步深入研究非线性系统提供基础支持。
1. 非线性系统的概念和特点非线性系统是指其行为不能通过线性组合得到的系统，在自然科学、工程技术和社会科学等领域中，非线性系统无处不在，例如：自然生态系统、经济市场、生物医学过程等。
非线性系统的特点是它的输出不仅仅取决于输入，还受到内部状态的影响，这种影响通常是复杂的、难以预测的。
非线性系统的相空间分析是一种处理非线性系统的方法，在MATLAB语言中，我们可以通过使用各种工具箱进行相空间分析，包括解常微分方程(ODE)、解偏微分方程(PDE)以及求解复杂动力学系统等。
首先我们需要理解非线性系统的数学模型，这通常通过将系统的动态方程表示为微分方程来完成。
然后我们可以使用MATLAB的ODE 求解器来求解这些方程，得到系统的相空间轨迹。
此外我们还可以使用MATLAB的PDE工具箱来求解偏微分方程，得到系统的相空间曲面。
除了基本的数值方法外，MATLAB还提供了多种高级功能，如优化工具箱、控制工具箱等，这些都可以用于非线性系统的分析和设计。
例如我们可以使用优化工具箱来寻找最优的控制策略，或者使用控制工具箱来设计自适应控制器。
MATLAB为非线性系统的相空间分析提供了强大的支持，无论是对于理论研究还是实际应用都具有很高的价值。
2. 相空间分析的基本概念和方法相空间分析是一种研究非线性系统动态行为的方法，它通过将系统的微分方程组表示为相空间中的轨迹方程来描述系统的演化过程。
第6章Matlab应用之动力学与振动
一.运动微分方程 当
0, F ( ) 0 时，得到线性振动系统的自由振动方程。
d x dx 2 x0 2 d d
2
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6.2 单自由度系统
二.MATLAB求解 编写方程对应的函数文件FreeOscillation.m function xdot=FreeOscillation(t,x,zeta,Alpha) xdot=[x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1)-Alpha*x(1)^3]; end
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21
6.2 单自由度系统
续上： figure(1) xlabel('\tau'); ylabel('x(\tau)'); axis([0.0,30.0,-3.0,3.0]); legend(d(1,:),d(2,:),d(3,:)); figure(2) xlabel('x(\tau)'); ylabel('dx/d\tau'); axis([-2.0,3.0,-2.0,3.0]); legend(d(1,:),d(2,:),d(3,:));
dx1 x2 d dx2 x1 d signum( x2 ) d
d x dx x d signum( ) 2 d d
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25
6.2 单自由度系统
2、Matlab求解
编写常微分方程对应的函数文件FrictionOscillation.m
function xdot=FrictionOscillation(t,x,d) % 非线性阻尼系统ode文件 if abs(x(1))<=d && x(2)==0.0; xdot=[0;0]; else xdot=[x(2);-d*sign(x(2))-x(1)]; end
机械振动分析的Matlab_Simulink仿真研究
王文娟 : 机械振动分析的 Matlab /Simulink 仿真研究
机械振动分析的 Matlab /Simulink 仿真研究
王文娟
( 西安工业大学 陕西 西安 710032)
摘 要 : 振动在工程实际中普遍存在 。为了研究和掌握振动规律 ,利用功能强大的仿真软件 Matlab/ Simulink 对一个三 自由度系统进行仿真 ,介绍 Matlab/ Simulink 在机械振动分析中的 3 种建模方法 ,并针对第 3 种建模方法编写了相应的 S 函 数和程序 ,可快速而有效地进行不同物理常数时的模态分析 。该方法简单易行 、 准确可靠 。 关键词 :Matlab/ Simulink ; 机械振动 ; 建模 ; 模态分析 中图分类号 : TP391. 9 文献标识码 :A 文章编号 :1004 373X ( 2006) 24 046 03
嵌入式与单片机
此 ,在 Matlab 命令窗口中要写出计算 A ,B ,C ,D 的程序代
0 1 0
0 0 1 2
¨ x1 ¨ x3
- 1
2 0 #43; x3
码 , 或者新建一个 M 文件来计算 A ,B ,C ,D 的值 。后者较 前者使用更方便 , 但是在每次仿真前 , 都必须先在 Matlab 命令窗口输入 M 文件的名称 , 才能开始仿真 , 使用起来还 是不方便 。
1 引 言 振动在日常生活和工程实际中普遍存在 。为了认识 振动现象 , 有必要研究和掌握振动规律 , 掌握他的益处来 为生产和生活服务 ,同时在生产和日常生活中有效地避免 振动造成的危害 。随着计算机技术的不断发展 , 人们研究 事物的手段也在发生着变化 ,一批卓越的现代化工程应用 分析软件纷纷占领市场 ,给人们在解决工程实际问题时带 来了极大的优越性 ,机械振动分析领域也不例外 。在众多 的软件中以 Matlab/ Simulink 仿真软件最为亮眼 。利用
用Mathe matica 求解线性3自由度系统微振动问题
用Mathe matica 求解线性3自由度系统微振动问题徐丹;萨茹拉【摘要】借助数学软件M athem atica ，用矩阵方法对线性3自由度系统微振动问题进行了计算和讨论，并模拟了此力学系统的运动。
通过与在普通物理实验室中的实验结果进行对比，在忽略空气阻力和弹簧质量的情况下，其仿真结果更能展现线性3自由度系统的微振动情况。
其动画很好地演示了线性3自由度系统的振动情况，使初学者对此模型有非常直观的认识，有助于加深对3自由度系统的认识。
【期刊名称】《物理通报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】3页(P35-37)【关键词】线性3自由度系统;Mathem atica;模拟【作者】徐丹;萨茹拉【作者单位】内蒙古师范大学物理与电子信息学院内蒙古呼和浩特 010021;内蒙古师范大学物理与电子信息学院内蒙古呼和浩特 010021【正文语种】中文1 引言多自由度力学系统的微振动问题是理论力学中的基本问题［1］，它的方程均为线性微分方程.理论上用解析法可以得到方程的解，对于两个或3个自由度的微振动系统，求解过程还不算麻烦，但对有自由度较多的系统，求解就比较费力费时了.许多机械系统，根据其工作状况，可以将其简化成一个单自由度或两自由度系统的理论模型，以满足对其动态特性进行分析的要求.而事实上，所有机械系统都是由具有分布参数的元件所组成，严格地说，都是一个无限多自由度的系统（或连续系统，分布参数系统）.根据结构特点和分析要求，把有些元件或其部分简化成质点，而把有些元件或其部分简化成弹簧，用有限个质点、弹簧和阻尼去形成一个简化的模型.多自由度系统是对连续系统在空间上的离散化和逼近，由于计算机技术的广泛应用，有限元分析和实验模态分析技术的发展，多自由度系统的理论和分析方法显得十分重要.Mathematica不仅有强大的数值运算功能，还有强大的符号运算功能.也就是说，经过简单的编程就能用计算机求出微分方程的解析解.包括微振动系统的本征频率、本征矢、简正模的运动学方程和耦合振动的运动学方程.用计算机进行复杂的运算，可以将节约下来的时间更多地用于研究物理现象本身而不是沉浸在复杂的数学运算中［2］.本文主要介绍用Mathematica对3自由度的微振动问题求解，主要采用矩阵方法求本征值和本征矢，再求解耦合的微分方程的解.利用Mathematica对所得结果进行动画演示.2 3自由度微振动系统的模型［3］如图1所示，两个弹簧连接3个质点组成的一维振动系统，其中弹簧的劲度系数为κ，中间的质点的质量为M，两端点的质量为m.图1 3自由度系统的微振动以图1所示的3个质点相对自身平衡位置的位移x1，x2，x3作为3自由度振动系统的广义坐标.由拉格朗日方程，可得系统的运动微分方程为代入式（1）后，得矩阵形式的方程上面的方程组要求将简正频率分别代回式（5），可得到3个与之对应的本征矢量.对于ω1，本征矢量为对于ω3，本征矢量由式（9）可得简正模式的3个质点的振幅，简正模式的振动方程为由式（12）、（13）、（14）描绘出3个简正模式的运动情况.系统的运动时由3个简正模式运动的叠加，方程组（1）的通解为式（15）中的积分常数A11，A31，A31 和θ1，θ2，θ3 由初始条件确定.3 Mathematica的矩阵方法［4］求解本征值和本征矢将（2）式左乘S－1可得用Mathematica的指令Eigensystem求出矩阵S－1Κ的3个本征值和相对应的3个本征矢以后，就可将它分解成为3个独立的简正坐标的常微分方程，对方程分别求解就可得到3个简正模.编程的具体思路如图2所示.图2 编程思路4 通过Mathematica进行动画模拟首先调用Mathematica的Graphics指令绘制3自由度微振动的模型图，运行结果如图3所示.图3 用Mathematica绘制的3自由度微振动模型图然后调用Mathematica的Animate指令使其产生动画效果，经过调试后就能实现3自由度微振动系统的动画效果.5 结论本文介绍了3自由度系统微振动的基本概念，并对其基本模型用Mathematic进行仿真.通过运用Mathematic中的函数进行了编程，最终达到了动画模拟的目的.实验运行结果比在普通物理实验室中实验结果更加真实［5］，因为在Mathematica下无需考虑空气阻力和弹簧的质量对系统的影响.参考文献【相关文献】1 卢圣治，胡静，管靖.理论力学.北京：电子工业出版社，1991.34～532 董键.Mathematica与大学物理计算.北京：清华大学出版社，2013.120～1423 甘祥根，陈丽红.物理模型及其应用.物理通报.2005，24（1）：274 彭芳麟，等.理论力学计算机模拟.北京：清华大学出版社，2002.113～1155 GerdBaum ann.Mathematica in Theoretical Physics.Berlin Heidelberg：Springer－Verlag NewYork，1993。
MATLAB及在汽车振动分析中的应用
（5）再从Sinks library把Scope模块拷贝到自己的模型中，并把它放到Signal Generator的右边。用鼠标在Scope模块上双击来打开该模块，这时会发现 Scope模块就像一个示波器，如图所示。
2009-2 山东理工大学 交通与车辆工程学院 22
（6）下一步的工作是把两个模 块连接起来。 如图所示
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1
【本章学习方法】
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2
第1节 MATLAB软件及其特点
一、 MATLAB的工作空间
工作空间及变量
二、 MATLAB的命令窗口
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MATLAB的命令窗口
3
三、 MATLAB的程序编辑/调试器
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Simulink library 浏览窗口
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（2）选定Libray中的某个模块包，如选定Sources，按鼠标右键，点击 open，就可以将模块包中的所有模块显示一个新窗口中，如图所示。
Sources模块包
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六、 MATLAB图形命令
MATLAB提供了很多高级图形命令，这些命令可以绘制很多图形，如曲线 图、极点图、直方图、等高线图等，可以非常方便给出数据的二维、三维的图 形，还可以对图形的显示进行控制。 MATLAB自动将图形画在图形窗口上，图形窗口和命令窗口是独立的。 下面主要介绍二维图形的绘制，三维图形的绘制也与其类似。MATLAB提供了 很多绘制、标注二维图形的函数。表中介绍了绘制线图的函数。
基于Matlab_Simulink的多自由度机械振动系统仿真
写成矩阵的形式为 : M X + CX + KX = F ( t) . 应用文献 [ 6 ]中的影响系数法建立系统的质量矩阵 、 刚度矩阵和阻尼矩阵如下 :
・
¨
・
X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ; X = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ;
Abstract: Taking a four DOF mechanical vibrating system as an examp le, this paper discusses the mod2 elling method and sim ulation analysis of multi - degree - of - freedom m echanical vibration system s by u2 sing M atlab / Si m ulink soft w are, and focuses on the establishment method and utilization of the vibration differential equation and the state - space sim ulation model . The m ethod not only sim p lifies the p rocess of p rogramm ing, and imp roves the quality and reliability of p rogramm ing, but also offers effective reference for the sim ulation of the si m ilar multi - degrees of freedom vibrating system. Key words: M atlab / Sim ulink; mechanical vibration system; model; sim ulation
三自由度振动 matlab -回复
三自由度振动matlab -回复matlab是一种强大的数学计算软件，被广泛应用于工程、科学研究和教育领域。
在振动力学中，三自由度振动是指一个物体或系统在三个自由度上独立振动的能力。
在本文中，我将详细介绍如何使用matlab来模拟和分析三自由度振动系统。
我将分步骤回答以下问题：如何建立三自由度振动系统的数学模型、如何求解系统的运动方程、如何对振动系统进行仿真和结果分析。
第一步：建立数学模型在建立数学模型之前，我们需要明确系统中每个自由度的约束关系以及系统的质量、刚度和阻尼参数。
假设我们的三自由度振动系统由三个质点组成，质点之间通过弹簧和阻尼器连接。
首先，我们定义每个质点的质量，分别为m1、m2和m3。
然后，我们定义每个质点相对于平衡位置的位移分别为x1、x2和x3。
根据牛顿第二定律，每个质点的运动方程可以表示为：m1 * x1'' + c1 * (x1' - x2') + (k1 + k2) * (x1 - x2) = 0m2 * x2'' - c1 * (x1' - x2') - (k1 + k2) * (x1 - x2) + c2 * (x2' - x3') + (k2 + k3) * (x2 - x3) = 0m3 * x3'' - c2 * (x2' - x3') - (k2 + k3) * (x2 - x3) = 0其中，x' 表示位移的一阶导数，x'' 表示位移的二阶导数；c1 和c2 是弹性元件的阻尼系数，k1、k2 和k3 是弹簧的刚度。
第二步：求解运动方程我们可以使用matlab中的ode45函数来求解三自由度振动系统的运动方程。
ode45函数是常微分方程求解器，它可以根据初值条件和微分方程求解整个系统的解。
首先，我们需要将三自由度振动系统的运动方程转化为一阶常微分方程组。
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BS1 = C1 3 sin ( ( K/ m) ∧(1/ 2) 3 t) + C2 3 cos ( ( K/
m) ∧(1/ 2) 3 t)
BS2 = C1 3 t + C2
BS3 = C1 3 sin ( ( k 3 (2 3 m + M) / M/ m) ∧(1/ 2) 3
t) + C2 3 cos( (k 3 (2 3 m + M) / M/ m) ∧(1/ 2) 3 t)
微分方程组的解. 结果就是式 (6) 的解析解 , 由初始条
件决定的 6 个积分常数 A 11 、A 12 、A 13 、<1 、<2 、<3 也随 之解出. 在屏幕上显示的是 :
XL1 = XL10 3 m 3 (1/ ( M + 2 3 m) + 1/ 2/ m 3 cosx
( (k/ m) ∧(1/ 2) 3 t) + 1/ (2 3 M + 4 3 m) 3 M/ m 3 cos
x 10
=
·
x 20
=
·
x30
=0
时 , x1 、x2 和 x3 的数值解并画出它们的图形如图 2 (见
附录第 2 段程序) .
3. 2 计算频谱
利用 MA TLAB 的快速傅里叶变换的功能 ,对 x1
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
' 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
32
大 学 物 理 第 20 卷
图 1 三质点耦合振动系统
m
··
x1
+
kx1
-
kx2 = 0
M
··
x2
-
kx1 + 2 kx2 -
为使读者了解我们这方面的工作 ,同时考虑到文 章篇幅 ,本文主要介绍用 MA TLAB 三种方法对三自由 度的微振动问题求解. 虽然力学系统比较简单 ,但只要 掌握这些方法 ,就能解决多自由度的微振动问题. 这三 种方法是 : 1) 用矩阵方法求本征值和本征矢 ,再求解 耦合的微分方程的解 ; 2) 对方程求数值解 ,并画出位 移曲线 ,再对数值解作频谱分析得出本征频率 ; 3) 用 拉普 拉 斯 变 换 法 求 方 程 的 解 析 解. 为 了 快 捷 用 上 MA TLAB ,我们在本文后面附有有关程序 ,以供读者参 考. 利用 MA TLAB ,学习者会感到求解过程轻松而惬 意 ,所得结果可以互相印证并画出如实物一般的动画. MA TLAB 极其美妙 ,难怪许多人在用过 MA TLAB 之 后有相见恨晚之感.
1]
2) 以本征值 (圆频率的平方) 作为对角元组成的
矩阵 JB
JB = [ k/ m , 0 , 0 ]
[0 ,
0,
0]
[0 ,
0 , k 3 (M + 2 3 m) / m/ M ]
3) 三个简正坐标的数学表述. 与式 (8) 比较 ,得 ξ1
= B S 1 ,ξ2 = B S 2 ,ξ3 = B S 31 显示如下 :
A 13
由此得方程的通解 :
x1 = A 11cos(ω1 t + <1) + A 12cos <2 + A 13cos(ω3 t + <3)
x2
=
A 12cos <2
-
2m M
A
13 co s (ω3
t
+
<3 )
x3 = - A 11cos(ω1 t + <1) + A 12cos <2 + A 13cos(ω3 t + <3)
第 11 期 彭芳麟等 :用 MA TLAB 解决线性三自由度系统微振动问题
33
图 2 三个质点的位移曲线 或 x3 作快速傅里叶变换 ,求出它的频谱 ,并画出频谱 图 (图 3) ,此时得到它的本征频率为 ω1 = 3. 998 4 和 ω3 = 6. 473 6 (见附录程序第 3 段) .
kx3 = 0
(1)
m
··
x3
-
kx2 + kx3 = 0
矩阵形式为 : S x··+ Kx = 0
(2)
将 xα = Aαcos(ωt + <) , (α= 1 ,2 , 3) 代入上式 ,得
( K - Sω2) A = 0
(3)
从而求出三个本征频率 :
ω1 =
k M
,ω2
= 0 ,ω3
=
k( M + 2 m) mM
在 BS2 中多出一项 C1 3 t 是因为包括了初速度不
为零的情况.
4) 取 m = 3 kg , M = 4 kg , k = 50 N·m - 1 (这些数
据也是下面数值解法中所采用的参数值) ,就能得到数
值解的圆频率为 :
Bw = [ 4. 082 5 0 0 ]
[ 0
0
0 ]
( ( (M + 2 3 m) 3 k/ M/ m) ∧(1/ 2) 3 t) )
(9)
XL2 = k 3 XL10 3 m 3 ( - 1/ k/ ( M + 2 3 m) 3 cos
( ( (M + 2 3 m) 3 k/ M/ m) ∧(1/ 2) 3 t) + 1/ k/ ( M + 2 3
3 t) )
(11)
5 MATLAB动画模拟
为了作出动画模拟 ,在式 (9) 、(10) 和 (11) 中取 m = 3 kg , M = 4 kg , k = 50 N·m - 1 ,XL10 = 10 m ,得到 :
XL1 = . 6000e - 1 + . 1000 3 cos ( 4. 082 3 t ) + . 4000e - 1 3 cos(6. 456 3 t)
数学 软 件 MA TLAB 使 我 们 的 想 法 变 成 现 实. MA TLAB 不仅有强大的数值运算功能 ,还有强大的符 号运算功能. 也就是说 ,经过简单的编程 、就能用计算 机求出微分方程的解析解. 包括微振动系统的本征频 率 、本征矢 ,简正模的运动学方程和耦合振动的运动学 方程. 学习者与笔算比较 ,会感到轻松多了. 在教学中 , 学生用计算机进行复杂运算 ,可以将节约下来的时间 更多地用于研究物理现象本身而不是沉浸在繁杂的数 学运算之中.
2 MATLAB的矩阵方法
m0 0
k -k 0
令 S = 0 M 0 , K= - k 2k - k ,
00m
0 -k k
x1
X = x2
x3
则有
S
··
X=
-
KX. 利用 MA TLAB 的左除法 ,它可写成
··
X= - (S \
K) X , 用 MA TLAB 的指令 eig 求出矩阵
S \ K的三个本征值ω21 、ω22 、ω23 和相应的三个本征矢以
多自由度力学系统的微振动问题是理论力学中的 一个基本问题[1 ] ,它的方程均为线性微分方程 ,理论上 用解析法可以得到方程的解. 对于两个或三个自由度 的微振动系统 ,求解过程还不算麻烦 ,但对于自由度较 多的系统 ,解算就比较费力费时了.
多自由度微振动系统的力学问题有实际意义 ,如 《大学物理》刊登过的有关苯环[2 ] 和计及弹簧质量的振 子模型[3 ]等 ,但这些比较复杂的问题都要用比较大的 篇幅进行计算. 那么 ,能否用计算机去减轻人们复杂运 算的劳动强度 ,替代重复的脑力劳动 ,提高准确度和将 物理图像可视化呢 ? 答案是肯定的.
计算机代替人脑的复杂劳动 ,在科学技术中早有 应用. 但在本科教学中 ,与基础课密切结合 ,由学生用 计算机解决学习中的问题 ,还不多见. 而利用计算机解 决复杂问题的意识和能力 ,是培养新世纪人才的需要 , 应在教学中有所体现. 为此 ,我们已将研究多自由度系
统的微振动问题安排在“理论力学计算机模拟实验”课 程中[3 ] . 学生用 MA TLAB ,既可以作符号运算 ,也可以 作数值运算 ,还可将其可视化 ,得到形象的振动图线和 动画.
摘要 :借助数学软件 MA TLAB ,用矩阵方法 、傅里叶频谱分析和拉普拉斯变换法对线性三自由度系统微振动 问题进行计算和讨论 ,并模拟力学系统的运动.
关键词 :微振动 ;三自由度系统 ;数学软件 MA TLAB ;符号运算 中图分类号 : G 434 文献标识码 :A 文章编号 :100020712 (2001) 1120031204
6 小结
与教材中的内容和传统的教学方法相比 ,模拟实 验有如下不同之处 :
[ 0
0 6. 455 0 ]
3 MATLAB的数值法
3. 1 解微分方程
利用 MA TLAB 的数值法求解常微分方程的功能 ,
求出当 m = 3 kg , M = 4 kg , k = 50 N·m - 1 且初始条件
( t = 0) 为
x10 = 0. 2
m , x20 =
x 30
=
0
,
·Hale Waihona Puke 1 物理模型及解析解劲度系数均为 k 的两弹簧连接三个质点 , 如图 1 所示. 其中中间的质点质量为 M , 两端的质点质量均 为 m . 设 t = 0 时 ,各质点初速为零 ,但初位移不为零. 由拉格朗日方程 ,得系统的运动微分方程为 :
收稿日期 :2001 - 05 - 24 作者简介 :彭芳麟 (1947 —) ,男 ,江西泰和人 ,北京师范大学物理系副教授 ,主要从事理论物理和计算物理的教学和研究.