噪声功率谱密度与方差之间的关系

关于matlab 中噪声功率谱密度与方差之间的关系的理解
1. 连续时间系统
高斯白噪声的定义为：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。

故对于连续时间系统，理想的高斯白噪声的功率谱密度是一个常数，设为n0，而带宽是无限宽的，其功率为：
0*n ∞=∞ （1） 在n0不是为无穷小的情况下，理想的噪声功率Pn 是无限大的。

而实际当中，噪声带宽是有限宽的，只需要在我们所关心的频带范围内，噪声功率谱密度是个常数，则我们可认为其是高斯白噪声。

设噪声单边功率谱密度为0n ，低通带宽为W ，则其噪声功率为：
0*2n n P W = （2）
如图1.1所示： o W -W 幅度
频率/HZ 0
2
n
图1.1
我们知道，高斯白噪声的分布为2
~(0,)X N σ，则其功率为：
222()()()()n P E x D x E x D x σ==+== （3）
故对于低通系统有：
20/2
n W σ= （4） 而对于带通系统，如图1.2所示，有： 200*2*2n n P W n W σ=== （5）
W -W 幅度
频率/HZ 0
2
n
2. 离散时间系统
对于离散时间系统而言，带宽受到抽样速率fs 的限制。

设WGN 一秒内抽取的一组数据样本为：
12[],,....fs x n x x x =
22([])0;([])([])E x n D x n E x n σ===
2.1理论分析
由于时间为单个的离散点，故理想功率为0；但有下列定义：对于序列[]x n 的能量E 定义为序列各抽样值的平方和，则数据样本的能量为： 2221()*[()]*s f s s E x n f E x n f σ===∑
（6）
将功率定义为序列能量除以序列的时间，即
2*t s b E P f T σ==（单位：J/S ） （7）
式中，Tb 为序列时间，此处等于1S 。

如果功率单位采用W/symbol ，则有：
2/s t s P P f σ==（单位：J/symbol ）
2.2另一种理解
而实际当中，抽样点是一个时间段，认为1/s s T f =时间内的幅值就等于此抽样时刻的幅值，则单位抽样时间内的噪声能量为：
22***t s s s E E T f T σσ=== （6） 则噪声功率（单位：J/symbol ）为：
222221234222{[]*[]*[]*[]*......[]*}
*[]*[]n s s s s S s s s
P E n n T n n T n n T n n T n n T f E N T E N σ=++++===
高斯白噪声经过抽样之后，其带宽如下所示：
o W -W 幅度
频率/HZ
-fs fs fs+W -fs-W -2fs 2fs
故抽样之后功率谱密度仍然可近似为常数，其单边带宽为fs/2(根据奈奎斯特抽样定理)。

设此时的单边功率谱密度为n0，故其功率为：
20**2
n fs p n fs σ== （6） 3. 结论
由于在连续系统中以时间t 为单位，而在离散系统中以抽样为单位，由此导致功率、能量、方差等的定义不同。

由以上推导可知，噪声功率谱密度与方差的表示关系与在连续系统中的表示关系是不同的。

补充：Matlab 中如何加噪声
首先要认清楚SNR 与Es/N0、Eb/N0的关系。

一般意义的信噪比SNR 是指信号功率与噪声功率之比。

而对于最佳接收机来说，一般会用Eb/N0来表示信噪比，有时也写成SNRpbit 。

具体关系如下；
Es/No(dB)= Eb/No(dB)+10log10(k); k 表示k 波特信息量每比特 SNR_dB = Eb/No - 10log10（Tsymbol /Tsample ）+ 10log10(k);（复信号）
SNR_dB = Eb/No - 10log10（0.5*Tsym /Tsamp ）+ 10log10(k);（实信号）
Tsym 表示符号周期，Tsamp 表示采样周期。

Tsym/Tsamp 物理意义是多少采样点每符号。

一般仿真中都用Eb/N0 来表示信噪比。

以幅值为1的矩形成型波为例：
2
1()b N b b E s n N ==∑
式中Nb 表示每比特的采样数。

n B 表示单边噪声带宽，0N 表示单边功率谱密度，则有：
0*n n N B P =(单位：J/S )
根据第三节可知/2n s B f =，所以有
202*N σ=
以上是对于实信号而言的。

对于复信号而言，其功率谱密度为N0，则有： 20**n r i P P P fs N fs σ=+==(J/symbol )。