基本图形性质与功能的再认识
常见几何图形的属性和实际应用
常见几何图形的属性和实际应用一、平面几何图形1.1 点：在平面内，一个没有长度、宽度和高度的物体，可以用坐标表示。
1.2 直线：在平面内，由无数个点连成的，无限延伸的物体。
1.3 射线：在平面内，由一个端点和它的一侧无限延伸的直线组成。
1.4 线段：在平面内，由两个端点和它们之间的线段组成。
1.5 角：由两条具有公共端点的射线组成的图形。
1.6 三角形：由三条线段组成的封闭图形。
1.7 四边形：由四条线段组成的封闭图形。
1.8 梯形：至少有一对平行边的四边形。
1.9 平行四边形：两对对边分别平行的四边形。
1.10 矩形：有一个角为直角的平行四边形。
1.11 菱形：四条边相等的平行四边形。
1.12 的正方形：有一个角为直角且四条边相等的矩形。
1.13 圆：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
1.14 圆弧：圆上任意两点间的部分。
1.15 扇形：由圆心、圆弧和两条半径组成的图形。
二、立体几何图形2.1 球体：所有点到球心的距离相等的几何体。
2.2 圆柱体：底面为圆，侧面为矩形的几何体。
2.3 圆锥体：底面为圆，侧面为锥形的几何体。
2.4 棱柱：底面为多边形，侧面为矩形的几何体。
2.5 棱锥：底面为多边形，侧面为锥形的几何体。
2.6 平面：无厚度的二维几何图形。
2.7 柱体：底面为矩形，侧面为矩形的几何体。
三、几何图形的性质与计算3.1 角度度量：用度、分、秒表示。
3.2 三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3.3 三角形的计算：面积、周长、角度和边长。
3.4 四边形的性质：对角线互相平分，对边平行。
3.5 四边形的计算：面积、周长、角度和边长。
3.6 圆的性质：直径等于半径的两倍，圆周率是一个常数（约等于3.14）。
3.7 圆的计算：面积、周长、半径和直径。
四、几何图形的实际应用4.1 建筑设计：利用几何图形设计建筑物的形状和结构。
4.2 工程绘图：用几何图形表示工程项目的尺寸和形状。
基本形的性质与应用
基本形的性质与应用在几何学中，基本形是指几何图形中最基本的形状，如点、线、角、面、体以及其组合形式。
在本文中，我们将逐个探讨这些基本形的性质和应用。
一、点点是指在空间中没有长度、宽度和厚度的数学对象。
点是几何图形的基础，任何几何图形都可以由点组成。
点的性质：1. 点没有长度、宽度和厚度。
2. 它是几何图形的基石，可以组成所有几何图形。
3. 点可以用字母表示，如A、B、C等。
点的应用：1. 在地图中标记位置，如城市、河流等。
2. 在数学中，点可以作为坐标系中的坐标点，用于表示位置，如平面直角坐标系中的（x，y）。
3. 在计算机图形学中，点是最基本的单位，被用于表示二维和三维图像。
二、线线是由无数个点连成的一条路径。
它没有宽度和厚度，但有长度。
线的性质：1. 线段的两个端点可以用字母表示，如AB。
2. 直线是由无数个点组成的，可以无限延伸。
3. 线段有两个端点，可以确定其长度。
线的应用：1. 在建筑设计中，可以用线来表示建筑物的轮廓。
2. 在制图中，线可以用于表示路径与地形特征。
3. 在数学中，线可以作为函数图像中的轨迹，用于表示函数的图像。
三、角角是由两条线段或者两条射线相交形成的几何图形。
角的性质：1. 角可以用几个数值度量，如弧度和角度。
2. 角可以分类为锐角、钝角和直角。
3. 角的度数和弧度数是由其两边的线段和夹角决定的。
角的应用：1. 在地图中用于表示方向。
2. 在物理学中，用于表示物体的旋转和运动。
3. 在数学中，角用于三角函数和几何证明。
四、面面是由无数个点和线组成的两维几何图形。
它有长度和宽度，但没有厚度。
面的性质：1. 面可以分类为平面和曲面。
2. 面可以用来计算面积。
3. 面可以通过多边形的拼接组成。
面的应用：1. 在建筑设计中用于表示某个区域内的建筑物。
2. 在地图上用于表示一个区域的范围。
3. 在数学中，面用于计算图形的面积和周长。
五、体体是由无数个面组成的三维几何图形。
它有长度、宽度和高度。
图形的性质知识点总结
图形的性质知识点总结图形是数学中一个重要的概念，它在代数、几何、数论等各个领域都有着广泛的应用。
图形是空间或平面上由点和线所构成的形象，它们可以帮助我们更好地理解数学问题，解决实际问题，因此对图形的性质进行深入的学习是非常重要的。
在本文中，我将就图形的基本性质、欧氏几何中的图形性质、平面图形的性质等方面进行详细的总结。
一、图形的基本性质1. 点、线、平面的性质点是没有长度、宽度和高度的，它只是一个位置的标记。
线是由无数个点连成的，线没有宽度，只有长度。
平面是由无数个直线拼成的，它是一个没有厚度的二维形状。
2. 图形的要素图形由点、线、面等要素构成。
点是构成图形的最基本的要素，线由两个点连成，面是由三个点构成的封闭图形。
3. 图形的属性图形包括几何图形和代数图形，几何图形是指实际存在的图形，代数图形是指用符号来表示的抽象图形。
图形的性质主要包括长、宽、周长、面积、体积等。
二、欧氏几何中的图形性质1. 点与线的关系点在线上：在一条直线上任意取两个点A、B，则所得线段AB与直线l有且只有两个公共点A、B;点在直线外：直线l中任一点距离l不为零。
点在线段上：在线段AB上任一点C，AC+CB=AB。
2. 角的性质两条相邻角的度数之和等于一周的度数。
对顶角相等。
垂直的两条直线的两组相对角相等。
3. 圆的性质圆的周长等于直径乘以π，圆的面积等于半径的平方乘以π。
4. 对称性图形对称是指图形的一部分能按照某种法则映射到其它位置上与原图形完全相等的过程。
根据不同的对称轴种类，图形对称可分为点对称、直线对称、旋转对称等。
三、平面图形的性质1. 三角形的性质三角形是由三条线段相互连接而成的封闭图形。
三角形的性质主要包括角的性质和边的性质。
2. 四边形的性质四边形是一个有四条边的封闭图形。
四边形的性质主要包括角的性质和边的性质。
3. 圆形的性质圆形是一个没有边界的封闭图形，圆的性质主要包括圆心、半径、弧长、扇面积等。
4. 多边形的性质多边形是指边数大于三的封闭图形，多边形的性质主要包括角的性质和边的性质。
图形与性质的知识点总结
图形与性质的知识点总结图形是我们生活中随处可见的，从简单的几何图形到复杂的立体图形，都离不开图形的性质。
在数学中，图形与性质也是一个重要的知识点，它涉及到几何学、代数学等多个领域。
在本文中，我们将对图形与性质这一知识点进行总结，希望对读者有所帮助。
一、图形与性质的基本概念1. 图形的定义图形是平面上由点、线段等构成的几何图形，可以是二维的也可以是三维的。
常见的二维图形有：点、线段、封闭曲线、多边形等；常见的三维图形有：立方体、球体、圆柱体等。
2. 图形的性质图形的性质包括但不限于：边、顶点、面积、周长、体积、表面积等。
这些性质可以帮助我们了解图形的特点，进行图形的分类和比较。
3. 图形的分类根据图形的性质，可以把图形分为不同的类别。
比如，根据面积可把图形分为面积相等和面积不相等的图形；根据边的形状可把图形分为边相等和边不相等的图形等。
二、常见的图形与性质1. 点点是最简单的图形，它没有长度、面积和体积，只有位置的概念。
在坐标系中，点通常用坐标(x,y)来表示。
2. 线段线段是由两个端点和连接这两个端点的直线组成的图形。
线段的长度可以用两个端点在坐标系中的坐标差来表示。
3. 封闭曲线封闭曲线是由一组相连的线段组成的图形，首尾相连形成一个封闭的图形。
比如圆、椭圆等。
4. 多边形多边形是由若干条边和若干个顶点组成的封闭图形。
根据多边形的边的数目，可以把多边形分为三角形、四边形、五边形等。
5. 圆圆是一个封闭曲线，其上任何一点到一个固定点的距离都相等。
圆的性质包括半径、直径、周长、面积等。
6. 立体图形立体图形是空间中的图形，有长、宽、高三个维度。
常见的立体图形包括立方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等。
7. 图形的性质每种图形都有其独特的性质，如：三角形的内角和为180°；四边形的对角线相等、相交线互补等。
三、常见的图形与性质的应用1. 测量图形的性质可以用于测量各种图形的长度、面积、体积等。
数学图形的基本性质知识点
数学图形的基本性质知识点数学图形是数学中一个重要的研究对象，它涵盖了许多基本的性质和特征。
本文将介绍几个常见的数学图形以及它们的基本性质。
一、点、线和面在数学中，点是最基本的图形元素，它没有大小和形状。
点没有长度、宽度和高度，它只有位置。
多个点可以构成线段，线段是由两个端点确定的直线部分。
线段有长度，但没有宽度。
线段的延伸形式是线，线是由无数个点组成的集合，它在两个方向上无限延伸。
线也没有宽度，只有长度。
面是由无数个点和线组成的二维图形，它有长度和宽度。
面可以是平面图形的表面，也可以是体积的包围面。
面的形状可以是任意的，如圆形、矩形、三角形等。
二、几何图形的基本性质1.直线的基本性质直线是最简单的图形之一，它具有以下基本性质：•直线上的任意两点可以确定一条直线。
•直线没有起点和终点，它在两个方向上无限延伸。
•直线上的任意一点到另一点的距离是最短的。
2.线段的基本性质线段是由两个端点确定的直线部分，它具有以下基本性质：•线段上的任意一点到两个端点的距离是有限的。
•线段的长度可以用欧几里得距离来计算，即两个端点之间的直线距离。
•线段可以延伸，但延伸后的部分不再是线段。
3.面的基本性质面是由无数个点和线组成的二维图形，它具有以下基本性质：•面的形状可以是任意的，如圆形、矩形、三角形等。
•面的边界是由若干个线段组成的闭合曲线。
•面可以用面积来描述，面积是指面内部的空间大小。
4.图形的相似性在几何学中，如果两个图形的形状相同，但大小不同，我们称它们为相似图形。
相似图形具有以下基本性质：•相似图形的对应边成比例，对应角相等。
•相似图形的面积比等于对应边的长度比的平方。
5.图形的对称性图形的对称性是指图形在某个变换下保持不变。
常见的对称性有以下几种：•点对称：图形关于某个点对称。
•线对称：图形关于某条直线对称。
•中心对称：图形关于某个中心对称。
三、数学图形的应用数学图形的基本性质不仅仅是理论知识，它们在现实生活中有许多应用。
初中数学教案：理解平面图形的性质与运用
初中数学教案：理解平面图形的性质与运用一、引言在数学的学习中，平面图形是一个非常重要的概念。
通过理解平面图形的性质与运用，学生可以更好地解决与平面图形相关的问题。
本教案旨在帮助初中学生深入理解平面图形的性质，并掌握运用这些性质解决各种问题的方法。
二、认识平面图形1. 什么是平面图形平面图形是由线段或弧段所组成的图形，如三角形、四边形、圆等。
它们在二维平面上表示，具有一些特定的性质和属性。
2. 平面图形的性质不同的平面图形具有各自独特的性质。
例如，三角形的内角和等于180°，长方形的对角线是相等的。
了解这些性质可以帮助学生更好地理解和应用平面图形。
三、掌握平面图形的性质1. 三角形的性质三角形是最基本的平面图形之一。
根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
学生需要掌握这些三角形的定义和性质，包括内角和、角平分线等。
2. 四边形的性质四边形是面积最广的平面图形之一。
学生需要掌握四边形的各种性质，如平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质等。
这些性质可以帮助学生在解决四边形相关问题时提供有效的方法。
3. 圆的性质圆是最简单的平面图形之一，也是非常常见的。
学生需要了解圆的定义和性质，例如圆周率、弧长、扇形的面积等。
这些性质对于学生解决与圆相关的问题非常重要。
四、应用平面图形的性质解决问题1. 利用平行四边形的性质解决问题平行四边形具有一些独特的性质，如对角线的交点可平分对角线。
学生可以通过运用这些性质，在解决实际问题时提供便利。
例如，在解决房间地板铺设问题时，可以利用平行四边形的特性来确定合适的铺砖方式。
2. 利用三角形的性质解决问题三角形是几何学中最基本的图形之一，其性质广泛应用于各个领域。
学生需要通过掌握三角形的各种性质，如勾股定理、正弦定理和余弦定理，来解决与三角形相关的问题。
例如，在解决航海导航问题时，可以利用三角形的正弦定理来计算船只与目标之间的距离。
探索几何图形的性质与应用
探索几何图形的性质与应用几何图形是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的形状、大小和位置关系。
在我们日常生活中，几何图形无处不在，无论是建筑设计、艺术创作还是工程施工，都离不开几何图形的应用。
本文将探索几何图形的性质与应用，从不同角度展示几何图形的魅力。
一、平面几何图形的性质平面几何图形是指在一个平面上的图形，如点、线、面等。
这些图形有着各自独特的性质，让我们一起来探索一下。
1. 点的性质点是几何图形中最基本的元素，它没有大小和形状，只有位置。
点的位置可以用坐标表示，如二维坐标系中的(x, y)。
在几何图形中，点常常用来表示图形的顶点或交点，它们的位置关系决定了图形的形状和大小。
2. 线的性质线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度，只有长度。
线可以分为直线和曲线两种。
直线是由无限多个点连成的，它没有弯曲和拐角。
曲线则是由一系列离散的点连成的，它可以弯曲和拐角。
3. 面的性质面是由无数个线组成的，它有宽度和厚度，具有二维的特性。
面可以分为平面和曲面两种。
平面是由无限多个点和线组成的，它没有弯曲和凹凸。
曲面则是由一系列离散的点和线组成的，它可以弯曲和凹凸。
二、立体几何图形的性质立体几何图形是指在三维空间中的图形，如立方体、球体、圆柱体等。
立体几何图形具有独特的性质和应用，让我们一起来探索一下。
1. 立方体的性质立方体是一种特殊的立体几何图形，它有六个面、八个顶点和十二条边。
立方体的面积等于六个面积之和，体积等于边长的立方。
立方体广泛应用于建筑设计和物体的容积计算中。
2. 球体的性质球体是一种特殊的立体几何图形，它的表面由无数个等距离的点组成，半径是球体的重要参数。
球体的表面积等于4πr²，体积等于4/3πr³。
球体广泛应用于天文学、地理学和体育运动中。
3. 圆柱体的性质圆柱体是一种特殊的立体几何图形，它有两个平行的圆面和一个侧面。
圆柱体的表面积等于两个圆面积之和加上侧面积，体积等于底面积乘以高。
图形性质与知识点总结
图形性质与知识点总结1、点、线和面的概念（1）点：没有长度、宽度和高度，只有位置的概念，可以用来描述图形的顶点、交点等。
（2）线：长度为无限大，宽度为零的集合，具有方向和延伸性，可以用来描述图形的边界、中心线等。
（3）面：由线围成的区域，具有面积和边界，可以用来描述图形的表面、平面等。
2、几何图形的分类及性质（1）直线、线段和射线：直线是没有端点的延伸，线段是有两个端点的部分，射线是一个端点延伸出的部分。
（2）角：由两条射线共同端点组成的几何图形。
（3）三角形：由三条线段围成的几何图形，具有三个顶点、三条边和三个内角。
（4）四边形：由四条线段围成的几何图形，具有四个顶点、四条边和四个内角。
（5）多边形：由多条线段围成的几何图形，具有多个顶点、多条边和多个内角。
3、图形的性质和特点（1）对称性：图形可以在某条直线或某个点处对称。
（2）一致性：图形的各个部分相互之间相似或相等。
（3）全等性：两个图形的所有对应部分都相等。
（4）相似性：两个图形的各对应部分成比例相等。
4、图形的测量（1）长度：用来度量线段、周长等。
（2）面积：用来度量平面图形的大小。
（3）体积：用来度量立体图形的大小。
5、图形的相交关系（1）相交：两个图形有部分共同的点。
（2）相切：两个图形有唯一的一个共同点。
二、知识点总结1、点、线和面的概念（1）点：一种没有长度、宽度和高度的数学概念，用来表示位置。
（2）线：由无数个点连续排列而成的集合，没有宽度和厚度。
（3）面：由无数个线连续排列而成的集合，具有面积和边界。
2、几何图形的分类及性质（1）直线、线段和射线：直线是没有端点的延伸，线段是有两个端点的部分，射线是一个端点延伸出的部分。
（2）角：由两条射线共同端点组成的几何图形，可以根据角的大小和性质进行分类。
（3）三角形：具有三个顶点、三条边和三个内角的几何图形，可以根据边长和角度进行分类。
（4）四边形：具有四个顶点、四条边和四个内角的几何图形，可以根据边长和角度进行分类。
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基本图形性质与功能的再认识
沈阳市杏坛中学刘红霞
知识要点：
所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的.因此我们将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础.
一、线段的功能
1、线段的变换性质
从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形(它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴)，又是中心对称图形(中点就是对称中心)
1．如图，是任意三角形，请画出和具有全等的关系.
分析：如果把要画的看作是由变换而来的，那么这个变换使线段BC变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果.
解：如图(2)(其中直线是BC所在的直线，点为点A关于直线的对称点；
直线是线段BC的垂直平分线，点为点A关于直线的对称点；点O是线段BC的中点，
点和点A关于点O为对称.都和全等.
2、线段中点的三项功能
(1)构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线
三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用.
2．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AG//DB，交CB 延长线于点G.
若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.
分析：首先，由GB//AD，AG//DB，知四边形AGBD已是平行四边形，其次，由四边形BEDF是菱形，而点E是AB的中点，即ED是中AB边上的中线，且DE=EB=AE，立刻知道，即四边形AGBD是矩形.
(2)构造三角形的中位线
3．如图(1)，已知，AD是的中线，E是AD上一点，连结CE并延长交AB 于点F.
(1)若E是AD的中点，则____________；
(2)若AE：ED____________；
(3)若AE：ED，____________.
分析：(1)如图(2)，作DM//CF，交AB于点M，EF为的中位线，得AF=FM，DM为的中位线，得BM=MF.可知.
(2)如图(3)，作DM//CF，交AB于点M，易知，∽,
得.又DM为的中位线，得BM=FM，
(3)类比于(1)和(2)，应有(其实可有与(2)类似的推演过程)
(3)构造中心对称图形
线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造”
(特别是中心对称型全等三角形)来使相关问题获得解决.
4．操作：如图，点O为线段MN的中点，直线PQ与线段MN相交于点O，利用图(1)画出一对以点O为对称中心的全等三角形
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动.
探究：如图(2)，在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC边的中点，
与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.
分析：对于图(1)，只要在直线PQ上点O的两侧分别取点E，F使OE=OF，就有
(图略)
对于图(2)，延长AE到G，使EG=EA，连结CG,如图(2).由“操作”的结论可知，
得AB=GC，即CG//AB，而CF//AB，可知点F在GC上，
而由，得AF=GF.这样就有
由以上题目的解法研究看出：
凡是涉及线段(包括多边形的边)及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑.
二、角平分线的功能
1、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形
角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的.因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能.
1．如图，在中，，AD，CE分别为的平分线，求证：AC=AE+CD
分析：根据角平分线轴对称功能，首先想到在AC上作出AE关于AD的的对称图形AF(如图(2))，进而希望有CF和CD也关于CE对称，这就引导我们获取了如下的证法.
证明：取AC上的点F，使AF=AE，连结OF.
在中，AF=AE，AO公用，
又因为
在中，OC=OC
.
2．如图，已知点A(0，1)是轴上一个定点，点B是轴上一个动点，以AB为边，在外部作过点B作交AE于点C，设点C的坐标为()，当点B在轴上运动时，求关于的函数关系式.
分析：先从几何图形的角度来看，为此作轴于点D(如图)，当点B在的正半轴上时，
现考虑CD与OD之间的函数关系式.
再由AB为的平分线，沿着它是对称轴思考：若作CB的延长线交轴于，
由可知和CB关于AB对称，即B为的中点，再结合
轴，
轴，则关于点B为中心对称，得，
.再由的相似关系即可导出欲求的函数关系
式.
解：易证得得，
.
容易知道，这个关系在和取负数值时，也是成立的.
可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用.
2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形
我们知道，若OP是的平分线，则与OA平行，与OB平行，与OP平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即
3．如图，在平行四边形ABCD中，线段AE，BF分别平分，交CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M.
(1)试说明：；
(2)判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明.
分析：注意到平行四边形对边平行和角平分线的功能，解法易得.
解：
(1)
.
(2)有结论：DF=CE，理由如下：
在中，.
同理有CF=CB.
由以上的例题可以看出：
当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时，除了构成等角外，还应特别注意从角平分线两个方面的功能来分析和认识图形：
Ⅰ.以角平分线为轴，构成怎样的对称图形？
Ⅱ.以角平分线和平行线结合，构成怎样的等腰三角形？思考若以这样的功能作指导，大都会导到问题的恰当的解决方法.
三、等边三角形的变换性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，因而具有轴对称性，且有三条对称轴，但是，等边三角形具有更为特殊的变换性质，并更多地成为相关问题展开的焦点，那么，充分运用这些变换性质，便成为打开相关问题解决之门的钥匙.
等边三角形具有如下的变换性质
1、它是轴对称图形(有三条对称轴)；
2、它是绕中心的120°的旋转对称图形；
3、它的两邻边具有60°旋转重合性；
1、等边三角形的“120°的旋转对称性”
如果一个图形沿某一条直线作轴对称图形与它本身重合，就称这个图形为轴对称图形，完全类似地，如果一个图形以某一点为中心旋转角()后与它本身重合，就
称这个图形为“角的旋转对称图形”.比如说，平行四边形就是“180°的旋转对称图形”(“180°的旋转对称图形”也称“中心对称图形”).
1．如图，扇形DOE的圆心角为120°，等边三角形ABC的中心恰好为扇形
的圆心，且点B在扇形内
(1)请连结OA，OB，并证明；
(2)求证：与扇形DOE重叠部分的面积等于面积的.
证明：
(1)连结OA，OB如图.
点O是等边的中心，
.
又知
.
.
(2)
2．如图，已知，点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足.求的周长.
解：如图，连结DA，DB，并在BA上截取BG=AF，连结DG，在与中，
(因为
D为的内心)
在中，DE公用，DF=DG，，而
的周长.。