欧几里得空间中的正交基与正交变换
镜面反射
1
S 1 1
S i i , i 2,3,, n
1, i 0, i 2,3,, n
1
1
, 2 ,, n
1 1 1 S S S 1 1 1 1 1 1
k1 k2 2 kn n 2k1
2 ,
n维欧几里得空间V中
性质2.5
使得
S ，其中 , V , 1
性质2.6
若S是正交变换，则
S 2 （是单位变换）
性质2.
k1 k2 2 kn n V
, k1 k2 2 kn n , k1
S k1S k2 S 2 kn S n k1 k2 2 kn n
, V ,
S , S ,
S
正交变换
S , S ,
det A 1
镜 面 反 射
第二类的
S 2 , V 其中
，
是单位向量
主要内容
致 谢
感谢我的导师xxx老师，她严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、
学习中的榜样；感谢她在百忙之中能够对我的论文做细心的修改，
她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。 还感谢答辩组的其他老师能够在百忙之中听取我的论文答辩。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成， 有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！
镜面反射的若干性质
xxx 天水师范学院,数学与统计学院
正交变换的应用及数学方法论意义
指导教师:赵峰2012年4 月25 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录引言 (1)1 正交变换的定义 (1)2 正交变换的性质 (2)3正交变换法化二次标准型 (2)3.1正交变换化二次标准型的步骤 (3)3.2正交变换在二次标准型中的应用 (3)4 正交变换在积分中的应用 (7)4.1在多元积分学中的应用 (7)4.2重积分在正交变换下形式不变性 (9)4.3 正交变换在区面积分中的应用 (10)5 正交变换的数学方法论的意义 (12)5.1一般化 (12)5.2代数化 (12)5.3 模型化 (12)结语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要正交变换是欧氏空间中一类重要的变换，是保持度量不变的变换，正因为它有这一特征，使正交变换在高等代数中起着重要的作用．不仅如此，它在其它领域也有着广泛的应用，如在积分应用中，在多重积分及其曲面积分等方面．本文简单的介绍了正交变换的定义及其性质，讨论了正交变换化二次标准型的步骤及其广泛应用，运用正交变换进行变量替换是将数学分析与代数方法结合的例证，证明了第一类曲面积分和重积分在正交变换下的不变性。
因而可将其应用于简化多元函数积分计算．正交变换的此类应用充分体现了一般化、代数化、模型化的数学方法论。
关键词：正交变换；二次型；变量替换；重积分；曲面积分；数学方法论AbstractThe orthogonal transformation, a transformation that maintains the measure invariable, is one of the most important transformations in the field of euclidean space.Benifiting from this feature, it plays an important role in the advanced algebra. Furthermore，it applies widely in many other fields，such as the applications of integration, like the multiple integrations , the surface integrations and so on.This paper introduces the definition and properties of the orthogonal transformation briefly,it also discusses the procedures and wide applications of the secondary standard of the orthogonal transformation,using the orthogonal transformation to make a variable substitution is a good instance to prove the perfect combination of the mathematical analysis and algebraic approach,it demonstrates the invariance of the the first class of the surface integrations and double integrations under the orthogonal transformation. Thus,the orthogonal transformation can be applied in( the numerical integration of simplifying the function of many cariables.This kind of application of the orthogonal transformation fully embodies such mathematical methodologies as the generalization，the algebraization, and the modeling.Keyword：Orthogonal transformation; Quadratic ；Variable Substitution；Multiple integral；Surface integrals；Mathematical methodology引 言随着近代数学的发展,数学的各学科间的相互渗透显得越来越重要,特别是代数的方法运用更为突出,在现行的数学分析教材中,某些内容也注意到代数的方法的运用,但还需进一步加强, 将数学分析与代数方法结合, 是解决问题的途径之一, 更是培养学生数学能力的重要内容，有利于培养学生综合运用基础知识的能力。
第九章欧几里得空间
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
i1
n
n
xi2
yi2
i1
i1
第九章欧几里得空间
12
首页 上页 下页 返回 结束
n
(5) d() (xi yi)2 i1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设 1 ,2 ， ,n 是 一 组 基 . 正 交 化 过 程 如i1aj1 ai2aj2 ainajn 0, i j A 是 正 交 矩 阵 A 的 列 向 量 组 和 行 向 量 组 都 构 成
R n 的 标 准 正 交 基 .
第九章欧几里得空间
15
首页 上页 下页 返回 结束
6. 对称变换与对称矩阵
设是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
长度： | | (,)
距离： d(,)||
夹角：,arccos|( |,|)|,0,.
第九章欧几里得空间
6
首页 上页 下页 返回 结束
(3) 度量矩阵
基 1 ,2 , ,n 的 度 量 矩 阵
(1,1) (1,2) A( aij)nn (2,1) (2,2)
(n,1) (n,2)
(1,n) (2,n)
对称变换的刻化:
矩阵是正交阵.
第九章欧几里得空间
14
首页 上页 下页 返回 结束
n 级 实 数 矩 阵 A 是 正 交 矩 阵 A A E . 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵; 设A (aij ),则A是正交矩阵
1, 当i j, a1ia1j a2ia2j anianj 0, 当i j.
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设 1,2, ,n是 欧 氏 空 间 V的 一 个 标 准 正 交 基 ,
9.4正交变换
必要性。若 σ 是正交变换，由定理9.4.2知 σα1 , σα 2 , 也是V的一个标准正交基。 故A是正交矩阵。
定理9.4.3 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是：σ 关于V的任意标准正交基的矩阵是正 交矩阵。 证明： 设 α1 , α 2 , , α n 是V的一个标准正交基，则 (σα1 , σα 2 , , σα n ) = (α1 , α 2 z ) = ( x, y, − z ) = x 2 + y 2 + z 2 = ( x, y, z )
定理9.4.1 设 σ 是n维欧氏空间V的一个线性变换。 σ 是 正交变换的充要条件是： σ 保持向量的内积不变。 证明：必要性。 如果 σ 是正交变换，即对 ∀α ∈ V , σα = α , ∀α , β ∈ V , 则有： (σα , σα ) = (α , α ), (σβ , σβ ) = ( β , β ),
§9.4
正交变换
§9.4
正交变换
一、正交变换的定义及性质 二、正交变换的类型
第九章 欧几里得空间
线性空间的线性变换，实际上是保持向量线性运算的变换。 在欧氏空间中，除了向量的线性运算外，还有向量的度量性质， 因此有必要讨论保持度量关系不变的线性变换。其中保持长度 不变的线性变换无疑是重要的。 例9.4.1 在欧氏空间 R 2 中有一个坐标旋转变换，在把平面 围绕原点逆时针旋转 θ 角之后，平面上向量之间什么关系保持 不变? 向量的长度、向量的夹角、向量的距离等保持不变。 能否在一般欧氏空间也找到具有这种性质的线性变换？ 这种线性变换就是本节要研究的正交变换。
σ −1 仍是V的一个正交变换。 解： 正交变换 σ 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵， 正交矩阵是可逆的，所以 σ 是可逆变换。
正交变换
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─ 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
(
)
{
i= j i≠ j
（2）若线性变换 σ 使V的标准正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 变 ） 的标准正交基
成标准正交基 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ，则 σ 为V的正 的正 交变换． 交变换． 证：任取 α , β ∈ V ,设
α = x1ε 1 + x2ε 2 + L xnε n β = y1ε 1 + y2ε 2 + L ynε n ,
∴ σ 是正交变换． 是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明（ ） 再证明（2）与（3）等价． ）等价．
( 2) ⇒ ( 3)
Q σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ),
∴ d ( σ (α ),σ ( β ) ) = σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ) = α − β = d (α , β )
即，(σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A 由于当A是正交矩阵时， 也是V的 由于当 是正交矩阵时，σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n 也是 的 是正交矩阵时 标准正交基， 标准正交基， 为正交变换． 再由 1 即得 σ 为正交变换．
§9.4 正交变换
高代第9章讲义
(α,α) 第九章Euclid(欧几里得)空间知识点考点精要一、欧几里得空间的基本概念1、设V 是实数域 R 上的线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α,β) ，它具有以下性质：（1） (α,β) = (β,α) ; （2） (k α,β) = k (α,β) ; （3） (α+ β,γ) = (α,γ) + (β,γ) ；（4） (α,α) ≥ 0, 当且仅当α= 0 时， (α,α) = 0 。
这里α,β,γ是V 中任意向量， k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2、向量的长度 α= 。
3、柯西 - 布涅柯夫斯基不等式对于欧氏空间V 中的任意向量α,β，有 (α,β) ≤ αβ。
当且仅当α,β线性相关时，等号成立。
4、非零向量α, β的夹角< α,β> 规定为 < α,β>= arccos (α,β),0 ≤< α,β>≤ π。
αβ5、如果(α,β) = 0, 称α与β正交，记为α⊥ β。
6、度量矩阵 设V 是 n 维欧氏空间，ε1 ,ε2 , ,εn 是⎨ V 的一组基，令 a ij= (εi ,εj )(i ,j = 1,2,.., n ) 矩阵 A= (a ij )n ⨯n 称为基ε1 ,ε2 , ,εn 的度量矩阵,⎛ (ε1 ,ε1 ) (ε1 ,ε2 ) (ε ,ε)(ε ,ε ) (ε1 ,εn ) ⎫ (ε ,ε ) ⎪A = 2 1222n⎪ ⎪ (ε ,ε) (ε ,ε )(ε ,ε ) ⎪⎝ n 1n2 n n ⎭1） 度量矩阵为正定矩阵； 2） 不同基的度量矩阵是合同的。
7、标准正交基1） ε1 ,ε2 , ,εn 是欧氏空间 V 的一组基，如果(ε,ε ) = ⎧1 (i = j )ij ⎩0 (i ≠ j ) ，那么称ε1 ,ε2 , ,εn 是V的一组标准正交基。
2） 标准正交基的度量阵是单位阵。
第四节正交变换
§4 正交变换
一、正交变换定义
定义 9 设 V 是欧氏空间，/A ∈ L(V)，且对 ∀α , β ∈ V，有
(/ A(α ), / A( β )) = (α , β )
则称/A 是欧氏空间 V 的正交变换．
二、正交变换的性质
，则下面四个命题等价： 定理 4 设 V 是欧氏空间，/A ∈ L（V） 1）/A 是正交变换； 2）/A 保持向量长度不变，即对 ∀α ∈ V ， | / A(α ) |=| α | ； 3）/A 把标准正交基变为标准正交基； 4）/A 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵；
三、正交变换的分类
设/A 是正交变换，/A/在某标准正交基下的矩阵是 A，若
A = 1 ，则称/A 是第一类正交变换；若 A = −1 ，则称/A 是第二
类正交变换．
例 2 设是欧氏空间中一单位向量，定义
/ A(α ) = α − 2(η , α )η
证明：1)/A 是正交变换。这样的正交变换称为镜面反射： 2）/A 是第二类的; 3）如果维欧氏空间中，正交变换/A 以 1 作为一个特征值， 且属于特征值 1 的特征子空间 V1 的维数为 n-1， 那么/A 是镜面反射。
二、欧氏空间同构判定定理
定理 3 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的 维数相同．
注意： 1）正交变换是可逆变换；
2）正交变换是同构变换；
3）正交变换的逆变换是正交变换；
4）正交变换的乘积是，但反之不真，即保持长 度未必是正交变换；
6）正交变换是保角变换，但反之不真； 7）平面旋转变换是正交变换．
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
欧几里得空间中的正交基与正交变换欧几里得空间是一个重要的数学概念，它涉及到向量、点、线和平
面等几何图形的性质与关系。
在欧几里得空间中，正交基和正交变换
是其中两个重要的概念。
本文将对欧几里得空间中的正交基和正交变
换进行探讨，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、正交基
在欧几里得空间中，正交基是指一组向量中的每两个向量都相互垂直。
更具体地说，如果向量v₁、v₂、...、vₙ满足vᵀᵢ·vₙ=0（其中
1≤i≠j≤n，vᵀ表示向量的转置），则称这组向量为正交基。
正交基的一个重要性质是它们是线性无关的，这意味着没有任何一
个向量可以表示成其他向量的线性组合。
因此，正交基可以作为欧几
里得空间的一个基础，用来描述和计算向量的性质和关系。
在实际应用中，正交基有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，使用正交基可以轻松地描述和转换三维空间中的物体位置和方向；在
信号处理中，正交基可以用来表示和处理复杂的信号和波形；在机器
学习中，正交基可以用来降低数据的维度和提取有效特征等。
二、正交变换
正交变换是指在欧几里得空间中保持向量长度和夹角不变的线性变换。
简单来说，正交变换是一种保持形状不变的变换。
正交变换的一个重要特性是它可以保持向量的正交性。
也就是说，
如果两个向量在变换前相互垂直，那么它们在变换后仍然相互垂直。
这一性质使得正交变换在几何学和物理学中得到广泛应用。
常见的正交变换包括旋转、反射和投影等。
通过这些变换，我们可
以改变向量的方向、位置和维度等属性，从而得到新的向量和图形。
正交变换还有一些特殊的性质。
例如，正交变换的逆变换是它本身
的转置矩阵。
这个性质使得正交变换比较容易求解和应用。
结语
正交基和正交变换是欧几里得空间中的两个重要概念，它们在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
正交基可以作为描述和计算
向量性质的基础，而正交变换可以保持向量的长度和夹角不变，用于
改变和操作向量的属性。
通过理解和应用正交基和正交变换，我们可以更好地理解欧几里得
空间中的几何性质，并且能够应用于各个领域的实际问题。
希望本文
的介绍能够帮助读者对这两个概念有更深入的了解，并且能够在实际
应用中灵活运用。