抽象函数单调性
抽象函数的单调性课件
03
波的传播
波动传播的速度和方向可以用抽象函数表示，通过分析这些函数的单调
性，可以了解波动的传播规律和变化趋势。
在其他领域的应用
生物种群数量变化
在生态学中，生物种群数量的变化可以用抽象函数表示，通过分析 这些函数的单调性，可以了解种群数量的增长或减少趋势。
详细描述
利用单调性解不等式的方法主要包括比较法和构造法。比较法是通过比较不等式两边的 函数值来判断不等式的真假，而构造法则是通过构造辅助函数并利用其单调性来解不等
式。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右上升。
举例
$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上单 调递增。
单调减函数
定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都 有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函 数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右 下降。
单调性与函数图像的走势
单调性可以决定函数图像的走势。如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该 区间内的函数图像会呈现出上升或下降的趋势。
单调性与不等式的关系
单调性与不等式的解法
单调性可以用来解决一些不等式问题。 例如，利用函数的单调性可以判断不 等式的解集范围。
单调性与不等式的性质
单调性可以用来推导不等式的性质。 例如，如果函数在某个区间内单调递 增，则对于该区间内的任意两个数x1 和x2，有f(x1) < f(x2)，即函数的值 随着自变量的增大而增大。
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
天津高考抽象函数知识点
天津高考抽象函数知识点抽象函数是天津高考中的一个重要知识点，作为数学的一个基础概念，它对于学生的数学思维和问题解决能力有着深远的影响。
本文将从抽象函数的定义、性质以及在高考中的应用等方面进行论述和分析。
一、抽象函数的定义抽象函数是指一种将输入映射为输出的数学关系，它的具体定义可通过函数表达式、图像、数据等形式来表示。
在数学中，抽象函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
抽象函数的定义域、值域以及各种性质是对应学习者所要掌握的基本内容。
二、抽象函数的性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域是指函数的输入值的集合，而值域则是函数输出值的集合。
在考试中，学生需要根据具体问题对抽象函数的定义域和值域进行判断和求解，注意排除不存在的值。
2. 奇偶性：抽象函数的奇偶性是指函数在自变量变为负数时是否保持不变。
对于奇函数，有f(-x)=-f(x)，即绕原点对称；对于偶函数，有f(-x)=f(x)，即轴对称。
3. 单调性：抽象函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增减而增减的性质。
单调函数可以分为递增和递减两种，可以通过导数的正负性来判断函数的单调性。
4. 极值与最值：抽象函数的极值是指函数在定义域内取得的局部最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内取得的最大值和最小值。
为求得函数的极值和最值，需利用函数的导数和二次函数的特性进行分析。
三、抽象函数在高考中的应用1. 函数组成：抽象函数可以通过一系列的函数组成，从而形成新的函数。
高考中许多关于函数的复合、迭代以及函数方程的题目都需要运用抽象函数的概念和性质来解决。
2. 函数图像：抽象函数的图像可以通过绘制函数曲线来表示，其中包括函数的关键点、拐点、渐近线等信息。
在高考中，图像分析是一个重要的解题方法，学生需要根据图像的特点来解答相关问题。
3. 函数方程的解：抽象函数也常常用于求解函数方程。
通过对函数的定义域、值域等性质的分析，可以得到函数方程的解集及其特点。
抽象函数的单调性与奇偶性讲解
抽象函数单调性与奇偶性抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =] 指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
抽象函数的单调性
在证明函数单调性时经常有下面几个变形：
f (x2 ) f [(x2 x1) x1]
f (x2 )
f ( x2 x1
x1 ]Biblioteka （1）求f(1)的值； （2）判断f(x)的单调性；
（3）若f(x+8)-f(x) 2，求x的取值范围.
5.函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y 都有：f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时，f(x)>1 且 f (0) 0 .
（1）求f(0)的值； （2）证明:对任意的x都有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若 f (x) f (2x x2 ) 1,求x的取值范围.
3.函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y都有： f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)<0且f(2)=-1.
（1）求f(0)的值； （2）判断并证明函数f(x)的奇偶性； （3）证明函数f(x)的单调性； （4）求函数f(x)在[-6,6]上的值域。
4.函数f(x)的定义域为 (0, ) ，且对任意 x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时，f(x)>0 且f(3)=1.
抽象函数:
通常是指没有给出函数的具体解析式，只给 出了其他一些条件（如：定义域，经过的特 殊的点、解析递推式、部分图象特征等）。
合理赋值，整体思考， 借助特殊点，利用递推式
1.设f(x)的定义域为[0,1],则f(2x+1)的定 义域为 [ 1 , 0]
2
2.函数f(x)为定义在R上的奇函数，在(0, ) 上单调递增，且f(3)=0,则不等式f(x)>0的 解集是 (3,0) (3, )
抽象函数单调性的判断
抽象函数单调性的判断 例１ 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有)()()(y f x f y x f +=+．且当x ＞０时，)(x f ＞０，试判断)(x f 的单调性，并说明理由.解析：根据题目所给条件，原型函数为y ＝k x ，（k ＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设12,x x ∈R ，且21x x <，则2x －1x ＞０，故 )(12x x f -＞０．∴ )(2x f －)(1x f ＝[]112)(x x x f +-－)(1x f＝)(12x x f -＋)(1x f －)(1x f＝)(12x x f -＞０．∴)(1x f ＜)(2x f ． 故)(x f 在（－∞，＋∞）上为增函数．例２ 已知函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0)+∞，上为增函数，证明()y f x =在(0)-∞，上也是增函数．解析：此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>，而奇函数这个条件正是转化的媒介．设12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， ()f x 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-，22()()f x f x -=-．由假设可知1200x x ->->，，即12(0)x x --∈+∞，，，且12x x ->-， 由于()f x 在(0)+∞，上是增函数，于是有12()()f x f x ->-，即12()()f x f x ->-，从而12()()f x f x <，()y f x ∴=在(0)-∞，上是增函数．例３ 已知函数)(x f 对于任意正数x ，y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0,当x ＞1时, )(x f ＜1．试判断)(x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由．解析：此函数的原型函数可以为x y 1=．显然此函数在（０，＋∞）上是减函数．对于x ∈（０，＋∞）有)(x f ＝[]0)()(2≥=⋅x f x x f又)(x f ≠０， ∴)(x f ＞０设1x ，2x ∈（０，＋∞），且1x ＜2x ．则 221121121111()()()()()()()()x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ===＜１， ∴ )(1x f ＞)(2x f ， 故)(x f 在（０，＋∞）上为减函数．一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。
高中抽象函数的单调性习题总结
10月2日 抽象函数的单调性1、()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，求()f x 在[]3,3x ∈-上的值域.2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3.3、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。
5、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a fb b =-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,6、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0<x 时，1)(>x f ；（1）求证：()0f x > ；（2）求证：)(x f 为减函数 （3）当161)4(=f 时，解不等式41)5()3(2≤-⋅-x f x f7、已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若任意的[1,1]a b ∈-、，总有()(()())0a b f a f b ++>．（1）判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：(1)(12)f x f x -<-；（3）若2()21f x m pm -+≤对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-（p 是常数），求实数m 的取值范围．。
抽象函数函数之单调性及奇偶性部分
函数之单调性及奇偶性部分单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）例1设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设x 1<x 2, 则f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)< f(x 1). （∵x 2-x 1>0,∴f(x 2-x 1)<0）所以f(x)是R 上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.练习1：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。
证明：设R 上x 1<x 2，则f(x 2-x 1)>1，f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。
取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由0)(1)(1)()()0(>-==-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是增函数。
（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习2：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. 求证：f (x )是单调递增函数；证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数.练习3、 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.（1）求证：f （0）=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.（1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）.又f （0）≠0，∴f （0）=1.（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.∴f （－x ）=)(1x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0，∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0.（3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）.∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1.又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）.∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数.（4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数，∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3.关键点注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1.试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x (f )x (f R x 2>≠≥=∙=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 122121><∈+ 1)x x (f )x (f )x (f )x x (f )x (f )x x x (f )x (f )x (f 121112111212<=∙=∙=，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数.)2()0,2()1,3()2()1,3()2,1()1,2()(0)1()1(0)2()0,()(5∞+⋃---∞+⋃-⋃-->+-=-∞，、、，、、的解集为，则上单调递减，且在、奇函数练习D C B A Cx f x f x f奇偶性问题例2. （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。
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f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 x1 x1 ) f ( x2 x1 ) x2 x1 0, 当x 0时, f ( x) 0 f ( x2 x1 ) 0 即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在R上为增函数.
（2）解： f (4) f (2)+f (2)-1，f (4)=5 5 2 f (2) 1，f (2)=3 f ( m 2 ) 3，又 f ( x)在R上为增函数. m2 2 即-2 m 2 2,解得： 0m4 m的范围为 0, 4 .
x1 1, 当0 x 1时, f ( x) 0 x2 x1 )0 x2
即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在R上为减函数.
五、课堂演练，反馈提升
练习 1、函数f ( x)对任意的a, b R，都有f (a b) f (a) f (b) 1， 并且当x 0时，f ( x) 1. （ 1）求证：f ( x)在R上是增函数； （2）若f (4) 5，解不等式f ( m 2 ) 3.
练习2、已知函数f ( x)的定义域是（ 0， ），且f ( x y ) f ( x) f ( y )， 当x 1时，f ( x) 0. （ 1）求f (1)； （2）证明f ( x)在（0， ）上是增：任取x1 , x2 R，且x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 x1 x1 ) f ( x2 x1 )+1 x2 x1 0, 当x 0时, f ( x) 1 f ( x2 x1 )+1 0 即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在R上为增函数. f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 )-1
抽象函数问题
——抽象函数的单调性
一、复习
1、函数单调性的定义
x1 , x2 D, D I , （1）当x1 x2 , 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么函数f ( x )在区间 D 上是增函数 （2）当x1 x2 , 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么函数f ( x)在区间 D 上是减函数
四、尝试解决，形成方法
例1、已知函数f ( x)在R上满足f ( x y ) f ( x) f ( y )，且当 x 0时，f ( x) 0，f (1) 2 （1）令x y 0，则f (0+0)=f (0) f (0)，f (0) 0. (1)求f (0)、f (3)的值； (2)判定f ( x)的单调性.
(3)求不等式f ( x 1) 6的解集（ . 2）任取x1 , x2 R，且x1 x2
f ( x1 ) f ( x2 x1 ) f ( x1 )
例2、已知定义在 0, 上的函数f ( x)满足：①对任意的x, y 0, ， 都有f ( x y ) f ( x) f ( y )；②当0 x 1时，f ( x) 0. (1)判断并证明的单调性 1 (2)已知f (9) 2, 且f ( ) f ( x), x 求不等式 2 f ( x) 2的解集.
x1 x1 f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) f ( x2 ); x2 x2
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x1 x2 x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 );
一、课堂小结
如何判断抽象函数的单调性. （1）紧扣单调性的定义，
（2）适当运用题设条件.
一般地，若f(x)满足：
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x1 x2 x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 );
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f (
解：由题意得： 1 x 2 1 x 1 3 解得： 1 x 2 3 x的取值范围为1, 2
x 0时，f ( x) 0，判定f ( x)的单调性.
如何判断？
问题3：已知函数f ( x)在R上满足f ( x y) f ( x) f ( y)，且当
解：（1）f ( x)在R上为减函数. 任取x1 , x2 0, ，且x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) x2 x1 ) x2
f( f( 0 f(
2、证明函数单调性的一般步骤
取值，作差，变形，判号，下结论（判断函数单调性“五部曲”）
二、知新必备
1 问题1：证明函数f ( x) x 在区间（ 1， ）上为增函数. x
-1,1上的增函数，且 问题2：已知函数f ( x)是定义在区间
f ( x 2) f (1 x)，求x的取值范围 .
x1 x x2 ) f ( 1 ) f ( x2 ); x2 x2
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x1 x2 x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 );
一、作业
已知函数f ( x)的定义域是R，对任意x均有f ( x) 0，且满足： ①f ( x y ) f ( x) f ( y )，②当x 0时，f ( x) 1. （ 1）求f (0)； （2）证明f ( x)在R上是增函数.
三、探索新知
1、抽象函数问题 是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题. 2、如何判断抽象函数的单调性. 判断抽象函数的单调性，仍然要紧扣单调性的定义，并且适当
运用题设条件. 一般地，若f(x)满足：
f ( x y) f ( x) f ( y),则f ( x1 ) f ( x1 x2 x2 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 );