流体运动学的基本概念
如果两流线相交，则交点处速度向量同时与两条流线相切，即一个 质点同时有两个速度向量，这是不可能的。 但是，流线可以相切，例如机翼末端处上下两条流线相切后汇合成 一条流线，如图3-3中的B点所示。
两种例外情况：⑴在速度为零的点上，如图中A点，称为驻点。 ⑵在速度为无限大的点上，如图中O点，称为奇点。 在流场内驻点、奇点以及流线相切的点上，流线可以相交，因为这些 点上不会存在同一点上流动方向不同的问题。
3、总流 无数微小流束的总和称为总流。
有效断面、流量和断面平均流速
1、有效断面 流束或总流上垂直于流线的断面，称为有效断面，也称为过流断面。 有效断面上无流体流动，不存在粘性切应力。 有效断面可能是平面，也可能是曲面。 2、流量 单位时间内流经有效断面的流体量，称为流量。 体积流量（Q)：单位时间内通过有效截面的流体体积。 重量流量（G)：单位时间内通过有效截面的流体重量。 质量流量（M)：单位时间内通过有效截面的流体质量。 三种流量之间的换算关系： G= γQ M=ρQ 式中 γ——流体重度，N/m3 ρ——流体密度，kg/m3
流体运动学的基本概念
嫣儿
一、迹线 二、流线 三、流管、流束、总流
四、有效断面、流量和断 面平均流速
迹线
流线
1、定义 流线是某一瞬时在流场中绘出的曲线，在这条曲线上所有质点的速度 矢量都和该曲线相切。流线表示流体的瞬时流动方向。 注意：流线与迹线是两个不同的概念。流线是同一时刻不同质点构成 的一条流体线；而迹线是同一质点在不同时刻经过的空间点所构成的轨 迹线。
Байду номын сангаас线
流管、流束、总流
1、流管 在流场中画一条非流线的封闭曲线C，经过曲线C的每一点作流线， 由许多流线所围成的管称为流管。
流管
定常流时流管的形状不随时间改变；反之，非定常流时流管形状 随时间而改变。流管内外无流体质点交换。
流管、流束、总流
2、流束 充满在流体内部的流体称为流束。 断面无穷小的流束称为微小流束，如图3-5中断面为dA1及dA2的流 束，由于断面面积为微元面积，故断面上的各点的速度等参数均可认 为是均匀分布的。 当微小流束的断面面积趋于零时，微小流束达到它的极限，即为流 线。
有效断面、流量和断面平均流速
流线
2、特性 ⑴流线不能相交，但可以相切。 ⑵定常流时，由于流场中各点的速度不随时间而变化。因此定常流 的流线也不随时间而变化。 ⑶非定常流时，质点旳迹线与流线不重合。 ⑷流线不能突然转折。 ⑸流线的走向和疏密反映了瞬时流场内流体的速度方向和大小。 流线谱：在流场中取几个空间点作流线，在整个空间可绘出一系 列的流线，称为流线谱。 流线谱的疏密反映了该瞬时流场中各点的速度变化。流线密的地 方速度大，流线疏的地方速度小。
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第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章 流体运动学.ppt
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
3.2 流体运动学基本概念
dx dy 即 x y
y t 1
dy vy y dt 积分得 ln xy C 由过 (1, 1) 点得 C 0
得迹线方程为
xy 1
可以看出，当流动恒定时流线和迹线重合。
四、流管、流束、微小流束和总流 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状 曲面，见图。
流体运动学基本概念
宫汝志
§3-2 流体运动学基本概念
一、流场，运动参数和一、二、三元流动 运动参数指表征流体运动特征的物理量。
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动 参数只是一个坐标的函数，如 v v(s) ，见图。
二元流动（Two-dimensional Flow）：流体的运动 参数为两个坐标的函数，如 v v(r , x) ，见图。
流线可以形象的描述流场状态，见动画。
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可 在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v 2 ；再在 v 2 上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当 各点无限靠近时得到的光滑曲线即为流线。
积分得：ln x ln c1 ln y 则： y c1 x 此外，由 vz 0 得 dz 0 z c2 因此，流线为xoy平面上的一簇通过原点的直线， 这种流动称为平面点源流动（c＞0时）或平面点汇 流动（c＜0时）。
例二 已知某平面流场流速分布为 vx x (t 3), vy y 2 求其流线和迹线方程。
4a 1 a 4 a
2( a b) ab 2( a b) 2ab ab
y t 1
dy vy y dt 积分得 ln xy C 由过 (1, 1) 点得 C 0
得迹线方程为
xy 1
可以看出，当流动恒定时流线和迹线重合。
四、流管、流束、微小流束和总流 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状 曲面，见图。
流体运动学基本概念
宫汝志
§3-2 流体运动学基本概念
一、流场，运动参数和一、二、三元流动 运动参数指表征流体运动特征的物理量。
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动 参数只是一个坐标的函数，如 v v(s) ，见图。
二元流动（Two-dimensional Flow）：流体的运动 参数为两个坐标的函数，如 v v(r , x) ，见图。
流线可以形象的描述流场状态，见动画。
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可 在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v 2 ；再在 v 2 上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当 各点无限靠近时得到的光滑曲线即为流线。
积分得：ln x ln c1 ln y 则： y c1 x 此外，由 vz 0 得 dz 0 z c2 因此，流线为xoy平面上的一簇通过原点的直线， 这种流动称为平面点源流动（c＞0时）或平面点汇 流动（c＜0时）。
例二 已知某平面流场流速分布为 vx x (t 3), vy y 2 求其流线和迹线方程。
4a 1 a 4 a
2( a b) ab 2( a b) 2ab ab
第二章流体运动学基本概念
回事。如图（a） 、(b)所示（详细说明）
y Vx=0 x Vy=0 θ Vr=0
r
z
Vθ=0
Vz= Vz(r)
Vz Vz= Vz(x,y)
Z
(a)二维流动
(b)一维流动
思考题：如果对于图（a）中有
Vx=0， Vy=0， Vz= Vz(x,y,z)
则应该属于几维流动？其流动有何特点？
6
（3）按流动状态可分为层流和湍流（1.2.3.）
26
(1)拉格朗日表达式→欧拉表达式 若已知拉格朗日法变数(a,b,c,t)表示的物理参 数Ф= Ф (a,b,c,t)。 由式
x x ( a , b, c , t ) a a ( x, y , z , t ) y y (a, b, c, t ) 可解得： b b( x, y, z , t ) z z ( a , b, c , t ) c c ( x, y , z , t )
则代入Ф= Ф (a,b,c,t)后，就得到该物理参数的欧拉 法表达式 Ф= Ф (x,y,z,t)。
→
→
→
→
2—4
式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c）表 示不同的流体质点。
9
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t
2-5
其加速度可表示为：
11
B B(a, b, c, t ) t t
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到 的，往往不能用统一的函数形式描述所有质点 的物理参数的变化。所以这种方法只在少数情 况下使用，在本书中主要使用欧拉法。
y Vx=0 x Vy=0 θ Vr=0
r
z
Vθ=0
Vz= Vz(r)
Vz Vz= Vz(x,y)
Z
(a)二维流动
(b)一维流动
思考题：如果对于图（a）中有
Vx=0， Vy=0， Vz= Vz(x,y,z)
则应该属于几维流动？其流动有何特点？
6
（3）按流动状态可分为层流和湍流（1.2.3.）
26
(1)拉格朗日表达式→欧拉表达式 若已知拉格朗日法变数(a,b,c,t)表示的物理参 数Ф= Ф (a,b,c,t)。 由式
x x ( a , b, c , t ) a a ( x, y , z , t ) y y (a, b, c, t ) 可解得： b b( x, y, z , t ) z z ( a , b, c , t ) c c ( x, y , z , t )
则代入Ф= Ф (a,b,c,t)后，就得到该物理参数的欧拉 法表达式 Ф= Ф (x,y,z,t)。
→
→
→
→
2—4
式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c）表 示不同的流体质点。
9
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t
2-5
其加速度可表示为：
11
B B(a, b, c, t ) t t
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到 的，往往不能用统一的函数形式描述所有质点 的物理参数的变化。所以这种方法只在少数情 况下使用，在本书中主要使用欧拉法。
第章流体运动的基本概念
v(a,b,c,t)a(a,b,c,t) t
(2-17)
但在欧拉法中，由于流体物理量被表示成空间坐标和
时间的函数，质点导数的概念因此稍稍有些复杂。下面以
速度为例来分析欧拉法的质点导数。
如图2-3所示，假定在直角坐标 系中存在速度场v(x,y,z,t)。设在时 刻 t 和空间点P(x,y,z)处，流体质
vxv tvyv tvzv tv t x y z t
(vxvvyvvzvv)t x y z t
注意矢量运算公式
vvvxvvyvvzv，其中，
x y z
矢量算子 i jk 。于是质点的速度增量可以
x y z
表示为 v(vvv)t
(2-23)
t
于是，从式(2-16)得到速度的质点导数——加速度
ali m v v v v vx v vy v vz v v t 0 t t x y z t
其中，c1,c2,c3是积分常数，由 t t0时的 (a,b,c)决
定。于是得到
x x ( a , b , c , t ) y , y ( a , b , c , t ) z , z ( a , b , c , t )
并代入欧拉法表达式 (x,y,z,t)后就得到该物理量 的拉格郎日法表达式 (a,b,c,t) 。
r x y i z j k r (a ,b ,c ,t) (2-6)
式(2-5)和式(2-6)就是流体质点的运动轨迹方程，既 迹线方程。
除了空间位置以外，流体的其他运动参数和物理量 也应该表示成拉格郎日变量的函数，例如：流体速度
v r t x ti y tj z tk v x i v yj v zk
2.3 迹线和流线
2.3.1 迹线 流体质点的运动轨迹称为迹线。 前面已经提到，拉格郎日法表示的式（2-3）就是迹 线的参数方程，即
流体力学——3 流体运动学
因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
速度矢量
u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
ds dxi dyj dzk
速度与流线相切
i
jk
u ds ux uy uz 0
dx dy dz
dx dy dz ux uy uz
uxdy uydx 0 uydz uzdy 0 uzdx uxdz 0
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中
的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速
度
u
可表示为：
u u( x, y, z,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux ( x, uy ( x,
y, z,t) y, z,t)
uz uz ( x, y, z, t )
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
速度矢量
u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
ds dxi dyj dzk
速度与流线相切
i
jk
u ds ux uy uz 0
dx dy dz
dx dy dz ux uy uz
uxdy uydx 0 uydz uzdy 0 uzdx uxdz 0
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中
的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速
度
u
可表示为：
u u( x, y, z,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux ( x, uy ( x,
y, z,t) y, z,t)
uz uz ( x, y, z, t )
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
流体力学 3-1-2流体运动学
v y y 1
，
v x 1 x v y 1 t
其余各项的偏导数为零，所以加速度分布为：
ax x t 1
ay y t 1
az 0
（2）根据拉格朗日方法：
ax dvx dx 1 vx 1 x t 1 dt dt
dy ay 1 v y 1 y t 1 dt dt
dy
z z
dz
dz
ax
d x x x x y x z x dt t x y z
x y z dt t x y z d az z z x z y z z z dt t x y z ay
x ae2t , y bet , z cet
试求：用欧拉方法描述该流动的速度场是怎样的。
a xe2t , b yet , c zet
三、拉格朗日法和欧拉法的转化
（A）由拉格朗日法到欧拉法的转化思路
二、欧拉法
用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x，y， z和时间变量t的连续可微函数。x，y，z，t 称为欧拉变量， t 时刻（ x，y，z ）处的速度场表示为：
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
u x A. t
ux ux B. ux t x
ux ux ux C .ux uy uz x y z
ux ux ux ux D. ux uy uz t x y z
C 的变化情况 2.欧拉法研究_____ (A) 每个质点的速度 (C) 流经每个空间点的流速 (B) 每个质点的轨迹 (D) 流经每个空间点的质点轨迹
，
v x 1 x v y 1 t
其余各项的偏导数为零，所以加速度分布为：
ax x t 1
ay y t 1
az 0
（2）根据拉格朗日方法：
ax dvx dx 1 vx 1 x t 1 dt dt
dy ay 1 v y 1 y t 1 dt dt
dy
z z
dz
dz
ax
d x x x x y x z x dt t x y z
x y z dt t x y z d az z z x z y z z z dt t x y z ay
x ae2t , y bet , z cet
试求：用欧拉方法描述该流动的速度场是怎样的。
a xe2t , b yet , c zet
三、拉格朗日法和欧拉法的转化
（A）由拉格朗日法到欧拉法的转化思路
二、欧拉法
用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x，y， z和时间变量t的连续可微函数。x，y，z，t 称为欧拉变量， t 时刻（ x，y，z ）处的速度场表示为：
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
u x A. t
ux ux B. ux t x
ux ux ux C .ux uy uz x y z
ux ux ux ux D. ux uy uz t x y z
C 的变化情况 2.欧拉法研究_____ (A) 每个质点的速度 (C) 流经每个空间点的流速 (B) 每个质点的轨迹 (D) 流经每个空间点的质点轨迹
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
流体力学基本概念和流体运动方程
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第三节伯努利（Bernoulli）方程
z
p
V2
常数
g 2g
(3-42)
在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(3-41)可以得到静力学基本 方程
一、方程的物理意义和几何意义
为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方 程的物理意义和几何意义。
1、物理意义
理想流体微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端
1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速V 2m/s，
已知d1=0.5m，
d2=1m，试求截面2-2处的平均流速
V
为
2
多少？
【解】 由式（3-33）得
V1 4d12 V2 4d22
V2
V1dd122
20.52 1
0.5(m/s)
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图 3-14 输水管道
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dqm分别为： dqv=VdA
(3-16)
dqm=ρVdA
(3-17)
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图 3-6 管内流动速度分布
24.03.2020
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六、均匀流和非均匀流
根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同， 可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，
V u (x ,y )i v (x ,x )j
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图 3-2 流体的出流
2体流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即 流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
流体的运动学基础
流体的运动学基础流体的运动学是研究流体在没有外力作用下的运动规律和特性的学科。
它广泛应用于物理学、力学、航空航天工程、水利工程等领域。
本文将介绍流体运动学的基本概念和我们对流体运动的理解。
一、流体的运动学基本概念流体是一种特殊物质形态，它具有没有固定形状和可变容积的特点。
流体的运动学主要研究宏观量，比如流体的速度、加速度、流速等。
下面我们将介绍一些流体运动学的基本概念。
1. 流动性流动性是流体运动学的基本特性之一。
流体分为液体和气体两种，液体的分子间作用力较大，分子难以突破内聚力，因此具有较小的可压缩性；而气体的分子间距离较大，分子间作用力相对较小，因此具有较大的可压缩性。
流动性使得流体能够运动和在容器或管道中传输。
2. 流速与流量流速是指单位时间内通过某一截面的流体的体积。
在流动过程中，流体的流速可能是不均匀的，因此为了描述整个流体的流动情况，我们引入了流量的概念。
流量是指单位时间内通过某一截面的流体的质量或体积。
在实际应用中，我们通常更关注流量而不是流速。
3. 流线与流管流线是指在不同时刻，流体质点所通过的路径连成的曲线。
流线能够直观地表达出流体运动的路径和轨迹。
当流体运动具有稳定性和不可压缩性时，流线也是连续的。
流管是由流线围成的管道，它能够将流体流动的区域划分出来。
二、流体的运动学方程流体的运动学方程是描述流体在运动过程中物理量变化规律的方程。
常见的流体的运动学方程包括欧拉方程和纳维-斯托克斯方程。
1. 欧拉方程欧拉方程描述的是连续介质中的流体运动，它是基于质点的视角建立的。
欧拉方程可表达为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的流速，∇是偏微分运算符。
2. 纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程描述的是流体在宏观尺度上的运动规律，它是基于控制体的视角建立的。
纳维-斯托克斯方程可表达为：∂v/∂t + v·∇v = -∇p/ρ + ν∇^2v + f其中，∂v/∂t是流体的加速度，v是流体的流速，p是压强，ρ是密度，ν是运动黏度，f是外力项。