第5章(5.8)最大似然序列估计(MLSE)与维特比算法(VA)
最大似然估计详解
最⼤似然估计详解⼀、引⼊ 极⼤似然估计，我们也把它叫做最⼤似然估计(Maximum Likelihood Estimation)，英⽂简称MLE。
它是机器学习中常⽤的⼀种参数估计⽅法。
它提供了⼀种给定观测数据来评估模型参数的⽅法。
也就是模型已知，参数未定。
在我们正式讲解极⼤似然估计之前，我们先简单回顾以下两个概念：概率密度函数(Probability Density function),英⽂简称pdf似然函数(Likelyhood function)1.1 概率密度函数 连续型随机变量的概率密度函数(pdf)是⼀个描述随机变量在某个确定的取值点附近的可能性的函数(也就是某个随机变量值的概率值，注意这是某个具体随机变量值的概率，不是⼀个区间的概率)。
给个最简单的概率密度函数的例⼦，均匀分布密度函数。
对于⼀个取值在区间[a,b]上的均匀分布函数\(I_{[a,b]}\)，它的概率密度函数为:\[f_{I_{[a,b]}}(x) = \frac{1}{b-a}I_{[a,b]} \]其图像为：其中横轴为随机变量的取值，纵轴为概率密度函数的值。
也就是说，当\(x\)不在区间\([a,b]\)上的时候，函数值为0，在区间\([a,b]\)上的时候，函数值等于\(\frac{1}{b-a}\)，函数值即当随机变量\(X=a\)的概率值。
这个函数虽然不是完全连续的函数，但是它可以积分。
⽽随机变量的取值落在某个区域内的概率为概率密度函数在这个区域上的积分。
Tips:当概率密度函数存在的时候，累计分布函数是概率密度函数的积分。
对于离散型随机变量，我们把它的密度函数称为概率质量密度函数对概率密度函数作类似福利叶变换可以得到特征函数。
特征函数与概率密度函数有⼀对⼀的关系。
因此，知道⼀个分布的特征函数就等同于知道⼀个分布的概率密度函数。
(这⾥就是提⼀嘴，本⽂所讲的内容与特征函数关联不⼤，如果不懂可以暂时忽略。
)1.2 似然函数 官⽅⼀点解释似然函数是，它是⼀种关于统计模型中的参数的函数，表⽰模型参数的似然性(likelyhood)。
最大似然检测
最大似然检测最大似然检测（Maximum Likelihood，ML）检测，也被称作最大似然序列估计（MLSE），从严格意义上讲它不是均衡方案而是接收机方式，其中接收端的检测处理显式地考虑了无线信道时间弥散的影响。
从根本上讲，ML检测器考虑了时间弥散对接收信号的影响，用整个接收信号来确定最有可能被发送的序列。
为了实现最大似然检测，通常使用Viterbi算法。
然而，尽管基于Viterbi算法的最大似然检测被广泛应用于诸如GSM的2G通信，该算法还是因为太过复杂而无法应用在LTE上，这是因为更宽的传输带宽将导致更广泛的信道频率选择性和更高的采样速率。
总的来说，信号信息经过信道估计和均衡后，通过资源逆映射映射到不同的物理信道上进行处理。
1.1最大似然估计原理给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为fD，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样通过利用fD，我们就能计算出其概率：但是，我们可能不知道θ的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。
那么我们如何才能估计出θ呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样，然后用这些采样数据来估计θ.一旦我们获得，，我们就能从中找到一个关于θ的估计。
最大似然估计会寻找关于θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。
这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如θ的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。
要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义似然函数:并且在θ的所有取值上，使这个函数最大化。
这个使可能性最大的值即被称为θ的最大似然估计。
1.2最大似然译码算法在LTE上的应用假定调制星座图中的所有信号都是等概的，最大似然译码器对所有可能的见，和妥2值，从信号调制星座图中选择一对信号(二.，见2)使下面的距离量度最小(1)化简得最大似然译码判决准则为：(2)上式中:C为调制符号对所有可能的集合;和是通过合并接收信号和信道状态信息构造产生的两个判决统计。
通信工程自适应均衡
摘要：移动信道的时变性可导致数据通信产生严重的码间串扰，必须选择合适的自适应均衡器，以便最大限度地降低码间串扰的影响，从而降低数据通信的误码率。
本文通过比较选择适用于移动信道的自适应均衡器结构及其自适应算，及其在GSM中的具体应用。
关键词：GSM；码间串扰；自适应均衡器；判决反馈；信号时间结构移动信道是时变的，具有多径延迟、衰落等特性。
当数据信号在HF信道传输时，主要受乘性干扰和加性干扰影响。
例如在GSM系统中，比特速率为270kbit／s，则每一比特时间为3.7ms。
因此，一比特对应1.1km。
假如反射点在移动台之后lkm，那么反射信号的传输路径将比直射信号长2km。
这样就会在有用信号中混有比它迟到两比特时间的另一个信号，出现了码间干扰（有时候也这样说：GSM的射频信号带宽远大于多径衰落信道的相干带宽而造成码间干扰）。
加性干扰造成的错码主要采用差错控制技术来解决，乘性干扰导致码间串扰，对固定特性的信道，可以采用收发匹配滤波器来消除，但对于时变的移动信道，信道的参数是变化的，必须采用自适应均衡技术，即必须自适应调节均衡器的抽头系数以跟踪信道变化。
在讨论均衡技术之前，介绍一下通信信号的时间结构是有必要的。
一．通信信号的时间结构在实际的通信系统中，除了信宿端接收的数据之外，还有一些辅助信息可以利用，这些辅助信息通常是以概率模型的形式给出的。
在地震信号反卷积中，该概率模型是物探反射系数的统计量，而在均衡技术中，则是被发射的数据序列的统计量（简称为时间结构）。
物探反射系数的统计量是人们在长期的观测中统计出来的，无法人为干预，而数字通信系统则不同，通信中的数据的某些特征是可以通过发射信号的设计来获取的。
通信信号的时间结构反映了信号的性质，例如信号的调制方式，脉冲成型函数，以及字符的星座图等。
以下是几种典型的信号时间结构。
（1）恒模：在许多无线通信系统中，发射信号都具有恒定的包络，一个很典型的例子就是高斯最小频移键控。
第5章(5.8)最大似然序列估计(MLSE)与维特比算法(VA)
5.8 最大似然序列估计（MLSE ）与维特比算法（V A ）引言：1．最大似然函数准则—在AWGN 或AGN 信道上最佳接收准则。
∏==Nk i ki x yp x p 1)()(y2.最大似然序列估计准则—在ISI+AGN （AWGN ）信道或y.{x i 噪声（白，非白）用K-L 展开式，分解y 任意正交基，分解yy(t)或ymax ))((=i x t y p , 判发送i x . i=1,2,…,M可分解成N 个独立的一维概率密度函数连乘M 元{x i 符号序列统计独立展开式，分解y一 最佳接收准则及性能指数1． 系统模型2．最佳接收准则——ML 函数准则——MLSE 准则 求似然函数：在N 维复信号空间中，利用K －L 展开式，在标准正交基(){}t f n 上()()∑=∞→=Nk k k N t f z t z 1,lim特点：k r 的均值与)(t h 所覆盖的若干连续符号（即序列I p ）有关。
原因：信道)(t h 弥散效应使相邻符号之间引入相关性。
所以：k r 的统计特性与序列I p 有关。
则似然函数为}n I()()()t z nT t h I t r nn +-=∑问题：在非白噪声及ISI 中的最佳接收{I n ()k k N z λ,0~ 统计独立高斯变量()(),lim1t f r t r k Nk k N ∑=∞→= ⎪⎭⎫⎝⎛∑-n k n k n k h I N r λ,~ 统计独立高斯变量 式中， ∑+=-nk nk n k z hI r接收信号能量 1(()|)(|)(|)Nk k p r t p p r ===∏p N p p I r I I⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑∏=-=Nk nnk n kk Nk khI r 12121exp 21λπλ 也可写成：()()()2111|2n Nnk k p r t I h t nT dt λ∞-∞=⎧⎫⎪⎪=---⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑⎰N p r I ()12,,...,N r r r =N r ， ()12,,...,P I I I =P I按照MLSE 准则，对给定接收信号r (t ), 当 ()|max p =N p r I ，判p I即最佳估计序列 {}12ˆ,,...,p P I I I =I 是取遍所有序列后使ML 最大的序列。
维特比算法 基因组序列
维特比算法基因组序列全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：维特比算法是一种常用于基因组序列分析的算法，它是一个概率模型，通常用于预测最可能的序列。
在基因组学研究中，通过维特比算法可以有效地识别基因结构和进行基因组序列比对，进而推断基因功能和进行基因突变分析。
基因组序列是生物体内的所有基因的总和，它记录了生物体内所含有的所有遗传信息。
通过对基因组序列的研究，科学家们可以了解生物体的遗传背景，预测基因功能，甚至研究基因突变的影响。
基因组序列的长度通常非常庞大，因此如何高效地分析和处理这些序列成为了研究者们面临的首要挑战。
维特比算法正是为了解决这一难题而被广泛应用的。
它是一种最大后验概率准则下的解码算法，通过动态规划的方式计算出基因组序列中最可能的路径，并输出这条路径对应的序列。
维特比算法的优势在于其高效性和准确性，能够有效地处理大规模的基因组序列数据。
在维特比算法中，首先需要构建一个状态转移矩阵和一个发射概率矩阵。
状态转移矩阵描述了基因组序列中不同状态之间的转移概率，比如嘌呤到嘌呤、嘌呤到嘧啶等。
发射概率矩阵则描述了每个状态发射不同碱基的概率，比如在嘌呤状态下发射A的概率、C的概率等。
通过这两个矩阵，可以计算出基因组序列中每个碱基的概率分布。
接着，维特比算法利用动态规划的思想遍历整个基因组序列，计算出每个位置上最可能的状态。
具体来说，对于每个位置i和每个状态j，维特比算法会计算出到达位置i并处于状态j的最大可能概率。
通过不断更新这些概率值，最终可以得到整条基因组序列中最可能的状态路径。
一旦得到最可能的状态路径，就可以根据状态路径和发射概率矩阵推断出具体的碱基序列。
这个过程可以帮助研究人员快速准确地识别基因结构、预测基因功能和进行基因序列比对。
维特比算法还可以用于研究基因突变的影响，通过比较不同基因组序列间的状态路径，可以发现可能的突变点并推断其影响。
维特比算法在基因组序列分析中起到了至关重要的作用。
均衡的三种算法ZFMMSE和MLSE
均衡的三种算法ZFMMSE和MLSE均衡是一种在通信系统中用于抵消信道传输带来的畸变和干扰的技术。
它通过利用信道状态信息（CSI）和等化器来改善信号的传输质量。
在均衡算法中，有三种常见的方法：零离子最小均方（ZF）等化、最小均方（MMSE）等化和最大似然序列估计（MLSE）。
下面将逐一介绍这三种算法的原理和特点。
1.零离子最小均方（ZF）等化器：ZF等化器的主要思想是抵消信道的影响，使接收信号在通信系统的终端接近发送信号。
它使用逆矩阵来消除信道引起的畸变，并恢复原始信号。
如果信道是非奇异的，ZF等化器可以完全恢复发送信号。
但是，如果信道是奇异的，ZF等化器会出现零除错误。
为了解决这个问题，可以使用正则化技术或使用其他等化算法。
2.最小均方（MMSE）等化器：MMSE等化器是一种最优的等化方法，它最小化了接收信号与原始信号之间的均方误差。
与ZF等化器不同，MMSE等化器可以应对任意的信道。
它利用信道状态信息和先验统计信息来均衡接收信号，减小传输信号的误差。
MMSE等化器在信号噪声比较低时性能更好，但计算复杂度相对较高。
3.最大似然序列估计（MLSE）等化器：MLSE等化是一种通过计算序列的概率来恢复发送信号的方法。
它通过考虑所有可能的发送信号序列，找到其中最有可能的一组序列。
MLSE等化器的主要优点是它可以适应任意复杂度的信道，包括多径信道和干扰等。
然而，MLSE等化器的计算复杂度非常高，尤其是当信号维数和符号序列长度增加时。
综上所述，ZF、MMSE和MLSE等化器是一些常见的在通信系统中使用的均衡算法。
它们各自具有不同的特点和适用范围。
选择合适的均衡算法取决于信道环境、计算复杂度和性能要求等因素。
MLE和EM算法的学习和阅读整理
MLE和EM算法的学习和阅读整理1. 引言1.1 介绍MLE和EM算法最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）和期望最大化算法（Expectation Maximization，EM）是统计学中常用的两种参数估计方法。
最大似然估计主要用于估计参数，其基本思想是选择使得观测到的样本出现的概率最大的参数值作为模型的估计值。
而期望最大化算法则是一种迭代算法，用于估计包含隐变量的概率模型中的参数。
MLE和EM算法在统计学和机器学习领域有着广泛的应用。
它们可以用来估计概率分布的参数、拟合模型、聚类分析、密度估计等。
由于其理论基础扎实、应用广泛，MLE和EM算法在实际问题中得到了广泛的应用。
在本文中，将详细探讨MLE和EM算法的基本概念和原理，以及它们的优劣比较和学习方法。
通过学习这两种算法，我们可以更好地理解参数估计的原理，提高数据分析和建模的效率。
我们还将介绍一些相关领域中应用MLE和EM算法的案例，以帮助读者更好地理解这两种算法的实际应用价值。
2. 正文2.1 MLE的基本概念和原理最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, 简称MLE）是统计学中常用的一种参数估计方法。
它的基本思想是，通过观测样本数据来估计未知参数的值，使得所得到的样本数据出现的概率最大化。
换句话说，MLE是寻找最有可能产生观测数据的参数取值。
在实际应用中，最大似然估计通常涉及到对数据的概率分布进行假设。
以正态分布为例，假设观测数据来自于正态分布，利用最大似然估计方法来估计正态分布的均值和方差。
具体来说，我们可以建立一个似然函数，然后通过对似然函数取对数，再对参数求导来找到最大化似然函数的参数值。
最大似然估计在统计学和机器学习中有着广泛的应用。
它不仅可以用来估计参数，还可以用于假设检验、模型选择等方面。
最大似然估计还具有较好的渐进性质，当样本数量足够大时，估计值接近于真实值。
“维特比”算法
“维特比”算法维特比算法(Viterbi algorithm)是一种用于解码隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model，HMM)的动态规划算法。
它是由Andrew Viterbi 在1967年提出，因此得名。
隐马尔可夫模型是一种用于描述具有隐藏（不可观察）状态的过程的统计模型。
该模型由状态集合、观测集合、状态转移概率矩阵、观测概率矩阵、初始状态概率向量组成。
维特比算法的目标是找到给定观测序列条件下最有可能的状态序列。
它通过分析所有可能的状态序列并计算它们的概率来实现这一目标。
维特比算法的核心思想是利用动态规划的方式来避免重复计算，以提高算法的效率。
算法利用一个二维矩阵来保存中间结果，其中每个元素表示以当前观测为结束点的最优状态路径的概率。
算法的步骤如下：1.初始化：将第一次观测作为当前观测，计算每个隐藏状态的初始概率。
2.递推：对于每个后续观测，计算每个隐藏状态的最大概率路径。
3.终止：选择以最后一个观测为结束点的最大概率路径作为最终的状态序列。
在递推过程中，维特比算法利用状态转移概率和观测概率来计算当前观测下每个隐藏状态的最大概率路径。
具体地，对于每个隐藏状态，算法选择前一个观测下最大概率路径与当前状态到下一个状态的转移概率的乘积最大的路径作为最优路径。
维特比算法的时间复杂度取决于观测序列的长度和状态的数量，通常为O(TN^2)，其中T是观测序列的长度，N是状态的数量。
维特比算法在自然语言处理和语音识别等领域有着广泛的应用。
例如，在语音识别中，维特比算法可以从观测到的声学特征序列中推断出最有可能的音标序列。
综上所述，维特比算法是一种用于解码隐马尔可夫模型的动态规划算法，通过分析所有可能的状态序列并计算它们的概率来找到给定观测序列条件下最有可能的状态序列。
它在自然语言处理和语音识别等领域有着广泛的应用，并通过利用动态规划的方式来避免重复计算，提高算法的效率。
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5.8 最大似然序列估计（MLSE ）与维特比算法（V A ）引言：1．最大似然函数准则—在AWGN 或AGN 信道上最佳接收准则。
∏==Nk i ki x yp x p 1)()(y2.最大似然序列估计准则—在ISI+AGN （AWGN ）信道或y.{x i 噪声（白，非白）用K-L 展开式，分解y 任意正交基，分解yy(t)或ymax ))((=i x t y p , 判发送i x . i=1,2,…,M可分解成N 个独立的一维概率密度函数连乘M 元{x i 统计独立展开式，分解y一 最佳接收准则及性能指数1． 系统模型2．最佳接收准则——ML 函数准则——MLSE 准则 求似然函数：在N 维复信号空间中，利用K －L 展开式，在标准正交基(){}t f n 上()()∑=∞→=Nk k k N t f z t z 1,lim特点：k r 的均值与)(t h 所覆盖的若干连续符号（即序列I p ）有关。
原因：信道)(t h 弥散效应使相邻符号之间引入相关性。
所以：k r 的统计特性与序列I p 有关。
则似然函数为1(()|)(|)(|)Nk k p r t p p r ===∏p N p p I r I I⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑∏=-=Nk nnk n kk Nk khI r 12121exp 21λπλ}n I()()()t z nT t h I t r nn +-=∑问题：在非白噪声及ISI 中的最佳接收{I n ()k k N z λ,0~ 统计独立高斯变量()(),lim1t f r t r k Nk k N ∑=∞→= ⎪⎭⎫⎝⎛∑-nk nk n k h I N r λ,~ 统计独立高斯变量式中， ∑+=-nk nk n k z hI r接收信号能量 也可写成：()()()2111|2n Nnk k p r t I h t nT dt λ∞-∞=⎧⎫⎪⎪=---⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑⎰N p r I ()12,,...,N r r r =N r ， ()12,,...,P I I I =P I按照MLSE 准则，对给定接收信号r (t ), 当 ()|max p =N p r I ，判p I即最佳估计序列 {}12ˆ,,...,p P I I I =I 是取遍所有序列后使ML 最大的序列。
3．性能指标使似然函数()|p N p r I 最大，等价于使积分值为最小。
定义：性能指数()()()2P n nJ r t I h t nT dt ∞-∞=--∑⎰I()()()2**2Re n n r t dt I r t h t nT dt ∞∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰**()()n m nmI I h t nT h t mT dt ∞-∞+--∑∑⎰故, MLSE 准则等价于()J P I 最小。
()J P I 可简化为： ()**2Re n n n m n m n n mJ I y I I x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑∑∑P I最佳估计时, min )ˆ(=pJ I 式中,dt nT t h t r y n )()(*-=⎰∞∞- 为MF 在nT t = 时输出 ⎰∞∞-+=dt nT t h t h x n )()(* 为MF(或信道)自相关函数MF 输出y n相关函数x n-m注：()()()x t h t h t *=*-，()()()h t g t c t =*。
二．维特比算法（V A ）1.性能指数()N J I 的递推算法设发送序列（复） {}12,,...,N I I I =N I 总长度为N 收：最佳估计序列 {}12,,...,NI I I ∧∧∧∧=N I 使min J ∧⎛⎫= ⎪⎝⎭N I**1112Re min N N N n n m n n m n n m J I y I I x ∧∧∧∧-===⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑N I可分解为递推形式：(1) ()11ˆ--N N J I (2) 111**11112**0ˆˆˆˆ()2Re()ˆˆˆˆ2Re()2Re()N N N n n n m n mn n m N N N N n N n Nn N LJ I y I I x I y I I x I x ----==--==-=-+-++∑∑∑∑N I (A)证明：1111111201111ˆˆˆˆ2()()ˆˆˆˆˆˆˆNN nn Nm m N n mn m N N N N n m n m N N m N m N n n Nn m m n II I I x I I x I x I I x I I x -**==-==----***---=====++=+++∑∑∑∑∑∑（）1ˆˆ2Re()N N n N n n N LI I x -*-=-∑N n N n x x *--=（自相关函数）L N n L n N -≥∴≤-（1） （2）其中，设信道(T x +ch)的冲激响应h (t )持续时间为[0, LT ]（支撑），则自相关函数（或T x +ch ＋MF 的响应）持续时间为[-LT, LT ] （支撑）。
(A)式可表示为：12110ˆˆˆˆˆˆ()()2Re()2Re()N N N N N N NN n N n N n N LJ J I y I I x I x -**---=-=-++∑I I (A1) 对子序列I k 进行估计时（换个时间下标），性能指数()**111ˆˆˆˆ2Re k k kk n n n m n m n n m J I y I I x -===⎛⎫=-+⎪⎝⎭∑∑∑k I （A2） 对子序列I k+1 进行估计时，性能指数：(将（A ）式中N →k+1, N-1→k )()()12**01111111ˆˆ()()ˆˆRe 2Re 2kn k k k k nk n k Lk k Iy IIx I x kJ J J δ+++++-+=+-+++=-∑k k I I (A3) 或11ˆˆ()()k k k k k J J J δ+++=I I （性能指数增量） k 值的确定： k=L,L+1,…,N最大值k max =N ,由发送序列最大长度所确定最小值k min =L ,由信道响应的长度所确定。
（因为ISI 覆盖了L 个符号，只有在k L ≥后，才有可能做出正确的估计） (A3)式就是性能指数的递推算法。
为了从概念上更清晰地说明和简明地表达V A定义：估计序列状态121()ˆˆˆˆ{...}, ,1,....,k k L k L k kL I I I I k L L N σ-+-+-==+个等于信道响应的长度，，，， k σ表示t=kT 时刻，包括当前及其前列符号在内的L 个符号（即ISI 所覆盖的符号）估计值所有可能取值的组合。
若符号为M 元，则每个状态取值组合共有M L 个。
例如，M=2，L=2，则k σ共有4个取值组合。
显然，正确估计只能是其中某一个。
状态k σ中取值组合可简称为状态取值（或状态元素），用节点0表示。
因此，一般讲，对长度为L 的M 元符号序列，每一个状态共有M L 个节点。
1∧I 2∧I k σ00 01 10 11M L 个节点k σ k长度为N (N>L )的序列NI ˆ经历了(N-L+1)个状态。
{}1211ˆˆˆˆˆˆˆ,,...,,,...,...,N L L N L N I I I I I I +-+=IL σ 1+L σ N σ（N-L+1）个状态定义：状态转移—从一个状态k σ过渡到下一个状态1+k σ，记为()1,+k k σσ，将“状态k σ”及“状态转移()1,+k k σσ”引入（A3）式，性能指数11ˆ()k k J ++I 可改写为()()()1111,;+++++=k k k k k k k y B P P σσσσ, []1,-∈N L k (A4)上式即为性能指数递推算法简洁形式，即V A 。
2．Trellis 图及最佳估计的几何解释。
1） Trellis 图由前面分析可以看出：由（A1）式计算性能指数)ˆ(N J I ，并寻找其最小值，来获得对发送符号序列的最佳估计^N I 的算法，等价于(A4)式的递推算法。
因此，最佳估计NI ˆ应满足：,1,ˆˆˆ()min{(...)}()NN N N L L N N N P P J σσσ+==I I I 为最小值 （A5） 或()()11;,1ˆˆ()min N N N N N L k k k k L P P B y σσσ-++=⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭∑I I （A6） 或()(){}11;,1ˆ(1)ˆ()limmin k N NN L k k k k L N P P B y σσσ+++=→-=+I I ( A7)(A7)式所表示的求最佳估计序列NI ˆ的递推算法，可以用Trellis 图加以几何解释。
L σ k σ 1+k σN σL L k k 11++k k )N N图解说明：● 每一个状态，共有M L 个节点（o ）● ()1,;1++k k k y B σσ为“分支度量（长度）”或“状态转移度量（长度）”，表示从1+→k k σσ时，各节点的性能指数增量。
● ()k k P σ为“路径度量（长度）”。
表示从初始状态L σ开始直到状态k σ，各节点性能指数的累加值。
2）最佳估计的几何解释：（即，在Trellis 图中，寻求最佳NI ˆ的几何解释）a)最佳NIˆ由全程最短路径所确定。
按（A5）式，最佳^NI等价于全程最短路径)ˆ(NNP I所连接各状态相应节点所表示的符号序列。
b)求全程最短路径的方法：计算—累加—比较、取舍即：在状态转移中，累加分支长度，再比较、取舍，直到最后一个状态为止。
具体地说，按（A6）（A7）式，求全程最短路径可由逐段最短路径累加来实现。
即状态每转移一次，计算在新状态下各节点的累加路径，再舍去各节点中较长的路径，只保留其中最短路径（叫“幸存路径”）。
各状态下的最短路径叫“局部最短路径”。
这种在状态转移过程中通过计算、累加、比较、取舍方法寻求最短路径的过程延续到最后一个状态N。
再比较各节点的幸存路径，即可找到全程最短路径。
3）说明几点：--关于全程最短路径与局部最短路径的关系。
●“全程最短路径”的唯一性。
当发送序列很长，N很大，全程最短路径是唯一的，它对应着最佳估计NIˆ。
●“局部最短路径“的分离性。
局部最短路径在若干个状态转移过程中，不一定与全程最短路径相吻合，或同时存在几个相等的局部“最短”路径。
因此，在若干个状态转移过程中，不一定能确定真正符合全程的最短路径。
原因：信道噪声的随机性。
当噪声样本序列比较短时，它的统计特性不平稳，带有较大的随机性；当噪声样本序列足够长时，它的统计特性才比较平稳。