数列最值问题
高考数学压轴数列的最值题型分类专题
高考数学压轴数列的最值题型分类专题题型一、求数列n a 的最大项、最小项求解数列的最大项最小项通常采用 ①利用均值不等式求最值②解不等式组 1+≥n n a a ，1-≥n n a a ③构造函数利用单调性法④根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小项.1. 基本不等式法例1.已知数列{}n a 的通项公式为1562+=n na n ，，求{}的最大值n a2.解不等式组例1.已知数列{}n a 的通项公式为1562+=n na n ，，求{}的最大值n a变式练习：（1） 已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.（2）已知等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且15,1054≤≥T T ,求的最大值4a（3）已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.（4）已知数列}{n a 的通项公式nn n n a 11)1(10+=，试求出该数列的最大项.3.构造函数利用单调性 （若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列）例 1 数列}{n a 中，20172016--=n n a n ,则该数列中的最大项与最小项分别是__________例2. 设函数)1x 0(log log )x (f 2x x 2<<-=数列{}n a 满足),2,1n (,n 2)2(f na==（1）求n a 。
（2）求{}n a 的最小项变式练习： （1）已知)N n (98n 97n a n*∈--=则在数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是_____。
（2） 已知)N n (n131211S n *∈++++= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。
（3） 已知数列)N n (156n n a 2n*∈+=，则该数列中的最大项是第几项？（4） 已知无穷数列{}n a 的通项公式nn n 10)1n (9a +=，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。
数列中最值问题的五种求解策略
解题篇创新题！溯源高二数学2020年10月中孝生皋捏化冷豹忡髓诃斛釘bE絲■安徽省霍邱县第一中学樊振华余其权数列求最值常用的方法有观察法、不等式法、构造函数、数形结合法、单调性法等五种方法，下列举例说明"一、观察法!!(2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试)已知数列｛##｝中，前#项和为■#2#S#，且S#=^—##，则-#(n d且n$N%*3##1的最大值为(*A.一3B.一1C.3D.1n+4解析：当n(2时,S#——3—##S#1=#+13a#1o#——1#——1两式作差可得##=^##—-^##1##九+11+1##1n一1n一1°故当n=2时取得最大值3,选C"##1评注：根据题意，求—的表达式，直##1接观察即可得到其最大值(二、式法!2已知首项为3的正项数列｛##｝满足(##+1+##)(##+1—##*=3(##+1)(##—1*记数列｛1。
61(##—1*的前#项和为S#,则使得S#>440成立的n的最小值为°解析：依题意得##+1—4##—3,n$N%,故##+1—1—4##—4=4(##—1*"令&#=##一1所以&#+1=4&#°因此，数列｛&#｝是等比数列，首项为&1= #1—1=8,公比为4,即&#=&1-4#1=8X 24#故log(##—1*—log&#—log24n+1 2”+1,S#=#(3+#+1*=n2+2n令#+2#—440>0,即n+22)n—20* >0,解得n>20或#<一22(舍去*"由于n$N%，故n的最小值为21"评注：由题意解出S#，解不等式S#> 440，即可得出n的取值范围，得到最小值(三、构造函数法!#有一列向量+#｝'1=('1,$1*, !4=('4,$4*,■.?!#—('#?$#*，如果^A第—-项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量,那么这列向量称为等差向量列"已知等差向量列｛a#｝,满足!1—(—20,13*03—(—1815*,那么这列向量｛!#｝中模最小的向量的序号n=°解析:由题意可得:a3—a1—(—18,15*—(—20,13*=(2,2*"则每一项与前一项的差所得的是同一个向量(11*结合等差向量列的定义和等差数列通项公式可得：'#=一20+ (、n一1*X1=n一21,$#= 13+(#—1*X1=n+12"则a#=n—21,"+11*"这列向量｛a#｝的模：.a#|—//n一21*4+(#+12*4=//#一18#+585。
等差数列中的最值问题
1.等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式： 等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d
当d≠0，an=dn+a1-d是n的一次函数 ， 是 的一次函数 2.等差数列的前n项和公式 2.等差数列的前n项和公式： 等差数列的前 项和公式：
n(a1 + an ) Sn= 2
或 Sn=
n( n − 1) na1 + d 2
d 2 d n + (a1 − )n n的二次 当d≠0， Sn= ， 是 的二次 2 2
函数。 函数。
在等差数列{a 中 在等差数列 n}中
a1 > 0, d < 0, Sn有最
an ≥ 0 ) 值(填大或小 an+1 ≤ 0
an ≤ 0 a1 < 0, d > 0, Sn有最 值（填大或小） an+1 ≥ 0
在等差数列｛ 【 问题 2】 在等差数列｛ a n ｝ 中 ， a1 = 26 ， S9 =S18 , 求使 S n ＞０时 n 的最大值
变式训练 是等差数列， 若{an}是等差数列，a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0 是等差数列 求使前n项和 最大的自然数n。 项和S ①求使前 项和 n最大的自然数 。 求使前n项和 项和S 成立的最大自然数n。 ②求使前 项和 n>0成立的最大自然数 。 成立的最大自然数
作业
1.等差数列｛an｝的前 项和 n，且Sm=Sn，Sm+n=—— 等差数列｛ 的前n项和 项和S 等差数列 2．设等差数列 n}的前 项和为 n，已知 3=12，S12>0,S13<0. 的前n项和为 ．设等差数列{a 的前 项和为S 已知a ， (1)求公差 的取值范围 求公差d的取值范围 求公差 的取值范围; (2)指出 1，S2，…Sn中哪个值最大，并说明理由。 指出S 中哪个值最大，并说明理由。 指出
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
数列中的最值问题课件
解决实际问题的方法
利用数学函数和公式
通过运用数学函数和公式，可以解决数列中最值问题，为实际问 题的解决提供有效途径。
利用计算机软件
借助计算机软件进行数值模拟和分析，可以快速求解数列中的最值 问题。
利用统计学方法
通过统计学方法，可以估计数列中的最值出现的概率，从而更好地 解决实际问题。
最值问题在金融中的应用
决策问题：在决策科学 中，最值问题也是非常 重要的工具。例如，在 风险评估和决策分析中 ，需要用到最值来衡量 极端情况下的风险和收 益。
THANKS
感谢观看
要点三
中心极限定理
中心极限定理是概率论中的另一个重 要定理，它描述了在独立随机试验中 ，随着试验次数的增加，试验结果的 平均值将逐渐接近正态分布。在数列 中，可以利用中心极限定理来求解一 些随机变量的最值问题。
06
数列中的最值问题的总结 与展望
最值问题的总结与回顾
最大值与最小值
01
数列中的最大值和最小值是两个最基本的最值问题，它们通常
05
数列中的最值问题的扩展
最值问题的多变量扩展
变量扩展
在数列中，最值问题通常涉及多个变量，需要对多个变量 进行优化。多变量最值问题需要找到一组变量的最优组合 ，使得这组变量的函数值达到最小或最大。
约束条件
多变量最值问题通常存在各种约束条件，如非负约束、等 式约束、不等式约束等。需要在满足约束条件下，求解最 值问题。
等差数列中的最值问题
定义
等差数列中的最值问题是指在 等差数列中寻找满足条件的最
大值或最小值。
性质
等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为 首项，$d$为公差。
专题08 数列中的最值问题【解析版】
第二章数列与不等式专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．【压轴典例】例1.（河南省开封市2019届高三第三次模拟（理)）已知等比数列满足：，，则取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为当时，，则当时，，两式相减得：即解得又当且仅当时，等号成立.取最小值1时，故选A.例2.（安徽省黄山市2019届高三第二次检测）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.例3.（2016高考上海文）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】max 4k =【解析】当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =. 例4.（广西柳州市2019届高三1月模拟）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____【答案】【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，，则，是首项为，公差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为.例5.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为__ __.【答案】【解析】，，所以，，，，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故.例6.（2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.例7.（2019·天津高考模拟（文））已知数列{}n a 是正项等比数列，1342310,2a a a a a +=-=,数列{}n b 满足条件123(2)n b n a a a a =.(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设11n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和n S . ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意n *∈N ，均有k n S S ≥.【答案】（1）2nn a =，()1;n b n n =+（2）①11;12nn S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭②4k =.【解析】（1）设数列{}n a 是正项等比数列的公比为0q >，因为1310a a +=，4232a a a -=所以有1113211110222a a q a a q a q a qq +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以2;nn a = (1232nb n a a aa =2312322222n n b b n n +++⋅⋅⋅+⇒⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⇒=(1)2222(1);n b n n n b n n +⇒=⇒=+（2）①因为 11n n nc a b =-， 所以，123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+，123123()()n n n S a a a a b b b b ⇒=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+，11[1()]111122[],1122334(1)12n n S n n -⇒=-+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+-111111111()(1),2223341n n S n n ⇒=---+-+-+⋅⋅⋅+-+11111()1().2112n n n S n n ⇒=--+=-++②令11111111(1)(2)2()()22122(1)(2)n n n n n n n n S S n n n n ++++++--=--+=++⋅++， 由于12n +比(1)(2)n n ++变化的快，所以10n n S S +->，得4n <， 即1234,,,S S S S ,递增而456,,,,n S S S S ⋅⋅⋅递减，4S ∴是最大， 即当4k =时，对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.例8.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【压轴训练】1．（2019·安徽高考模拟（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】C 【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.2．（2019·北京师大附中高考模拟（文））已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a 12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．3.（2019·北京高三期末（理））已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差___；的最大值等于___. 【答案】 12【解析】由a 2＝4，a 3+a 5＝0得得，则S n ＝6n（﹣2）＝﹣n 2+7n ＝﹣（n ）2，则当n ＝3或4时，S n 取得最大值，最大值为S 3＝﹣9+21＝12， 故答案为：﹣2，124.（2019·山东枣庄八中高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式2221286n a a a +++＜成立的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】根据题意，数列{}n a 满足12n n S a +=， 当1n =时，1121a a =+，得11a =，当2n ≥时，()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，所以12nn a a -= 又∵11a =满足上式，即{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列则12n n a -=， 则214n n a -=，则数列{}2na 是以1为首项，4为公比的等比数列，则()()22212114141143n nn S a a a -=+++==--，若2221286n a a a +++<，则有()141863n-<， 变形可得：4259n <，又由*n N ∈，则4n ≤，即n 的最大值为4； 故选：B ．5.（2019·江苏高考模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：6.（2019·广东高考模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=10，S 8=36，当n∈N *时，nn 3a S +的最大值为______． 【答案】71 【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，设首项为1a ，公差为d ，则11434102878362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a d ==，所以，所以(1)2n n n S +=， 则2322(3)(4)1271272nn a n n n n S n n n n+===++++++，当12n n +取最小值时，3n n a S +取最大值，结合函数()12(0)f x x x x =+>的单调性，可得当3n =或4n =时，317n n max a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：71． 7.（2019·天津高考模拟（文））已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：18.（2019·江苏金陵中学高考模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3， 由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+ ，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10. 故答案为：109.（2019·江苏扬州中学高考模拟）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______. 【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t t λ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-.10.（2019·福建高考模拟（理））在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10 【解析】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值．11.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈12.（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析： （1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.13．（2018·河南高三期中（文））已知非零数列{}n a 满足*13()n n a a n +=∈N ，且1a ，2a 的等差中项为6．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求12233411111n n b b b b b b b b +++++…取值范围． 【答案】(1) 3nn a = (2) 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()*13n n a a n N +=∈，得{}na 为等比数列且公比3q =.设首项为1a ，12,a a 的等差中项为6，即1212a a q +=，解得13a =，故3nn a =.(2)由32log 2na nb n ==得到：()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， ∴1223341111111111111114223141n n b b b b b b b b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为11141n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭可以看成关于n 的单调递增函数，所以n=1时，最小为18，且1111414n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， ∴1223341111111,84n n b b b b b b b b +⎡⎫++++∈⎪⎢⎣⎭. 14.（2019·湖南高考模拟（文））已知数列{}n a 的首项13a =，37a =，且对任意的n *∈N ，都有1220n n n a a a ++-+=，数列{}n b 满足12n nb a -=，n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使122018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值.【答案】（Ⅰ）21n a n =+，21nn b =+;（Ⅱ）10【解析】（Ⅰ）令1n =得，12320a a a -+=，解得25a =. 又由1220n n n a a a ++-+=知211n n n n a a a a +++-=- 212a a ==-=，故数列{}n a 是首项13a =，公差2d =的等差数列，于是21n a n =+，1221n nn b a -==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21nn b =+.于是11n n T b b b =+++ ()122222n =++++ ()12122212n n n n +-=+=+--.令()122n f n n +=+-，易知()f n 是关于n 的单调递增函数，又()1092921031f =+-=，()111021022056f =+-=，故使112018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值是10.15.（2019·山东日照一中高三期中（理））已知数列{a n }中，1123123n a a a a na =+++⋯+=，（n∈N *）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{n 2a n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）对任意n∈N *，使得恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)【解析】（Ⅰ）[证明]：由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1=（n≥2），①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{na n }是等比数列，又a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 2=1，则2a 2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴T n =1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n ﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N *恒成立．当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．16.（2019·山东高考模拟（文））已知数列的各项均为正数，，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】（1）由题意得：，即数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列（2）由（1）得：，即或（舍去）所以不小于的的最小值为。
数列通项的最值问题
数列通项的最值问题
数列通项的最值问题主要包括以下几种类型：
一、求解数列通项的极大值或极小值
这类问题要求我们在给定数列通项公式的基础上，找到使函数取得最大值或最小值的参数值。
这通常涉及到对数列通项公式求导，然后令导数为零求解方程。
二、求解数列的单调区间
这类问题要求我们分析数列通项在某一区间内的单调性。
我们可以通过对数列通项求导，分析导数的正负来判断函数的单调性。
三、求解数列通项的最值问题
这类问题要求我们找到数列通项在定义域内的最大值或最小值。
这可以通过研究数列的性质，例如寻找增长或减小的规律，或者利用数学方法如求导、积分等来解决。
四、求解数列的前n项和的最值问题
这类问题要求我们找到使数列前n项和取得最大值或最小值的参数值。
这通常涉及到对数列通项求和公式进行化简，然后利用不等式或求导等方法求解。
五、求解数列与不等式的最值问题
这类问题要求我们找到满足给定不等式的最大值或最小值。
这可以通过将不等式转化为数列通项的形式，然后利用数列性质求解。
六、求解数列在特定条件下的最值问题
这类问题要求我们在给定特定条件下，找到数列通项的最大值或最小值。
这通常需要根据条件建立数学模型，然后利用数学方法求解。
总之，数列通项的最值问题是数学中的一个重要研究领域，涉及多种数学知识和方法。
在解决这些问题时，我们需要灵活运用各种数学工具，分析数列的性质，以找到满足条件的最值。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
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数列最值问题数列的最值问题教学目的1、会通过研究数列}{a通项的规律，判断其n前n项和S的最值情况；n2、会利用函数思想研究数列的最值问题；3、会利用求数列中最大（小）项的一般方法研究数列的最值问题；4、体验数列问题和函数问题之间的相互联系和相互转化。
数列的最值问题是一类常见的数列问题，是数列中的难点之一，也是函数最值问题的一个重要类型，数列的最值问题大致有以下2种类型：类型1求数列}a的前n项和n S的最值，主要是两种思{n路：（1）研究数列)(n f的项的情况，判断n S的最an值；（2）直接研究nS 的通项公式，即利用类型2的思路求nS 的最值。
类型2求数列}{na 的最值，主要有两种方法：（1）利用差值比较法若有)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则nn a a >+1，则121n n a a a a +<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅，即数列}{na 是单调递增数列，所以数列}{na 的最小项为)1(1f a =； 若有)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则nn a a <+1，则121n n a a a a +>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅，即数列}{na 是单调递减数列，所以数列}{na 的最大项为)1(1f a =.值；（2）利用商值比较法若有0)(>=n f an对于一切n ∈N*成立，且1)()1(1>+=+n f n f a a n n ，则nn a a>+1，则121n n a aa a +<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{na 的最小项为)1(1f a =；若有0)(>=n f an对于一切n ∈N*成立，且1)()1(1<+=+n f n f a a n n ，则nn a a<+1，则121n n aa a a +>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{na 的最小项为)1(1f a =.例1、在等差数列}{na 中，1,101-==d a，nS 为}{na 前n项和，求nS 的最大值。
解法1：研究数列na 的正数与负数项的情况110≤⇒≥n a n ，又011=a，∴当n=10或n=11时，nS 取到最大值55。
解法2：821)221(2122+--=n S n ，∴当n=10或n=11时，nS 取到最大值55。
练习：已知等差数列{}na （d<0）其前n 项和为nS ，若179S S=，问{}n S 中哪一项最大？解：因为179S S = 0a a a171110=+++∴又因为1413151216111710a a a a a a a a +=+=+=+0a a 1413=+∴，因为d<0所以数列{}na 单调递减，于是0a ,0a1413<> 14S ∴最大例2、已知函数xxx f 63)(2+-= ，S n 是数列}{na 的前n项和，点（n ，S n ）（n ∈N*）在曲线)(x f y =上. （Ⅰ）求数列}{na 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n nb，6n n na b c⋅=，且T n 是数列}{nc 的前n项和. 试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n ，S n ）在曲线)(x f y =上，又xxx f 63)(2+-=，所以nn Sn632+-=.当n =1时，311==S a . 当n >1时，1--=n n nS S a,69)]1(6)1(3[)63(22n•n n n n -=-+---+-=所以na n69-=.（Ⅱ）因为•••n n b a •••c •n b n n n n n n ,)21)(23(6)21)(69(61,1)21(1-=-==-=- ①所以,)21)(23()21)(3()21)(1(2132•n T n n -++-+-+=②,)21)(23()21)(3()21()1()21(211432•n T n n +-++-++-+= ③②－③得132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .整理得1)21)(12(-+=n nn T， ④策略一 利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T，所以.)21)(21()21)](12(23[)21)](12()21)(32[()21)(12()21)(32(11•n n n ••••••••n n ••••••••n n T T n n nn n n n-=+-+=+-+=+-+=-++因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n，所以01<-+n n T T所以nn T T<+1，所以>>>>>>+1321n n T T T T T. 所以T n 存在最大值.211•T=策略二 利用商值比较法由④式得0)21)(12(1>+=+n nn T .因为,)12(22)12()12(232)21)(12()21)(32(1111•n n n n n n T T n n n n +++=++=++=++++165)1221(21)1221(21<=++≤++=n 所以111+<++n n T T ，即nn T T <+1.所以>>>>>>+1321n n T T T T T /所以T n 存在最大值211=T.练习：1.(2014杭州市一模数学（理）试题）设数{}na 满足：123()n n a a a a n a n N *+++⋅⋅⋅+=-∈．(I)求证：数列{}1na -是等比数列；(Ⅱ)若(2)(1)nn bn a =--，且对任意的正整数n ，都有214nbt t +≤，求实数t 的取值范围．2.（浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-.(Ⅰ)证明:数列2nna ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列; (Ⅱ)若不等式na n n)5(322λ-<--对*∈∀N n 恒成立,求λ的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)当1n =时,21122Sa =-得14a=122n n n S a +=-,当2n ≥时,1122nn n Sa --=-,两式相减得1222nn n n a a a -=-- 即122nnn aa -=+,所以1111111112211222222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a ---------+-=-=+-= 又1122a=,所以数列2nna ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,1为公差的等差数列3.已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n nan N =∈（1）求数列}{na 的通项公式； （2）设12,2nnn n na bT b b b ==++⋅⋅⋅+，若11nm Tm +<-对一切*N n ∈均成立，求m 的范围； 解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n an n∈-==-（2）由（1）得nnn b 212-=， n n nn n T2122322523211321-+-++++=∴-①1132212232252232121+--+-+-+++=n n n nn n n T ② ①-②得11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n . nn n nn n T23232122132+-=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n∈+=，则由1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f nn得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→nT又11n m T m +<-恒成立，13121m m m +≥⇒<≤- 4.在数列}{na 中，)111(,111+-==+n a an a n (n ∈N*)，（Ⅰ）求数列}{na 的通项公式；（Ⅱ）若对于一切n >1的自然数，不等式12212log(1)123n n n a a a a ++++⋅⋅⋅+>-+恒成立，试求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）因为•n an )111(1+-=+，a n (n ∈N*)，a =1，所以a n >0. 所以11+=+n na a n n . 所以11112211121121a na n n n n a a a a a a a a n n n n n =•--•-=••=--- . 而a 1=1，所以na n 1=.（Ⅱ）设nn n na a a b221+++=++ (n ∈N*)，m由（Ⅰ）知nan1=，所以nn n bn212111+++++=，所以2211212131211+++++++++=+n n n n n b n ，所以0)22)(12(1111211211>++=+-+++=-+n n n n n b b n n .所以数列}{nb 是单调递增数列. 所以当2≥n 时，b n 的最小值为1272211212=+++=b.所以要使对于一切n >1的自然数，不等式32)1(log 121221+->+++++a a a a a n n n 恒成立，则需且只需)1(log 121127->a a 32+，则1)1(log-<-a a. 所以aa 110<-<，解之得2511+<<a .故所求实数a 的取值范围为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<2511a a .。