利用MATLAB求解积分以及积分方程(rocwoods)
matlab 积分上下限有未知数的方程
在 MATLAB 中，积分上下限包含未知数时可以使用符号运算来解决。
假设你要求解一个积分表达式，其中积分上下限包含未知数x，可以按照以下步骤进行操作：
1. 定义符号变量和表达式：使用syms命令定义符号变量 x，然后定义包含 x 的表达式。
2. 定义积分上下限：使用int命令定义积分上下限，其中包含未知数 x。
3. 计算积分：使用int命令计算积分表达式。
4. 求解方程：如果需要求解包含积分的方程，可以使用solve 命令。
下面是一个示例代码，其中积分上下限包含未知数 x：
```matlab
syms x; % 定义符号变量 x
expr = x^2 + 1; % 定义表达式
lower_limit = x - 1; % 定义积分下限
upper_limit = x + 1; % 定义积分上限
integral = int(expr, lower_limit, upper_limit); % 计算积分
solutions = solve(integral == 0, x); % 求解方程
```
在上述代码中，我们首先使用syms命令定义了符号变量 x，然
后定义了表达式 expr 和积分上下限 lower_limit 和 upper_limit。
接着，我们使用int命令计算了积分表达式，并将结果存储在integral 变量中。
最后，我们使用solve命令求解了包含积分的方程，并将结果存储在 solutions 变量中。
matlab函数积分
matlab函数积分MATLAB是一种强大的数学、工程计算软件，它可实现数值计算、符号计算、数据可视化等功能，非常适用于函数积分的计算。
在MATLAB中，计算函数积分的基本函数是“integral”，它可计算一元函数的定积分、曲线积分和面积积分。
本文主要介绍如何使用“integral”函数进行一元函数的定积分计算。
一、一元函数定积分在MATLAB中，使用“integral”函数计算一元函数的定积分的语法格式为：Q = integral(fun,a,b)“fun”表示要积分的函数句柄，即用该句柄表示的函数在积分区间上的积分；“a”和“b”分别表示积分区间的上、下限；“Q”表示积分结果。
要计算函数“f(x) = x^2”的在区间“[0,1]”上的定积分，可使用如下MATLAB代码：syms xfun = @(x) x^2;Q = integral(fun,0,1)执行该代码后，MATLAB会显示结果“Q = 0.3333”。
这表示函数“f(x) = x^2”的在区间“[0,1]”上的定积分约为0.3333。
二、一元函数定积分高级选项1. 精度控制在进行函数积分计算时，可通过指定精度控制选项来控制计算精度。
MATLAB中提供了两个选项：“AbsTol”和“RelTol”。
1）AbsTol“AbsTol”为绝对误差控制选项，其默认值为“1e-6”。
当积分结果的绝对误差小于“AbsTol”时，计算结果会被认为是正确的。
如果需要提高计算精度，可将其设定为更小的值。
要将“AbsTol”设定为“1e-8”，可使用如下MATLAB代码：options = optimoptions('integral','AbsTol',1e-8);Q = integral(fun,0,1,options)“options”为选项集合，可通过“optimoptions”函数设置。
执行结果与前述代码相似，不过计算精度更高。
利用MATLAB计算积分
某产品边际成本函数
1 + ,且知 10000 件产品的总成 2000
本是 1200 元,求总成本函数 求总成本函数.
解 由题意知要求总成本函数为
C ( x) = ∫ ( x
1 2
1 )dx + 2000
在 MATLAB 窗口中输入 >> syms x y >> int(x^(-1/2)+1/2000,x) ans = 即 C ( x) = 2 x + 2*x^(1/2)+1/2000*x
率为 Q′( t ) = 70 + 10t 5 年的总产量. 年的总产量.
由题意知, 解 由题意知,前 5 年的总产量为
3 2 Q ( t ) = ∫ (70 + 10t t )dt 0 10
5
案例3.31
在 MATLAB 窗口中输入 >> clear >> syms t Q >> Q=int(70+10*t-3/10*t^2,t,0,5) Q= 925/2 所以前 5 年的总产量为 462.5 .
返回
案例 3.32 入分别为
已知某产品的边际成本和边际收
C ′( x ) = x 2 4 x + 6, R′( x ) = 105 2 x
为销售量.当销售量为多 且固定成本为 100. . 其中 x 为销售量 当销售量为多 少时有最大利润?最大利润是多少? 少时有最大利润?最大利润是多少?
解 利润函数为
由问题的实际意义解得驻点 x0 = 11 ,即销售量为 即销售量为 11 时利润最大 最大利润为 L = ∫ 0 L′( x )dx 时利润最大.
11
matlab用牛顿柯特斯公式计算积分
牛顿-柯特斯公式是数值分析中常用的积分计算方法，特别适用于对函数在一定区间上的定积分进行近似计算。
在MATLAB中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式来进行积分计算，从而获得函数在给定区间上的近似积分值。
让我们来理解一下牛顿-柯特斯公式的基本原理。
牛顿-柯特斯公式的核心思想是利用一系列的节点和相应的权重来逼近被积函数，从而得到积分的近似值。
在MATLAB中，我们可以通过内置的函数或自定义函数来实现牛顿-柯特斯公式的计算。
在使用MATLAB计算积分时，我们首先需要确定被积函数的表达式以及积分的区间。
我们可以选择合适的牛顿-柯特斯公式来进行计算。
MATLAB提供了多种内置的积分计算函数，例如quad和integral等，它们可以方便地实现对定积分的计算。
除了使用内置函数，我们还可以编写自定义的牛顿-柯特斯公式计算程序。
这样可以更灵活地控制节点和权重的选择，从而得到更精确的积分近似值。
编写自定义的牛顿-柯特斯公式计算程序可以加深对该方法的理解，并且在特定问题上可能获得更好的计算结果。
在实际应用中，牛顿-柯特斯公式可以广泛用于工程、科学和数学等领域。
在信号处理中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式对信号的频谱进行积分近似计算；在物理学中，我们可以利用牛顿-柯特斯公式对连续介质的密度分布进行积分近似计算。
牛顿-柯特斯公式的灵活性和高效性使得它成为了数值分析中不可或缺的工具。
回顾本文，我们首先介绍了牛顿-柯特斯公式的基本原理，然后讨论了在MATLAB中如何利用内置函数或自定义函数来实现积分的计算。
我们还探讨了牛顿-柯特斯公式在实际应用中的广泛性和重要性。
通过本文的阐述，我们希望读者能够更深入地理解牛顿-柯特斯公式的计算方法，并且能够灵活运用于自己的问题当中。
在个人观点和理解方面，我认为牛顿-柯特斯公式作为一种数值积分计算方法，具有较高的精度和灵活性，能够有效地解决实际问题中的积分计算需求。
在MATLAB中，利用牛顿-柯特斯公式进行积分计算不仅简单方便，而且还能获得较为准确的结果。
数值积分与matlab求解
1.3
数值求积方法
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的有两 种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分
区间[a,b]内存在一点ξ，使得 b f ( x)dx (b a) f ( )
a
a, b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 f ( ) 的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的, 因 而 f ( ) 的值也是未知的, 称 f ( ) 为f(x) 在区间[a,b]上的平均 高度。那么只要对平均高度 f ( ) 提供一种算法，相应地就 获得一种数值求积方法
计算
2 0
e - x sinxdx ，并与精确值比较.
解：将[0,/ 2]分成20 等份，步长为 / 40，输入程序如下（注意sum 和 cumsum的用法） • >> h=pi/40; x=0:h:pi/2; y=exp(-x).*sin(x); • z1=sum(y(1:20))*h,z2=sum(y(2:21))*h, • z=cumsum(y); z11=z(20)*h, z12=(z(21)-z(1))*h, 运行后屏幕显示计算结果分别如下 • z1 = z2 = z11 = z12 =0.3873 0.4036 0.3873 0.4036 求定积分的精确值，输入程序 • >> syms x • F=int(exp(-x)*sin(x),x,0, pi/2) • Fs= double (F) ,wz1=abs( Fs-z1), wz2= abs( Fs-z2) 运行后屏幕显示定积分的精确值Fs 和用矩形公式计算结果的绝对误差 wz1、wz2 分别如下 • F = Fs =1/2*(-1+exp(pi)^(1/2))/exp(pi)^(1/2) 0.3961 • wz1 = wz2 =0.0088 0.0075
matlab两点高斯勒让德求积公式
matlab两点高斯勒让德求积公式一、引言数值积分是数值计算中的一种常见问题，它可以用来近似计算函数的定积分。
在实际应用中，我们常常需要求解具有多个参数的复杂函数的积分，而解析方法往往难以求得精确解。
在这种情况下，高斯勒让德求积公式是一种常用的数值积分方法，能够有效地进行积分计算。
本文将介绍如何使用M AT LA B实现两点高斯勒让德求积公式。
二、高斯勒让德求积公式概述高斯勒让德求积公式是一种利用多项式的节点和权重来进行数值积分的方法。
该方法的基本思想是，通过选择合适的节点和权重，将被积函数转化为多项式的线性组合，从而实现对积分值的近似计算。
三、两点高斯勒让德求积公式的推导两点高斯勒让德求积公式是高斯勒让德求积公式的一个特例。
它的推导过程如下：首先，我们通过变量替换，将积分区间由[-1,1]变换为[a,b]。
然后，利用勒让德多项式的正交性质，可以得到两个方程：$$\i nt_a^b P_0(x)dx=b w_0$$$$\i nt_a^b P_1(x)dx=b w_1$$其中，$P_0(x)$和$P_1(x)$分别是勒让德多项式的零次和一次多项式，$w_0$和$w_1$分别是权重。
解上述方程组，即可求得两个节点和对应的权重：$$x_0=\f ra c{1}{2}(b+a-(b-a)\sq rt{\f r ac{1}{3}})$$$$x_1=\f ra c{1}{2}(b+a+(b-a)\sq rt{\f r ac{1}{3}})$$$$w_0=w_1=1$$四、M A T L A B实现在M AT LA B中，我们可以使用以下代码实现两点高斯勒让德求积：f u nc ti on re su lt=ga u ss_l eg en dr e_2po i nt(f,a,b)x0=0.5*(b+a-(b-a)*sq rt(1/3));x1=0.5*(b+a+(b-a)*sq rt(1/3));w0=1;w1=1;r e su lt=(b-a)*(w0*f(x0)+w1*f(x1));e n d上述代码定义了一个名为`g au ss_l eg end r e_2p oi nt`的函数，该函数接受一个函数句柄`f`，表示被积函数，以及积分区间的上下界`a`和`b`。
MATLAB 数值微积分与微分方程式求解
Matlab求解常微分方程式
Ex:
dy1 dt
=
y1
+
y2e−t
dy2 dt
=
− y1 y2
+ cos(t)
1. edit fun.m
function dydt=fun(t,y)
dydt(1) = y(1)+y(2)*exp(-t);
dydt(2) = -y(1)*y(2)+cos(t);
Stiff ODE 指的是其內部某些狀態響應快速，而某些則 相對具較緩慢動態
勁度
勁度系統 (stiff system)表示其具有快速變化以及緩慢變化 的部分。 勁度系統例子： dy = −1000y + 3000 − 2000e−t
dt
假使y(0)=0，其解 y = 3 − 0.998e−1000t − 2.002e−t
用前述方法求解用前述方法求解用前述方法求解用前述方法求解0010ysin??yettt21221sincosttyyyyyteeyty?????12122210100sincosttyy?yyyteeyty???????11matlabode指令matlab用于求解起始值常微分方程式問題的指令stiffode指的是其內部某些狀態響應快速而某些則相對具較緩慢動態ode23tbode23tode23sode15sstiffodeode113ode23ode45nonstiffode指令問題形式勁度勁度系統勁度系統勁度系統勁度系統stiffsystem表示其具有快速變化以及緩慢變化的部分
k4 = f (ti + h, yi + k3h)
方程式系統
許多實際的工程及科學問題需要求解的是聯立常微分方 程式系統，而不只是單一方程式。
三用MATLAB实现定积分计算
s=s+feval(f,z1(j))+feval(f,z2(j));
0,2*pi,1000)
end
s=
s=s*h/2;
-267.2458
Gauss-lobatto是改进的高斯积分方法,采取自适应求积方法
三 用MATLAB实现定积分计算： 2 sin xdx 0
⑴ 矩形公式与梯形公式 z1 =
形的公求式积代公数式精。度为对于1，f 辛(x)甫=1森, x公, 式x 2的, x代3，数应精该度有为 3。
节成点立我x，ba下i和们依f面系先(次介x数考11)将绍dfA虑f(x的i(，xx节))是d=使点x1取t代数, (x消数xAb,为1对xaa精f22)(2区/bx,度而21x间)尽使3代等可用Ab入2分2能(fa1，(的1高1x1)即2限计的)f可制(算所得a，的谓2b到n积高确给分斯b定定近2公aA后似t式1,)同A值d。2时t有,x确1代,x定数2
这两种用随机模拟的方式求积分近似值的方法 z=sum(y)*pi/2/n
/2
z=
蒙特卡罗方法
sin xdx
1.0010
0
3、蒙特卡罗方法的通用函数与调用格式
均值估计法
随机投点法 (设0≤ f(x) ≤1)
b
a
f
( x)dx
ba n
n i1
f
(a (b a)ui )
直接调用。这里被积函数为内部函数，无需另外定义。
s=gaussinteg(‘sin', 0, pi/2,1000) s=
1.0000
6000
§2 数值积分应用问题举例4000
2000
0
一 求卫星轨道长度
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2010-05-29 第11届MATLAB应用技术研讨会
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
主要内容
矩形区域积分（积分上下限为常数） 带参数的积分问题 积分上下限是函数的积分 被积函数系数中含有积分的积分 积分方程举例
2013-7-17
y k sin kx x dy
5 2 1
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
积分上下限为函数的积分
二重情形
• dblquad延拓函数法 • 利用两次一重积分函数实现 • qua2d函数
10
20
x2
5x
esin( x ) ln( y)dydx
三重情形
• triplequad延拓函数法 • 利用三次一重积分函数实现 • 利用quad2d和一重积分函数实现
• dblquad • quad2d(R2009a开始支持)
三重情形
• triplequad
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
带参数积分问题
用inline+num2str方法(MATLAB7.0以前版本， 7.0以后不推荐使用) 利用匿名函数实现 利用嵌套函数实现 利用积分函数本身传递参数
1 x
2
2x
2 xy
xy
xyzdzdydx
n重情形
• 利用《MATLAB高效编程技巧与应用：25个案例分析》中 nIntegrate 函数实现 • 利用蒙特卡洛法实现
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
被积函数系数中含有积分的积分
quadl (quadgk, quad) + arrayfun (内外都是一重积分情形)
b
0
a
0
(1 cos(kmx))(1 cos(kny))cos(ux vy)dxdy
f _ img
2013-7-17
b
0
a
0
(1 cos(kmx))(1 cos(kny))sin(ux vy)dxdy
© 吴鹏(rocwoods)
积分方程举例
第二类Fredholm积分方程
n
Hale Waihona Puke y x f x Ajk x, x j y j
j 1
详细讨论以及程序代码参考：《MATLAB高效编 程技巧与应用：25个案例分析》 例： 1
y x 1 3xs y s ds 1 3x
0
2 y x 1 3x 3
y x k x, s y s ds f x ,
b a
a xb
解法
f x dx A f x
b n a j 1 j j
y x A j k x, x j y x j f x
n j 1
令 x x1 ,..., xn ,并记 yi y xi , kij k xi , x j , f i f xi
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
yi Aj kij y j fi
j 1
n
xi i 1, 2,..., n
1
0.2
2 ye
y2
1 e x dx dy 1 2 2 y x
2
2
dblquad (quad2d) + arrayfun (内外是二重积分情形)
inf_ v
5
inf_ u
f _ real 2 f _ img 2 u v
2 2
5
dudv
f _ real
2013-7-17
© 吴鹏(rocwoods)
© 吴鹏(rocwoods)
矩形区域积分（积分上下限为常数）
一重情形
• quad(自适应Simpson 积分) • quadl(自适应Gauss-Lobatto积分，最常用 ) • quadgk(自适应 Gauss-Kronrod积分，尤其适合震 荡积分、含奇点的积分；R2007b开始支持)
二重情形