2014年高三第一次诊断考试数学(理)试题
乌鲁木齐地区2014年高三年级第一次诊断性测验
∴
„10分Байду номын сангаас
∴
即 即
„①
„② „③
为增函数∴ 为增函数∴ 成立；
„6分
24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知关于x的不等式 的解集不是空集. （ I ）求参数m的取值范围的集合M； （ II）设a,b M,求证：a+b<ab+1.
（Ⅰ）设函数 则 画出其图象可知
要使不等式 的解集不是空集，需且只需 ∴m的取值范围的集合 „5分 （Ⅱ）∵ 又∵ ∴ ∴ ∴
乌鲁木齐地区2014年高三年级第一次诊断性测验 理科数学（问卷） 一 、选择题：共12小题，每小题5分。在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A={x A．{x } B. {x 【答案】选B
【解析】∵ ， ∴
},B={x },则A （ ）= } C.{x } D. {x
}
（Ⅰ）由直线 经过椭圆 短轴端点 和右焦点 ∴
的顶点和焦点F可得 ,
故椭圆C为
为
„5分
21. 已知函数f(x)=ex-e-x(x R)
（ I ）求证：当x≥0时， ； （ II）试讨论函数H(x)=f(x)-ax(x R)的零点个数.
（
Ⅰ）令
则
，
∵
∴ ∴函数 ∴函数 即当 时 ∴函数
当
时，
为增函数∴
（Ⅰ）工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000,5000,7000,9000,11000.X取这些 值的概率依次为0.15,0.3,0.4,0.1,0.05.算得与其相对应的“全月应纳税所得额” 依次为0,1500,3500,5500,7500（元），按工资个税的计算公式，相应的工资个税 分别为：0, , , , （元） ∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为 元
四川省绵阳市2014届高三第一次诊断——数学(理)
绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCDC ABBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．613．514．21()e e， 15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ） cos x ≠0知x ≠k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(m ax +=x f ． ……………………………………………………………8分（II ）由题意得1)4πx +≥0，即sin(2)4πx +解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ， 整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠k π，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x <k ππ+，k ∈Z }．………………………………………………12分 17．解：（I ）设{a n }的公差为d ，则由题知⎩⎨⎧=+++=+，，4874143111d a d a d a 解得a 1=2，d =4． ……………………………………4分 ∴a n =2+4(n -1)=4n -2．…………………………………………………………6分 （II ）设{b n }的公比为q ，若q =1，则S 1=b 1，S 2=2b 1，S 3=3b 1，由已知312322S S S +=⨯，代入得8b 1=4b 1，而b 1≠0，故q =1不合题意．…………………………………………………………7分 若q ≠1，则S 1=b 1，q b S -=)1(212，q b S -=)1(313，于是23111(1)(1)22311b q b q b q q--⨯⨯=+--，整理得：4q 2=3q +q 3，解得q =0（舍去），q =1（舍去），q =3， ………10分 ∴8031)31(244=--⨯=S ． ………………………………………………………12分18．解：（I ）由已知A =2，且有3)0sin(2=+⋅ϕω，即23sin =ϕ， 由|ϕ|<2π得3πϕ=．又∵ 最高点为(1，2)， ∴ ，2)3sin(2=+πω 解得6πω=．∴ )36sin(2ππ+=x y ．…………………………………………………………6分（II ）∵ B 点的横坐标为3，代入函数解析式得2sin(3)63B ππy =⨯+=1，∴ 2)34(122=-+=BD ．…………………………………………………8分 在△BCD 中，设∠CBD =θ，则∠BDC =180º-120º-θ=60º-θ． 由正弦定理有)60sin(sin 120sin θθ-︒==︒BCCD BD ， ∴ θsin 362=CD ，)60sin(362θ-︒=BC ， …………………………………9分 ∴ )]60sin([sin 362θθ-︒+=+CD BC ]sin 21cos 23[sin 362θθθ-+=)3sin(362πθ+=． ∴ 当且仅当6πθ=时，折线段BCD 最长，最长为362千米．…………12分 19．解：（I ）由于f (3+x )=f (-x )知函数f (x )关于23=x 对称， 即232=-b ，解得b =-3，于是 f (x )=x 2-3x +2．………………………………3分 22111()111x x x g x x x ⎧-≤-≥⎪=⎨--<<⎪⎩，或，，， 当x ≤-1，或x ≥1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥x 2-1，解得x ≤1， ∴ 此时x 的范围为x ≤-1，或x =1．当-1<x <1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥1-x 2，解得x ≤12或x ≥1， ∴ 此时x 的范围为-1<x ≤21．∴ 综上知，使不等式f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |x ≤12或x =1}． ………………………………………………………………7分（II ）⎩⎨⎧<<-+≥-≤++=，，，或，1151132)(2x bx x x bx x x h若b=0时，22311()51 1.x x x h x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩，或，，显然h (x )>0恒成立，不满足条件．…………………………………………………………………9分 若b ≠0时，函数ϕ(x )=bx +5在(0，1)上是单调函数， 即ϕ(x )在(0，1)上至多一个零点，不妨设0<x 1<x 2<2．①如果0<x 1<1，1≤x 2<2时，则0)1()0(<ϕϕ，且(1)(2)h h ≤0，即50(5)(211)0b b b +<⎧⎨++≤⎩，，解得112-≤5b <-． 经检验211-=b 时，)(x h 的零点为1011，2（舍去），∴112-<5b <-． ②若1≤x 1<x 2<2时2(1)1(2)0124240h h b b ≥⎧⎪>⎪⎪⎨<-<⎪⎪->⎪⎩，，，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<<->+≥+，或，，，626248011205b b b b b 得：-5≤b <- ∴ 综上所述b的取值范围为112b -<<- ……………………………12分 20．解：（I ）由02312>-+x x 解得221<<-x ．即)221(，-=M ．……………2分∵x x x x x f 24)2(3243)(22⋅-⋅=-⋅=+， 令2x =t ，则422<<t ， 34)32(343)()(22+-=-==t t t t g x f ， ∴ g (t )在)422(，上是增函数． ∴ g (t )在)422(，上无最小值，即f (x )在M 上无最小值． ……………………………………………………7分（II ）∵0)1()1(2)(222>+-+='x x tx x g ，∴ g (x )在M 上是增函数． ……………………………………………………8分 设1+tx -x 2=0的两根为α，β(α<β)，则α+β=t ，αβ=-1，M =(α，β)． 于是1212)()(22+--+-=-ααββαβt t g g )1)(1()1)(2()1)(2(2222+++--+-=βαβααβt t 12)()())(()(2)(222+-+++-----=αββααββαβαβαβααβt224)()(4t t +----=βαβα=αβ- αββα4)(2-+=42+=t ．由题意知，要使原不等式恒成立，只需342<+t ，解得[t ∈．……………………………………………………………………………13分21．解：（I ）∵a x e x f x --=')(，∴ a f -='1)0(．于是由题知1-a =2，解得a =-1． ∴ x x e x f x +-=221)(． ∴ (0)1f =，于是1=2×0+b ，解得b =1．……………………………………………………4分 （II ）由题意0)(>'x f 即0>--a x e x 恒成立， ∴ x e a x -<恒成立．设x e x h x -=)(，则1)(-='x e x h ．∴ min ∴ a <1．…………………………………………………………………………9分 （III ）由已知ax ax e x ax ax x e x g x x --=+---=22222121)(， ∴ a ax e x g x --='2)(．∵ x 1，x 2是函数g (x )的两个不同极值点（不妨设x 1<x 2），∴ a >0（若a ≤0时，0)(>'x g ，即g (x )是R 上的增函数，与已知矛盾），且0)(1='x g ，0)(2='x g ． ∴ 0211=--a ax e x ，0222=--a ax e x ． 两式相减得：21212x x e e a x x --=，于是要证明a xx 2ln 221<+，即证明2122121x x e e ex x x x --<+， 两边同除以2x e ，即证21212121x x e e x x x x --<--，即证(x 1-x 2)221x x e ->121--x x e ，即证(x 1-x 2)221x x e --121x x e -+>0，令x 1-x 2=t ，t <0． 即证不等式012>+-t t e te 当t <0时恒成立．设2()1t t φt te e =-+，∴ ttt e e t et -⋅⋅+='21)(22ϕ t te e t-+=2)12( )]12([22+--=tee t t ． ∵由(II)知122+>t et ，即0)12(2>+-te t， ∴ ϕ(t )<0，∴ ϕ(t )在t <0时是减函数．∴ ϕ(t )在t =0处取得极小值ϕ(0)=0． ∴ ϕ(t )>0，得证． ∴ a x x 2ln 221<+．……………………………………………………………14分。
2014年甘肃省高三第一次诊断考试理科数学(解析版)
甘肃省2014年高考数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合{5}{20}A x Z x B x xA B =∈=≥⋂＜，﹣，则等于（ ） A ．25（，） B ．[25，） C ．{}234，， D ．{}345，，解析 A={x ∈Z||x|＜5}={x ∈Z|﹣5＜x ＜5}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x ﹣2≥0}，∴A ∩B={2，3，4}，故选：C ．2．（5分）（2014•甘肃一模）复数21()1i i -+（i 是虚数单位）化简的结果是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 解析==（）2=（﹣i ）2=﹣1． 故选：B ．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．3 解析 由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．4．（5分）从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M x y （，），则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．16解析 可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）==．所以P （A ）=．故选：B ．5．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a ﹣，则8S =（）A ．72B ．68C ．54D ．90解析 在等差数列{a n }中，∵a 4=18﹣a 5，∴a 4+a 5=18，则S 8=4（a 1+a 8）=4（a 4+a 5）=72故选：A6．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9解析 由程序框图可看出：S=1×23×25×…×22n+1=23+5+…+（2n+1）==， 由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n 2+2n ＞6，解得n=3，∴i=2n+1=7．故应输出i 的值是7．故选：C ．7．（5分）设lg lg 2a e b e c ===，（）， ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>解析 ∵1＜e ＜3＜， ∴0＜lge ＜1，∴lge ＞lge ＞（lge ）2．∴a ＞c ＞b ．故选：C ．8．（5分）（2014•甘肃一模）已知点P x y （，）满足线性约束条件21x x y ≤⎧⎪⎨⎪-⎩y ＋x ≥≤1，点31M O （，），为坐标原点，则OM OP ∙的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 解析 设z=•，则z=3x+y ，即y=﹣3x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点A 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A （3，2），此时z=3x+y=3×3+2=11，故•的最大值为11，故选：B ．9．（5分）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．36 解析 展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C 9r x 18﹣3r 令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B ．10．（5分）（2014•西藏一模）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两条渐近线均和圆C ：22650x y x ++=﹣相切，则该双曲线离心率等于（ ）A BC ．32D 解析 双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±，即bx ±ay=0 圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0化为标准方程（x ﹣3）2+y 2=4∴C （3，0），半径为2∵双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0相切∴∴9b 2=4b 2+4a 2∴5b 2=4a 2∵b 2=c 2﹣a 2∴5（c 2﹣a 2）=4a 2∴9a 2=5c 2∴=∴双曲线离心率等于故选：A ．11．（5分）定义在R 上的偶函数f x （）满足120f x f x f x +=≠（）（）﹣（（），且在区间20132014（，）上单调递增，已知αβ，是锐角三角形的两个内角，则sin cos f f αβ（）、（）的大小关系是（ ） A ．sin cos f f αβ（）<（） B ．sin cos f f αβ（）＞（）C ．sin cos f f αβ=（）（）D ．以上情况均有可能 解析 ∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+1）f （x ）=﹣2，∴f （x ）===f （x+2），∴f （x ）是周期为2的偶函数．∵函数f （x ）在区间（2013，2014）上单调递增，故函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sin α＞sin （﹣β）=cos β＞0． 则f （sin α）＜f （cos β），故选：A ．12．（5分）（2014•甘肃一模）设f x （）是定义在R 上的函数，x R ∀∈，都有22f x f x =+（﹣）（），f x f x =（﹣）（），且当[02]x ∈，时，22x f x =（）﹣，若函数log 10,1)g x f x a x a a =+≠（）（）﹣（）(＞在区间12014]（﹣，内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)(3,7)95B ．1(0,)(7,)9+∞C ．1(,1)(1,3)9D ．11(,)(3,7)73解析 由f （2﹣x ）=f （2+x ），得到函数f （x ）关于x=2对称，由f （﹣x ）=f （x ）得函数f （x ）是偶函数，且f （2﹣x ）=f （2+x ）=f （x ﹣2），即f （x+4）=f （x ），即函数的周期是4．当x ∈[﹣2，0]时，﹣x ∈[0，2]，此时f （x ）=f （﹣x ）=2﹣x ﹣2，由g （x ）=f （x ）﹣log a （x+1）=0得f （x ）=log a （x+1），（a ＞0，a ≠1）作出函数f （x ）的图象如图：①若a ＞1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点A （2，2）时，两个图象有两个交点，此时g （2）=log a 3=2，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点B （6，2）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 7=2，解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， ②若0＜a ＜1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点C （4，﹣1）时，两个图象有两个交点， 此时g （4）=log a 5=﹣1，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点D （8，﹣1）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 9=﹣1解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， 综上：实数a 的取值范围是（，）∪（，）， 故选：A ．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数211()log ()1x f x x x -=++，则11()()20142014f f +-= ．解析 ∵函数， ∴＞0且x ≠0，解得：﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1．∴定义域为{x|﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1}，∴==﹣f （x ），∴函数是奇函数，∴==0． 故答案为：0 14．（5分）设随机变量ξ服从正态分布29N （，），若(1)(1)P c P c ξξ+=＞＜﹣，则c = ． 解析 ∵N （2，32）⇒， ，∴，解得c=2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{}n a 满足110012n n a a a n =+=，﹣，则n a n的最小值 ． 解析 a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…a n+1﹣a n =2n ，这n 个式子相加，就有a n+1=100+n （n+1），即a n =n （n ﹣1）+100=n 2﹣n+100，∴=n+﹣1≥2﹣1=19， 当且仅当n=，即n=10时，取最小值19．故答案为：19．16．（5分）若三棱锥SABC ﹣的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =，12AB AC ==，，60BAC ︒∠=，则球O 的表面积为 ．解析 如图，三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，∵SA ⊥平面ABC ，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°， ∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=AC=1， ∴球O 的半径R==2， ∴球O 的表面积S=4πR 2=16π．故答案为：16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC 中，三个内角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若1cos 1cos 3a C c A b +++=（）（）， （1）求证：a b c ，，成等差数列；（2）若604B b ∠=︒=，，求ABC 的面积．解析 （1）∵a （1+cosC ）+c （1+cosA ）=3b ，由正弦定理得，sinA （1+cosC ）+sinC （1+cosA ）=3sinB ，即sinA+sinC+sin （A+C ）=3sinB ，∴sinA+sinC=2sinB ，由正弦定理得，a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列；（2）∵∠B=60°，b=4，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB 得4=a 2+c 2﹣2accos60°，即（a+c ）2﹣3ac=16， 又a+c=2b=8，解得，ac=16（或者解得a=c=4），则S △ABC =acsinB=4．18．（12分）如图，在四棱锥PABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，且90AD BC ABC PAD ∠=∠=︒，，侧面PAD ABCD ⊥底面．若12PA AB BC AD ===． （Ⅰ）求证：CD PC ⊥； （Ⅱ）求二面角APD C ﹣﹣的余弦值．解析（Ⅰ）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD，又∵∠BAD=90°，∴AB、AD、AP两两垂直，分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴，，∴=0，∴CD⊥PC．（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的一个法向量，设平面PCD的法向量，∵，∴，取x=1，得到=（1，1，2），设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图形知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值为．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[2555]，岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n a p ，，的值（2）从[4045，）岁和[4550，）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[4045，）岁得人数为X ，求X 的分布列和数学期望E X （）解析 （1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000，所以第二组的人数为1000×0.3=300，p==0.65，第四组的频率为0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==所以随机变量X的分布列为∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=2﹣共线．20．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=1)（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，O 为坐标原点，总使0OP OQ ∙<，求实数m 的取值范围．解析 （Ⅰ）解：设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），则∵A （a ，0）、B （0，b ）， ∴=（﹣a ，b ）， ∵与=（，﹣1）共线，∴a=b ，∵焦距为2， ∴c=1， ∴a 2﹣b 2=1， ∴a 2=2，b 2=1， ∴椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），把直线方程y=kx+m 代入椭圆方程，消去y 可得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，△=16k 2m 2﹣4×（2k 2+1）（2m 2﹣2）=16k 2﹣8m 2+8＞0（*） ∵•＜0，∴x 1x 2+y 1y 2＜0，∵y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=，∴+＜0，∴m 2＜，∴m 2＜且满足（*） 故实数m 的取值范围是（﹣，）．21．（12分）已知函数2ln f x x a x x =+（）（）﹣﹣在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程52f x x b =+（）﹣在区间[]02，上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n ，不等式23412ln(1)49n n n++++⋯++＞都成立． 解析 （Ⅰ）函数f （x ）=ln （x+a ）﹣x 2﹣x f ′（x ）=﹣2x ﹣1当x=0时，f （x ）取得极值，∴f ′（0）=0 故，解得a=1，经检验a=1符合题意， 则实数a 的值为1；（Ⅱ）由a=1知f （x ）=ln （x+1）﹣x 2﹣x 由f （x ）=﹣x+b ，得ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b=0 令φ（x ）=ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b ，则f （x ）=﹣x+b 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x ）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根． φ′（x ）=﹣2x+=，当x ∈[0，1]时，φ′（x ）＞0，于是φ（x ）在[0，1）上单调递增；当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，依题意有φ（0）=﹣b≤0，φ（1）=ln（1+1）﹣1+﹣b＞0，φ（2）=ln（1+2）﹣4+3﹣b≤0解得，ln3﹣1≤b＜ln2+，故实数b的取值范围为：[ln3﹣1，ln2+）；（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x的定义域为{x|x＞﹣1}，由（1）知f（x）=，令f′（x）=0得，x=0或x=﹣（舍去），∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最大值．∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）﹣x2﹣x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取x=＞0得，ln（+1）＜+∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：2•=；PM PA PC（Ⅱ）若O的半径为OA=，求MN的长．解析 （Ⅰ）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ， ∴∠ONP=90°， ∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON ， ∴∠OBN=∠ONB 因为OB ⊥AC 于O ， ∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN ，PM=PN ∴PM 2=PN 2=PA •PC （Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4 ∵BM •MN=CM •MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：x m ty t=+⎧⎨=⎩，（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且|||AB ，试求实数m 的值． 解析 （Ⅰ）∵ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，化为直角坐标方程x 2+y 2=4x ． 由直线l 的参数方程：，（t 是参数），消去t 可得x ﹣y ﹣m=0．（Ⅱ）由圆C 的方程（x ﹣2）2+y 2=4可得圆心C （2，0），半径r=2． ∴圆心C 到直线l 的距离d==．∵，|AB|=∴，化为|m ﹣2|=1，解得m=1或3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数()lg(12)f x x x a =+++﹣．（Ⅰ）当5a =﹣时，求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 （Ⅰ）当a=﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x ﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5， 在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x ﹣2|与y=5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x ＜﹣2或x ＞3，即函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或x＞3}．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，|x+1|+|x﹣2|+a＞0恒成立，即|x+1|+|x﹣2|＞﹣a恒成立，由图象可知|x+1|+|x﹣2|≥3，即﹣a＜3，解得a＞﹣3．。
7 四川省成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理)试题
成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理工类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
礼答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第工卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合}3,2{-=A ，}1ln |{>=x x B ，则AB=（ ）(A ）｛-2｝ (B)｛3｝ （C)｛-2，3｝ （D ）∅ 答案 B解析 由 1ln >x ，e x >∴，∴}3{=B A .2.若复数z 满足5)21(=-i z (i 为虚数单位），则复数z 为（ ）(A)1255i + (B)i 21+ (C) i 21- (D)1255i- 答案 B解析 )R ,(∈+=b a bi a z ，5)21)((=-+∴i bi a ，⎩⎨⎧=-=+∴0252a b b a ，解得⎩⎨⎧==21b a ，i z 21+=∴.3.计算21545log -+所得的结果为（ ）(A)1 (B) 52 (C) 72 (D) 4答案 A解析 原式12121=+=.4. 在等差数列}{n a 中，158=a ，则=+++15971a a a a （ ）(A) 15 (B)30 (C) 45 (D)60答案 D 解析 数列}{n a 是等差数列，158=a ，601544815971=⨯==+++a a a a a .5.已知m ，n 是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是： (A)若m ∥α，n ∥α，则m ∥n (B)若m ⊥α，n ⊥α．则m ⊥n (C)若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n(D)若m 与α相交，n 与α相交，则m ，n 一定不相交（ ） 答案 C解析 对(A)直线m 、n 还可能相交或异面；故 (A)是假命题； 对 (B)垂直于同一个平面的两条直线平行，故 (B)时假命题； 对 (C)真命题；对 (D)直线m 、n 可能相交、平行或异面. 故真命题是(C).6.如图，在平面直角坐标系xoy 中，角βα,的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,若点A ,B 的坐标为)54,53(和)53,54(-，则)cos(βα+的值为( )(A) 2524-(B)257-(C)0 (D)2524答案 A解析 依题意，53cos =α，54sin =α，54cos -=β，53sin =β， 25245354)54(53sin sin cos cos )cos(-=⨯--⨯=-=+∴βαβαβα.7、世界华商大会的某分会场有A ，B ，C ，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（ ）（A ）12种 （B ）10种 （C ）8种 （D ） 6种 答案 D解析 把甲乙看作一人再与丙丁分到三个展台有633=A 种方法. 8一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为（ ）(A) 120 3cm (B)80 3cm (C)1003cm (D)60 3cm答案 C解析 意图以，原几何体的体积1006542131654-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯==三棱锥长方体V V V 3cm . 9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的ABC ∆的直观图C B A '''∆，其中y B A '''//轴，x C B '''//轴．若3=''=''C B B A ，设ABC ∆的面积为S ，C B A '''∆的面积为S '，记S k S '=，执行如图②的框图，则输出T 的值（ ）(A) 12 (B) 10 (C) 9 (D) 6答案 A解析 在直观图C B A '''∆中，3=''=''C B B A ，42945sin 21=⋅''⋅''⋅='∴ C B B A S ， 由斜二侧画法的画图法则，可得在ABC ∆中，6=AB ，3=BC ，且BC AB ⊥，9362121=⨯⨯=⋅⋅=∴BC AB S ，由S k S '=得22=k ，则)1(2)1(22-=-=m m k T ，故执行循环前，9=S ，22=k ，0=T ，1=m ，满足循环的条件，执行循环体后0=T ，2=m ，当0=T ，2=m ，满足循环条件，执行循环体后2=T ，3=m ； 当2=T ，3=m ，满足循环条件，执行循环体后6=T ，4=m ； 当6=T ，4=m ，满足循环条件，执行循环体后12=T ，5=m ； 当12=T ，5=m ，不满足循环条件，退出循环体后12=T . 故输出的结果为12.10.已知1|1||2|2)(+--=x x f 和)R (||2)(2∈+-=x m x x x g 是定义在R 上的两个函数，则下列命题正确的的是（ ）（A ）关于x 的方程0)(=-k x f 恰有四个不相等的实数根的充要条件是)0,1(-∈k （B ）关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k （C ）当1=m 时，对]0,1[1-∈∀x ，]0,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立 （D ）若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈x ，)()(21x g x f <成立，则),1(+∞-∈m 答案 D解析 函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤<-≤≤----<+=+--=21,34210,14021,1421,341|1||2|2)(x x x x x x x x x x f 的图象如图所示，故函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称，即①正确；由图象知，关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k ，故②正确；当1=m 时，1||2)(2+-=x x x g ，]0,1[-∈x 时，1)21()(=-=f x f Max ，]0,1[-∈x 时，]1,0[121||2)(22∈++=+-=x x x x x g ， 故211-=x 时，不存在]0,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f <成立，故③错误；]1,1[-∈x 时，],1[)1(12||2)(22m m m x x m x x x g -∈-+++=+-=，若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立，则1->m ，故④正确. 故正确的命题是D.第II 卷（非选择题，共 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 若1)1()(2+-+=x a x x f 是R 上的偶函数，则实数=a . 答案 1解析 依题意，021=--a ，即1=a .12. 已知6622106)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=+，则=+⋅⋅⋅+++6210a a a a . 答案 729（或63）解析 令1=x ，则729366210==+⋅⋅⋅+++a a a a . 13、设1x ，2x 是函数x a ax x x f 2232)(+-=的两个极值点，若212x x <<，则实数a 的 取值范围是 . 答案 )6,2(解析 ))(3(23)(22a x a x a ax x x f --=+-=' ，令0)(='x f ，即3ax =或a ，要函数)(x f 有两个极值点，212x x <<，则⎪⎩⎪⎨⎧<>232a a ，62<<∴a ，故实数a 的取值范围是)6,2(.14. 已知]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α的概率为 .答案 31解析 由]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α，∴66παπ≤≤-，由几何概型公式，所求的概率31)2(2)6(6=----=ππππP .15.设⊙O 为不等边ABC ∆的外接圆，ABC ∆内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ,b ,c ，p是ABC ∆所在平面内的一点，且满足2b cb bc -+∙=∙（P 与A 不重合），Q 为ABC ∆所在平面外一点，QC QB QA ==.有下列命题：①若QP QA =，90=∠BAC ，则点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上；②若QP QA =，则PC QP PB QP ∙=∙；③若QP QA >， 90=∠BAC ，则AC ABCP BP =；④若若QP QA >，则P 在ABC ∆内部的概率为OABCS S 圆∆（ABC S ∆、O S 圆分别表示ABC ∆与圆O 的面积）.其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）． 答案 ①③④解析 2PA b c b PC PA b c PB PA -+∙=∙,∴)(22PA PC PA b cPA PB PA -∙=-∙,AC PA b c AB PA ∙=∙∴，PAC b PA b cPAB c PA ∠⋅⋅⋅=∠⋅⋅∴cos ||cos ||，PAC PAB ∠=∠∴，即AP 是BAC ∠的平分线，QC QB QA == ，Q ∴在平面ABC 上的射影是ABC ∆的外心O ，90=∠BAC ，ABC ∆是不等边三角形，∴点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上不正确，故①错误；QP QA = ，P ∴为BC 弧的中点，BC OP ⊥∴， OP 是QP 在平面ABC 上的射影，BC QP ⊥∴，∙=∙∴，故②正确；由于QP QA >，则点P 在圆内， 60=∠BAC ，则BC 为直径，若AC ABCP BP =，则AP 为BPC ∠的角平分线，且AP 经过点O ，与ABC ∆是不等边三角形矛盾，故③不正确；若QP QA >，AP 是BAC ∠的平分线，P ∴在ABC ∆内部的概率应该为长度的测度，故④不正确.故不正确的为 ①③④.三、解答题：本大题6小题，共75分.16.（本题满分12分）已知向量)4cos ,4cos 3(2x x =，)2,4sin 2(x=，设函数x f ∙=)(.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且13)32(+=-πB f ，3=a ，33=b ，求A 的大小.解析 （Ⅰ） b a x f ∙=)(，1)62sin(212cos 2sin 24cos 24cos 4sin 32)(2++=++=+=∴πx x x x x x x f ，又||2ωπ=T ，π4=∴T . （5分）（Ⅱ）131sin 2)32(+=+=-B B f π ，23sin =∴B ， （8分)由正弦定理，可得B b A a sin sin =，即b Ba A sin sin =，又3=a ，33=b ， 2133333sin =⨯=∴A ，由题意知A 识锐角，6π=∴A . (12分）17. （本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*+∈-=N ,221n S n n .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{b b 满足n nn a S b =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解析 （Ⅰ）当2≥x 时，1--=n n n S S a ，n n a 2=∴，*∈≥N ,2n n ， 又当1=n 时，211==S a ，*∈=∴N ,2n a n n . (6分）（Ⅱ）)211(22)12(2nn n n b -=-=，)211(2)211(2)211(2)211(232321n n n b b b b T -+⋅⋅⋅+-+-+-=+⋅⋅⋅+++=∴ 2212)]211([2)]21212121([2132-+=---=+⋅⋅⋅+++-=-n n n n n n . （12分）（本题满分12分）某种特色水果每年的上式时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间.上式初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原价格基础上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数可选择：①x q p x f ⋅=)(；②7)(2++=qx px x f ；③)(log )(p x x f q +=，其中q p ,均为常数且1>q （注：x 表示上式时间，)(x f 表示价格，记0=x 表示4月1号，1=x 表示5月1号，⋅⋅⋅，依次类推，]5,0[∈x ）.（Ⅰ）在上述三种价格模拟函数中，哪个更能体现该种水果的价格变动态势，请你选择，并简要说明理由；（Ⅱ）对（Ⅰ）所选的函数)(x f ，若11)2(=f ，10)3(=f ，记1132)()(+--=x x x f x g ，经过多年的统计发现，当函数)(x g 取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？解析 （Ⅰ）根据题意，该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应选择②7)(2++=qx px x f ， （4分）（Ⅱ）由11)2(=f ，10)3(=f ，代入7)(2++=qx px x f 得⎩⎨⎧=++=++1073911724q p q p ，解得⎩⎨⎧=-=41q p ，即74)(2++-=x x x f ，1621132)()(2++--=+--=∴x x x x x x f x g ， （8分) 2]4)1(19[)(-≤-+++-=∴x x x g ，当且仅当31=+x 即2=x 时取等号.故明年拓展外销的事件应为6月1号. (12分） （本题满分12分）如图①，四边形ABCD 为等腰梯形，DC AE ⊥，DC AE AB 31==，F 为EC 的中点，先将DAE ∆沿AE 翻折到PAE ∆的位置，如图②，且平面⊥PAE 平面ABCD .（Ⅰ）求证：平面⊥PAF 平面PBE ； （Ⅱ）求直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值.解析 （Ⅰ）AB EF // 且ABCD EF ==31，∴四边形AEFB 为平行四边形，又AB AE = 且EC AE ⊥，∴四边形AEFB 为正方形，BE AF ⊥∴. （3分）平面⊥PAE 平面ABCE ，又AE PE ⊥，平面 PAE 平面AE ABCE =，⊥∴PE 平面ABCE ，AE PE ⊥∴，又E PE BE = ，∴平面⊥PAF 平面PBE . (6分）（Ⅱ）以E 为坐标原点，EC 、EA 、EP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图的空间直角坐标系xyz E -，设4=AB ，易知)4,0,0(P ，)0,4,0(A ，)0,4,4(B ，)0,0,8(C ，)0,0,4(F ，)4,0,4(-=∴PF ，)0,4,4(-=BC ，)4,4,4(-=PB ， （8分)设),,(z y x n =为平面PBC 的一个法向量，⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙∴00PB n ，∴⎩⎨⎧=-∙=-∙0)4,4,4(),,(0)0,4,4(),,(z y x z y x ， 即⎩⎨⎧=-+=-0444044z y x y x ，令1=x ，∴)2,1,1(=， 63|211)4(4)2,1,1()4,0,4(|||||||sin 22222=++⋅-+∙-=⋅=n PF α ，∴直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值为63. （12分）20.（本题满分13分）我国采用的5.2PM 的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气为一级；在35微克/立方米-75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随即抽取该市m 天的5.2PM 日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示：请据此解答如下问题：（Ⅰ）求m 的值，并分别计算：频率分布直直方图中的)95,75[和)115,95[这两个矩形的高；（Ⅱ）通过频率分布直方图估计这m 天的5.2PM 日均值的中位数（结果保留分数形（Ⅲ）从这m 天的5.2PM 日均值中随机抽取2天，记X 表示抽到的5.2PM 超标天数，求X 的分布列和数学期望.解析 （Ⅰ）200025.01⨯=m，20=∴m ，易知矩形)95,75[的高为0225.04009=，矩形]115,95[的高为01.0. （5分)（Ⅱ）其中位数为328132075=+. （8分）（Ⅲ）10021)0(22023===C C X P ，10091)1(22011313===C C C X P ，10039)2(220213===C C X P ，X ∴的分布列为：1013100393100912100211)(=⨯+⨯+⨯=∴X E . （13分）21.（本题满分14分）已知函数)1ln()(+=x a x f ，R ,21)(2∈-=a x x x g . （Ⅰ）若1-=a ，求曲线)(x f y =在3=x 出的切线方程；（Ⅱ）若对任意的),0[+∞∈x 都有)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值；（Ⅲ）设)1()(-=x f x P ，0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x P y =上的两个不同点满足210x x <<，且),(213x x x ∈，使得曲线)(x f y =在0x 处的切线与直线AB 平行，求证2213x x x +<.解析 （Ⅰ）41)3(-='=f k ，)3(212ln 2--=+∴x y ，2ln 24341-+-=∴x y .（Ⅱ）由221)1ln(x x x a -≥+恒成立等价于021)1ln(2≥+-+x x x a 恒成立， 令221)1ln()(x x x a x h +-+=，0≥x ，)0(1111)(2≥+-+=+-+='∴x x a x x x a x h ，①若1≥a ，则0)(≥'x h 恒成立.∴函数)(x h 在),0[+∞上是增函数，)0()(h x h ≥∴恒成立，又0)0(=h ，1≥∴a 符合条件.②若1<a ，由0)(='x h 可得a x -=12，解得a x -=1或a x --=1（舍去）， 当)1,0(a x -∈时，0)(<'x h ；当),1(+∞-∈a x 时，0)(>'x h ，)1()(a h x h -=∴最小值，0)1()1(=<-∴h a h ，这与0)(≥x h 恒成立矛盾. 综上所述，1≥a ，a 的最小值为1. （9分）（Ⅲ）x a a f x P ln )()(=-=，1212ln ln x x x a x a k AB --=， 又x a x P =')( ，33)(x a x P ='∴，∴31212ln ln x ax x x a x a =--， 由x ax P =')( ，易知其定义域内为单调减函数， 欲证2213x x x +<，即证明)2()(213x x P x P +'>'，即证明2112122ln ln x x a x x x a x a +=--，变形可得12122112121)1(2)(2x x xx x x x x x x +-=+->，令tx x =12，1>t ， 则1)1(2ln +->t t t 等价于)1(2ln )1(->+t t t ，构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t x q ，1>t ， 则1,11ln )(>-+='t t t x q ，令1,11ln )(>-+=t t t t r ，当1>t 时，0111)(22>-=-='t t t t t r ，)(t q '∴在),1(+∞上为单调增函数，0)1()(='>'q t q ，0)1()(=>∴q t q ，0)(>∴t q 在),1(+∞上恒成立， )1(2ln )1(->+∴t t t 成立，∴2213x x x +<. （14分）。
2014届高三数学区一检理科试题(带答案)
2014届高三数学区一检理科试题（带答案）高三理科数学质量检测试题（卷）2013.10本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，本试卷满分150分，考试时间为120分钟.注意事项：1.考生答题前，先将条形码贴在条形码区，并将本人姓名、学校、准考证号填写在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.参考公式：，，，，，．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知，函数的定义域为集合，则A.B.C.D.3.在一次投掷链球比赛中，甲、乙两位运动员各投掷一次，设命题是“甲投掷在80米之外”，是“乙投掷在80米之外”，则命题“至少有一位运动员没有投掷在80米之外”可表示为A.非或非B.或非C.非且非D.或4.设，，，则A.B.C.D.5.的内角的对边分别是，若，，，则A.B.C.D.6.已知，则的值等于A.B.C.D.7.函数的零点个数为A.B.C.D.8.已知函数，下列结论中错误的是A.存在，B.若是的极小值点，则在区间上单调递减C.若是的极值点，则D.函数无最大值9.已知函数为奇函数，且当时，，则A.B.C.D.10.若函数的图像关于直线对称，则的最大值是A.B.C.或D.不存在第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.计算：；12.若直线与幂函数的图像相切于点，则直线的方程为；13.已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为；14.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为；15.给出下列三个命题中,其中所有正确命题的序号是.①函数在上的最小值是.②命题“函数，当，且时，有”是真命题.③函数，若，且，则动点到直线的最小距离是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)叙述并证明余弦定理.17.(本小题满分12分)已知向量，，，设函数.(1)求的最小正周期；(2)求在上的最大值和最小值.18.(本小题满分12分)已知关于的不等式的解集为.(1)当时，求集合；(2)当且时,求实数的范围.19.(本小题满分12分)甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是元.(1)求证:生产千克该产品所获得的利润为元；(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.20.(本小题满分13分)设函数且是定义域为的奇函数．(1)求的值；(2)若，且在上的最小值为，求的值．21.(本小题满分14分)已知为函数图像上一点，为坐标原点，记直线的斜率．(1)若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.高三理科数学质量检测试题答案2013.10一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.D3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.C10.B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2912．13.14.15.②三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，为A，B，C的对边，有，，.（5分）证明：在△ABC中，(8分)∴(10分)∴同理可证：，.(12分)注:此题还有其它证法，酌情按步骤给分.17.(本小题满分12分)解：（1）（4分）的最小正周期.即函数的最小正周期为.（6分）（2），，（8分）由正弦函数的性质，当，即时，取得最大值1.（10分）当，即时，取得最小值.（12分）18．(本小题满分12分)解:解：（1）当时，……5分(2),①……8分,②……11分由①②知……12分19.(本小题满分12分)解:(1)每小时生产千克产品,获利,生产千克该产品用时间为,………3分所获利润为元.………6分(2)生产900千克该产品,所获利润为………9分所以,最大利润为元.………12分20．(本小题满分13分)解：（1）（法一）由题意，对任意，，即，………2分即，，………4分因为为任意实数，所以．………5分（法二）因为且是定义域为的奇函数．………2分所以，即，………4分解得………5分（2）由（1），因为，所以，解得．………7分故，，………8分令，则，………10分由，得，所以，………11分当时，在上是增函数，则，，解得（舍去）．………12分当时，则，，解得，或（舍去）．（13分）21．(本题满分14分)解：（1）由题意，……………2分所以………………4分当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值．………………5分因为函数在区间（其中）上存在极值，所以，得．即实数的取值范围是．……………7分（2）由得，……………8分令，则．……………10分令，则，……………………11分因为所以,故在上单调递增．所以,从而……………………12分在上单调递增,所以实数的取值范围是．…………………………………………14分。
四川省绵阳市高中2014届高三11月第一次诊断性考试数学理试题(WORD版)
1、若集合A ＝{x ｜1＜x ＜4}，集合B ＝{y ｜y 2＜4}，则A ∩B ＝ A 、∅ B 、{1，2} C 、（1,2） D 、（1,4）2、对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件3、若向量a ＝（1,2），b ＝（1，－1），则2a ＋b 与b 的夹角为 A 、0 B 、3π C 、2πD 、π高考试题库4、已知命题p q ：空集是集合A 的子集，下列判断正确的是 A 、p q ∨为假命题 B 、p q ∧真命题 C 、()()p q ⌝∨⌝为假命题 D 、()()p q ⌝∧⌝为假命题5、下列不等式中，正确的是A 、sin1°＞cos1B 、sin1＞cos1°C 、sin1＜sin2D 、sin2＜sin3 6、已知函数f （x ）＝k (01)x x a a a a --≠＞且在R 上是奇函数，且是增函数，则函 数g （x ）＝log a （x －k ）的大致图象是7、若正数a ，b 满足的最小值为A 、1B 、6C 、9D 、16 8、已知函数其中k ＞0，若当自变量x 在任何两个整数间（包括整数本身）变化 时，至少含有2个周期，则最小的正整数k 为 A 、50 B 、51 C 、12 D 、139、已知,αβ都是锐角，且4cos )5ααβ=+=高考试题库，则tan β为 A 、2 B 、－211 C 、－211或2 D 、211或－2 10、已知O 为△ABC 的外心，1cos ,,3A AO AB AC αβαβ==++ 若则的最大值为A 、13B 、12C 、23高考试题库 D 、3411、设数列{n a }的前n 项和为2n S n =。
，中5a ＝＿＿＿ 12、计算：＝＿＿＿＿＿13、已知变量x ，y 满足约束条件则z ＝2x ＋y 的最大值为＿＿＿14、已知f （x ）是R 上的减函数，A （3，－1），B （0,1）是其图象上两个点，则不等式 ｜f （1＋lnx ）｜＜1的解集是＿＿＿＿15、对于定义域为［0，1］的函数f （x ），如果同时满足以下三条：①对任意的x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②f （1）＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，都有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立，则称函数f （x ）为“美好函数”，给出下列结论： ①若函数f （x ）为美好函数，则f （0）＝0； ②函数g （x ）=2x -1（x ∈[0，1]）不是美好函数； ③函数是美好函数；④若函数f （x ）为美好函数，且∃x 0∈[0，1]，使得f （f （x 0））=x 0，则f （x 0）=x 0． 以上说法中正确的是＿＿＿＿＿＿（写出所有正确的结论的序号）。
数学理卷·2014届重庆市万州区高三第一次诊断性监测(2014.01)
高2014级一诊考试理科数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1～5 ABDDC 6～10 ADAAD二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）14～16三题为选做题，若三题全做，则按前两题给分.11．212- ； 12．23π； 13．2； 14； 15．2sin ρθ=； 16.30a -≤≤. 三．解答题：(本大题共6小题，共75分) 17．（本小题满分13分） 解：（1）记评估小组中甲、乙两名专家被分配在同一所学校的事件为F那么 P(F)=101A C A 442534=所以甲、乙两名专家不在同一所学校的概率为：P(F )=1－P(F)=109………… 6分 （2）随机变量ξ的可能取值为1,2，则P(ξ=2)= 41A C A C 44253325=；P(ξ=1)=1－P(ξ=2)=43所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望E ξ=1×43+2×41=45……………… 13分18．（本小题满分13分）解：(1)∵()()cos sin ,cos sin ,2sin m x x x n x x x ωωωωωω=+=-0ω>∴()f x m n =⋅ ＝x x x x ωωωωsin cos 32sin cos 22+-∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=62sin 22sin 32cos )(πωωωx x x x f ∵函数f (x )的周期为π，∴1,22=∴==ωπωπT ……………… 5分 (2) 在△ABC 中.1)62sin(2,1)(=+∴=πB B f ∴21)62sin(=+πB ………… 6分又∵0＜B ＜π，∴6π＜2B ＋6π＜π613 ∴2B ＋6π＝65π．∴B ＝3π ……………… 8分 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ． ……………… 9分∴cos B ＝cos 3π＝212222=-+ac b c a , ∴()4222c a c a ac +-+=．化简得a ＝c 又∵B ＝3π，∴△ABC 为正三角形 ……………… 13分 19．（本小题满分13分）（1）由n n S b -=2，令1n =，则111112,,1b S b S b =-=∴= ……… 2分 当2n ≥时，由n n S b -=2，可得()11n n n n n b b S S b ---=--=- 即112n n b b -=，∵10b ≠，∴112n n b b -=∴{}nb 是以11b=为首项，12为公比的等比数列 ……… 6分 ∴{}n b 通项公式为112n n b -= ……… 7分（2）由数列{}n a 为等差数列，13,975==a a ，可得()()7511139222d a a =-=-=即11a = ， ∴21n a n =- ……… 8分 从而()11212n n n n c a b n -==-⋅……… 9分 ∴ 2313572112222n n n T --=+++++ …①23411135723212222222n n n n n T ---=++++++ …② ①－②得23411222222112222222n n nn T --=++++++-1211121121232212331222212n n n n n n n n --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+⋅-=--=--∴ 12362n n n T -+=-……… 13分 20．（本小题满分12分）（1）1'()(2)(1),(0),'(0)2ax f x e ax x f f a=+-=-=- 所以切线方程为120x y a ++=……………… 6分 （2()0,(1)0f f a ->< (1)a f e a∴=-为最小值1330,a e x a a a ⎡⎫∴-+≥∈-+∞⎪⎢⎣⎭对恒成立 (]0,ln 3a ∴∈……………… 12分21．（本小题满分12分）解：（1）椭圆的顶点为(0，即b，e ＝ca＝所以a∴ 椭圆的标准方程为 x 23＋y 22＝1 ……………5分（2）设直线l 为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1y ＝k (x －1)得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， ∴ x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1·x 2＝3k 2－62＋3k 2|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[(6k22＋3k 2)2－4(3k 2－62＋3k 2)]……………8分 由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1y ＝kx 消去y ，并整理得x 2＝62＋3k 2设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则 |AB|＝1＋k 2|x 3－x 4|＝26(1＋k 2)2＋3k 2……………10分∴6 ……………12分 22．（本小题满分12分）解：(1)将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位，得到函数y ＝f (x )的图象∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0, 0)对称，即函数y ＝f (x )是奇函数……………………1分 ∴f (x )＝a 1x 3＋a 3x ，∴f ' (x )＝3a 1x 2＋a 3由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+=-'32)1(03)1(3131a a f a a f ，所以⎪⎩⎪⎨⎧-==13131a a 则f (x )＝31x 3－x ，经检验满足题意 …………………… 3分(2) 证明：由(1)知g (x )＝x ，∴当x ＞0时，不等式)()(11x g x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+＜e ，即为：xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11＜e ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔x x 11ln ＜1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔x 11ln ＜x 1．………… 5分构造函数h (x )＝ln(1＋x )－x （x ＞0），则h' (x )＝x+11－1＝x x +-1＜0∴函数h (x )在(0, ＋∞)上是减函数．∴x ＞0时，h (x )＜h (0)＝0，即x ＞0时，ln(1＋x )＜x 成立 …… 7分 用x 1换x 得，x ＞0时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11ln ＜x 1成立∴当x ＞0时，)()(11x g x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+＜e ……8分(3) b n ＝11+n n，由(2))2)(1()2)(1(1)()(+++++n n n n n n b b ＝21)1(+++n n n n＝nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+1112＜2)1(n n e +＜2)1(3n n + …………9分令2)1(3nn +＜1，得n 2―3n ―3＞0，结合n ∈N *得n ≥4 因此，当n ≥4时，有()()()()()()121121n n n n n n b b +++++< ∴当n ≥4时，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞… ……………10分 又通过比较b 1、b 2、b 3、b 4的大小知b 1＜b 2＜b 3＜b 4 因为b 1＝1，且n ≠1时，b n ＝11+n n≠1所以若数列{ b n }中存在相等的两项，只能是b 2、b 3与后面的项可能相等 又b 2＝312＝918＝b 8，b 3＝413＞b 5＝615所以数列{ b n }中存在唯一相等的两项，即b 2＝b 8 ……… 12分。
数学理卷·2014届四川省宜宾市高三第一次诊断性测试(2013.12)
（D） (¬p) ∧ q 是真命题
6.【理】若双曲线 mx2 − y2 = 1过抛物线 y2 = 2x 的焦点，则双曲线的离心率等于
（A） 5
（B） 3
（C） 5 2
7. 【理】已知函数 f (x) = (x2 − 3x)ex 的图像大致是
（D） 2
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8. 【理】已知 5 名医生和 3 名护士被分配到甲、乙两所学校为学生体检，每校至少要分配 2
名医生和 1 名护士，则不同的分配方案共有
（A）30 种
（B）60 种
（C）90 种
（D）120 种
5x + 6 y ≤ 50 9. 在平面区域 A :{(x, y) | x + 2 y ≤ 14 } 内投掷一个质点，则该质点同时又落在区域
x ≥ 0, y ≥ 0
B :{(x, y) | x2 + y2 = 9} 内的概率是
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18. 某超市以每瓶 2 元的价格购进一种酸奶若干瓶，以每瓶 3 元的价格售出，如果当天卖不
完，余下的酸奶必须倒掉处理.通过市场调查得到 100 天酸奶日需求量（单位：瓶）的大致
数据如下表：
日销售量 n 150
160
170
180
190
200
天数
15
25
25
12
13
10
这 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，且每天的需求量互不影响.
（1）若超市每天购进 180 瓶酸奶，求连续三天的销售中至少有两天都销售完的概率；
（2）若超市某一天购进 180 瓶酸奶， X 表示当天的利润（单位：元），求随机变量 X
的分布列及期望.
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2013----2014学年第一次高考诊断试题
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．i 是虚数单位，复数2
31i i -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
A ．-3－4i
B ．-3 +4i
C ．3－4i
D ．3+4i
2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2
－x ，则f （1）= A ．3 B ．-1 C ．1 D ．-3 3．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为 A ．k>4？ B ．k>5? C ．k>6？ D ．k>7？
4．设sin （4π
θ+）=1
3，sin2θ= A ．79- B ．1
9-
D ．19 D ．7
9
5．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是
A ．
15
64
B ．
15
128
C ．
24
125
D ．
48125
6．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A ．
23π B ．83
π
-
C ．8－23
π
D ．82π-
7．（28展开式中不含．．x 4
项的系数的和为
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
8．已知二次函数y= f （x ）的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面
积为
A ．
25
π B ．
43
C ．
32
D ．
2
π 9．已知点F 是双曲线22
2x y a b
-=1（a>0，b>0）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直
于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取
值范围是 A ．（1,+∞）
B ．（1,2）
C ．（
D ．（
10．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m ，n ），b=（p ，q ），令a ⊙b= mq －np ，
下面说法错误的是
A ．若a 与b 共线，则a ⊙b =0
B ．a ⊙b =b ⊙a
C ．对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b =λ（a ⊙b ）
D ．（a ⊙b ）2+（a·b ）2= |a|2|b|2 11．已知函数f （x ）=sin （2x+ϕ），其中ϕ为实数，若f （x ）≤()6f π对x ∈R 恒成立，且()()2
f f π
π>，
则f （x ）的单调递增区间是
A ．,()3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．,()2k k k Z πππ⎡
⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．,()2k k k Z π
ππ⎡
⎤
-
∈⎢⎥⎣
⎦
12．已知函数f （x ）=|1|,010,
16,10.2
gx x x x <≤⎧⎪
⎨-+>⎪⎩若a ，b ，c 互不相等，f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc 的取
值范围是
A ． （1,10）
B ． （5,6）
C ． （10,12）
D ． （20,24）
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．设F 为抛物线y 2
=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=
，则
FA FB FC ++=。
14．已知变量x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则目标函数z= ax +2y 仅在点（1，0）处取得最小
值，则a 的取值范围是 。
15．直三棱柱AB C －A 1B 1C l 的各顶点都在同一球面上，若AB =AC= AA 1=2，∠BAC=120o ， 则此球的表面积等于 ．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
－c ）cosA=acosC ，则cosA= 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且1
2
，a n ，S n 是等差数列． （I ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若2
1()2
n b
n a =，设n
n n
b c a =
，求数列{c n }的前n 项和T n 。
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱AB C －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1=AB =2． （I ）求证：AB 1∥平面BC 1D; （Ⅱ）若四棱锥B －AA 1C 1D 的体积为3，求二面角C －BC l －D 的正切值．
19．（本小题满分12分）
为迎接2012年伦敦奥运会，在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛，其中甲、乙两名
运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：
（I ）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个
得分与其7轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率； （Ⅱ）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、
乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列与期望。
20．（本小题满分12分） （本小题满分12分）
已知点F 1、F 2分别为椭圆C ：22
22x y a b
+=1（a>b>0）的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，且
|F 1F 2 | =2，∠F 1PF 2=
3π，△F 1 PF 2 （I ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）点M 的坐标为（
5
4
，0），过点F 2且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，对于任意的k ∈R ，MA ·MB
是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．
21．（本题满分12分）
已知函数f（x）= alnx－bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=－3x +21n2 +2．（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m =0在[1
e
，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（e为自然对数的底
数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）－kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1<x2），AB的中点为C（x O，0），求证：g（x）在x O处的导数g′（x O）≠0．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4－1；几何证明选讲
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB =AC，延长BC到点D，使CD =AC，连接AD交⊙O 于点E，连接BE与AC交于点F。
（I）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（Ⅱ）若AE =6，BE =8，求EF的长。
23．（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲已知函数f（x）=log2（|x +1|+|x－2|－m）．（I）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程
已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与菇轴的正半轴重合，且长度单位相
同。
圆C的参数方程为
12cos
(
12sin
x
y
α
α
α
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
为参数），点Q的极坐标为（2，
7
4
π
）．
（I）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P，Q两点间距离的最小值。