高中物理解题方法例话：5三角函数法

5三角函数法

三角函数配角法求极值是数学中常用的技巧之一，即将三角函数式中的自变量进行配角整理画成两角和的正弦或余弦，便能得到函数的极值。当得出的式中不是典型的函数类型时，可通过等效变换进行转化。利用三角函数公式把所列的方程简化，变成仅含有单个三角函数的式子，然后利用单个三角函数的性质解决问题θθθ2sin 2

cos sin A

A y =

=当2

4

A Y 有极大值

时π

θ=

。 [例题1]已知底边AB 长恒为L 的光滑斜面，斜面倾角可变，物块从斜面顶端C 由静止释放，求倾角为多大时物块滑到底端所用的时间最短？最短为多少？

解析：由几何关系得斜面长θ

cos L

S =

下滑的加速度θsin g a =，下滑的时间

θ

θθ2sin 4cos sin 22g l g l

a s t =

==

，所以当倾角

g

L

e 42sin 450小值

有最大值此时时间有最时θθ= [例题2]一辆有1/4光滑圆弧的小车停在粗糙的水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶滑下，且小车始终保持静止状态，求小球运动到什么位置时财面对小车的摩擦力最大？最大值为多少？

解析：设圆弧半径为R 。当小球运动到重力与半径夹角为时，速度为v ，根据机械能守恒定律

θcos 2

12

mgR mv =，根据牛顿第二定律R

mv mg N 2

cos =-θ

联立解得θcos 3mg N =

小车处于平衡状态所以静摩擦力θθθθ2sin 2

3

sin cos 3sin mg mg N f =

== 所以当12sin 450

有最大值时e θθ=，此时地面对小车的静摩擦力有最大值，mg f 2

3max =

当物理方程中含有x b x a cos sin +的形式时，可将式子变形为

)cos sin (

2

2

2

2

22x b

a b x b a a b a ++

++

令2

2

cos b

a a +=ϕ则2

2

sin b

a b +=

ϕ

则

()()

x b a x x b a x b

a b x b

a a

b a ++=++=++

++ϕϕϕsin cos sin sin cos )

cos sin (

22222

2

2

2

22当()1sin =+x ϕ时，上式极

大值为22b a +

[例题3]如图所示质量为m=5kg 的物块置于粗糙的水平 地面上，物块与地面间的摩擦因数为

3

1，若使物块匀速运动，求所施加最小力

F 的大小和方向？

解析：设所加力与水平面的夹角为，由平衡条

件0

sin 0cos =-+=-mg F N N F θμθ竖直方向水平方向 解

得

)

cos 1sin 11(

1sin cos 2

2

2

2

22θμ

μ

θμ

μμθ

μθμ++

++=

+=mg

mg F

令

2

2

11sin μ

ϕ+=

则

2

2

1cos μ

μ

ϕ+=

，所以

()

()

θϕμμθϕθϕμμ++=

++=sin 1sin cos cos sin 12222mg

mg

F ，

所以当当()1sin =+θϕ时，即时之和为与0

90θϕ，力F 有极小值为

N mg

F 2512

min =+=

μμ，此时2

311sin 2

2=

+=

μϕ，所以0

60=ϕ，则030=θ所以最小力25N ，与水平面的夹角为030=θ斜向上

[例题4]如图所示，山高为h ，山顶A 到山下B 处的水平距离为s ，现要修一条水道ACB ，其中AC 为斜面，若不计一切摩擦，则斜面AC 的倾角θ为多大时，方可使物体由A 点静止释放后滑到B 点历时最

短？最短时间为多长？

解析：由于物体从倾角为θ的斜面上静止释放后做的是初速度为零、加速度为θsin g 的

匀加速直线运动，进入水平面后将做匀速直线运动，于是有

21sin 2

1

sin t g h θθ= 1sin t g v θ= 2cot vt h s =-θ

消去1t 、2t 、v 可把t 表示为θ函数

θ

θ

sin cos 2.

22-+

=

g h gh

s t 上述函数的复杂性将使得春极值点与极值的求解较为困难，可作如下处理，将其转换成典型的函数类型进而求解。

相应的方程及所得函数如前，取θθsin /)cos 2(-=x 整理可得2cos sin =+θθx

这是典型的“θθθcos sin )(b a f +=”函数类型， 由此可得2)sin(12=++αθx 于是有3sin /)cos 2(≥

-=θθx

可见：当θ=60°时，时间最短，最短时间为g

h gh

s t 232min +

=