高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念教材习题点拨新人教A选修2-2创新
练习 1 2 1 1．解：实部分别是－2， 2， ，0,0,0；虚部分别是 ，1,0，－ 3，1,0. 2 3 点拨：根据复数的标准形式，求复数的实部与虚部． 2 2 2．解：2＋ 7，0.618,0，i 是实数； i，i,5i＋8,3－9 2i，i(1－ 3)， 2－ 2i 是 7 2 虚数； i，i，i(1－ 3)是纯虚数． 7 点拨：本题主要考查复数的有关概念，明确复数的形式是关键． 3．解：由
3．解：如图所示(每个小方格的边长为 1)．
1
习题 3.1 A组 1．解：(1)由 3x＋2y＝17， 5x－y＝－2，
得
x＝1， y＝7. x＋y－3＝0， x－4＝0，
(2)由
得
x＝4， y＝－1.
2．解：(1)当 m2－3m＝0，即 m＝0 或 m＝3 时，所给复数是实数． (2)当 m －3m≠0，即 m≠0 且 m≠3 时，所给复数是虚数． (3)当
m2－8m＋15>0， m2－5m－14<0，
即－2＜m＜3 或 5＜m＜7 时，复数 z 对应的点位于第
2
(2)当
m2－8m＋15>0， m2－5m－14>0
或
m2－8m＋15<0， m2－5m－14<0，
即 m＜－2 或 3＜m＜5 或 m＞7 时， 复数 z
对应的点位于第一、三象限． 29 2 2 (3)当 m －8m＋15＝m －5m－14，即 m＝ 时，复数 z 对应的点位于直线 y＝x 上． 3 6．解：(1)∵点 A(2,1)关于实轴的对称点为 B(2，－1)， → ∴向量OB对应的复数为 2－i； (2)∵点 B(2，－1)关于虚轴的对称点为(－2，－1)， ∴C 点对应的复数为－2－i. 点拨：复数与坐标平面内的点构成一一对应关系．明确对称的规律是解决此题的关键． B组 1．解：复数 z 对应的点位于如图所示的图形上．
2．解：由已知，设 z＝a＋ 3i(a∈R)， 则 a ＋( 3) ＝4.解得 a＝±1.所以 z＝±1＋ 3i. 3．解：对应的点为 Z1(1,2)，Z2( 2， 3)，Z3( 3，－ 2)，Z4(－2,1)． 证 明 ： ∵ |z1| ＝ 3
2 2 2
1 ＋2 ＝
2
2
5 ， |z2| ＝ －2
2
x＋y＝2x＋3y， y－1＝2y＋1，
得
x＝4， y＝－2.
点拨：利用复数相等的条件，建立关于 x，y 的方程组进行求解． 练习 2 5 11 1．解：A：4＋3i，B：3－3i，C：－3＋2i，D：－ －3i，E： ，F：－2，G：5i，H： 2 2 －5i. 点拨：根据复数的几何意义，任何一个复数都与复平面内的一点构成一一对应关系．复 数的实部和虚部分别是这个点的横、纵坐标． 2．解：如图所示(每个小方格的边长为 1)．
2
m2－5m＋6＝0， m2－3m≠0，
即 m＝2 时，所给复数是纯虚数． 3．解：(1)存在，例如－ 2＋i，－ 2－ 3i，等等． 1 (2)存在，例如 1－ 2i，－ － 2i，等等． 2 (3)存在，只能是－ 2i. 4．解：(1)∵a＞0，b＞0，∴点 P 在第一象限． (2)∵a＜0，b＞0，∴点 P 在第二象限． (3)∵a＝0，b≤0，∴点 P 位于原点或虚轴的下半轴上． (4)∵b＜0，∴点 P 位于实轴下方． 5．解：(1)当 四象限．
2
2
＋
3
2
＝
5 ， |z3| ＝
＋
2
2
＝ 5，|z4|＝
＋1 ＝ 5，
2
∴Z1，Z2，Z3，Z4 对应的点在以原点为圆心，半径为 5的圆上．
3
2014届高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入
数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ .三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则： (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i解析：选C 5＋3i 4－i ＝(5＋3i )(4＋i )(4－i )(4＋i )＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i17＝1＋i.4．若复数z 满足z1＋i ＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(2－2b )－(4＋b )i5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1. x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.(2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝(－1)＋(－i )＋11－i ＝－i1－i＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z ＋z 2的值为( )A ．－3iB ．－2iC ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析：(1)依题意得zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i 1－i－2i ＝i －2i ＝－i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎡⎦⎤(1＋i )224＝i 4＝1.答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i 3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B (1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52. 5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB，其中O 为坐标原点，则|AB|＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB|＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i ＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i)12.(－1＋i )(2＋i )i 3＝________.解析：(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25.答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. 答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－ba ＋1i. ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B a ＋2i i ＝i (a ＋2i )i 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x (x 2＋y 2＋1)＋y (1－x 2－y 2)i(x 2－y 2＋1)2＋4x 2y 2，∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i 3－2i ＝(1－3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知， a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725.由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，故c 2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP|，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP . AB ＝(2,2)，AP＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.1365 C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，①b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴0<cos θ<22. ①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin Asin (A ＋C )＝________.解析：sin A sin (A ＋C )＝sin A sin B ＝a b ＝23.答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________． 解析：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2α－π3. ∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝(k ＋1)π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，2，⎝⎛⎭⎫11π12，－2. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值． 解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝⎛⎭⎫5π12，2， ∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝2⎝⎛⎭⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]． 所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1＝2⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·OC的值域．解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC＝(－1，3)．所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫α－π6<32，从而－1<f (α)< 3. 所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)．而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m2，即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1.(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc 2sinA ≤a 22·32＝334.。
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》评估训练 新人教A版选修1-2
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标 限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析 把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案 －26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高 限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案 －211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念方法总结素材 新人教A版选修1-2
数系的扩充和复数的相关概念方法总结
1．虚数单位i具有两条性质：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1.
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立．
2．关于复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，注意以下几点：
(1)a，b∈R，否则不是代数形式．
(2)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数．
反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；
若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．
(3)形如bi的数不一定是纯虚数，只有b≠0且b∈R时，才是纯虚数．
3．两个复数只能说相等或不相等，不一定能比较大小．
关于这一点的理解要注意以下几点：
(1)根据复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等的定义，可知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋bi≠c＋di.
(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．。
新课程标准数学选修1-2第三章课后习题解答[唐金制]
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新课程标准数学选修1—2第三章课后习题解答第三章 数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念练习（P52）1、实部分别是2-2，0，0，0；虚部分别是13，1，0，1，0.2、2+0.618，0，2i 是实数；27i ，i ，58i +，3-，(1i 是虚数；27i ，i ，(1i 是纯虚数. 3、由23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，得42x y =⎧⎨=-⎩. 练习（P54）1、A ：43i +，B ：33i -，C ：32i -+，D ：43i +，E ：532i --，F ：112，G ：5i ，H ：5i -. 2、略. 3、略.习题3.1 A 组（P55）1、（1）由321752x y x y +=⎧⎨-=-⎩，得17x y =⎧⎨=⎩. （2）由3040x y x +-=⎧⎨-=⎩，得41x y =⎧⎨=-⎩ 2、（1）当230m m -=，即0m =或3m =时，所给复数是实数.（2）当230m m -≠，即0m ≠或3m ≠时，所给复数是虚数.（3）当2256030m m m m ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，即2m =时，所给复数是纯虚数.3、（1）存在，例如i ，，等等.（2）存在，例如1-，12--，等等.（3）存在，只能是.4、（1）点P 在第一象限. （2）点P 在第二象限.（3）点P 位于原点或虚轴的下半轴上. （4）点P 位于实轴下方.5、（1）当2281505140m m m m ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩，即23m -<<或57m <<时，复数z 对应的点位于第四象限. （2）当2281505140m m m m ⎧-+>⎪⎨-->⎪⎩，或2281505140m m m m ⎧-+<⎪⎨--<⎪⎩，即2m <-或35m <<或7m >时，复数z 对应的点位于第一、三象限.（3）当22815514m m m m -+=--，即293m =时，复数z 对应的点位于直线y x =上. 习题3.1 B 组（P55）1、（1）2i -； （2）2i --.2、因为 1z ==2z =3z ==4z ==所以，1Z ，2Z ，3Z ，4Z .3．2复数代数形式的四则运算练习（P58）1、（1）5； （2）22i -； （3）22i -+； （4）0.2、略. 练习（P60）1、（1）1821i --； （2）617i -； （3）2015i --；2、（1）5-； （2）2i -； （3）5.3、（1）i ； （2）i -； （3）1i -； （4）13i --.习题3.2 A 组（P61）1、（1）93i -； （2）23i -+； （3）75612i -； （4）0.30.2i +. 2、AB 对应的复数为(34)(65)9i i i -+-+=--. BA 对应的复数为9i +.3、向量BA 对应的复数为(13)()14i i i +--=+.向量BC 对应的复数为(2)()22i i i +--=+.于是向量BD 对应的复数为(14)(22)36i i i +++=+，点D 对应的复数为()(36)35i i i -++=+.4、（1）2124i -+； （2）32i --； （3）1122i -+； （4）122--.5、（1）2455i -+； （2）1816565i -； （3）342525i +； （4）138i -. 习题3.2 B 组（P61） 由22(23)(23)0i p i q -+-+=，得(103)(224)0p q p i -++-=.于是，有10302240p q p -+=⎧⎨-=⎩，解得 12p =，26q =. 第三章 复习参考题A 组（P63）1、（1）A ； （2）B ； （3）D ； （4）C .2、由已知，设z bi =（b R ∈且0b ≠）；则222(2)8(2)8(4)(48)z i bi i b b i +-=+-=-+-.由2(2)8z i +-是纯虚数，得240480b b ⎧-=⎨-≠⎩，解得2b =-. 因此2z i =-.3、由已知，可得1286z z i +=+，125510z z i =+.又因为121212111z z z z z z z +=+=，所以1212551055862z z i z i z z i +===-++. 第三章 复习参考题B 组（P63）1、设z a bi =+（,a b R ∈），则z a bi =-.由(12)43i z i +=+，得(12)()43i a bi i +-=+，化简，得(2)(2)43a b a b i i ++-=+.根据复数相等的条件，有2423a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得2a =，1b =.于是2z i =+，2z i =-，则234255z i i i z +==+-. 2、（1）（2）对任意n N ∈，有41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，441n i +=.。
第3章 数系的扩充与复数的引入
第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即21i =-(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部用字母C 表示*5. 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( D )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C（2）.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足(D )A.x =－21 B.x =－2或－21C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－2 （3）.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( A )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1例5（1）满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.（2）复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 例6设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值. 例7若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值. 例8已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .答案：例4（3）由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 例5.（1）解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：2（2） 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b ca a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 2例6.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m ∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1.例7 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-mm ∴m 2=8，∴m =±22. 例8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例9例10．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值. [解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++=故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例11．(1)（2008天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3(2)(2007全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)3(3)（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (4)（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修2-2
(2)(1＋ 3 )i可看作0＋(1＋ 3 )i＝a＋bi， 所以实部a＝0，虚部b＝1＋ 3. 答案：0，1＋ 3 (3)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0， 所以a＝〒1. 答案：〒1
【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类
1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.
2 m 【变式训练】m取何实数时，复数 z＝ m 6＋ m 2－2m－ 15 i. m3
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
m 2 2m 15 0， 【解析】(1)因为z为实数，所以 m 3 0， m 5或m 3， 所以 m 3，
(2)代数式中各字母的名称:
实部
虚部
虚数单位
(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件
实数 _____b=0 ，
复数a＋bi(a，b∈R)
虚数 _____b≠ 0
纯虚数a=0,b≠0，
非纯虚数a≠0,b≠0.
2.复数的相等 a＝c且b＝d ，b，c，d∈R). a＋bi＝c＋di ___________(a 3.复数集
m 2 4 0, ③要使z为纯虚数，必有 2 m 3m 2 0, m 2且m 2, 所以 m 1或m 2.
所以m＝1，故m＝1时，z为纯虚数．
【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如 何? 【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,而|a|=-a,所以 a≤0.
【误区警示】复数概念易错点 (1)注意虚部不是bi,而是b.还要特别注意,要保证实部、虚部 有意义.
(2)形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件b∈R且b≠0时,
人教a版数学【选修2-2】备选练习：3.1.1数系的扩充与复数的概念(含答案)
选修2-2 第三章 3.1 3.1.11．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D ．k π2＋π4(以上k ∈Z ) [答案] B [解析] 由⎩⎨⎧ sin2θ－1＝02cos θ＋1≠0得⎩⎨⎧ 2θ＝2k π＋π2 ，θ≠2k π＋π±π4，(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4.选B. 2．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________________．[答案] －1[解析] 以A ∩B ＝{3}为解题突破口，按题意a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得a ＝－1. 3．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，则实数x ＝________.[答案] 1[解析] 复数z 能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知⎩⎨⎧ 3x －1－x >0，x 2－4x ＋3＝0.解得x ＝1.4．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．实数a 取什么值时，z 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解析] (1)当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1. 所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1. 即a ≠±1且a ≠6.所以当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6. 所以不存在实数a 使得z 为纯虚数．5．已知z 1＝⎝⎛⎭⎫cos α－45＋i ⎝⎛⎭⎫sin α－35，z 2＝cos β＋isin β，且z 1＝z 2，求cos(α－β)的值． [解析] 由复数相等的充要条件，知⎩⎨⎧ cos α－45＝cos β，sin α－35＝sin β.即⎩⎨⎧ cos α－cos β＝45， ①sin α－sin β＝35. ②①2＋②2得2－2(cos α·cos β＋sin α·sin β)＝1，即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝12.。
高中数学人教A版选修-习题第三章
解析：因为复数－1＋2i对应的点为 A(－1，2)，点 A 关于直线 y＝－x 的对称点为 B(－
-1-
2，1)，所以→ OB对应的复数为－2＋i.
答案：B 5．已知复数 z 对应的向量为→OZ(O 为坐标原点)，→OZ与实轴正向的夹角为 120°，且复数 z
的模为 2，则复数 z 为( )
A．1＋ 3i
知 x2＝－2，y2＝－1，所以 z ＝－2－i. 2 答案：2－i，－2－i 7．若复数 z＝a＋ 3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数 z＝________．
解析：因为 z 对应的点在第二象限，知 a<0，
由|z|＝z，得 a2＋3＝2， 所以 a2＝1(a<0)，所以 a＝－1， 因此 z＝－1＋ 3i.
点 C 对应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
解析：两个复数对应的点分别为 A(6，5)，B(－2，3)，则 C(2，4)，故其对应的复数为 2
＋4i.
答案：C 3．已知复数 z＝a＋a2i(a>0)，则复数 z 在复平面内对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
所以 4＋n－2＝0，所以 n＝－2.
则 z＝4－2i， 故|z|＝ 42＋（－2）2＝2 5.
-4-
D．第四象限
解析：复数 z 对应的点 Z(a，a2)，
又 a>0，所以 a2>0，
因此点 Z 在第一象限．
答案：A 4．在复平面内，O 为原点，向量O→A对应的复数为－1＋2i，若点 A 关于直线 y＝－x 的对
称点为点 B，则向量→ OB对应的复数为( )
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入课时作业193.1.1数系的扩充和复数的概念
课时作业19 数系的扩充和复数的概念时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．设集合A ＝{虚数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，则A ，B ，C 间的关系为( B ) A ．A B C B ．B A C C ．B C AD ．A CB解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B.2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( A )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－5＋5iD.5＋5i解析：－5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，若b ＝0，则a ＋b i 是实数，不是纯虚数，因此“a ＝0”不是“复数a ＋b i 是纯虚数”的充分条件；而若a ＋b i 是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，可以得到a＝0，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要条件．故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．4．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 5．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( D ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， ∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.6．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1解析：根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2.7．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( B ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i解析：由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.8．给出以下命题：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z ＝m ＋n i(m ，n ∈C )，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数； (3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1. 其中正确命题的个数是( A ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小，故(1)错误； (2)当m ＝0，n ＝i 时，z ＝0＋i 2＝－1∈R ，故(2)错误；(3)当z 1＝1，z 2＝0，z 3＝i 时满足条件，而结论不成立，故(3)错误； (4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确，故(4)错误．故选A. 二、填空题9．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈Z )，且z <0，则k ＝2.解析：因为z <0，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k <0，k 2－5k ＋6＝0，所以k ＝2.10．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝94，y ＝32.解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝32.11．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝1.解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 三、解答题12．已知复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(2m 2－3m －2)i ，当实数m 取什么值时，复数z 满足下列条件：(1)为零； (2)为纯虚数．解：(1)因为一个复数为0的充要条件是实部为0且虚部等于0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，或m ＝2，m ＝－12，或m ＝2，所以m ＝2.(2)因为一个复数为纯虚数的充要条件是实部等于0且虚部不等于0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，或m ＝2，m ≠－12，且m ≠2，所以m ＝1.13．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋i ＝y －3－y i ，2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解：∵方程组有实数解，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，y －3＝1，2x ＋ay ＝9，4x －y ＋b ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.——能力提升类——14．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为0.解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy ，a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.方法1：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．方法2：令⎩⎨⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。