压缩感知图像重建分解
基于图像结构模型的压缩感知图像重构方法
基于图像结构模型的压缩感知图像重构方法随着数字图像在各个领域的广泛应用，如视频监控、医学影像以及移动通信等，对图像传输和存储的要求也越来越高。
然而，由于图像数据量庞大，传输和存储的成本也随之增加。
为了解决这一问题，压缩感知（Compressed Sensing，CS）技术被提出并逐渐得到应用。
压缩感知技术的基本思想是在图像采集中对图像进行压缩，即不直接采集完整的图像数据，而是对其进行稀疏采样，然后通过稀疏的采样数据来重构完整的图像。
而图像结构模型就是其中一种常用的重构方法之一。
图像结构模型是一种基于图像自身的特性进行建模和重构的方法。
它利用图像的边缘、纹理和结构等特征来提取图像信息，从而实现更加准确和高质量的图像重构。
下面将介绍基于图像结构模型的压缩感知图像重构方法的具体步骤和原理。
一、图像结构模型的建立在压缩感知图像重构过程中，首先需要建立图像结构模型。
这个步骤涉及到对图像的稀疏表示，常用的方法有小波变换、稀疏表示字典以及图像分割等。
小波变换是一种常用的图像分析和压缩方法，通过将图像进行小波变换来提取图像的频域信息，进而实现图像的稀疏表示。
稀疏表示字典则是通过提前建立一个字典，将图像的局部结构进行编码，从而实现图像的稀疏表示。
图像分割是将图像划分为若干个小块，每个小块可以看做是具有相似结构的局部区域，从而实现图像的稀疏表示。
二、图像重构算法建立好图像结构模型后，下一步就是利用稀疏采样数据对图像进行重构。
常用的图像重构算法有基于最小二乘法的估计（Least Squares，LS）、基于迭代阈值法的估计（Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm，ISTA）以及基于广义估计最小二乘法的估计（Generalized Estimation of Signal and Noise，GESPAR）等。
LS方法是一种常见的图像重构算法，它通过将图像重构问题转换成一个最小二乘问题，通过最小化重构图像与原始图像之间的欧式距离来进行重构。
基于压缩感知算法的图像的特征提取和压缩
基于压缩感知算法的图像的特征提取和压缩现如今，数字图像成为了信息处理领域的一个重要研究对象，而图像的特征提取和压缩技术则是数字图像处理中的重要研究方向。
图像特征提取能够提供有用的描述和统计信息，使图像处理更加高效和准确，而图像压缩则是在保持图像质量的前提下减小图像数据量的一种必要手段。
在本文中，我们将介绍一种基于压缩感知算法的图像特征提取和压缩技术，并探究其在数字图像处理中的应用。
一、压缩感知算法的原理压缩感知是一种数据压缩和数据采样的新方法，它不仅能够减小数据量，同时还能够完成基于压缩后的数据重建。
压缩感知的核心思想是通过稀疏表示来进行数据压缩和数据还原。
其主要流程如下：(1) 信号采样：在压缩感知过程中，采样是一个非常重要的环节。
相对于传统的采样方式，压缩感知采样是非常低效的，因为它只需对信号进行一小部分采样，就可以对信号进行还原。
(2) 稀疏分解：在信号采样之后，需要对采样的数据进行分解以获取信号的稀疏表达式。
最常用的分解方式是使用小波变换。
(3) 信号重建：通过稀疏分解，可以建立信号的稀疏表达式。
接下来，我们可以使用逆小波变换来还原信号。
二、基于压缩感知算法的图像特征提取基于压缩感知算法的图像特征提取技术主要是通过稀疏表示来获取图像的特征向量，它可以将原始图像的信息压缩到一个较小的特征向量中，并保持对原始图像的完整描述。
图像特征提取的过程可以分为以下几步：(1) 图像分块：将图像切分成一定大小的块。
(2) 小波变换：对每个块进行小波变换，得到稀疏表达式。
(3) 稀疏表示：对每个块的稀疏表达式进行编码，得到特征向量。
(4) 特征向量拼接：将所有块的特征向量进行拼接得到一个全局特征向量。
基于压缩感知算法的图像特征提取技术具有很多优点，包括准确性、鲁棒性和高效性。
它能够准确提取图像的特征，并保证在一定范围内的扰动下依然保持较好的鲁棒性；同时采用基于压缩感知的稀疏表示方法，大大降低了提取特征向量所需的计算复杂度，提高了算法的效率。
压缩感知理论与应用(附重建算法详述)
一 个 信 号 其 时 域 和 频 域 的 支 撑 分 别 为 T和 。
2.3.3 随机采样与重建
定义2.1 互相干
互
定理2.3
几点说明：
2. 信号表示越稀疏、两组基之间的互相干性越小，所需 要的样本数就越少
3. 常用的测量矩阵有高斯和伯努利分布，因为其与
大多数的稀疏表示基相干性小。
压缩采样的情况1: 信号本身稀疏
基本思想是利用关于解的先验知识，构造附加约束或改 变求解策略，使得逆问题的解变得确定且稳定。即对解 进行约束J(x)
约束信号x为平滑的
应用Lagrange乘子，将P2问题约束转换为无约束问题
CS关注的问题
1. 信号应满足什么要求，方可重建？
（对应香农采样定理中对信号的带宽要求）
2. 如何设计测量矩阵，让其作用于信号后 能保持信号的所有信息不丢失？
P RN ，（i） P t t 对所有 t T
原信号 x
x 重建信号 *
x
x
M=50；S=19；N=100
1-维信号
时域信号
频域
信号是频域稀疏的，时域测量结果；
压缩采样的情况2 信号可以用一组基稀疏表示
2-维图像信号
2.3.4 一致不确定准则（Uniform Uncertainty Principle, UUP）
•
1M 2N
x2 2
M>=logN.S
定理与UP的关系，以及RUP （Robust Uncertainty Principle）
以往的ＵＰ： T 2 N
(1)
如果 N 为质数，则有 T N （2）
有 ZN 的两个子集T 和 ，讨论 T 应为多大才可能构造出一个信 号使得其时域和频域的支撑分别为 T 和 。
基于压缩感知的图像处理
基于压缩感知的图像处理基于压缩感知的图像处理一、压缩感知在过去的几十年里，人们获取数据的能力不断提高，需要处理的数据量也越来越大，因此信号的带宽也越来越大，所以对信号处理的速度和采样速率的要求也随之提高。
众所周知，奈奎斯特采样定理要求采样率不得低于信号带宽的两倍，这对目前的信号处理能力提出了巨大的挑战。
所以人们试图找到一种新的信号处理技术。
近年来提出了一种新的信号处理理论——压缩感知理论。
压缩感知理论表明：如果信号是稀疏的或者是可压缩的，就可以通过一个测量矩阵将其投影到一个低维的空间上，得到的低维信号成为测量信号，然后将这个测量信号进行传输，在接收端通过接收到的信号和已知的测量矩阵来重构出原始的信号。
理论上指出任何信号经过一定处理后都可以转化为稀疏信号，这也为压缩感知理论在各个领域的广泛使用提供了保障。
1、压缩感知理论传统的信号处理过程包括信号的采样、压缩、传输和重构四个部分，根据奈奎斯特采样定理，信号的采样速率不能低于信号最大带宽的两倍，只有以满足这一要求的采样速率进行采样，才能保证信息不丢失，但是在很多情况下，奈奎斯特采样速率显得很高，实现起来比较困难。
压缩感知是一种新的信号获取的方法，它突破了奈奎斯特采样定理的瓶颈，它将对信号的压缩和采样合并进行，使得测量数据量远远小于传统的采样方法所得的数据量。
压缩感知主要包括三个方面的内容：信号的稀疏表示、信号的压缩采样和信号的重构。
2、信号的稀疏表示前面提到，压缩感知理论只能直接应用于稀疏信号。
如果需要处理的信号是稀疏的，那就不需要稀疏表示这一部分，直接进行压缩采样就行了，但是就目前来看，我们所要处理的大多数信号都不是稀疏信号，这就需要将其转换为稀疏信号。
假设ψ=[ψ1, ψ2, ψ3, , ψN ]为R 空间上的一组基，Ψi (i=1,2,3…N)是N一个N*1的列向量，考虑x =[x 1, x 2, x 3, , x N ]T ，它是一个实值有限长的ψ线性表示：N x ∈R 一维离散信号，。
基于压缩感知的图像采集与重建技术研究
基于压缩感知的图像采集与重建技术研究摘要：随着人们对高质量图像的需求不断增加，图像压缩技术变得越来越重要。
基于压缩感知的图像采集与重建技术是一种新的图像压缩方法，它利用稀疏表示和随机测量的思想，通过在图像采集时提取图像的稀疏特征，从而降低采样率，减少数据传输和存储需求。
本文将介绍基于压缩感知的图像采集与重建技术的原理、方法以及在实际应用中的一些研究进展。
1. 引言近年来，随着互联网和计算机视觉技术的飞速发展，对图像和视频数据的需求与日俱增。
然而，高质量图像的传输和存储仍然是一个具有挑战性的问题。
传统的图像压缩方法（如JPEG）通过将图像转换为频域表示来降低数据量，但这种方法会带来明显的信息丢失，影响图像质量。
为了解决这一问题，基于压缩感知的图像采集与重建技术应运而生。
2. 压缩感知的原理与方法基于压缩感知的图像采集与重建技术利用了图像的稀疏性质。
在图像中，只有少数个像素点对图像的重建起到关键作用，而其他像素则可以通过这些关键像素进行线性组合来表示。
因此，我们可以利用少数个线性测量来获取图像的稀疏特征，从而降低采样率。
压缩感知的方法包括稀疏表示和随机测量。
- 稀疏表示：利用一种变换方法（如小波变换）将图像从空域转换到稀疏域，使得图像在稀疏域中具有尽可能多的零元素，从而达到稀疏表示的目的。
- 随机测量：利用稀疏表示的特性，使用随机矩阵对图像进行测量，获取图像的稀疏表示。
这个过程类似于图像的投影，通过多个测量点来获取图像的重要信息。
3. 基于压缩感知的图像采集与重建技术研究进展在基于压缩感知的图像采集与重建技术领域，许多研究方向受到了广泛的关注。
- 优化算法：研究人员通过改进稀疏表示方法和随机测量模型，提出了一系列优化算法来提高图像重建的质量和效率。
例如，使用贪婪算法或迭代重建算法来优化图像的稀疏表示过程。
- 硬件实现：为了实现基于压缩感知的图像采集系统，研究人员开发了多种硬件方案。
例如，设计了基于压缩感知的图像传感器，能够在采集图像时进行数据压缩，从而减少传输带宽和存储需求。
基于压缩感知的图像重构算法
基于压缩感知的图像重构算法李春晓;李静辉;石翠萍;周仕坤;那与晶;刘欢欢;关硕【摘要】奈奎斯特定理具有一定的局限性,在奈奎斯特采样定理中指出采样过程需要满足一个条件,其采样频率不得低于模拟信号最高频率两倍.然而在过去十几年时间里,随着信息需求量的高速增长导致信号带宽也必须随之增长.这就导致了对技术以及设备要求越来越高,无法有效处理海量的数据.为了提高处理效率,我们利用图像信号的稀疏性对图片处理,通过压缩感知重建算法将图片精准的恢复出来.因为图像有一定的相似性,所以在处理图像的过程中,导致了图像数据的计算复杂度高,恢复图像的精度低.对于这个问题,可以通过压缩感知算法分析图像数据处理.【期刊名称】《科技视界》【年(卷),期】2019(000)001【总页数】2页(P65-66)【关键词】压缩感知;稀疏;图像重建;采样【作者】李春晓;李静辉;石翠萍;周仕坤;那与晶;刘欢欢;关硕【作者单位】齐齐哈尔大学通信与电子工程学院,黑龙江齐齐哈尔161000;齐齐哈尔大学通信与电子工程学院,黑龙江齐齐哈尔161000;齐齐哈尔大学通信与电子工程学院,黑龙江齐齐哈尔161000;齐齐哈尔大学通信与电子工程学院,黑龙江齐齐哈尔161000;齐齐哈尔大学通信与电子工程学院,黑龙江齐齐哈尔161000;齐齐哈尔大学通信与电子工程学院,黑龙江齐齐哈尔161000;齐齐哈尔大学通信与电子工程学院,黑龙江齐齐哈尔161000【正文语种】中文【中图分类】TN911.70 引言随着信息的高速发展，在生活中需要与图像相关的应用越来越多。
面对海量的图像数据，奈奎斯特采样定律显得力不从心。
近年来，基于压缩感知框架下的图像重构得到广大学者研究 [1-3]。
图像处理便是社会和生活不可或缺的一部分。
在最近的十多年，人们对于信息的需求量剧增，图像信号中包含很多数据，尤其是超分辨图像 [4-6]，因此这也导致了处理信息的精度问题和效率问题。
基于压缩感知的图像处理是通过信号的稀疏来表示的，对信号进行采样压缩，信号重构。
基于向量稀疏和矩阵低秩的压缩感知核磁共振图像重建算法
基于向量稀疏和矩阵低秩的压缩感知核磁共振图像重建算法张红雨【摘要】当前基于压缩感知理论的核磁共振图像重建算法大多仅利用图像数据的稀疏性或者低秩性,并没有同时利用图像的这两个性质.本文提出了一种基于向量稀疏性和矩阵低秩性的压缩感知核磁共振图像重建方法.该方法利用核磁共振图像中图像块的非局部相似性对求解优化模型的经典非线性共轭梯度算法进行改进.主要是在共轭梯度算法的迭代过程中对每一图像块寻找其相似块,由于相似块的像素组成的矩阵具有低秩性,因此利用矩阵低秩恢复算法对每一图像块进行更新.改进后的方法同时利用了图像数据的稀疏性和低秩性.实验结果表明,该方法相对于现有的具有代表性的图像重建算法相比,提升了重建图像的质量,具有较高的信噪比.%Most of the Magnetic Resonance Image (MRI) reconstruction algorithms that based on compressed sensing theory were only used the sparsity or low-rank of the image data,they did not use the two properties at the same time.In this paper,we propose a new kind of MR image reconstructed algorithm for utilizing sparse vector and low-rank matrix based on compressed sensing theory.This method utilizes the non-local similarity of the image blocks in the MRI to improve the classical nonlinear conjugate gradient method for sloving the optimization model.In the iterative process of conjugate gradient algorithm for each image block to find the similar blocks,due to the matrix that includes the pixel of the similar blocks is low-rank,therefore,we apply to the low-rank matrix recovery algorithm to update each image block.The proposed method improves the quality ofreconstructed image and has a higher signal to noise ratio when compared with the exisiting reconstruction algorithms.【期刊名称】《天津理工大学学报》【年(卷),期】2017(033)001【总页数】5页(P25-29)【关键词】核磁共振成像;压缩感知;稀疏性;低秩性;共轭梯度法【作者】张红雨【作者单位】天津大学理学院,天津300350【正文语种】中文【中图分类】TP391.41磁共振成像技术（Magnetic Resonance Imaging，MRI）是20世纪80年代发展起来的影像检查技术.由于其不仅可以清楚地显示人体病理结构的形态信息，特别是对软骨组织具有很强的分辨能力，且对人体无辐射危害，近年来被广泛的应用于临床医学等领域.但MRI存在成像速度慢，易产生伪影等缺点.研究人员针对这些缺点展开了深入的研究.目前研究方向较多的是如何在减少采样数据时有效的重建图像，即在减少扫描时间的同时尽量提高图像的分辨率.近年来，Donoho与Candes等人提出的压缩感知（Compressive Sensing，CS）理论表明，如果信号具有稀疏性或在某个变换域下具有稀疏性，可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将高维信号投影到低维空间中，然后通过求解优化问题就可以从少量投影中精确的重建出原信号[1-2].MR图像重建具备压缩感知理论应用的两个关键条件.首先MR图像满足在小波，差分等变换域下具有稀疏性，其次对K空间数据欠采样引起的混叠伪影是非相干的.为此，利用压缩感知理论可以从欠采样的K空间数据中恢复出原图像.近年来压缩感知理论在MRI领域的应用已成为研究热点.目前在压缩感知理论框架下很多文章利用MR图像在不同转换域上的稀疏性作为先验知识建立模型，实现了MR图像的快速重建[2-6].Donoho等[2]利用MR图像在总变分（total variation，TV）域的稀疏性采用共轭梯度算法求解MR重建问题.Lustig等[3]利用MR图像在小波域的稀疏性和TV的稀疏性设计了在K空间欠采样下重建MRI的优化模型.Ravishanker等[5]借鉴基于块稀疏的自适应字典稀疏的重建方法-KSVD[4]，提出了基于KSVD的自适应字典学习的MRI重建算法DLMRI（Dictionary Learning Magnetic Resonance Imaging）.Huang等[6]利用MR图像在小波域和TV域的稀疏性，使用算子分裂算法将MRI重建问题分解并提出了FCSA（FastCompositeSplittingAlgorithms）算法对分解后问题进行求解.Li等[7]利用MR图像在轮廓波域，小波域和TV域的稀疏性作为正则项建立优化模型，将快速迭代阈值算法（Fast iterative shrinkage/threshold algorithm，FIATA)进行改进对其进行求解，提高了重建图像的质量和计算效率.自然图像中存在大量重复的相似结构，这些相似结构不仅包括在平滑区域里，而且也存在于纹理区域和边缘部分中.图像的这个性质—非局部相似性对图像进行恢复重建在图像细节保真方面得到了提升.Buades等[8]通过在图像中搜索相似块并对其进行加权平均滤波进行图像去噪，取得良好的去燥效果.Dabov等[9]提出一种新的块匹配算法（BM3D），这种方法利用图像块的相似性对图像块进行聚类并采用滤波对图像进行重建.Dong等[10]提出了一种新的基于相似块的局部自适应迭代奇异值阈值的低秩算法，在解决图像重建问题中取得了不错的重建效果.自然图像的非局部相似性同样在MR图像中也普遍存在[11].Aksam M等[11]利用块的相似性和冗余性提出了增强非局部均值算法应用到脑部MRI图像去噪和分割中.Qu等[12]提出了从下采样的K空间数据中利用基于块的方向小波的方法来重建MR图像.Huang等[13]改进了FCSA算法，用非局部TV去代替FCSA中的TV，提高了图像重建的整体质量.本文提出了基于向量稀疏性和矩阵低秩性相结合的压缩感知核磁共振图像重建方法.在原有基于向量稀疏的求解模型中，通过利用MR图像的非局部相似性质，对共轭梯度算法进行改进.改进后的算法主要是在迭代过程中通过块匹配方法对每一图像块寻找其相似快，由相似块的像素组成的矩阵具有低秩性，然后使用矩阵低秩恢复算法对图像块进行更新.文献[2]在压缩感知理论框架下运用MR图像在傅里叶域和TV域上的稀疏性进行重建.本文对文献[2]中的求解算法作了改进，改进的算法同时利用了MR图像的向量稀疏性和矩阵低秩性两个先验知识.下面先简要介绍文献[2]提出的基于向量稀疏的压缩感知重建MR图像的方法.1.1 基于向量稀疏的压缩感知MR图像重建方法设x为要重建的MR图像，对x进行稀疏变换为x=ψα、α，是图像x在ψ域的稀疏表示系数，然后用一个与变换矩阵ψ不相关的测量矩阵Φ对图像x进行线性投影，从而得到线性观测值y.MR图像的重建问题就是要根据观测值y重建MR 图像[1][14].该问题属于逆问题的求解.因为MR图像在许多变换域上是稀疏的，Candes等[15]证明了MR重建问题可以通过求解最小L0范数得到解决.由于L0问题是NP-hard 问题，Donoho等[16]提出了用L0范数代替L0范数，进而转化为一个凸优化问题.即其中x是待重建的图像，y是在Fourier变换域下的观测数据，Fu为MRI傅里叶域下的随机欠采样算子，ψ表示稀疏域.将TV作为稀疏正则项，保留了图像的边缘和细节信息[17].因此文献[2]同时利用MR图像在傅里叶域和TV域上稀疏性，得到下面的模型（2）.分别表示第一，第二维度方向像素的离散梯度.对于模型（2），文献[2]采用非线性共轭梯度算法进行求解.此算法的主要步骤为：Step1:设置初始参数并计算初始梯度：x0为待重建MR图像，y为Fourier变换域下的观测数据，α，β为线性搜索参数，iter为迭代次数，Tol为迭代停止精度，并令k：=0.Step2：计算初始下降搜索方向：Step3：若‖gk‖＜Tol同时k＞iter时，停止计算，输出x*=xk.Step4：确定搜索步长t.初始化t=1，当满足条件f（xk+txk）＞f（xk）+αt*Re al（gk*Δxk），令步长为t=βt.Step5:图像更新并计算下降搜索方向：Step6：迭代次数更新：令k：=k+1，转步Step3.1.2 基于矩阵低秩的压缩感知MR图像重建算法图像的每一个像素都与其周围的像素点共同构成图像中的一个结构.以某个像素点为中心取窗口称该窗口为图像块.所取图像块包含一定的空间结构，而在图像中存在大量重复相似结构信息，这可以看做图像本身结构细节部分具有非局部相似性.如图1所示，在图像中取一小块，则可以在图像中找到多处与此图像块相似的小块.本文利用MRI具有的非局部相似性对文献[2]的求解算法进行改进，使得MRI重建算法不仅利用了MRI在傅里叶域和TV域上具有稀疏性，同时也考虑了具有相似特性的图像块所构成矩阵的低秩特性.本文采用改进后的非线性共轭梯度算法求解优化问题.原算法在Step5中采用最速下降法直接对图像进行更新，而改进后的算法先在Step5中使用矩阵低秩算法对图像块进行更新后，再使用最速下降法进行二次更新.具体操作如下：将图像x分成若干小图像块，对每一个图像块寻找其对应的相似图像块进行聚类，将相似图像块的像素组成近似低秩矩阵的列向量.采用下面模型对近似低秩矩阵寻找相似图像块的低秩子空间：其中P=[p1，p2，…，pm]表示相似块构成的矩阵，U表示为左乘矩阵，V为右乘矩阵，∑=diag{λ1，λi，…，λk}为对角矩阵，λi为奇异值，τ为正则参数.分为两步对问题（5）进行迭代求解.①对低秩矩阵P进行SVD分解：（U，∑，V）=svd（P）.②对经过SVD分解得到的奇异值进行软阈值操作：，其中Sτ表示为阈值为τ的软阈值操作.因此新的低秩矩阵为P*=UVT.得到的每一个新的低秩矩阵作为更新图像块的初始估计，再将更新后的图像进行最速下降法的二次更新.改进后的方法充分利用图像数据的稀疏性和低秩性，从而更好地平滑噪声和保持图像边缘信息.为了验证本文改进的算法的性能和效果，对两幅经典MR图像进行测试.测试图像的尺寸均为256*256.如图2列出了两幅原始图像（不含噪声）.首先对原始K空间数据加入噪声方差为0.01的高斯白噪声后进行欠采样（采样率为0.2），然后再用欠采样数据进行图像重建.实验部分测量矩阵采用的是高斯随机观测矩阵，稀疏变换域为Fourier域，图像块的大小为7*7.为了验证算法的有效性，本文算法将与CG算法[2]，SparseMRI算法[3]，FCSA算法[6]，FICOTA算法[7]进行比较.实验结果的对比，主要采用主观比较和客观评价标准比较相结合的方式.主观比较主要比较MR图像重建的整体效果和图像纹理，边缘等局部细节.客观评价标准采用PSNR（peak signal-to noise radio），TEI（Tranferred edge information）和数据逼真项L2范数误差这三项来评估重建效果.图3，图4为两幅图像在不同算法下的重建效果，图5为重建Shoulder图像的局部细节图.通过图3，图4可以看出，与其他算法相比，本文方法整体重建效果较清晰.从图5可以看出，本文重建的纹理细节较为清晰，边缘锯齿较小，平滑了噪声.表1，表2为测试图像在不同算法下的客观评价标准对比.通过表1，表2可以看出，对于测试图像Brain和Shoulder，从客观标准PSNR和TEI的值来看，本文算法高于其他算法，说明本文算法重建图像的质量最好.而L2范数误差值的角度来看，本文方法的值要小于其他算法，说明本文算法重建图像与原图像之间的误差最小.通过表1，2的结果分析，本文方法在3个客观评价标准的性能方面都高于其它4种方法，从客观上反映了本文方法取得了较好的重建效果.因此无论是从重建MR图像质量的主观比较还是客观评价标准来对比，本文算法能够很好地利用K空间欠采样数据重建出效果更好的MR图像，而且从整体图像的重建效果来看，本文算法都要优于其他算法.本文提出了一种基于向量稀疏和矩阵低秩的压缩感知MR图像重建的方法，使用矩阵低秩算法对非线性共轭梯度算法进行改进，充分将图像数据的稀疏性和低秩性结合在一起.通过与其他算法对比，本文算法具有较高的信噪比，重建的图像整体更为清晰，更好地平滑噪声和保持图像边缘信息.下一步工作将进一步探究图像数据的稀疏性和低秩性在MR图像中实现更加快速和有效的重建.【相关文献】［1］Donoho pressed sensing［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，50（1）：1289-1306.［2］Lustig M，Donoho D，Santos J M，et pressed sensing MRI［J］.IEEE Signal Processing Magazine.2008，25（2）：72-82.［3］Lustig M，Donoho D，Pauly J M.Sparse MRI：The application of compressed sensing for rapid MR imaging［J］.Mag-netic Resonance in 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基于压缩感知理论的重构算法
2023-11-11contents •压缩感知理论概述•基于压缩感知的重构算法基础•基于压缩感知的信号重构算法•基于压缩感知的图像重构算法•基于压缩感知的重构算法优化•基于压缩感知的重构算法展望目录01压缩感知理论概述在某个基或字典下，稀疏信号的表示只包含很少的非零元素。
稀疏信号通过测量矩阵将稀疏信号转换为测量值，然后利用优化算法重构出原始信号。
压缩感知压缩感知基本原理压缩感知理论提出。
2004年基于稀疏基的重构算法被提出。
2006年压缩感知技术被应用于图像处理和无线通信等领域。
2008年压缩感知在雷达成像和医学成像等领域取得重要突破。
2010年压缩感知发展历程压缩感知应用领域压缩感知可用于高分辨率雷达成像，提高雷达系统的性能和抗干扰能力。
雷达成像医学成像无线通信图像处理压缩感知可用于核磁共振成像、超声成像和光学成像等领域，提高成像速度和分辨率。
压缩感知可用于频谱感知和频谱管理，提高无线通信系统的频谱利用率和传输速率。
压缩感知可用于图像压缩和图像加密等领域，实现图像的高效存储和传输。
02基于压缩感知的重构算法基础重构算法的基本概念基于压缩感知的重构算法是一种利用稀疏性原理对信号进行重构的方法。
重构算法的主要目标是恢复原始信号，尽可能地保留原始信号的信息。
重构算法的性能受到多种因素的影响，如信号的稀疏性、观测矩阵的设计、噪声水平等。
重构算法的数学模型基于压缩感知的重构算法通常采用稀疏基变换方法，将信号投影到稀疏基上，得到稀疏表示系数。
通过求解一个优化问题，得到重构信号的估计值。
重构算法的数学模型包括观测模型和重构模型两个部分。
重构算法的性能评估重构算法的性能评估通常采用重构误差、重构时间和计算复杂度等指标进行衡量。
重构误差越小，说明重构算法越能准确地恢复原始信号。
重构时间越短，说明重构算法的效率越高。
计算复杂度越低，说明重构算法的运算速度越快。
03基于压缩感知的信号重构算法基于稀疏基的重构算法需要选择合适的稀疏基，使得信号能够稀疏表示，同时需要解决稀疏基选择不当可能导致的过拟合或欠拟合问题。
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* 压缩感知应用于光学成像的首个实际系统是Rice大学的“单像
素相机”。
* 由于该相机直接获取的是 M次随机线性测量值，而不是获取原
始信号的 N( M<<N) 个像素值，因此为低像素相机拍摄高质量 图像提供了可能。
2018/10/26
基于压缩感知的MRI图像重建算法研究
汇报人：指导老师：
目录 一 课题的研究背景、现状及意义 二 选题目的 三 课题内容 四 课题的难点 五 课题进度 六 课题进展
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原始图像
采样
采样数据
数据传输
压缩 发的
解压缩 恢复图像
* 传统Nyquist采样定理： Nyquist 采样定理要
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3.2 测量矩阵
观测基的意义： 保证能够从观测值准确重构信号，其需要满足一定的限制： 观测基矩阵与稀疏基矩阵的乘积满足RIP性质（有限等距性质）以保证观测 矩阵不会把两个不同的K稀疏信号映射到同一个集合中。 研究现状： 如果稀疏基和观测基不相关，则很大程度上保证了RIP性。则一般用随机高 斯矩阵作为观测矩阵。 有证明，高斯随机矩阵时， 能以较大概率满足约束等距性条件。 确定性测量矩阵因为其占用存储空间少，硬件实现容易，是未来测量矩阵 的研究方向，目前确定性矩阵的重建精度不如随机矩阵。
2018/10/26
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3.3 重构算法
目前的 CS 重构算法主要有两大类，包括凸优化法、贪婪匹配追踪算 法。 凸优化法包括基追踪(BP)法、内点(IP)法、梯度投影(GPSR)法和迭代阈 值算法等。 贪婪算法主要包括匹配追踪(MP)系列算法、正交匹配追踪系列算法 (OMP)、正则化约束算法 ROMP、压缩采样匹配追踪(CoSaMP)和子空间 匹配基追踪算法(SP)等。 还有一些混合算法
2018/10/26
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1）稀疏表示是应用压缩感知的先验条件
找到某个正交基Ψ ， 信号在该基上稀疏
找到一个与Ψ不相关， 且满足一定条件的观测基 Φ 以Φ观测真实信号， 得到观测值Y 对Y采用最优化重建， Ψ Φ均是其约束。
2）随机测量是压缩感知的关键过程
3）重构算法是获取最终结果的必要手段。
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如下图：利用小波多尺度变换对 Pepper 图像进行处理，利用标准高斯 随机矩阵作为测量矩阵 Φ，对稀疏化后的数据进行随机测量，使用改 进的 OMP 算法对测量后的数据进行图像重建。
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采样率为1%
采样率为5%
采样率为10%
采样率为15%
11/15 25% 采样率为
采样率为45%
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Pepper 图像经过多尺度小波变换后只要保留 5%的系数，即可较好地重 建图像，证明了压缩感知算法的有效性。
基于小波基的CS图像重建示例图
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基于冗余字典的CS图像重建方法效果图
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两类重建算法总结：
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想法： 1、建立基于冗余字典的CS通用框架把压缩感知理论与超 分辨率图像重建很好结合起来。 2、更好更快地实现单幅图像的超分辨率重建。 3、用更少的观测数据，更大概率的精确恢复、重构原信号。 扩展应用到图像修复上。？
计划： 阅读大量国内外文献进一步学习压缩感知理论及其在超分辨中的应 用 对图像实现各种重建方法并对其进行效果比对
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ห้องสมุดไป่ตู้
3.1 稀疏表示
稀疏表示的意义： 只有信号是K稀疏的（且K<M<<N)，才有可能在观测M个观测值时，可 以从K个较大的系数重建原始长度为N的信号。 研究现状： 1、多种变换域分析方法为稀疏表示提供了可能。 经典的稀疏化的方法有 1）离散余弦变换（DCT） 2）傅里叶变换（FFT） 3）离散小波变换（DWT）等 2、许多信号，诸如自然图像，本身就存在着变换域稀疏性。 3、信号在冗余字典下的稀疏表示：对稀疏表示研究的另一个热点是信 号在冗余字典下的稀疏分解。 这是一种全新的信号表示理论：用超完备 的冗余函数库取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称为原子。
基于小波基的CS图像重建方法在图像上釆样因子比较小的 情况下,能够取得较好的重建效果,而且此方法计算量较小,能 够在短时间内重建高分辨率图像。 基于冗余字典的CS图像重建方法中,由于在字典学习过程中 获得了图像的先验知识,图像的稀疏表示更加有效。当图像 上采样因子较小时,对细节的恢复能力很强,生成高分辨率图 像与原始图像相当接近。
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设x为长度N的一维信号，稀疏度为k（即含有k个非零值），Φ为 M×N的二维矩阵（M<N），y=Φx为长度M的一维测量值。压缩感 知问题就是已知测量值y和测量矩阵Φ的基础上，求解欠定方程组 y=Φx得到原信号x。
一般的自然信号x本身并不是稀疏的，需要在某种稀疏基上进行稀 疏表示，x=Ψs，Ψ为稀疏基矩阵，s为的稀疏系数。 压缩感知方程为y=Φx=ΦΨs=Θs。 将原来的测量矩阵Φ变换为Θ=ΦΨ（称之为传感矩阵），解出s的逼近 值 ，则原信号 。
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通过显示 器显示图 像
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被感知对象
压缩感知
重建信号
名词解释：压缩感知—直接感知压缩后的信息 理论优点：能够节省硬件成本!并且用较少的观测
数据，尽可能较大概率的精确恢复、重构原信号。压 缩感知的应用很大程度地减少测量时间、采样速率及 测量设备的数量
基本方法：信号在某一个正交空间具有稀疏性（即可压
求必须以信号带宽 2倍的速率进行采样。
* 思考？：大部分冗余信息在采集后被丢弃
采样时造成很大的资源浪费能否直接采集 不被丢弃的信息？ 压缩感知(压缩传感，Compressive Sensing)理论是近年来信号处 理领域诞生的一种新的信号处理理论，由D. Donoho(美国科学院 院士)、E. Candes(Ridgelet, Curvelet创始人)及华裔科学家T. Tao(2006年菲尔兹奖获得者)等人提出，自诞生之日起便极大地吸 引了相关研究人员的关注。