清华大学电力系统 同步发电机的数学模型21
电 力 系 统第7章 同步发电机的数学模型
3
7.1.1
同步发电机的理想化基本假设
同步发电机的实际结构很复杂，但就电磁关系而言，它不过是由若干个有电
磁耦合关系的线圈所组成。如图7.1所示。
为了简化分析，通常对被研究的同步发电机作如下的假设： ①电机导磁部分的导磁系数不变。这就忽略了磁饱和、磁滞、涡流和集肤效
将式（7.33）代入式（7.22）即可得到用暂态电抗和暂态电势表示的电势方
程
由此可画出对应的纵横轴等值电路，如图7.6所示。
因此，式（7.34）可写成相量形式：
21
图7.6
用暂态参数表示的同步发电机等值电路 (a)纵横向；(b)横轴向
或将两个方程合成为：
一般有以下两种方式。 ①用电势 为 和电抗Xq作等值电路，如图7.4所示。不过，这时等值电势
30
由图7.15可得
图7.15
参
考轴与角度 将式（7.51）和式（7.53）代入式（7.50），可得：
31
于是得到用有名值表示的发电机转子运动方程：
如果考虑到发电机组的惯性较大，一般情况下机械角速度Ω 的变化不是太大 ，则可近似认为转矩的标幺值等于功率的标幺值，即：
于是，式（7.55）可表示为：
链平衡等值模型，且得出与此对应的用暂态电抗和暂态电势表示的同步电机
电压稳态方程和相量图，以及用次暂态电抗和次暂态电势表示的同步电机电 压稳态方程和相量图。最后，介绍了描述发电机转子动态特性的发电机转子
是因为定子三相合成磁势的幅值为一相磁势的3/2倍。 关于同步电机的标幺值系统在此不再赘述，以标幺值表示的电势方程和磁链
方程为
12
同样，定子绕组输出的功率也可进行坐标变换。 当电流和电压规定的正方 向与图7.1（b）相同时，定子绕组输出的总功率为：
同步电机数学模型
同步电机的基本方程式及数学模型派克方程1.1 理想电机假设（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，因此可以忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤效应作用等的影响；（2）定子的三个绕组的位置在空间互相相差120°电角度，3个绕组在结构上完全相同。
同时，他们均在气隙中产生正弦分布的磁动势；（3）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，因此认为电机的定子及转子具有光滑的表面；为了分析计算，还需要设定绕组电流、磁链正方向。
1.2 abc 坐标下的有名值方程同步电机共有6个绕组分别为：定子绕组a,b,c ，转子励磁绕组f ，转子d 轴阻尼绕组D 以及转子q 轴阻尼绕组Q 。
需要求出每个绕组的电压、电流和磁链未知数，因此一共需要18个方程才能求解。
电压方程：00a a a ab b b b cc c c f f f f D D D D QQ Q Q u p r i u p r i u p r iu p r i u p r i u p r i ψψψψψψ=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩=-⎧⎪=-≡⎨⎪=-≡⎩D 绕组与Q 绕组均为无外接电源闭合绕组，因此电压均为0，从而上式中一共有8个方程。
磁链方程：11a a aa ab ac af aD aQ b b ba bb bc bf bD bQ c c ca cb cc cf cD cQ f f fa fb fc ff fD fQ Da Db Dc Df DD DQ D D Qa Qb Qc Qf QDQQ Q Q i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L L L L L L L i L L L L L L i L ψψψψψψ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=(33)12(33)21(33)22(33)abc fDQ i L L L i ⨯⨯⨯⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在电感矩阵中（针对凸极机），定子绕组自感和互感参数是随转子位置而变化的参数，而在转子绕组中，转子的自感和互感参数均为常数，而且D 轴与Q 轴正交，则D 轴绕组与Q 轴绕组互感为0。
高等电力系统之同步电机数学模型
上篇 电力系统元件数学模型1 同步电机数学模型1.1 abc 坐标下的有名值方程1.1.1 理想电机同步电机是电力系统的心脏，它是一种集旋转与静止、电磁变化与机械运动于一体，实现电能与机械能变换的元件，其动态性能十分复杂，而且其动态性能又对全电力系统的动态性能有极大影响，因此应对它作深入分析，以便建立用于研究分析电力系统各种物理问题的同步电机数学模型。
为了建立同步电机的数学模型，必须对实际的三相同步电机作必要的假定，以便简化分析计算。
通常假定：（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，既忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤作用等的影响。
（2）对纵轴及横轴而言，电机转子在结构上是完全对称的。
（3）定子的3个绕组的位置在空间互相相差120º电角度，3个绕组在结构上完全相同。
同时，它们均在气隙中产生正弦形分布的磁动势。
（4）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。
满足上述假定条件的电机称为理想电机。
这些假定在大多数情况下已能满足实际工程问题研究的需要，下面的同步电机基本方程推导即基于上述理想电机的假定。
当需要考虑某些因素（如磁饱和等）时，则要对基本方程作相应修正。
图1-l 是双极理想电机的示意图，图中标明了各绕组电磁量的正方向。
必须特别强调的是，后面导出的同步电机基本方程是与图1-l 中所定义的电磁量正方向相对应的。
下面对图1-1中所定义的各电磁量正方向作必要的说明。
定子abc 三相绕组的对称轴a ，b ，c 空间互差120º电角度。
设转子逆时针旋转为旋转正方向，则其依次与静止的a ，b ，c 三轴相遇。
定子三相绕组磁链c b a ΨΨΨ,,的正方向分别与a ，b ，c 三轴正方向一致。
定子三相电流c b a i i i ,,的正方向如图1-1所示。
正值相电流产生相应相的负值磁动势和磁链。
这种正方向设定与正常运行时定子电流的去磁作用（电枢反应）相对应，有利于分析计算。
新编[工学]高等电力系统之同步电机数学模型
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上篇 电力系统元件数学模型1 同步电机数学模型1.1 abc 坐标下的有名值方程1.1.1 理想电机同步电机是电力系统的心脏，它是一种集旋转与静止、电磁变化与机械运动于一体，实现电能与机械能变换的元件，其动态性能十分复杂，而且其动态性能又对全电力系统的动态性能有极大影响，因此应对它作深入分析，以便建立用于研究分析电力系统各种物理问题的同步电机数学模型。
为了建立同步电机的数学模型，必须对实际的三相同步电机作必要的假定，以便简化分析计算。
通常假定：（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，既忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤作用等的影响。
（2）对纵轴及横轴而言，电机转子在结构上是完全对称的。
（3）定子的3个绕组的位置在空间互相相差120º电角度，3个绕组在结构上完全相同。
同时，它们均在气隙中产生正弦形分布的磁动势。
（4）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。
满足上述假定条件的电机称为理想电机。
这些假定在大多数情况下已能满足实际工程问题研究的需要，下面的同步电机基本方程推导即基于上述理想电机的假定。
当需要考虑某些因素（如磁饱和等）时，则要对基本方程作相应修正。
图1-l 是双极理想电机的示意图，图中标明了各绕组电磁量的正方向。
必须特别强调的是，后面导出的同步电机基本方程是与图1-l 中所定义的电磁量正方向相对应的。
下面对图1-1中所定义的各电磁量正方向作必要的说明。
定子abc 三相绕组的对称轴a ，b ，c 空间互差120º电角度。
设转子逆时针旋转为旋转正方向，则其依次与静止的a ，b ，c 三轴相遇。
定子三相绕组磁链c b a ΨΨΨ,,的正方向分别与a ，b ，c 三轴正方向一致。
定子三相电流c b a i i i ,,的正方向如图1-1所示。
正值相电流产生相应相的负值磁动势和磁链。
这种正方向设定与正常运行时定子电流的去磁作用（电枢反应）相对应，有利于分析计算。
课件：第12讲-同步发电机的数学模型
a相绕组的自感为
Laa Ls Lt cos 2a
• 对于b、c相绕组，因为
b
a a
240 120
c
a a
120 240
Lbb Lcc
Ls Ls
Lt Lt
cos 2b cos 2c
Ls
Ls
Lt cos 2(a 120
Lt cos 2(a 120 )
)
定子绕组之间的互感
Lab Lba, Lbc Lcb, Lca Lac
1、同步发电机的重要性
•现今我国电能90%以上来自同步发电机（火电、 核电、水电、部分风电等），在今后50年，主 要的电能仍将来源于同步发电机（三峡寿命至 少50年以上）；
•同步发电机的分析是电力系统分析的基础
– 电力系统最复杂的元件之一； – 其电磁暂态过程左右了电力系统的电磁暂态过程
2、同步发电机的结构与等值
iD
f
a D
ua
ia a
a
u f p f rf i f
c
uD p D rDiD 0
ic uc
c
p
d
uQ p Q rQiQ
为微分算子
0
r、rf、rD、rQ分别为定子绕组、 励磁绕组、D绕组、Q绕组的等
dt
效电阻.
绕组电压方程的矩阵形式
ua a r 0 0 0 0 0 ia
b ib b
ub
Q
iQ
c ic uc
c
d
uf if
iD
f
a D
ua
a ia
a
a相绕组的磁链
a Laaia Labib Lacic Laf if LaDiD LaQiQ
清华大学电力系统_同步发电机的数学模型21(工程师伦理)
长江三峡水电枢纽同步汽轮发电机的转子同步水轮发电机的转子气隙定子同步发电机的FLASH.SWF11定子上3个等效绕组a 相绕组b 相绕组c 相绕组转子上3个等效绕组同步发电机简化为：定子3个绕组、转子3个绕组、气隙、定子铁心、转子铁心组成的6绕组电磁系统励磁绕组d 轴等效的阻尼绕组轴等效的阻尼绕组Q15d 轴q 轴120度120度120度定子、转子铁心同轴（忽略定、转θsin )M F =磁动势零点θ的，无饱和，无磁滞和涡流损耗，19磁链与电流、电压的参考正方向1、设转子逆时针旋转为旋转正方向；3、定子三相绕组端电压的极性与相电流正方向按发电机惯例来定义，即正值电流i a 从端电压u a 的正极流出发电机，b 、c 相类似。
定子绕组的正电流产生负的磁链！！2、定子三相绕组磁链ψa ，ψb ，ψc 的正方向与a 、b 、c 三轴正方向一致;+-215、d轴上的励磁绕组f、阻磁链正方向与d轴磁链正方向与q轴的正方向一致；正电流由端电压，因此绕组电阻：a 相绕组b 相绕组c 相绕组＋26励磁绕组d 轴阻尼绕组轴阻尼绕组绕组、28绕组的磁链方程－6个定子绕组的磁链a 相绕组的磁链＝a 相绕组电流产生的自磁链＋b 相绕组电流产生的互磁链＋c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的互磁链＋D 绕组电流产生的互磁链＋Q 绕组电流产生的互磁链31转子绕组的磁链励磁绕组的磁链＝a 相绕组电流产生的互磁链＋b 相绕组电流产生的互磁链＋c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的自磁链＋D 绕组电流产生的互磁链＋Q 绕组电流产生的互磁链36a 相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d 轴与a 相绕组轴线的夹角θa (=ωt )有关磁路的磁导λaa ,自感L aa 为θa 的周期函数，周期为π。
θaθa ＝±π/2磁路磁导最小，自感最小a θa ＝0，π磁路磁导最大，自感最大a磁导变化的规律直流分量2 θa 周期函数-π-π/2 0 π/2 π即a 绕组的自感为at s aa L L L θ2cos +=期为π。
第2讲同步发电机数学模型详解
3 2
LaB
LDB
M afB M faB
2 3 LaB L fB
3 2
LaB L fB
M aQB M QaB
2 3
LaB
LQB
3 2
LaB
LQB
转子侧的基准值(第二约束)
关于转子绕组电流基值选取问题：Xad基值系统
用电机参数表示同步电机方程
标准X,从ad而基使值d系轴统、规q定轴了转转子子与绕定组子电绕流组基间值的的互选感取在 标幺值方程中分别等于Xad和Xaq。
ud p d q 0 uq p q d BM df I fB
定子绕组端电压峰值(有名值)
u ud2 uq2 uq BM df I fB X ad IaB
两边同除以 BM afB I fB
BM df I fB B M afB I fB
M df *
X ad IaB
B M afB I fB
M cQ
maQ
sin(
2 3
)
M aD M bD
maD maD
c os c os (
2 3
)
M cD
maD
c os (
2 3
)
转子各绕组的自感和转子绕组间的互感
转子各绕组的自感和转子绕组间的互感 均为常数。由于直轴和交轴的正交，则
M fQ M DQ 0
在abc坐标下基本方程存在的问题
由磁链方程和电压方程组成了以时间t为 自变量的变系数常微分方程，其求解非常困 难。
M qQ* M Qq* X aq*
dq0坐标下标幺制的电压方程
ud*
uq*
ra*
ra*
id*
iq*
d* q*
课件：第12讲-同步发电机的数学模型
b ib b
ub
Q
iQ
uf if
iD
f
a D
• 2、转子结构相对于d轴（励磁 绕组对称轴）及q轴完全对称；
c
ic uc
c
d
ua
ia a
a
3、定子、转子铁心同轴且表面光滑（忽略定、转 子上的 齿槽），忽略齿谐波；
“理想电机”假设
• 4、定子、转子绕组电 流产生的磁动势在气 q
隙中是基波正弦分布 的，忽略高次谐波；
• 但是，当涉及到发电机内部的过程，如定转子绕 组匝间短路的分析，需要采用时变电磁场的分析 方法。
4、同步发电机的详细数学模型
根据磁链与电流、电压的正方向：
定子绕组电压方程：
ua p a ria ub p b rib uc p c ric
b ib b
q
ub
Q
iQ
转子绕组电压方程：
d
uf if
c b
定子
ua
a ia
a
1对极情况
转子
同步发电机简化为：定子3个绕组、转子3个绕组、气 隙、定子铁心、转子铁心组成的6绕组空间电磁系统。
电压、电流、磁链
3、“理想电机”的假设条件
在建立同步电机基本方程的过程中， 认为同步电机是“理想电机”。符 合下述假设条件的电机称为“理想 q 电机”。
• 1、定子abc三相绕组结构完全相 同，空间对称，两两相隔120度 电角度；
n 60f p
同步汽轮发电机转子
发电机定子及绕组
同步发电机的简化等值图及正方向定义
b
磁极
X
定子铁心
C
N nB
a
Y
a t 0 b a 120 c a 120
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长江三峡水电枢纽
同步汽轮发电机的转子同步水轮发电机的转子气隙
定子
同步发电机的FLASH.SWF
11
定子上3个等效绕组
a 相绕组
b 相绕组
c 相绕组
转子上3个等效绕组
同步发电机简化为：定子3个绕组、转子3个绕组、气隙、定子铁心、转子铁心组成的6绕组电磁系统励磁绕组
d 轴等效的阻尼绕组轴等效的阻尼绕组Q
15d 轴
q 轴120度
120度
120度
定子、转子铁心同轴（忽略定、转θ
sin )M F =磁动势零点
θ
的，无饱和，无磁滞和涡流损耗，
19
磁链与电流、电压的参考正方向
1、设转子逆时针旋转为旋转正方向；
3、定子三相绕组端电压的极性与相电流正方向按发电机惯例来定义，即
正值电流i a 从端电压u a 的正极流出发电机，b 、c 相类似。
定子绕组的正电流产生负的磁链！！
2、定子三相绕组磁链ψa ，ψb ，ψc 的正方向与a 、b 、c 三轴正方向一致;
+
-21
5、d轴上的励磁绕组f、阻磁链正方向与d轴磁链正方向与q轴的正方向一致；正电流由端电压，因此绕组电阻：
a 相绕组
b 相绕组
c 相绕组
＋
26
励磁绕组d 轴阻尼绕组
轴阻尼绕组
绕组、
28
绕组的磁链方程－6个
定子绕组的磁链a 相绕组的磁链＝
a 相绕组电流产生的自磁链＋
b 相绕组电流产生的互磁链＋
c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的互磁链＋D 绕组电流产生的互磁链
＋
Q 绕组电流产生的互磁链
31
转子绕组的磁链励磁绕组的磁链＝
a 相绕组电流产生的互磁链＋
b 相绕组电流产生的互磁链＋
c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的自磁链＋D 绕组电流产生的互磁链＋
Q 绕组电流产生的互磁链
36
a 相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d 轴与a 相绕组轴线的夹角θa (=ωt )有关
磁路的磁导λaa ,自感L aa 为θa 的周
期函数，周期为π。
θa
θa ＝±π/2
磁路磁导最小，自感最小
a θa ＝0，π磁路磁导最大，自感最大
a
磁导变化的规律
直流分量
2 θa 周期函数
-π-π/2 0 π/2 π即a 绕组的自感为
a
t s aa L L L θ2cos +=期为π。
θa ＝π小，互感绝对值θa ＝5大，互感绝对值a 、b 相差120)
30(2cos 0
,,,, +−−=−=
=i i i i i a
b
ba L M i L Q D f c b θψ
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d 轴正方向与a 轴正方向相反时，互感为负最大
d 轴
a 轴
d 轴正方向与a 轴正方向重合时，互感为正最大；
d 轴a 轴
d 轴与a 轴垂直时，互感为0
a 轴
同步发电机的转子运动方程
M m
M e
M D
ω/p p （p p 极对数）
输入的机械转矩、输出的电为等效半径
2
21mD
mR ＝。