数学物理方程 谷超豪 课后答案

第一章．波动方程

§1方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程

),(t x u ()⎟⎠

⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中为杆的密度，为杨氏模量。

ρE 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。现在计算这段杆在时

x +x x ∆刻的相对伸长。在时刻这段杆两端的坐标分别为：

t t )

,();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于)

,()],([)],([t x x u x

x

t x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令

，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于

0→∆x x x u ),(t x ),(t x T )

,()(),(t x u x E t x T x =其中是在点的杨氏模量。

)(x E x 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为

),(x S ),(x x x ∆+x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).

,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得

x ∆0→∆x tt u x s x )()(ρx

∂∂

=

x ESu ()若常量，则得

=)(x s =22)(t

u x ∂∂ρ)((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为

l x x ==,0.

0),(,0),0(==t l u t u (2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边l x =l x =x

u

x E t l T ∂∂=)

(),(l x =界条件为

|=0x

u

∂∂l x =同理，若为自由端，则相应的边界条件为

∣0=x x

u

∂∂00==x (3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移

l x =由函数给出，则在端支承的伸长为。由虎克定律有

)(t v l x =)(),(t v t l u −∣x

u

E

∂∂)](),([t v t l u k l x −−==其中为支承的刚度系数。由此得边界条件

k ∣其中)(

u x

u

σ+∂∂)(t f l x ==E

k =

σ特别地，若支承固定于一定点上，则得边界条件

,0)(=t v ∣。)(

u x

u

σ+∂∂0==l x 同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件

0=x ∣x u

E

∂∂)](),0([0t v t u k x −==即

∣)(u x

u

σ−∂∂).(0t f x −=3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2

222)

1(])1[(t u

h x x u h x x E ∂∂−=∂∂−∂∂ρ其中为圆锥的高(如图1)

h 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径为：

l h

x

l −

=1

所以截面积。利用第1题，得2

)1()(h

x x s −

=π1([)1()(2222x u h x E x

t u h x x ∂∂−∂∂

=∂∂−ππρ若为常量，则得

E x E =)(22

221(1[(t

u h x x u h x x E

∂∂−=∂∂−∂∂ρ4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为

l ρx )(x T )

()(x l g x T −=ρ且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻沿垂直于)(x T x ),(t x u t x 轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为

),,(x x x ∆+u )

(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+−−θρθρ其中表示方向与轴的夹角

)(x θ)(x T x 又.

sin x u tg ∂∂=

≈θθ于是得运动方程

∣∣x u x x l t

u x ∂∂∆+−=∂∂∆)]([22ρx u

x l g x x ∂∂−−∆+][ρg

x ρ利用微分中值定理，消去，再令得

x ∆0→∆x 。

)[(2

2x u

x l x g t u ∂∂−∂∂=∂∂5.验证

在锥>0中都满足波动方程

2

221

),,(y x t t y x u −−=

2

22y x t −−222222y

u

x u t u ∂∂+∂∂=∂∂证：函数在锥>0内对变量有

2221

),,(y x t t y x u −−=

2

22y x t −−t y x ,,二阶连续偏导数。且

t

y x t t

u ⋅−−−=∂∂−

23

222)(2

2522223

2222

2

)(3)(t y x t y x t t u

⋅−

−+−−−=∂∂−

−

)

2()(2222

3222y x t y x t ++⋅−−=−

x

y x t x

u ⋅−−=∂∂−

23

222)(()(

)

2

25222232222

2

3x y x t y x t x

u −

−

−

−+−−=∂∂(

)()22225

2222y x t y x t −

+−−=−

同理

()()222252222

22y x t y x t y u

+−−−=∂∂−所以

()(

).

2222

22252222

22

2t u

y

x t y x t y

u x

u ∂∂=+

+−−=∂∂+

∂∂−

即得所证。

6.在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)

与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b),但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.

解:利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质()x x x ∆+,量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为t

u

b

∂∂−()x x x ∆+,()()t

u

x

x s x p b ∂∂∆⋅⋅−运动方程为:

()()()()t u x

x s x b x x u ES t u ES t u

x x s x x x ∂∂∆⋅−∂∂−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂=∂∂⋅

∆∆+ρρ2

2