四元数与欧拉角之间的转换
四元数转欧拉角代码解析
四元数转欧拉角代码解析本文的内容就是解析正点原子MPU6050的mpu_dmp_get_data()函数中，三个欧拉角的由来，即如何将MPU6050输出的四元数转化为姿态解算所需要的欧拉角。
*pitch = asin(-2 * q1 * q3 + 2 * q0* q2)* 57.3; // pitch*roll = atan2(2 * q2 * q3 + 2 * q0 * q1, -2 * q1 * q1 - 2 * q2* q2 + 1)* 57.3; // roll*yaw = atan2(2*(q1*q2 + q0*q3),q0*q0+q1*q1-q2*q2-q3*q3) * 57.3; //yaw其实上述三个公式的核心就是将一次的姿态变换分别用四元数矩阵和欧拉角矩阵表示出来，由于这两个矩阵是等价的即对应元素都相等，通过简单的对比运算就可以得到上述的三个公式。
因此，我将从1.四元数矩阵的得到；2.欧拉角矩阵的得到；3.两个矩阵的等价运算三个部分进行说明。
1.四元数矩阵的得到三重矢量计算公式：AX(BXC)=B(A·C)-C(A·B)这个公式很好记，右边部分就是BACK-CAB(后面的出租车)2.欧拉角矩阵的得到q02+q12+q22+q32=1从9.2.33到9.2.34的化简，其实就是利用进行化简，把1去掉即可。
将右侧的矩阵乘开，可得到一个3x1矩阵，与左边3x1矩阵对应元素相等，这个相等的关系，就是上个框框中求出的三个等式。
各轴上的单位1，就是图1.2.2矩阵任意行与列各个元素的平方和为1。
到这里，用欧拉角表示描述一次旋转变换已经结束了。
然而，上述的姿态矩阵C n b仅仅是《惯性导航》这本书先Z,再X,最后Y旋转变换而形成的姿态矩阵，这样的旋转顺序其实是和很多大家实际使用的飞控代码不一样的（同样的，关于θφγ的实际意义其实也没有明确的规定）。
此文目的就是解析“正点原子”飞控代码中四元数转欧拉角部分，因此，接下来，我将采用此代码所使用的旋转顺序，先Z,再Y ,最后X 的旋转变换重新计算旋转矩阵C n b。
matlab 欧拉角转四元数
MATLAB欧拉角转四元数1. 引言在三维空间中，姿态描述是非常重要的。
欧拉角和四元数是两种常用的姿态描述方法。
欧拉角是通过三个旋转角度来描述姿态的，而四元数是一种更复杂但更灵活的表示方法。
在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB将欧拉角转换为四元数。
2. 欧拉角和四元数的基本概念2.1 欧拉角欧拉角是一种姿态描述方法，它通过三个旋转角度来表达姿态。
常见的欧拉角顺序有三个：欧拉角顺序1-2-3（绕x轴旋转，然后绕y轴旋转，最后绕z轴旋转）、欧拉角顺序2-1-3（绕y轴旋转，然后绕x轴旋转，最后绕z轴旋转）和欧拉角顺序3-2-1（绕z轴旋转，然后绕y轴旋转，最后绕x轴旋转）。
欧拉角的单位通常是弧度。
2.2 四元数四元数是一种复数扩展的数学工具，用于表示旋转姿态。
它由实部和虚部构成，其中虚部是一个三维向量。
四元数可以通过一个标量和一个向量来表示，也可以通过一个实部和三个虚部来表示。
四元数的运算规则比较复杂，但它具有很多优点，例如不会出现万向节锁问题。
3. 欧拉角转四元数的数学原理欧拉角转四元数的数学原理比较复杂，这里只给出简要的说明。
以欧拉角顺序1-2-3为例，设欧拉角分别为roll、pitch和yaw。
首先，我们需要将roll、pitch 和yaw转换为对应的旋转矩阵R1、R2和R3。
然后，我们将这三个旋转矩阵相乘得到总的旋转矩阵R=R3R2R1。
接下来，我们将R转换为四元数q。
最后，我们可以得到四元数的实部和虚部。
4. MATLAB实现欧拉角转四元数的代码下面是MATLAB实现欧拉角转四元数的代码示例：function q = euler2quat(roll, pitch, yaw)R1 = [1 0 0; 0 cos(roll) -sin(roll); 0 sin(roll) cos(roll)];R2 = [cos(pitch) 0 sin(pitch); 0 1 0; -sin(pitch) 0 cos(pitch)];R3 = [cos(yaw) -sin(yaw) 0; sin(yaw) cos(yaw) 0; 0 0 1];R = R3 * R2 * R1;q = [sqrt(1 + R(1,1) + R(2,2) + R(3,3)) / 2;(R(3,2) - R(2,3)) / (4 * sqrt(1 + R(1,1) + R(2,2) + R(3,3)));(R(1,3) - R(3,1)) / (4 * sqrt(1 + R(1,1) + R(2,2) + R(3,3)));(R(2,1) - R(1,2)) / (4 * sqrt(1 + R(1,1) + R(2,2) + R(3,3)))];end5. 示例和结果我们可以使用上述代码将欧拉角转换为四元数。
四元数与欧拉角（RPY角）的相互转换
四元数与欧拉⾓（RPY⾓）的相互转换RPY⾓与Z-Y-X欧拉⾓ 描述坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的姿态有两种⽅式。
第⼀种是绕固定（参考）坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕{A}的X轴旋转γ，然后绕{A}的Y轴旋转β，最后绕{A}的Z轴旋转α，就能旋转到当前姿态。
可以称其为X-Y-Z fixed angles或RPY⾓(Roll, Pitch, Yaw)。
Roll:横滚 Pitch: 俯仰Yaw: 偏航（航向） 由于是绕固定坐标系旋转，则旋转矩阵为（cα is shorthand for cosα, sα is shorthand for sinα,and so on.）R XYZ(γ,β,α)=R Z(α)R Y(β)R X(γ)=cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ 另⼀种姿态描述⽅式是绕⾃⾝坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕⾃⾝的Z轴旋转α，然后绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转γ，就能旋转到当前姿态。
称其为Z-Y-X欧拉⾓，由于是绕⾃⾝坐标轴进⾏旋转，则旋转矩阵为：R Z′Y′X′(α,β,γ)=R Z(α)R Y(β)R X(γ)=cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ 可以发现这两种描述⽅式得到的旋转矩阵是⼀样的，即绕固定坐标轴X-Y-Z旋转(γ,β,α)和绕⾃⾝坐标轴Z-Y-X旋转(α,β,γ)的最终结果⼀样，只是描述的⽅法有差别⽽已。
In gerenal: three rotations taken about fixed axes yield the same final orientation as the same three rotations taken in opposite order about the axes of the moving frame.Axis-Angle与四元数 绕坐标轴的多次旋转可以等效为绕某⼀转轴旋转⼀定的⾓度。
四元数和欧拉角
四元数和欧拉角
四元数与欧拉角：
1、四元数
四元数是一种数学物体，它由ONE个实部和THREE个虚部组成。
实部是非负实数，其余的THREE个部分是虚数。
四元数的表达式可以表示为：Q=a+bi+cj+dk (a、b、c、d是实实部）。
它们有助于以三维空间中的方式表示方向和旋转。
离散空间中表示四元数，当旋转发生时，它们保持一致。
2、欧拉角：
欧拉角是一种三维旋转矢量，可以用来表示不同方向之间的关系。
它将旋转分成THREE个不同的轴，分别为X轴、Y轴和Z轴。
每个轴都有自己的旋转角度，比如X轴有X角度，Y轴有Y角度，Z轴有Z角度。
欧拉角的表达式可以写作：[X,Y,Z]，其中X、Y、Z分别表示每个轴的旋转角度。
欧拉角与四元数之间的差别在于欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数表示的是不同方向的空间旋转。
可以说四元数和欧拉角均是用来表示旋转有关信息的，但是又是有所差别的。
下面我们来总结下它们两者之间的区别：
1）表示方式不同：欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数是表
示不同方向的空间旋转；
2）用途不同：欧拉角被广泛应用于3D图形学处理领域，可以很方便
地实现3D模型的几何变换；而四元数方便地表示空间任意的旋转变换，是用来表达机器人的运动控制中的基本角度表示方式；
3）值域不同：欧拉角的值域为[0,2π)，而四元数的值域为[-1,1]；
4）叠加角度表示方法不同：四元数是可以用乘法表达累加旋转；而欧
拉角只能使用加法来表达叠加旋转。
大话多旋翼飞行器--欧拉角与四元数
始先绕着 z-轴旋转 角值。然后，绕着 x-轴旋转 角值。最后，绕着 z-轴作角值 的
旋转” 我们通常使用的欧拉角是服从描述A）的。也就是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复 合。为什么呢？因为对物体施加的转矩通常都是相对于物体自身的坐标轴的，控制上更直观 更容易。 另一个问题，欧拉角的三次旋转的旋转轴和旋转顺序。根据维基百科的说法，“在经典力 学里，时常用 zxz 顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为 x 顺规。另外， 还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着 不同的转动轴旋转。因此，一共有 12 种顺规。例如，y 顺规，第二个转动轴是 y‐轴，时 常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz 顺规，是用在航空 航天工程学”。
a2通常用 表示，代表升降或俯仰（elevation or pitch）
a3通常用 表示，代表倾斜或横滚（bank or roll）
注意：有些书上a3用φ表示，其实 和φ是同一个字母的两种写法，本质是一样的。
小常识：
根据第一部分的介绍，可以知道，经过三个欧拉角转动后，世界坐标系下的一个矢量 rW=(xW,yW,zW)与其对应的运载体坐标系下的矢量rB=(xB,yB,zB)之间的关系可以表示为
个多体系统提供一个统一的参照坐标系。在物体上要建立一个局部坐标系，称为 BCS（Body Coordinate System），一方面用来描述物体在 GCS 内的位置和姿态，另一方面，为物体上的 点或其它坐标系提供局部的确定位置和姿态的标准。此外，在物体上可以根据需要建立其它 的坐标系，例如，为描述物体上的约束及列写约束方程，需要建立约束的坐标系。 //==========================================================================
四元数转欧拉角的雅可比矩阵
四元数转欧拉角的雅可比矩阵在机器人控制和运动规划中，四元数是一种常用的表示机器人位姿的方法。
然而，在某些情况下，需要将四元数转换为欧拉角，以方便人类理解和可视化机器人姿态。
因此，本文将介绍四元数转欧拉角的雅可比矩阵，该矩阵可以用于求解机器人位姿控制中的导数和微分方程。
首先，我们需要定义四元数和欧拉角的概念。
四元数是一种四维复数，通常用一个实部和三个虚部表示。
欧拉角是一种用于描述旋转的坐标系，通常包括绕x轴的旋转角度、绕y轴的旋转角度和绕z轴的旋转角度。
接下来，我们需要考虑如何将四元数转换为欧拉角。
这可以通过以下公式实现：$ psi = atan2(2(q_0q_3+q_1q_2),1-2(q_2^2+q_3^2)) $$ theta = asin(2(q_0q_2-q_1q_3)) $$ phi = atan2(2(q_0q_1+q_2q_3),1-2(q_1^2+q_2^2)) $ 其中，$ q_0, q_1, q_2, q_3 $ 分别表示四元数的实部和虚部。
然而，由于四元数和欧拉角之间存在非线性关系，因此我们需要使用雅可比矩阵来求解导数和微分方程。
具体来说，$ psi, theta, phi $ 分别表示绕z轴、绕y轴和绕x轴的旋转角度，因此我们可以将欧拉角表示为一个向量 $ vec{e} = [psi theta phi]^T $。
则四元数对欧拉角的雅可比矩阵可以表示为：$ J_q(vec{e}) = begin{bmatrix} frac{partial psi}{partialq_0} & frac{partial psi}{partial q_1} & frac{partialpsi}{partial q_2} & frac{partial psi}{partial q_3}frac{partial theta}{partial q_0} & frac{partialtheta}{partial q_1} & frac{partial theta}{partial q_2} &frac{partial theta}{partial q_3} frac{partial phi}{partial q_0} & frac{partial phi}{partial q_1} & frac{partialphi}{partial q_2} & frac{partial phi}{partial q_3} end{bmatrix} $其中，每个元素的求解可以使用链式法则和欧拉角转四元数的公式求解。
matlab四元数转欧拉角函数
matlab四元数转欧拉角函数
四元数是用来进行旋转运算的一种工具，它具有很多优点，可以避免万向节锁等问题。
然而，在实际应用中，我们有时需要将四元数转换成欧拉角，以方便理解和使用。
在 MATLAB 中，可以使用“matlab 四元数转欧拉角函数”来实现这一转换过程。
转换过程分以下几步进行：
1. 生成四元数表示旋转矩阵
在 MATLAB 中，我们可以使用 quat2rotm 函数来生成表示旋转矩阵的四元数。
该函数包含一个输入参数 q，这个参数是一个包含实部和三个虚部组成的四维向量，它代表了一个旋转的方向和角度。
2. 将旋转矩阵转换成欧拉角
在生成了表示旋转矩阵的四元数之后，我们需要使用 rotm2eul 函数来将其转换成欧拉角。
这个函数包含一个输入参数 R，它是一个3x3 的旋转矩阵。
该函数会返回一个包含三个欧拉角的向量，分别代表了绕 x、y、z 轴的旋转角度。
3. 对欧拉角进行优化
在使用上述方法得到欧拉角之后，我们还需要对欧拉角进行优化，使其更加准确。
这主要包括以下两个方面：
（1）优化欧拉角的顺序，使其满足旋转顺序为 z-x’-y”；
（2）将欧拉角统一化到 [-pi, pi] 范围内。
我们可以使用Matlab 的 wrapToPi 函数来实现。
综上所述，MATLAB 四元数转欧拉角函数的实现过程是非常简单的，但是应该注意优化欧拉角的顺序和范围，以确保最终的结果是准确的。
此外，在实际应用中，我们还需要注意如何将欧拉角应用到指定的对象中，以实现物体的旋转和变形。
欧拉角转四元数 转旋转矩阵
欧拉角转四元数转旋转矩阵欧拉角、四元数和旋转矩阵是常用的表示旋转的方法。
在计算机图形学、机器人学等领域广泛应用。
本文将介绍如何将欧拉角转换为四元数，以及如何将四元数转换为旋转矩阵。
欧拉角是表示旋转的一种方式，它包括三个角度值：俯仰角、偏航角和滚转角。
欧拉角的表示方法有很多种，如 XYZ、ZYZ 等。
这里我们以 XYZ 欧拉角为例。
XYZ 欧拉角表示先绕 x 轴旋转一定角度，再绕 y 轴旋转一定角度，最后绕 z 轴旋转一定角度。
欧拉角的旋转顺序是很重要的，不同的旋转顺序会得到不同的旋转结果。
四元数是一种表示旋转的数学工具，它包含一个实部和三个虚部，可以用一个四维向量表示。
四元数的运算比矩阵运算更快，也更容易组合多个旋转。
四元数旋转的基本原理是将旋转轴和旋转角度转换为一个四元数，然后将这个四元数与待旋转向量相乘得到旋转后的向量。
旋转矩阵是一个 3x3 的矩阵，它可以用来将一个向量绕某个轴旋转一定角度。
旋转矩阵的每一列表示旋转后的 x、y、z 轴方向的向量。
旋转矩阵的乘法是不可交换的，即不同的旋转顺序会得到不同的旋转结果。
下面将介绍如何将欧拉角转换为四元数，以及如何将四元数转换为旋转矩阵。
1. 欧拉角转四元数将 XYZ 欧拉角转换为四元数的公式如下：q = cos(roll/2) * cos(pitch/2) * cos(yaw/2) + sin(roll/2)* sin(pitch/2) * sin(yaw/2) * i- sin(roll/2) * cos(pitch/2) * sin(yaw/2) * j + cos(roll/2) * sin(pitch/2) * sin(yaw/2) * k其中，roll、pitch、yaw 分别表示滚转角、俯仰角和偏航角。
i、j、k 分别表示四元数的虚部，它们满足 i^2=j^2=k^2=ijk=-1。
2. 四元数转旋转矩阵将四元数转换为旋转矩阵的公式如下：R = [1-2*(qj^2+qk^2), 2*(qi*qj-qk*qr), 2*(qi*qk+qj*qr)] [2*(qi*qj+qk*qr), 1-2*(qi^2+qk^2), 2*(qj*qk-qi*qr)][2*(qi*qk-qj*qr), 2*(qj*qk+qi*qr), 1-2*(qi^2+qj^2)] 其中，q 是一个四元数，qi、qj、qk、qr 分别表示四元数的虚部和实部。
四元数与欧拉角间的转换
四元数与欧拉角之间的转换早在1843年哈米尔顿就提出了四元数的基本概念[138]，但当时仅停留在理论概念的讨论上。
20世纪以来，随着航天、航空工业的发展，四元数得到了广泛地实际应用[139-142]。
四元数的定义为[143]4q ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭Q q（0-1）式中：123(,,)sin 2T q q q α≡=Q e （0-2）4cos2q α= （0-3）其中，e 是沿旋转轴的单位向量，α是旋转角度。
四元数满足约束条件1T =q q（0-4）四元数与姿态矩阵具有如下关系：224334222212341234132422221234123423142222132423141234()22[]()()2()2()2()2()2()2()T T q I q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q ⨯=-+-⨯=Ξψ⎛⎫--++-⎪=--+-++ ⎪⎪+---++⎝⎭A Q QQ Q q q q（0-5）其中，33⨯I 是33⨯单位矩阵，433[]()T q ⨯+⨯⎛⎫Ξ≡ ⎪-⎝⎭I Q q Q（0-6）433[]()T q ⨯-⨯⎛⎫ψ≡ ⎪-⎝⎭I Q q Q（0-7）3231210[]00q q q q q q -⎛⎫ ⎪⨯=- ⎪ ⎪-⎝⎭Q （0-8）地面坐标系Axyz 和弹体坐标系O 1x 1y 1z 1的关系可以用下式来表示=b Ar（0-9）其中，b 、r 分别为某向量在弹体坐标系和地面坐标系中的表示形式，A 的表达形式见错误！未找到引用源。
，具体为cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos ϑψϑϑψϑψγψγϑγϑψγψγϑψγψγϑγϑψγψγ-⎛⎫⎪=-++ ⎪ ⎪+--+⎝⎭A（0-10）比较式（0-5）和式（0-10），得到姿态角的四元数表示131324222211123412123432231422222212342()arctan arctan arcsin arcsin 2()2()arctan arctan q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q ψθφ⎧-=-=-⎪--+⎪⎪==+⎨⎪-⎪=-=-⎪-+-+⎩q q q q q A A A A A （0-11）也可以用姿态角来表示四元数q ，即(cossinj)(cossinj)(cos sin j)222222ψψθθφφ=+⊗+⊗+q（0-12）其中，符号⊗表示四元数乘法，其定义如下[144-145]41234123(i j k)(i j k)A A A A B B B B ⊗=+++⊗+++A B44123114322341232143B A A A A B A A A A A A A A B A A A A B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭44112233144132232431421334211243()()i ()j ()kA B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =---++-++++-+-++（0-13）其中，4123i j k A A A A =+++A 和4123i j k B B B B +++B =均为四元数。
python欧拉角转四元数
python欧拉角转四元数欧拉角和四元数在计算机图形学和机器人学等领域中都是很常见的概念。
欧拉角作为描述物体在三维空间中姿态的一种方式，常常被用于航空飞行、姿态控制、虚拟现实等领域。
而四元数则是一种用于旋转的复数，可以实现无死角的旋转，并且不会出现万向锁的问题，被广泛地应用于计算机图形学中的3D渲染和动画制作。
欧拉角和四元数之间的转换可以帮助我们在不同的场景下快速地切换姿态描述方式。
在Python中，我们可以使用scipy库的spatial 子模块中的Rotation类来进行欧拉角和四元数之间的转换。
下面是一个简单的例子：```pythonfrom scipy.spatial.transform import Rotation# 定义欧拉角euler_angles = [45, 30, 60]# 将欧拉角转换为四元数r = Rotation.from_euler('xyz', euler_angles, degrees=True) quat = r.as_quat()# 将四元数转换为欧拉角r = Rotation.from_quat(quat)euler_angles = r.as_euler('xyz', degrees=True)# 输出结果print("欧拉角: ", euler_angles)print("四元数: ", quat)```上面的代码中，我们首先定义了一个欧拉角，然后使用Rotation 类的from_euler()方法将其转换为四元数。
接着，又使用as_euler()方法将四元数转换回欧拉角。
最后输出了结果。
使用scipy库的旋转类进行欧拉角和四元数之间的转换非常方便，让我们在不同领域之间进行切换更加容易。
通过学习这些技术，我们可以更好地理解物体在三维空间中的运动和姿态，进而创作出更加精细的数字内容。
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四元数与欧拉角之间的转换
在3D图形学中，最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角，比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。
本文主要归纳了两种表达方式的转换，计算公式采用3D笛卡尔坐标系：
图1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)
定义分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分别为Yaw、Pitch、Roll。
图2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)
一、四元数的定义
通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数：
其中是绕旋转轴旋转的角度，为旋转轴在x,y,z方向的分量（由此确定了旋转轴）。
二、欧拉角到四元数的转换
三、四元数到欧拉角的转换
arctan和arcsin的结果是，这并不能覆盖所有朝向(对于角的取值范围已经满足)，因此需要用atan2来代替arctan。
四、在其他坐标系下使用
在其他坐标系下，需根据坐标轴的定义，调整一下以上公式。
如在Direct3D中，笛卡尔坐标系的X轴变为Z轴，Y轴变为X轴，Z轴变为Y轴（无需考虑方向）。
五、示例代码
/Files/heath/Euler2Quaternion.rar
Demo渲染两个模型，左边使用欧拉角，右边使用四元数，方向键Up、Left、Right旋转模型。
参考文献：
[1]
/wiki/Conversion_between_quaternions_and _Euler_angles
[2] Ken Shoemake, Animating Rotation with Quaternion Curves, 1985。