13-信号的功率谱密度解析
谱密度PPT
Fx () :F (x)()
x(t)e jt dt
反演公式
x(t ) 1
2
Fx
(
)e
jt
d
(假设逆变换存在)
记 W x2(t)dt 为x(t)在(-,+)上的总能量
则
W
x2 (t)dt
x(t)[
解 R X ( ) 5 2 e 3| | 2 e 3| | c o s 4
S X ( ) F (R X )( )
5F (1)( ) 2F ( e 3| | )( ) 2F ( e 3| | c o s 4 )( )
10 ()
T T
e
j (t s)
RX
(t
s)dsdt
(令
u t s
v
t
) s
2T 2T
(1
|u | 2T
)e
ju
R
X
(u
)du
e
ju
R
T X
(u
)du
(令
R
T X
(
)
（ 1
2T
)RX
(
)
0
2T ,
2T
则
lim
T
第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数 曲线下的总面积.
谱密度的计算 ● 广义积分----可利用复变函数中的留数定理 ● 利用已知的基本公式和 Fourier 变换的性质等
留数定理 函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2,..., zn外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线，则
功率谱密度 公式证明
功率谱密度公式证明
功率谱密度是描述信号功率在频域上分布的一种参数，对于连续信号，功率谱密度可以通过傅里叶变换得到。
以下是功率谱密度的公式推导。
假设有一个宽度为T的连续信号x(t)，其功率谱密度为S(f)，其中f表示频率。
首先，我们将信号x(t)分割成很多个宽度为Δt的小时段，然后将每个小时段乘以一个窗函数w(t)（通常选择矩形窗函数），得到窗口函数为w(t)的窗口信号xw(t)。
根据能量守恒定律，信号的总能量等于每个窗口信号的能量之和。
因此，可以得到以下等式：
∫[0,T] |x(t)|² dt = ∑[n] ∫[nΔt,(n+1)Δt] |xw(t)|² dt 然后，我们对上述等式两边进行傅里叶变换，得到：
∫[0,T] |X(f)|² df = ∑[n] ∫[nΔt,(n+1)Δt] |Xw(f)|² df 其中，X(f)表示信号x(t)的傅里叶变换，Xw(f)表示窗口信号xw(t)的傅里叶变换。
由于信号x(t)在每个窗口内是平稳的，所以可以将窗口信号的傅里叶变换看作是信号功率在频域上的估计。
因此，可以用以下等式近似表示：
S(f) ≈ |Xw(f)|² / Δt
最后，我们取极限使Δt趋近于0，得到连续信号的功率谱密度公式：
S(f) = lim Δt→0 |Xw(f)|² / Δt
这就是功率谱密度的公式推导过程。
需要注意的是，实际应用中，可以使用计算机进行数值计算来估计功率谱密度。
功率谱密度公式推导
功率谱密度公式推导功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是指一个信号的功率在频率域上的分布。
它在信号处理、通信系统、噪声分析等领域都有着重要的应用。
在本文中，将对功率谱密度的定义、性质以及推导进行详细讨论。
首先，我们来定义功率谱密度。
假设有一个零均值的随机过程（零均值是为了简化推导），我们用x(t)表示这个随机过程，并假设它的均方值为E[|x(t)|^2] = Rxx(0)。
为了分析这个随机过程在频率域上的特性，我们将其进行傅里叶变换。
傅里叶变换的定义如下：X(f) = ∫(x(t) * e^(-j2πft) dt)其中，X(f)表示信号x(t)在频率f上的复振幅（振幅和相位）。
根据傅里叶变换的定义，我们可以得到信号在频率f上的功率P(f)的定义如下：P(f) = |X(f)|^2根据随机过程的定义，我们知道x(t)是一个随机变量，它的取值在每个时间点上都是随机的。
因此，X(f)也是一个随机变量。
我们只知道X(f)的均方值（即P(f)）是一个确定的量，但我们无法准确地知道X(f)在每个时刻上的取值。
为了能够更好地描述X(f)的统计性质，我们可以引入概率密度函数。
假设X(f)的实部和虚部分别为Xr(f)和Xi(f)，我们定义X(f)的概率密度函数为fX(x)。
根据概率密度函数的定义，我们可以得到X(f)的均方值为：E[|X(f)|^2] = ∫(|x|^2 * fX(|x|^2) dx)然后，根据功率的定义，我们可以得到：E[|X(f)|^2] = P(f)综上所述，我们可以得到功率谱密度PSD的定义如下：PSD(f) = ∫(|x|^2 * fX(|x|^2) dx)对于一个随机过程来说，我们可以通过计算其自相关函数Rxx(t)来得到其功率谱密度。
自相关函数定义如下：Rxx(t) = E[x(t) * x*(t-τ)]其中，E[•]表示对随机变量取均值的操作，τ表示一个时间延迟。
通信专业中的一些重要公式
第一章 绪论 1.传码率B R即波型（码元）传输速率，每秒钟传输的码元速率。
常表示为B R ，单位为“波特（Baud ）”。
)(1Baud T R B =（1.1-1）式中：T 是每个码元占有的时间长度，单位是s 。
2.传信率b R ：即信息传输速率，指每秒钟传输的信息量。
常表示为b R ，单位是“比特/秒（bit/s 或bps ）”。
对于二进制码元，传码率和传信率数值相等，但单位不同。
对于多进制码元，两者不同，但可以通过下列公式进行转换。
)/(log 2s bit N R R B b ⋅= （1.1-2）式中：N 是进制数。
3.误码率e P是指错误接收的码元数在传送总码元数中所占的比例，或者更确切地说，误码率是码元在传输系统中被传错的概率。
即e P = 错误接收码元数目/传输码元总数目 （1.1-3） 4.误信率b P又称误比特率，是指错误接收的信息量在传送信息总量中所占的比例，或者说，它是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。
即b P = 错误接收比特数/传输总比特数 (1.1-4）5.信息量单个符号的信息量[])(1log )(log )(i a i a i x P x P x I =-= （1.2-2）6.熵（平均信息量）∑∑-==Xa Xx P x P x I x P X H )(log )()()()( （1.2-10）式中X 为离散信源符号集合，)(X H 的单位取决于对数底a 的取值，通常情况下取2=a ，这时，)(X H 的单位为bit /符号。
若离散信源X 中只有M 个符号，则上式又可以表示成下式∑=-=Mi i a i x P x P X H 1)(log )()( （1.2-11）7.连续信道连续信道的信道容量，由著名的香农（Shannon ）公式确定，其内容为：假设信道的带宽为)(Hz B ，信道输出的信号功率为)(W S ，输出的加性带限高斯白噪声功率为)(W N ，则该信道的信道容量为())/(/1log 2s bit N S B C += （1.3-26）若噪声的单边功率谱密度为0n ，则有噪声功率为B n N 0=，可得香农公式的另一种形式[])/()/(1log 02s bit B n S B C += （1.3-27）其中0称为信道容量的“三要素”。
能量谱密度与功率谱密度
能量谱密度与功率谱密度
一、能量谱密度
令为能量信号，且则的能量可以定义为
上式被称为帕什伐尔能量定理。
帕什伐尔能量定理表明一个能量信号的能量可以在时域内求解，也可以在频域内求解，并且，在时域内和在频域内求得的结果是相同的。
通常将定义为能量信号的能量谱密度。
显然，是一个偶函数。
信号的能量可以表示为
能量谱密度的物理含义为单位频带上的信号能量分布。
2.4.2 功率谱密度
设为一个功率信号，其信号作用时间在。
通常对这样信号的分析方法是将信号截短，截短后的信号可以
看作能量信号。
设则为能量信号，且设。
由功率信号的功率计算公式及能量信号帕什伐尔定理，可得
类似能量谱密度全频积分的能量，定义功率谱密度
被称为功率谱密度，表示信号在单位频带上的功率分布。
比较以上两式有
显然，且为偶函数。
通信原理复习题_13通信解析
13 通讯工程《通讯原理》复习题一、填空1. 某四进制系统，4 秒钟传输 4800 个四进制符号，则此系统的传码率 RB4= ，传信率 Rb= 。
2. 模拟调制系统的抗噪声性能主要用 来权衡；数字调制系统 的抗噪声性能主要用 来权衡。
3.AM 调制的靠谱性用 权衡； DPSK 的靠谱性用 权衡。
4. 某通讯系统采纳四进制数字序传记输方式，每传输一个码元需T=250×10-6s 时间，其传信率为 ，码元速率为 ，若传输了 5s ，检测到 50 个码元 误码，其误码率为 。
5. 八进制数字通讯系统的误码率为 10-5 ，系统的传输速率为 600b/s ，则接收端在 _______h 内能接收到 144 个错误码元。
6. 已知能量信号 f(t) 的傅氏变换为 F(w) ，则依据帕塞瓦尔定理可得其能量为 E= = 。
7. 设一数字传输系统传递 16 进制码元，码元传输速率为 2400 波特，则此时系统 的信息传输速率为 ；假如系统的误码率为 10－ 4，则 1 小时内错误的码 元个数为 ；假如系统的误比特率为 2.5 ×10-5 ，则 10 分钟内错误的比特 个数为 。
1.1200B ，2400b/s2. 信噪比，误码率3. 信噪比，误码率4.8000 ， 4000， 2.5 × 10-35.20f 2 (t )dt 1 26.F ( ) d2，7. 9600b/s ， 864 ，21.61. 在剖析信道时，依据乘性扰乱 k(t) 能否随时间变化，将信道分为 _____ 信道 和 信道。
2. 无失真传输系统的传输函数 H （w ）=____ 。
1. 恒参，随参2. Ke j t d3. 已知调制信号m(t ) cos200 t，载波为2cos104t ，则其 DSB 信号的表达式为。
2 cos 200 t cos104 t4. 将 n 路频率范围为 0.3~4KHz 的话音信号用 FDM 方法进行传输，若采纳 AM 调制方式则 n 路话音信号的最小传输带宽为 ，若采纳 SSB 调制方式则 n 路 话音信号的最小传输带宽为 。
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
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第 4 章随机信号与线性系统陈明东南大学移动通信国家重点实验室chenming@随机过程和随机信号的概念当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。
4.1 随机信号的功率谱密度确定性信号的频谱信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。
对于确定性信号，其Fourier 变换可以反映其频谱特性。
()cos2n n s t a ntp ¥==åj2ˆ()()d ftsf s t etp ¥-?=òFourier分解的物理意义各种频率成份的振动频谱与光谱进行对比光谱红橙黄绿青蓝紫频谱如何反应随机信号的频谱？由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。
4.1.1连续时间随机信号的功率谱密度若()X t 是一个定义于¡上的连续时间随机过程，则[,]T T -上的平均功率为{}21()d 2TT TP E X t tT-=ò利用Fourier 变换的Parseval 等式，可以得到()X t 在(),-ゥ上的平均功率为2j2lim 1lim ()e d d 2TTT ftTT P P E X t t fT ¥-p -?=殪镲镲犏=睚犏镲犏镲镲腩蝌从上式可以看出，下式所定义的关于频率f 的函数2j21()lim ()e d 2TftX TT S f E X t tT -p -禳镲镲=睚镲镲镲铪ò反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数()X S f 为连续时间随机过程()X t 的功率谱密度。
功率谱密度的性质性质4.1 设()X t 是定义于¡上的连续时间随机过程，()X S f 是其功率谱密度，则有如下性质： ① 功率谱密度在¡上的积分为信号总功率，也即()d X P S f f ¥-?=ò。
② ≥()0X S f ,也即()X S f 是一个非负实函数。
③ 实随机信号的功率谱密度是偶函数图4.1 实随机信号的功率谱密度是非负偶函数对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin 定理定理 4.1(Wiener-Khinchin 定理) 若()X t 为¡上的宽平稳过程，且其自相关函数()X R t 满足()R t t ¥-?òd t <?，则有j2()()e d f X X S f R tt t¥-p -?=ò证明 由功率谱密度的定义式知{}(){}{}12121212j2j21122j21212j2()1212j2()121()lim()e d ()e d 21lim()()e d d 21lim()()e d d 21lim()e 2T T ft ft X TT T T f t t TT T T f t t T T T T T f t t X TT T S f E X t t X t t T E X t X t t t TE X t X t t t T R t t T -p -p --*-p --*-p ----p ---轾轾=犏犏臌臌===-蝌ò蝌蝌12d d t t如图4.2所示，对积分区域作变换122,t t t t s =-=，则{}{}02j2j22002j2j2202j221()lim()ed d ()e d d 21lim ()e(2)d ()e (2)d 2||1lim ()e 1d 22()e T TT f f X XT TTT T f f XTT T f X TT X S f RR TRT R T TR TT R t tttttt ts t tst t t t t tt t t t --p -p ----p -p --p -¥--?=+=++-戽鳇镲镲÷ç÷=-ç睚÷÷ç镲桫镲铪=蝌蝌蝌òòj2d f ttp于是定理得证。
对于宽平稳过程，其功率谱密度是其自相关函数的Fourier 变换，因此由Fourier 逆变换公式有j2()()e d f X X R S f ft t ¥p -?=ò所以，对于宽平稳过程来讲，其自相关函数和功率谱密度是互相唯一确定的关系，一个是随机过程时域特性的反映，一个是随机过程频域特性的反映。
此外由式(4.3)知，对于宽平稳随机过程来说，平均功率为{}2(0)()()d X X R EX t S f f ¥-?==ò若()X t 为实随机过程，则其自相关函数为偶函数，即()()X X R R t t =-，则()()cos 2d X X S f R f t t t ¥-?=p ò例4.1 试求Poisson 随机电报过程的功率谱密度。
解 由习题2B-73可知，Poisson 随机电报过程为宽平稳过程，其自相关函数为2||()e X R a t t -=，其中a 是信号平均传输速率。
由Wiener-Khinchin 定理知其功率谱密度为2j22j20()ee d e e d 1142j22j244f f X S f f f f a t ta t tt ta a a a ¥-p --p -?=+=+=-p +p +p 蝌例4.2 设()X t 是定义在¡上的实随机过程，其功率谱密度为()X S f 。
则()X t 的解析过程()()j ()Z t X t X t =+(的功率谱密度为()4()()Z X S f S f U f =其中()U f 为Heavyside 函数。
解 由习题3B-39和例3.29知，()Z t 的自相关函数为()2()j ()Z XXX R R R t t t 轾=+臌(对其作Fourier 变换，由()()()jsgn()()X XXX S f S f H f f S f ==-(知()4()()Z X S f S f U f =所以，解析过程没有负功率谱密度。
例4.3 试求随机相位余弦信号0()cos(2)X t a f t Q =p +的功率谱密度()X S f ，其中Q 是(,)-p p 上的均匀分布。
解 由例2.72知，()X t 为平稳过程，且其自相关函数为20()cos22X R f a t t =p则其功率谱密度为002j2022j2()j2()2200()cos 2e d 2e d e d 44()()44f X f f f f a S f f a a a a f f f f tt tt t t td d ¥-p -?ゥ-p --p +-??=p =+=-++ò蝌其中，用到了常数1的Fourier 变换是d 函数的性质。
由此可见，随机相位余弦信号()X t 的功率集中于频点0f ±。
例4.4(白噪声过程) 如图4.3所示，若宽平稳随机过程()W t 的功率谱密度在任意频点上是常数，即0()/2W S f N =，则称()W t 为白噪声过程,由Wiener-Khinchin 定理知其自相关函数为()()2W N R t d t =若宽平稳随机过程()X t 的功率谱密度为≤0,2()0,X N f w S f f wìïïï=íïï>ïî其中w 为某个正常数，则称()X t 为带限白噪声过程。
该过程的平均功率为{}200()d 2wwN EX t f N w -==ò自相关函数为00j2sin(2)()e d 22w f X w N w N R f tt t tp -p ==p ò由上式可见，当/(2),1,2,k w k t =?L 时，()X t 和()X tt +互相正交。
图4.3 白噪声和带限白噪声的功率谱密度互功率谱若()X t 和()Y t 是两个随机过程，和随机信号功率谱密度的定义类似，可以定义()X t 和()Y t 的互功率谱密度为{}j2j21()lim ()e d ()e d 2TTftftXY T TTS f E X t t Y t tT *-p -p --轾轾=犏犏臌臌蝌和Wiener-Khinchin 定理的证明类似，若()X t 和()Y t 为两个联合宽平稳的随机过程，且()d XY R t t t ¥-?<?ò，则有j2()()e d f X Y X Y S f R tt t ¥-p -?=òj2()()e d f X Y X Y R f S f t t ¥p -?=ò式中，()XY R f 为()X t 和()Y t 的互相关函数。
此外，还可以证明互功率谱密度具有以下性质。
性质4.2① ()();XY Y X S f S f *=② ≤2()()()XY X Y S f S f S f 。
证明作为练习。
例4.5 设()X t 和()Y t 是两个联合宽平稳过程，试给出()()()Z t X t Y t =+的功率谱密度。
解()Z t 的自相关函数为{}{}()()()()()()()()()()()Z X Y X X Y Y R E Z t Z t E X t Y t X t Y t R R R R t t t t t t t t **=+轾轾=++++臌臌=+++因此，()Z t 的功率谱密度为()[]j2()()()()()e d ()()()()()()2Re ()f Z X Y X X Y Y X Y X X Y Y X Y X Y S f R R R R S f S f S f S f S f S f S f tt t t t t¥-p -?=+++=+++=++ò在信号分析中，常常要讨论两个联合宽平稳随机过程的和，从上述表达式可以看出，互相关函数及互功率谱密度的概念的引进是必需的。
例4.6 设联合平稳的两个随机过程()X t和()Y t 的互功率谱密度为１+2其他j ,1/21/2()0,XY f f S f 靝-p <<p ïï=íïïî则互相关函数为1/2j21/22()(1j2)e d (sin cos )sin f X Y R f ft t t t t t t pp -p=+p +-=p ò4.1.2 离散时间随机信号的功率谱密度信号的频率刻画了信号变化的快慢，因而对于离散时间随机过程，只有指定了离散时间的绝对时间间隔T，功率谱密度才有意义。