第5章(5.8)最大似然序列估计(MLSE)与维特比算法(VA)解析
最大似然估计详解
最⼤似然估计详解⼀、引⼊ 极⼤似然估计，我们也把它叫做最⼤似然估计(Maximum Likelihood Estimation)，英⽂简称MLE。
它是机器学习中常⽤的⼀种参数估计⽅法。
它提供了⼀种给定观测数据来评估模型参数的⽅法。
也就是模型已知，参数未定。
在我们正式讲解极⼤似然估计之前，我们先简单回顾以下两个概念：概率密度函数(Probability Density function),英⽂简称pdf似然函数(Likelyhood function)1.1 概率密度函数 连续型随机变量的概率密度函数(pdf)是⼀个描述随机变量在某个确定的取值点附近的可能性的函数(也就是某个随机变量值的概率值，注意这是某个具体随机变量值的概率，不是⼀个区间的概率)。
给个最简单的概率密度函数的例⼦，均匀分布密度函数。
对于⼀个取值在区间[a,b]上的均匀分布函数\(I_{[a,b]}\)，它的概率密度函数为:\[f_{I_{[a,b]}}(x) = \frac{1}{b-a}I_{[a,b]} \]其图像为：其中横轴为随机变量的取值，纵轴为概率密度函数的值。
也就是说，当\(x\)不在区间\([a,b]\)上的时候，函数值为0，在区间\([a,b]\)上的时候，函数值等于\(\frac{1}{b-a}\)，函数值即当随机变量\(X=a\)的概率值。
这个函数虽然不是完全连续的函数，但是它可以积分。
⽽随机变量的取值落在某个区域内的概率为概率密度函数在这个区域上的积分。
Tips:当概率密度函数存在的时候，累计分布函数是概率密度函数的积分。
对于离散型随机变量，我们把它的密度函数称为概率质量密度函数对概率密度函数作类似福利叶变换可以得到特征函数。
特征函数与概率密度函数有⼀对⼀的关系。
因此，知道⼀个分布的特征函数就等同于知道⼀个分布的概率密度函数。
(这⾥就是提⼀嘴，本⽂所讲的内容与特征函数关联不⼤，如果不懂可以暂时忽略。
)1.2 似然函数 官⽅⼀点解释似然函数是，它是⼀种关于统计模型中的参数的函数，表⽰模型参数的似然性(likelyhood)。
最大似然检测
最大似然检测最大似然检测（Maximum Likelihood，ML）检测，也被称作最大似然序列估计（MLSE），从严格意义上讲它不是均衡方案而是接收机方式，其中接收端的检测处理显式地考虑了无线信道时间弥散的影响。
从根本上讲，ML检测器考虑了时间弥散对接收信号的影响，用整个接收信号来确定最有可能被发送的序列。
为了实现最大似然检测，通常使用Viterbi算法。
然而，尽管基于Viterbi算法的最大似然检测被广泛应用于诸如GSM的2G通信，该算法还是因为太过复杂而无法应用在LTE上，这是因为更宽的传输带宽将导致更广泛的信道频率选择性和更高的采样速率。
总的来说，信号信息经过信道估计和均衡后，通过资源逆映射映射到不同的物理信道上进行处理。
1.1最大似然估计原理给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为fD，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样通过利用fD，我们就能计算出其概率：但是，我们可能不知道θ的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。
那么我们如何才能估计出θ呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样，然后用这些采样数据来估计θ.一旦我们获得，，我们就能从中找到一个关于θ的估计。
最大似然估计会寻找关于θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。
这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如θ的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。
要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义似然函数:并且在θ的所有取值上，使这个函数最大化。
这个使可能性最大的值即被称为θ的最大似然估计。
1.2最大似然译码算法在LTE上的应用假定调制星座图中的所有信号都是等概的，最大似然译码器对所有可能的见，和妥2值，从信号调制星座图中选择一对信号(二.，见2)使下面的距离量度最小(1)化简得最大似然译码判决准则为：(2)上式中:C为调制符号对所有可能的集合;和是通过合并接收信号和信道状态信息构造产生的两个判决统计。
时间序列分析方法第05章最大似然估计
时间序列分析方法第05章最大似然估计最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)是一种常用的统计学方法，用于估计时间序列模型的参数。
在时间序列分析中，最大似然估计可以用于估计自回归(AR)、移动平均(MA)、自回归滑动平均(ARMA)等模型的参数。
最大似然估计的基本思想是寻找最能解释已观测到的数据的模型参数。
具体来说，最大似然估计根据已观测到的数据样本，通过优化模型参数使得该样本的出现概率最大化。
换句话说，最大似然估计通过寻找最可能产生观测到的数据样本的模型参数值，来估计真实的未知参数值。
最大似然估计的主要步骤如下：1.选择合适的时间序列模型。
根据数据的特征和背景知识，确定适合的时间序列模型。
常见的时间序列模型包括AR、MA、ARMA、ARIMA等。
2.建立模型的似然函数。
似然函数是一个关于模型参数的函数，表示了在给定参数值的情况下，观测到数据样本的概率。
3.对似然函数取对数，得到对数似然函数。
似然函数通常非常复杂，可能难以直接处理。
取对数可以简化计算，并不改变估计值的最优性质。
4.求解对数似然函数的最大值。
通过优化算法(如牛顿法、梯度下降法)求解对数似然函数的最大值，得到最大似然估计值。
5.检验估计结果。
最大似然估计得到的估计值通常具有一些统计性质，可以进行假设检验、置信区间估计等。
最大似然估计方法在时间序列分析中具有广泛的应用，可以用于估计参数、进行模型选择和模型比较等。
然而，最大似然估计方法也有一些限制和假设，它假设数据是独立同分布的，且服从一些特定的概率分布。
对于一些时间序列数据，可能不满足这些假设，或者需要使用其他方法进行估计。
总之，最大似然估计是一种重要的时间序列分析方法，可以用于估计自回归、移动平均等模型的参数。
它通过优化模型参数，使得模型生成观测到的数据样本的概率最大化。
最大似然估计方法在实际应用中具有广泛的应用，并可以通过检验统计性质来评估估计结果的准确性和有效性。
通信工程自适应均衡
摘要：移动信道的时变性可导致数据通信产生严重的码间串扰，必须选择合适的自适应均衡器，以便最大限度地降低码间串扰的影响，从而降低数据通信的误码率。
本文通过比较选择适用于移动信道的自适应均衡器结构及其自适应算，及其在GSM中的具体应用。
关键词：GSM；码间串扰；自适应均衡器；判决反馈；信号时间结构移动信道是时变的，具有多径延迟、衰落等特性。
当数据信号在HF信道传输时，主要受乘性干扰和加性干扰影响。
例如在GSM系统中，比特速率为270kbit／s，则每一比特时间为3.7ms。
因此，一比特对应1.1km。
假如反射点在移动台之后lkm，那么反射信号的传输路径将比直射信号长2km。
这样就会在有用信号中混有比它迟到两比特时间的另一个信号，出现了码间干扰（有时候也这样说：GSM的射频信号带宽远大于多径衰落信道的相干带宽而造成码间干扰）。
加性干扰造成的错码主要采用差错控制技术来解决，乘性干扰导致码间串扰，对固定特性的信道，可以采用收发匹配滤波器来消除，但对于时变的移动信道，信道的参数是变化的，必须采用自适应均衡技术，即必须自适应调节均衡器的抽头系数以跟踪信道变化。
在讨论均衡技术之前，介绍一下通信信号的时间结构是有必要的。
一．通信信号的时间结构在实际的通信系统中，除了信宿端接收的数据之外，还有一些辅助信息可以利用，这些辅助信息通常是以概率模型的形式给出的。
在地震信号反卷积中，该概率模型是物探反射系数的统计量，而在均衡技术中，则是被发射的数据序列的统计量（简称为时间结构）。
物探反射系数的统计量是人们在长期的观测中统计出来的，无法人为干预，而数字通信系统则不同，通信中的数据的某些特征是可以通过发射信号的设计来获取的。
通信信号的时间结构反映了信号的性质，例如信号的调制方式，脉冲成型函数，以及字符的星座图等。
以下是几种典型的信号时间结构。
（1）恒模：在许多无线通信系统中，发射信号都具有恒定的包络，一个很典型的例子就是高斯最小频移键控。
最大似然估计的原理及应用
最大似然估计的原理及应用1. 原理概述最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是统计学中一种常见的参数估计方法，通过寻找使观测数据发生的概率最大化的参数值，来估计未知参数的方法。
其基本原理是在给定观测数据的条件下，选择参数值使得似然函数（或对数似然函数）最大。
2. 最大似然估计的步骤最大似然估计的步骤可以总结为以下几点：1.建立概率模型：根据观测数据的特点，选择合适的概率分布模型，如高斯分布、泊松分布等。
2.构建似然函数：将观测数据与参数构成的概率模型相结合，得到关于参数的似然函数。
3.对似然函数取对数：通常对似然函数取对数，方便计算和推导。
4.求导并解方程：对似然函数取导数，并解方程找到使似然函数最大化的参数值。
5.参数估计：得到使似然函数最大化的参数值，作为对未知参数的估计。
3. 最大似然估计的优点最大似然估计具有以下几个优点：•简单易用：只需要建立合适的概率模型，并求解似然函数的最大值，无需额外的假设或先验知识。
•有效性：在样本量充足的情况下，最大似然估计能够产生高质量的参数估计结果。
•渐进无偏性：在样本量趋于无穷的情况下，最大似然估计的结果具有无偏性。
4. 最大似然估计的应用4.1. 二项分布的参数估计二项分布是一种常见的离散概率分布，用于描述n次独立的二元试验中成功次数的概率分布。
最大似然估计可以用来估计二项分布的参数。
假设我们观测到了一系列成功次数的数据，我们可以建立一个二项分布模型，并使用最大似然估计来确定二项分布的参数，如成功概率p。
4.2. 正态分布的参数估计正态分布是一种常见的连续概率分布，具有对称性和钟形曲线特点。
最大似然估计可以用来估计正态分布的参数，包括均值和方差。
假设我们观测到一组服从正态分布的数据，我们可以建立正态分布模型，并使用最大似然估计来确定正态分布的参数，如均值和方差。
4.3. 泊松分布的参数估计泊松分布是一种常见的离散概率分布，用于描述单位时间内独立事件发生次数的概率分布。
时间序列分析方法 第05章 最大似然估计
第五章 最大似然估计在本章中我们开始讨论时间序列模型的参数估计方法，其中极大似然估计是一种最为常用的参数估计方法。
我们仅仅讨论极大似然估计的原理和似然函数的推导，而对获取极大似然估计的算法不加以详述。
§5.1 引 言5.1.1 ARMA 模型的极大似然估计假设数据的真实生成过程是一个),(q p ARMA 过程，则该过程的数据生成机制为： q t q t t p t p t t t Y Y Y c Y -----++++++++=εθεθεφφφ 112211 其中t ε是白噪声序列，满足：⎩⎨⎧≠==t s ts E t s ,0,)(2σεε我们将要讨论如何利用t Y 的观测值来估计母体参数：),,,,,,,,,(22121σθθθφφφq p c =θ我们将要采用的方法是极大似然估计方法，因此需要获得似然函数的表达式。
假设获得了T 个样本),,,(21T y y y ，如果能够计算出相应的联合概率密度函数：);,,,(21),,(1θT Y Y y y y f T上述函数可以视为在给定参数下样本发生的概率，因此合理的参数取值是使得上述概率最大，如此参数便称为极大似然估计。
这时我们需要极大化上述联合概率密度。
为此，我们假设噪声序列是高斯白噪声序列，即 ),0(...~2σεN d i i t虽然这个假设非常强，但是在这样假设下得到的参数估计θˆ，对于非Gauss 过程来说也是很有意义的。
具体求解极大似然估计的步骤是：一是先求出并计算似然函数，二是求似然函数的最大值。
这里涉及到一些代表性的非线性数值优化问题。
§5.2 高斯)1(AR 过程的似然函数假设数据生成过程是一个具有高斯白噪声序列的)1(AR 过程：t t t Y c Y εφ++=-11这时对应的参数向量为：),,(2'=σφc θ。
我们首先寻求联合概率分布函数，也就是这些参数对应的似然函数。
(1) 求上述过程似然函数的代表性过程是利用条件概率密度进行传递，所以需要先求出1Y 的概率密度。
第5章(5.8)最大似然序列估计(MLSE)与维特比算法(VA)
5.8 最大似然序列估计（MLSE ）与维特比算法（V A ）引言：1．最大似然函数准则—在AWGN 或AGN 信道上最佳接收准则。
∏==Nk i ki x yp x p 1)()(y2.最大似然序列估计准则—在ISI+AGN （AWGN ）信道或y.{x i 噪声（白，非白）用K-L 展开式，分解y 任意正交基，分解yy(t)或ymax ))((=i x t y p , 判发送i x . i=1,2,…,M可分解成N 个独立的一维概率密度函数连乘M 元{x i 符号序列统计独立展开式，分解y一 最佳接收准则及性能指数1． 系统模型2．最佳接收准则——ML 函数准则——MLSE 准则 求似然函数：在N 维复信号空间中，利用K －L 展开式，在标准正交基(){}t f n 上()()∑=∞→=Nk k k N t f z t z 1,lim特点：k r 的均值与)(t h 所覆盖的若干连续符号（即序列I p ）有关。
原因：信道)(t h 弥散效应使相邻符号之间引入相关性。
所以：k r 的统计特性与序列I p 有关。
则似然函数为}n I()()()t z nT t h I t r nn +-=∑问题：在非白噪声及ISI 中的最佳接收{I n ()k k N z λ,0~ 统计独立高斯变量()(),lim1t f r t r k Nk k N ∑=∞→= ⎪⎭⎫⎝⎛∑-n k n k n k h I N r λ,~ 统计独立高斯变量 式中， ∑+=-nk nk n k z hI r接收信号能量 1(()|)(|)(|)Nk k p r t p p r ===∏p N p p I r I I⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑∏=-=Nk nnk n kk Nk khI r 12121exp 21λπλ 也可写成：()()()2111|2n Nnk k p r t I h t nT dt λ∞-∞=⎧⎫⎪⎪=---⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑⎰N p r I ()12,,...,N r r r =N r ， ()12,,...,P I I I =P I按照MLSE 准则，对给定接收信号r (t ), 当 ()|max p =N p r I ，判p I即最佳估计序列 {}12ˆ,,...,p P I I I =I 是取遍所有序列后使ML 最大的序列。
最大似然估计的关键公式概览
最大似然估计的关键公式概览最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是统计学中一种常用的参数估计方法，它通过寻找最大化样本观测值在给定参数下的概率，从而得到最优的参数估计值。
在实际应用中，最大似然估计被广泛应用于各个领域，例如机器学习、统计分析、金融风险评估等。
本文将对最大似然估计中的关键公式进行概览，帮助读者更好地理解和应用该方法。
1. 似然函数（Likelihood Function）在最大似然估计中，首先需要定义似然函数。
似然函数是一个关于参数的函数，表示在给定参数的条件下，样本观测值出现的可能性。
在统计学中，常用L(θ;x)表示似然函数，其中θ表示参数，x表示样本观测值。
似然函数的计算通常基于样本观测值的分布假设，例如正态分布、泊松分布等。
2. 对数似然函数（Log-Likelihood Function）为了方便计算和优化，通常将似然函数取对数得到对数似然函数。
对数似然函数的形式为ln L(θ;x)，其中ln表示自然对数。
对数似然函数的计算可以将乘法转化为加法，简化计算过程。
同时，对数函数的单调性保证了最大化似然函数和最大化对数似然函数有相同的结果。
3. 最大似然估计的目标函数最大似然估计的目标是找到合适的参数值，使得似然函数或对数似然函数达到最大值。
因此，需要构建一个目标函数，以参数为变量，似然函数或对数似然函数为目标，通过优化算法求解最优的参数估计。
对于似然函数而言，目标函数为：argmax L(θ;x)对于对数似然函数而言，目标函数为：argmax ln L(θ;x)其中argmax表示使目标函数达到最大值的参数取值。
4. 最大化目标函数的方法为了求解使目标函数最大化的参数取值，通常使用数值优化方法。
常见的方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
梯度下降法是一种基于函数梯度信息的迭代优化算法，通过计算目标函数关于参数的梯度方向，并不断朝着梯度下降的方向更新参数值，直至达到最优解。
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5.8 最大似然序列估计（MLSE ）与维特比算法（V A ）引言：1．最大似然函数准则—在AWGN 或AGN 信道上最佳接收准则。
∏==Nk i ki x yp x p 1)()(y2.最大似然序列估计准则—在ISI+AGN （AWGN ）信道或y.{x i 噪声（白，非白）用K-L 展开式，分解y 任意正交基，分解yy(t)或ymax ))((=i x t y p , 判发送i x . i=1,2,…,M可分解成N 个独立的一维概率密度函数连乘M 元{x i 统计独立展开式，分解y一 最佳接收准则及性能指数1． 系统模型2．最佳接收准则——ML 函数准则——MLSE 准则 求似然函数：在N 维复信号空间中，利用K －L 展开式，在标准正交基(){}t f n 上()()∑=∞→=Nk k k N t f z t z 1,lim特点：k r 的均值与)(t h 所覆盖的若干连续符号（即序列I p ）有关。
原因：信道)(t h 弥散效应使相邻符号之间引入相关性。
所以：k r 的统计特性与序列I p 有关。
则似然函数为1(()|)(|)(|)Nk k p r t p p r ===∏p N p p I r I I⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑∏=-=Nk nnk n kk Nk khI r 12121exp 21λπλ}n I()()()t z nT t h I t r nn +-=∑问题：在非白噪声及ISI 中的最佳接收{I n ()k k N z λ,0~ 统计独立高斯变量()(),lim1t f r t r k Nk k N ∑=∞→= ⎪⎭⎫⎝⎛∑-nk nk n k h I N r λ,~ 统计独立高斯变量式中， ∑+=-nk nk n k z hI r接收信号能量 也可写成：()()()2111|2n Nnk k p r t I h t nT dt λ∞-∞=⎧⎫⎪⎪=---⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑⎰N p r I ()12,,...,N r r r =N r ， ()12,,...,P I I I =P I按照MLSE 准则，对给定接收信号r (t ), 当 ()|max p =N p r I ，判p I即最佳估计序列 {}12ˆ,,...,p P I I I =I 是取遍所有序列后使ML 最大的序列。
3．性能指标使似然函数()|p N p r I 最大，等价于使积分值为最小。
定义：性能指数()()()2P n nJ r t I h t nT dt ∞-∞=--∑⎰I()()()2**2Re n n r t dt I r t h t nT dt ∞∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰**()()n m nmI I h t nT h t mT dt ∞-∞+--∑∑⎰故, MLSE 准则等价于()J P I 最小。
()J P I 可简化为： ()**2Re n n n m n m n n mJ I y I I x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑∑∑P I最佳估计时, min )ˆ(=pJ I 式中,dt nT t h t r y n )()(*-=⎰∞∞- 为MF 在nT t = 时输出 ⎰∞∞-+=dt nT t h t h x n )()(* 为MF(或信道)自相关函数MF 输出y n相关函数x n-m注：()()()x t h t h t *=*-，()()()h t g t c t =*。
二．维特比算法（V A ）1.性能指数()N J I 的递推算法设发送序列（复） {}12,,...,N I I I =N I 总长度为N 收：最佳估计序列 {}12,,...,NI I I ∧∧∧∧=N I 使min J ∧⎛⎫= ⎪⎝⎭N I**1112Re min N N N n n m n n m n n m J I y I I x ∧∧∧∧-===⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑N I可分解为递推形式：(1) ()11ˆ--N N J I (2) 111**11112**0ˆˆˆˆ()2Re()ˆˆˆˆ2Re()2Re()N N N n n n m n mn n m N N N N n N n Nn N LJ I y I I x I y I I x I x ----==--==-=-+-++∑∑∑∑N I (A)证明：1111111201111ˆˆˆˆ2()()ˆˆˆˆˆˆˆNN nn Nm m N n mn m N N N N n m n m N N m N m N n n Nn m m n II I I x I I x I x I I x I I x -**==-==----***---=====++=+++∑∑∑∑∑∑（）1ˆˆ2Re()N N n N n n N LI I x -*-=-∑N n N n x x *--=（自相关函数）L N n L n N -≥∴≤-（1） （2）其中，设信道(T x +ch)的冲激响应h (t )持续时间为[0, LT ]（支撑），则自相关函数（或T x +ch ＋MF 的响应）持续时间为[-LT, LT ] （支撑）。
(A)式可表示为：12110ˆˆˆˆˆˆ()()2Re()2Re()N N N N N N NN n N n N n N LJ J I y I I x I x -**---=-=-++∑I I (A1) 对子序列I k 进行估计时（换个时间下标），性能指数()**111ˆˆˆˆ2Re k k kk n n n m n m n n m J I y I I x -===⎛⎫=-+⎪⎝⎭∑∑∑k I （A2） 对子序列I k+1 进行估计时，性能指数：(将（A ）式中N →k+1, N-1→k )()()12**01111111ˆˆ()()ˆˆRe 2Re 2kn k k k k nk n k Lk k Iy IIx I x kJ J J δ+++++-+=+-+++=-∑k k I I (A3) 或11ˆˆ()()k k k k k J J J δ+++=I I （性能指数增量） k 值的确定： k=L,L+1,…,N最大值k max =N ,由发送序列最大长度所确定最小值k min =L ,由信道响应的长度所确定。
（因为ISI 覆盖了L 个符号，只有在k L ≥后，才有可能做出正确的估计） (A3)式就是性能指数的递推算法。
为了从概念上更清晰地说明和简明地表达V A定义：估计序列状态121()ˆˆˆˆ{...}, ,1,....,k k L k L k kL I I I I k L L N σ-+-+-==+个等于信道响应的长度，，，， k σ表示t=kT 时刻，包括当前及其前列符号在内的L 个符号（即ISI 所覆盖的符号）估计值所有可能取值的组合。
若符号为M 元，则每个状态取值组合共有M L 个。
例如，M=2，L=2，则k σ共有4个取值组合。
显然，正确估计只能是其中某一个。
状态k σ中取值组合可简称为状态取值（或状态元素），用节点0表示。
因此，一般讲，对长度为L 的M 元符号序列，每一个状态共有M L 个节点。
1∧I 2∧I k σ00 01 10 11M L 个节点k σ k长度为N (N>L )的序列NI ˆ经历了(N-L+1)个状态。
{}1211ˆˆˆˆˆˆˆ,,...,,,...,...,N L L N L N I I I I I I +-+=IL σ 1+L σ N σ（N-L+1）个状态定义：状态转移—从一个状态k σ过渡到下一个状态1+k σ，记为()1,+k k σσ，将“状态k σ”及“状态转移()1,+k k σσ”引入（A3）式，性能指数11ˆ()k k J ++I 可改写为()()()1111,;+++++=k k k k k k k y B P P σσσσ, []1,-∈N L k (A4)上式即为性能指数递推算法简洁形式，即V A 。
2．Trellis 图及最佳估计的几何解释。
1） Trellis 图由前面分析可以看出：由（A1）式计算性能指数)ˆ(N J I ，并寻找其最小值，来获得对发送符号序列的最佳估计^N I 的算法，等价于(A4)式的递推算法。
因此，最佳估计NI ˆ应满足：,1,ˆˆˆ()min{(...)}()NN N N L L N N N P P J σσσ+==I I I 为最小值 （A5） 或()()11;,1ˆˆ()min N N N N N L k k k k L P P B y σσσ-++=⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭∑I I （A6） 或()(){}11;,1ˆ(1)ˆ()limmin k N NN L k k k k L N P P B y σσσ+++=→-=+I I ( A7)(A7)式所表示的求最佳估计序列NI ˆ的递推算法，可以用Trellis 图加以几何解释。
L σ k σ 1+k σN σL L k k 11++k k )N N图解说明：● 每一个状态，共有M L 个节点（o ）● ()1,;1++k k k y B σσ为“分支度量（长度）”或“状态转移度量（长度）”，表示从1+→k k σσ时，各节点的性能指数增量。
● ()k k P σ为“路径度量（长度）”。
表示从初始状态L σ开始直到状态k σ，各节点性能指数的累加值。
2）最佳估计的几何解释：（即，在Trellis 图中，寻求最佳NI ˆ的几何解释）a)最佳NIˆ由全程最短路径所确定。
按（A5）式，最佳^NI等价于全程最短路径)ˆ(NNP I所连接各状态相应节点所表示的符号序列。
b)求全程最短路径的方法：计算—累加—比较、取舍即：在状态转移中，累加分支长度，再比较、取舍，直到最后一个状态为止。
具体地说，按（A6）（A7）式，求全程最短路径可由逐段最短路径累加来实现。
即状态每转移一次，计算在新状态下各节点的累加路径，再舍去各节点中较长的路径，只保留其中最短路径（叫“幸存路径”）。
各状态下的最短路径叫“局部最短路径”。
这种在状态转移过程中通过计算、累加、比较、取舍方法寻求最短路径的过程延续到最后一个状态N。
再比较各节点的幸存路径，即可找到全程最短路径。
3）说明几点：--关于全程最短路径与局部最短路径的关系。
●“全程最短路径”的唯一性。
当发送序列很长，N很大，全程最短路径是唯一的，它对应着最佳估计NIˆ。
●“局部最短路径“的分离性。
局部最短路径在若干个状态转移过程中，不一定与全程最短路径相吻合，或同时存在几个相等的局部“最短”路径。
因此，在若干个状态转移过程中，不一定能确定真正符合全程的最短路径。
原因：信道噪声的随机性。
当噪声样本序列比较短时，它的统计特性不平稳，带有较大的随机性；当噪声样本序列足够长时，它的统计特性才比较平稳。