分式方程教学经验谈
分式方程难点教案
分式方程难点教案。
对于初学者来说，分式方程可能是比较难以理解的一个概念。
因为分式方程不仅仅需要对方程式本身有一定的理解，还需要具备对分式的掌握和熟练运用能力。
不过，只要我们花费足够的时间和精力去学习和练习，掌握分式方程是完全可以做到的。
下面，我们就来分析一下在教学过程中，分式方程可能会出现的一些难点。
同时，也会提供一些针对性的解决方案，帮助初学者更好的理解和掌握分式方程。
1.分式方程的求解方法分式方程的求解既可以使用代数方法，也可以使用图形方法。
而在代数方法中，又分为两种，即通分法和消元法。
在初学者来看，这些方法可能会非常的抽象和难以理解。
而如果不理解求解方法，那么就法解决分式方程的问题。
解决方法：对于初学者来说，可以通过举例来帮助学生理解求解方法。
比如，给出不同的分式方程，并通过演示的方式来展示不同的求解方法。
通过不断的练习和实践，掌握分式方程的求解方法是完全可以做到的。
2.分式方程的化简分式方程的化简是掌握分式方程必须要掌握的技能之一。
在分式方程的求解过程中，经常需要对方程进行化简，这可以让问题更加简单化。
但是，对于初学者来说，分式方程的化简可能会非常复杂和繁琐，这也是分式方程的难点之一。
解决方法：对于初学者来说，可以在教学中着重讲解分式化简的方法和技巧，这可以让学生更好的理解如何把复杂的分式化简为简单的形式。
同时，在教学过程中，可以结合大量的例子来让学生实践操作，这样可以让学生更加深入地领悟化简的方法和技巧。
3.分式方程的常见错误在分式方程的求解过程中，有些常见的错误会使得问题产生很大的误差。
这些错误包括未运用正确的求解方法、忽略一些可能影响答案的因素，以及在化简过程中犯下错误等。
例如，“分母不能为零”的错误就是很多初学者容易犯的错误。
解决方法：对于初学者来说，可以教学中讲解常见错误，并提供一些防范措施。
同时，我们也可以通过训练和练习来帮助学生避免这些常见错误，例如通过实践出题的方式来使学生更泛的掌握常见错误的避免方法。
《分式方程》教学设计及教学反思
《分式方程》教学设计及教学反思一、教学目标：1.理解分式方程的定义及性质；2.熟练掌握对分式方程进行基本运算的方法；3.能够正确地解决与分式方程相关的实际问题；4.培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重难点：1.分式方程的定义及性质；2.对分式方程进行基本运算的技巧；3.解决与分式方程相关的实际问题的方法。
三、教学过程：1.导入新课通过列举一些实际问题，引入到分式方程的概念中。
例如：小明种了2/5亩地的水稻，小红种了1/4亩地的水稻，两人共种了多少亩地的水稻？引导学生发现这个问题的答案可以用一个分式表达，即2/5+1/4=x，这就是一个分式方程。
2.讲解分式方程的定义及性质通过教师讲解的方式，介绍分式方程的定义及性质，包括分式方程的基本形式、分式方程的解的概念及求解方法。
3.练习一：对分式方程进行基本运算给学生讲解分式方程的基本运算方法，并让学生通过练习掌握这些方法。
例如：(1)1/x+1/(x+1)=1/2，求x的值；(2)1/(x+1)-1/(x-1)=2，求x的值；(3)(x-1)/(x+1)+(x+1)/(x-1)=2，求x的值。
4.解答学生提出的问题在练习中，学生可能会遇到一些难题，教师可以对这些问题进行解答，并引导学生思考解题的方法及思路。
5.练习二：解决实际问题设计一些与分式方程相关的实际问题，让学生运用所学方法解决这些问题。
(1)一瓶饮料中有3/4的可乐和1/6的苹果汁，若要将可乐和苹果汁的比例调整为1：3，需要加入多少苹果汁？(2)甲车与乙车从A地相向而行，相距120公里。
已知甲车的速度是乙车的3倍，若相遇时甲车行驶了5小时，求乙车的速度。
6.小结与反思通过小结课堂重点内容，对学生的学习情况进行总结，有针对性地进行反思和评价，指导学生进一步巩固所学内容。
四、教学反思通过本堂课的教学，学生可以通过实际问题引入到分式方程的概念中，从而更好地理解分式方程的定义和性质。
此外，通过对分式方程的基本运算方法进行讲解和练习，提高了学生对分式方程的运算能力。
分式运算的几点技巧 分式方程(一)教学设计
●备课资料分式运算的几点技巧山东鄄城一中 牟凤霞 李文阁分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算.但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面从几例介绍分式运算的几点技巧.一、分段分步通分法［例1］计算：x a -1－x a +1－222x a x +－4434x a x - 解：原式=22)(x a x a x a ---+－222x a x + －4434xa x - =222x a x -－222x a x +－4434x a x - =442222)(2)(2x a x a x x a x ---+－4434x a x - =4434x a x -－4434xa x -=0 说明：若一次通分，计算量太大，注意到各分母之间的关系，采用分段通分.二、利用除法运算［例2］计算：12++x x －23++x x +45--x x －34--x x 解：原式=111+++x x －212+++x x +414---x x －313---x x =（1+11+x ）－（1+21+x ）+（1－41-x ）－（1－31-x ） =11+x －21+x －41-x +31-x =)2)(1()1(2+++-+x x x x －)3)(4()4(3-----x x x x =)2)(1(1++x x －)4)(3(1--x x =)4)(3)(2)(1()2)(1()4)(3(--++++---x x x x x x x x =)4)(3)(2)(1(2312722--++---+-x x x x x x x x =)4)(3)(2)(1(1010--+++-x x x x x 说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同或高于分母次数时，一般要先利用除法或约分对分子降次后再通分.三、拆项后通分法［例3］计算：x x +21+2312++x x +6512++x x +12712++x x解：原式=)1(1+x x +)2)(1(1++x x +)3)(2(1++x x +)4)(3(1++x x =（x 1－11+x ）+（11+x －21+x ） +（21+x －31+x ）+（31+x －41+x ） =x 1－41+x =)4(4+-+x x x x =)4(4+x x 说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式a 1－11+a =)1(1+a a ，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分.四、灵活运用乘法公式［例4］计算（x +x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x）（x 16+161x ）（x 2－1） 解：当x ≠0且x ≠±1时，原式=［（x －x 1）（x +x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）（x 16+161x ）］（x 2－1）÷（x －x1） =［（x 2－21x ）（x 2+21x （x 4+41x ）（x 8+81x ）（x 16+161x ］（x 2－1）÷xx 12- =…=（x 32－321x ）·x =x 33－311x说明：本题在分子、分母上同乘以同一代数式之后，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便.五、恰当地选择运算顺序［例5］计算：（1－b a b +）2+（1+b a b -）2－2222b a a - 解：原式=（b a b b a +-+）2+（b a b b a -+-）2－2222b a a - =22)(b a a ++22)(b a a -－))((22b a b a a -+ =22222)()()])((2)()[(b a b a b a b a b a b a a -+-+-++- =222222222)()(]2222[b a b a b a b ab a b ab a a -++-++++- =2222)()(4b a b a b a -+⋅ =2222)()(4b a b a b a -+ 说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的.六、约分后再通分［例6］计算：23222+--x x x －622--+x x x +3434+--x x x 解：原式=)1)(2()1(2---x x x －)2)(3(2+-+x x x －)1)(3(3---x x x =22-x －31-x －11-x =)3)(2)(1()65()23()34(2222---+--+--+-x x x x x x x x x =－)3)(2)(1(2---x x x . 说明：若算式中的分式不是最简分式，可先约分，再用适当方法通分，可能较简便.。
分式方程教案：教你轻松掌握解题技巧
分式方程教案：教你轻松掌握解题技巧教你轻松掌握解题技巧随着数学教育的不断发展，分式方程已经成为中学数学中重要的一个章节。
然而，许多学生在学习分式方程时发现难以掌握解题技巧，给考试和课堂成绩带来了一定的负面影响。
为此，本文将为大家介绍分式方程教案，帮助大家轻松掌握解题技巧。
一、分式方程基本概念在学习分式方程前，首先需要了解一些基本概念。
所谓分式，就是由分子和分母组成的表达式。
而分式方程就是将分式放入等式中，例如：$$\frac{x+1}{x-2}=2$$其中，$\frac{x+1}{x-2}$就是一个分式，这个等式称为分式方程。
二、分式方程求解步骤1.将分式方程化简在解分式方程时，首先需要将分式方程化为简单的分式形式。
这种形式是分式中只有一项且分母为整数的形式。
例如，将下面的分式方程化简：$$\frac{2x-1}{x^2+3x+2}-\frac{3}{x+1}=\frac{x-4}{x^2+2x-3}$$化简后的分式如下：$$\frac{-x^3+2x^2-3x+2}{(x+1)(x-1)(x+2)}=0$$2.判断方程有无解化简分式方程后，需要判断方程是否存在解。
如果分母变成零，那么方程将没有解。
例如，如果分母为$(x+1)(x-1)(x+2)$中的任意一个，那么分母就会变成零。
3.求出分子为零时的解如果方程有解，那么下一步就是寻找分子为零时的解。
因为如果分子为零，那么整个方程就为零。
寻找分子为零时的解需要用代数的方法，例如分解因式、配方等。
例如，在上面化简后的分式方程中，当分子为零时，$x$的解如下：$$x=1,x=-1,x=\frac{1}{2}$$这样，如果方程有解，那么分子为零时就已经找到了解，在利用因式分解等方式，拓展解的范围。
4.判断最终解的有效性对所有的解进行检验，判断最终符合原方程的解有哪些。
判断的方法是将求解出的解代入原方程中，查看是否正确。
例如，在上面的例子中，当代入$x=1$时，原方程中的等式如下：$$\frac{2x-1}{x^2+3x+2}-\frac{3}{x+1}=\frac{x-4}{x^2+2x-3}$$$$\frac{3}{2}=\frac{-3}{2}$$显然，这个等式是不成立的，因此，我们需要进一步查找或检验其它解。
分式方程教案：提高学生学习成绩的有效方法
分式方程教案：提高学生学习成绩的有效方法提高学生学习成绩的有效方法分式方程作为数学中的一个重要知识点，在中学数学教学中也是重要的内容之一，其运用广泛且实用。
分式方程的学习，对于中学生来说是比较有难度的，所以教师需要专门制定分式方程教案，引导学生掌握分式方程的求解方法，提高学生的学习成绩。
一、教学目标本节课教学目标是让学生学会如何解决分式方程的运算问题，具体包含以下内容：1.理解分式的基本概念，掌握分式的操作方法，了解分式方程的求解方法。
2.学习分式方程的基本概念和基本性质。
3.掌握分式方程的解法，包括等式两边乘以公共分母、分子分母交叉相乘等。
4.练习分式方程的应用题，加深对分式方程的理解和掌握。
二、教学过程1.引入环节从小学到初中，我们所学的数学知识点中一直有一个基本的内容，那就是分式运算。
我们已经学过分数的基本性质和操作运算，接下来，我们将进一步学习与之相关的分式方程。
2.讲解环节（1）分式的概念分式是指两个整数的比值，即一种形如$\frac{a}{b}$的表示方法。
（2）分式的基本运算加、减、乘、除。
（3）分式方程的基本概念和解法分式方程是指等式两边含有分式的方程，一般采用通分的方法进行求解。
（4）应用题实例此部分主要是通过应用题的方式来加深学生对分式方程的理解和掌握，此部分可根据实际情况确定所需的习题数量和难度系数。
3.实例讲解环节教师通过实例来讲解分式方程的解法，引导学生理解分式方程的求解方法。
示例：$\frac{x-3}{2x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{4}{2x+1}$。
4.练习环节以小组为单位，进行分组练习，每组完成老师分配的分式方程习题。
5.总结评价环节老师针对本课程内容进行总结，评价学生的学习效果和表现情况，并指导下一步学习任务。
三、教学重点难点1.分式方程的基本求解方法。
2.分式方程运用题的求解方法，以及题目的难度把控。
3.应用题的分析方法，让学生学会通过数字分析解决问题。
《分式方程》(第1课时)——教学反思
《分式方程》（第1课时）教学反思一、基本情况本节课总体设计思路是→激发兴趣、主动探究→问题引导、落实目标→练习巩固、能力提升。
总体上能按计划开展教学活动，教学环节齐全，师生互动积极有效。
教师组织课堂有序，学生积极参与。
教学任务基本完成。
分式方式是在整式方程学习的基础上来展开，通过设计一个行船问题，而导入新课。
引导学生复习旧知识，发现新问题，交流合作解决新问题。
根据一元一次方程的解法步骤列出分式方程。
通过罗列八个方程，辨别分式方程和整式方程的区别。
两次小组活动从浅入深，让学生发现解分式方程的步骤，通过小结与归纳，引导学生理解“增根”的含义，以及检验的必要性。
分式方程的解法步骤通过课件动画的形式展示，加深学生印象。
二、存在不足及整改措施1.课时安排欠妥。
教学设计中教师要根据目的要求，内容多少，重点难点，学生的条件，以及教学设备等合理地分配教学时间。
2.讲授方式不灵活。
要注意节省时间，特别是在讲授新知识时，要抓住重点，不能企图一下讲深讲透。
要安排一定的练习时间。
通过练习的反馈，再采取必要的讲解或补充练习。
3.学生练习巩固不够。
关于检验是否为增根这个问题，练的少，讲的多，时间安排前松后紧，有一点拖堂。
要注意尽量安排全班学生的活动，如操作、练习巩固，解应用题等，避免由少数人代替全班学生的思维活动，使大多数学生成为旁观者。
4.过于关注学习困难学生。
每个学生是独特的，学生之间也存在巨大的差异。
课堂教学效率是整体教学效益的平衡结果，每一节课都不可能实现每一个教学目标人人都过关，不能因为个别同学目标未达成而牺牲整体的时间。
三、有效教学设想在本课的教学过程中，我认为应从帮助学生学习，交给学生学习方法入手：1. 分辨。
分清楚分式方程必须满足的两个条件⑴方程式里必须有分式；⑵分母中含有未知数。
2．转化。
分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种“转化”思想的教学。
八年级数学《分式方程》教学案例与反思
八年级数学《分式方程》教学案例与反思【案例背景】上节课让学生认识了什么是分式方程？这节课让学生审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型。
用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，从中获得成功的体验.【案例过程】Ⅰ.提出问题，引入新课师：前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程.接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.Ⅱ.讲授新课做一做：某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？师：现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系.生：第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.生：还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数.师：根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要.同学们尽管提出符合情境的问题.生：问题可以是：每年各有多少间房屋出租？生：问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？师：下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？［师生共析］解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为（）元，第二年每间房屋的租金为元，根据题意，得（）=+500解这个方程，得x=12经检验x=12是原方程的解，也符合题意.所以每年各有12间房屋出租.师：我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？生：根据第一问的答案可计算，得：第一年每间房屋的租金为=8000（元），第二年每间房屋的租金为=8500（元）.师：如果没有第一问，该如何解答第二问？生：解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元.第一年租出的房间为（）间，第二年租出的房间为间，根据题意，得到分式方程解，得x=8000x+500=8500（元）经检验：x=8000是原分式方程的解，也符合题意.所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元.师：我们利用分式方程解决了实际问题.现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情.［例3］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m3,则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m3,则超出部分每立方米收取较高的定额费用.1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元.超出5 m3的部分每立方米收费多少元？师：解决实际情境问题，最关键的是什么呢？生：审清题意，找出题中的等量关系.师：很好.某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来用水量单价不超过5米3 1.5元/米3超过5米3超出的部分？元/米3师：你们找到题中的等量关系了吗生：此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的（）师：怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？生：根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m3的水费与超出5 m3部分的水费.师：下面我们就来用等量关系列出方程.［师生共析］设超出5 m3部分的水，每立方米收费设为x元，则1月份，张家超出5 m3的部分水费为（17.5－1.5×5）元，超出5 m3的用水量为（）m3，总用水量为5+（）；李家超出5 m3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m3的用水量为（）m3，总用水量为5+（）m3根据等量关系，得到方程解这个方程，得x=2.经检验x=2是所列方程的根.所以超出5 m3部分的水，每立方米收费2元.Ⅲ.随堂练习小芳带了15元钱去商店买笔记本.如果买一种软皮本，正好需付15元钱.但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本.这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？师：我们先来找到题中的等量关系.生：有两个等量关系。
教学备课如何教学初中数学的分式方程
教学备课如何教学初中数学的分式方程备课是每位教师教学工作中不可忽视的环节，它直接影响着教学的效果和学生的学习质量。
在初中数学教学中，分式方程是一个重要的内容，有效的备课方法可以帮助教师更好地教授分式方程知识，让学生更好地理解和掌握该知识点。
本文将探讨如何进行教学备课，以便教学初中数学的分式方程。
1. 了解教学目标准备教学备课时，首先需要明确教学目标。
对于分式方程这一知识点，教师可以设定如下目标：让学生掌握分式方程的基本概念和性质，能够正确列写分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤，并能运用所学知识解决实际问题。
通过明确目标，教师可以更有针对性地进行备课。
2. 整理教学内容在备课过程中，教师需要整理教学内容。
对于分式方程，可以按照以下内容进行整理：分式的定义和性质、分式方程的基本形式、解分式方程的方法和步骤、应用分式方程解决实际问题等。
将相关知识点整理清楚，有助于教师更好地组织教学过程。
3. 设计教学方法在备课中，教师需要设计适合的教学方法。
对于初中数学的分式方程，可以采用讲授、示范、练习、案例分析等多种教学方法。
教师可以通过具体例子来解释分式方程的概念和性质，通过讲解和示范演示解分式方程的方法和步骤，让学生深入理解。
同时，通过大量练习和案例分析，培养学生的解题能力和应用能力。
4. 准备教学资源备课时，教师应该准备好相应的教学资源。
针对分式方程，教师可以准备一些实物道具、教学PPT、教学视频等辅助教学资源，帮助学生更好地理解和掌握知识点。
此外，还可以准备一些习题和练习册，供学生进行练习和巩固。
5. 设计教学活动在备课中，教师需设计相应的教学活动。
例如，可以设置小组合作学习活动，让学生在小组中讨论和解决分式方程相关问题；可以设置课堂展示活动，让学生展示他们解决实际问题的方法和思路；还可以设计一些趣味性的教学活动，增加学生的学习兴趣和参与度。
6. 总结复习备课的最后阶段，教师需要对所备课内容进行总结复习。
《分式方程》解题技巧
《分式方程》解题技巧《《分式方程》解题技巧》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1、分式方程的概念：分母里含有未知数的方程叫做分式方程.说明：理解分式方程的定义，并不是看方程是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.例：都是分式方程.而关于x的方程，不是分式方程.2、解分式方程的基本思想我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程的解法，解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想与前者相同，就是设法将分式方程“转化”为整式方程，即二、重难点知识归纳及讲解1、解分式方程的方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法.在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，约去分母，把分式方程化为整式方程.因此解分式方程必须验根.为了检验方便，可把整式方程的根分别代入最简公分母，如果使最简公分母为0，则这个根叫分式方程的增根，必须舍去.如果使最简公分母不为0，则这个根是原分式方程的根.注意：增根是所得整式方程的根，但不是原分式方程的根.用去分母法解分式方程的一般步骤：(Ⅰ)把原方程的分母因式分解，找出最简公分母;(Ⅱ)去分母，把分式方程转化为整式方程.(Ⅲ)解所得的整式方程.(Ⅳ)验根.(2)换元法在解代数问题时，对于某些难度较大的问题，可通过添设辅助元素解决，辅助元素的添设是把原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法.用换元法解分式方程的一般步骤：(Ⅰ)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式表示原方程中的代数式.(Ⅱ)解关于辅助未知数的方程.(Ⅲ)把辅助未知数的值代入“设”中，求出原未知数的值.(Ⅳ)验根并做答.说明：(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是通过换元把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为一个比较简单的方程.(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法.(3)无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤.2、解分式方程产生增根的原因及验根的方法在解分式方程时，我们在方程的两边同乘了含有未知数的代数式，从而把分式方程变换为整式方程.因此，原来分式方程中分母不为零的限制被无形地取消了，这样就使未知数的取值范围扩大了——就产生了增根的可能.所以解分式方程必须验根.验根的方法是：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零(即是否符合“分母不为零”的限制)，如果分母不为零，则被验的根就是分式方程的根;如果使分母为零，则这个根就是增根，必须舍去.3、列分式方程解应用题的一般步骤(1)设未知数;(2)找出等量关系，列出分式方程;(3)解分式方程;(4)验根作答(不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”.)三、解题方法技巧点拨1、用去分母法解方程例1、解下列方程(1)(黄冈市中考题);(2)(北京市海淀区中考题).分析：所考知识点是用去分母的方法解分式方程.两个方程可用去分母方法来解.解答：(1)先找它们的最简公分母，∵2-x=-(x-2)，(x2-4)=(x+2)(x-2)，所以最简公分母为(x+2)(x-2);原方程即为-，两边同乘以(x+2)(x-2)，约去分母整理得x2-3x+2=0.解这个方程，得x1=1，x2=2.经检验，把x=1代入(x+2)(x-2)，它不等于0，所以x=1是原方程的根;把x=2代入(x+2)(x-2)中，它等于0，所以x=2是增根.∴x=1是原方程的根.(2)原方程化为，用3x(x-1)乘以方程的两边，去分母，得3(x+1)-(x-1)=x(x+5)，整理得x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1.检验：把x1=-4代入3x(x-1)≠0，所以x=-4是原方程的根;把x=1代入3x(x-1)=0，所以x=1是原方程的增根.∴原方程的根是x=-4.点拨：解题规律是通过去分母，把分式方程转化为整式方程求解，由于在解分式方程时可能产生增根，所以必须要检验，对于增根要舍去.2、用换元法解分式方程例2、解方程组解答：设点评：注意观察本题的特点，将，再进行换元.例3、解下列分式方程(1)(四川省内江市中考题).(2)(河南省中考题).分析：若用去分母的方法解分式方程，便得到一个四次方程，增加了解题的难度.仔细观察这两个分式方程的特点，可采用换元法较简便.解答：(1)原方程可化为，设∴原方程可化为：，∴y2-5y+6=0，解得y1=2，y2=3.当y1=2时，则，解得x1=1，;当y2=3时，则，解得.经检验，x1,x2,x3,x4都是原方程的根.∴原方程的根为x1=1，，.(2)原方程可化为设，则原方程变形为y2-3y-4=0，解得y1=4，y2=-1.当y=4时，即，所以x2-4x+1=0，解之得;当y=-1时，即，去分母，整理得x2+x+1=0，此方程无实数根.经检验，x1,x2都是原方程的根.∴原方程的根是.点评：用换元法解分式方程应结合方程本身的特征进行换元.注意观察方程中的各代数式是否具有相同、成比例、互为倒数等特征，巧设未知数，如第(2)小题应熟悉这一代数变形.3、含字母系数的分式方程的解法例4、解关于x的方程.分析：此方程是含字母系数的分式方程，其中x是未知数，a是字母系数，此方程不具备换元条件，所以选用去分母法，它的最简公分母为2a(-x+a)即2a(a-x).解答：方程两边都乘以2a(a-x)，得2ax+2(a+x)(a-x)=5a(a-x)，整理，得2x2-7ax+3a2=0，解得x1=3a，.检验：由原方程可知-x+a≠0，a≠0，否则原分式方程就没有意义了.∵当x=3a时，2a(a-x)=-4a2≠0，当时，2a(a-x)=a2≠0.∴原方程的根为x1=3a，.点悟：解含有字母系数的分式方程的方法与解数字系数的分式方程的方法是相同的，但是要特别注意从题目的隐含条件中识别字母系数的取值范围并根据具体情况进行讨论.例5、解关于x的方程：.分析：方程中只有x是未知数，而a、b都是表示已知数的字母，解方程时，可把它看作已知数对待，本题可选用换元法解，因为互为倒数.解答：设，则原方程转化为，去分母、整理，得y2-5y+4=0.∴y1=1，y2=4.当y1=1时，，解得.当y2=4时，，解得.检验：把代入最简公分母(b+x)(a-x)，.∵a+b≠0，∴(b-x)(a-x)≠0.把代入最简公分母(b+x)(a-x)，.∵a+b≠0，∴(b+x)(a-x)≠0.∴原方程的根是.点评：(1)不是任何一个方程都能用换元法解.能用换元法解的方程必须具有换元特点，即换元以后，原方程化为只含有辅助未知数的方程，这就是说，换元以后的方程中不能含有原来的未知数.(2)分式方程解法的选择是先观察方程是否具有换元的特点(一般情况下，方程中具有平方关系或倒数关系)，如有换元特点，选择换元法解;如没有换元特点，一般选去分母法解.(3)无论用什么方法解分式方程，都必须验根.(4)解字母系数的分式方程和数字系数的分式方程方法相同.4、有关增根问题的解法例6、若分式方程有增根x=2，求a的值.分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a.解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0.把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0，.∴时，x=2是原分式方程的增根.点拨：分式方程的增根有两个要点，第一它必须是由分式方程转化成的整式方程的根;第二它能使原分式方程的最简公分母等于0.正确理解增根的概念，对解决有关增根的问题非常重要.5、列分式方程解应用题问题(1)工程问题例7、一个水池有甲乙两个进水管，甲、乙两水管同时开放，6小时将水池注满;单独开放甲水管，比单独开放乙水管少用5小时就注满水池，求单独开放甲管和单独开放乙管各需多少小时才能注满水池?分析：由题意可知，这是注水问题，也属于工程问题，此题可将总工程看作整体“1”，即注满水池的总工作量为1，设单独开放乙管注满水池，需要x小时，则单独开放甲管注满水池需要(x-5)小时，根据基本等量关系：可知，乙管和甲管的工作效率分别为，又根据题中的相等关系：甲、乙同时开放6小时，可列出方程.解：设单独开放乙管x小时注满水池，则单独开放甲管注满水池需(x-5)小时，根据题意，得，解得x1=15，x2=2.经检验x1=15，x2=2都是所列方程的根，但x2=2不符合题意，舍去.∴x=15，x-5=10.答：单独开放甲管需10小时注满水池，单独开放乙管需15小时注满水池.点悟：列方程解应用题的一般步骤都是“设”、“列”、“解”、“检验”、“答”，但如果所列的方程是分式方程，那么检验时必须进行“双检”，既要检验是否有增根，又要检验求得的解是否符合题意.(2)行程问题例8、甲、乙两地间的路，有一部分是上坡路，其余是下坡路，邮递员骑自行车从甲地到乙地需2小时40分，从乙地回到甲地少用20分钟，已知他骑自行车走下坡路比走上坡路多走6千米，又甲、乙两地之间路程为36千米，求他骑自行车上下坡的速度以及甲地到乙地上、下坡的长度.分析：本题是一般行程问题，其等量关系是：路程=速度×时间，关键应注意，邮递员从甲地到乙地是先上坡后下坡，而从乙地回到甲地也是先上后下，如图所示.本题设两个未知数比较方便.解：设上坡速度为x千米/时，则下坡速度为(x+6)千米/时;又设甲地到乙地上坡为y千米，则下坡为(36-y)千米，依题意，得①+②得，整理，得5x2-42x-6×36=0，∴(x-12)(5x+18)=0，∴x1=12，.∵速度不能为负值，∴x2不符合题意，舍去.∴只取x=12.把x=12代入①得.∴y=2436-y=12答：(略)点评：在求解的过程中，发现不符合题意，就及时将其舍去，省去了将代入方程①求y的值的过程.例9、A、B两地间的路程为15km，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20min后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40min.然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10km，问几点钟甲、乙两人同时到达B地?分析：本题可以从两个角度考虑：(1)用时间做相等关系：甲步行15km 所用的时间比乙骑车走30km所用的时间多(20min+40min)=1h.(2)用速度做相等关系，乙的速度-甲的速度=10km.解法一：设甲步行每小时走xkm，则乙骑车每小时走(x+10)km.由题意得整理得x2+25x-150=0解得x1=5，x2=-30经检验：x1=5，x2=-30都是原方程的根，但x=-30不符合题意，舍去.∴x=5.∴甲走15km用的时间为15÷5=3h.∵甲早6时出发，∴9时到B地.答：上午9时整，甲、乙两人同时到达B地.解法二：设甲从A地到B地步行所用时间为x h，则乙往返B、A两地骑车用的时间为(x-1)h.由题意得整理得2x2-5x-3=0，解得x1=3，.经检验：x1=3，都是原方程的根，但不合题意，舍去.∴x=3.∵甲早6时出发，∴9时到B地.答：略.《分式方程》解题技巧这篇文章共13106字。
《分式方程》教学设计及教学反思
16.3．1《分式方程》教学设计一、教学目标：知识技能：1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的基本思路和一般解法．3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．数学思考：能将实际问题的相等关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用.解决问题：经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。
情感态度：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.二、教学重点和难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2．教学难点：理解解分式方程时可能无解的原因三、学生分析：初二学生已经具有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严谨性仍相对薄弱，虽然他们喜爱学习活泼的内容，并乐于用自己的方式去学习，用自己的头脑去思考，但仍需老师引导其由感性认识到理性认识。
同时学生已经学习了分式的意义，这对理解分式方程可能无解这一教学难点有很大帮助。
四、教材内容分析：本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元二次方程的分式方程打下基础。
通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，渗透类比和转化思想。
五、教学媒体与资源的选择与应用：新课程改革中，教师应成为学生学习的引导者、合作者、促进者，积极探索新的教学方式，引导学生学习方式的转变，使学生成为学习的主人。
根据新教材留给学生一定的思维空间的特点，教师要鼓励学生自己动脑参与探索，让学生有发表意见的机会，绝对不能包办代替，使学生不仅能学会，而且能会学。
为此，本节课我将在教学中采用诱思探究式教学法并采用多媒体等现代教学手段，充分发挥网络在课堂教学中的优势，让学生由被动听讲式学习转变为积极主动的探索发现式学习，力争促进学生学习方式的转变。
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的分析,从而形成了对作图步骤进行分析的思维障碍.
教学时,首先应让学生明确作图题与证明题在本质、形式、思维依据、思维方式上的区别,以减少论证思维对作图题的消极影响.其次,也是最重要的一条是根据学生逻辑推理思维往往要依赖直观、具体
的形象的客观实际,要求学生在分析作图步骤之前,先按求作画出草图,并在草图中尽量标出已知的条件,使求作的图形形象而又具体地展现在学生面前,化抽象为直观.然后再根据已知条件,并以“两点定线”、“两线定点”的原则考虑作图的步骤.
分式方程教学经验谈
□徐太玉
(安徽省无为县旭光中学 238321)
分式方程的求解极易产生差误.
但如果教师能在分式方程的教学中认真做好以下三点:认真做好“三个强调”,切实搞好“两个防止”,适当补充“一个说明”,将十分有助于学生对分式方程知识的掌握.下面根据笔者的教学体会谈一些意见.
一、认真做好“三个强调”
1.强调解分式方程的思想方法 教材指出:“解
分式方程时,用同一个含有未知数的整式(各分式的最简公分母)去乘方程的两边,约去分母,化为整式方程.”这不仅交代了解分式方程的方法步骤,实际上也道出了解分式方程的思想.即:
分式方程
转 化
各项乘最简公分母
整式方程
教师不仅要板书,而且还要强调:不论是解可以化为
一元二次方程的分式方程还是可以化为一元一次方程的分式方程,其思想方法均如此.当然,因方程的具体结构特点不一样,还常用到整体思想,采用换元法对分式方程进行转化.
2.强调增根产生的原因 旧说:“因为将分式方
程变形为整式方程时,扩大了未知数允许取值的范围.”概括欠当.教师不妨举下例说明之:师生同解
x x 2
+1
=
1
x +1
,两边同乘(x +1)(x 2+1),不难得到x =±1.但显然x =-1是增根,即虽然没有改变未知
数的允许取值范围(x ∈R ),但却出现了增根.所以,产生增根的原因是:将分式方程各项同时乘以一个含有未知数的整式,变分式方程为整式方程,这种变形不一定是同解变形,即所得到的方程有可能与原方程不同解.旧说只可解释标准解法——方程两端同乘最简公分母解分式方程的情形,而不能解释一
般的情况.
3.强调乘最简公分母的意义 在回答这一问题
之前,教师可引入以下两例,以证明其可行性,再让学生从中悟出其间的意义.
例1 解方程x
x +1+
2
x 2
+2x +1
=1.
解1 两边同乘(x +1)(x 2+2x +1),并整理得
x =±1,经检验x =-1为增根;
解2 两边同乘最简公分母,并整理得x =1,经检验x =1是原方程的根(无增根).
例2 解方程
2x -1x +1+3-x x -1=6
x 2
-1
解1 两边同乘(x +1)(x -1)(x 2-1),并整理
得x 1=2,x 2,3=-1,x 4=1.经检验x 4=1,x 2,3=-1都为增根;
解2 两边同乘最简公分母(x -1)(x +1),并整理得x 1=2,x 2=-1.经检验x 2=-1为增根.
从上面分析不难得到:乘最简公分母不仅具有可行性,而且演算简洁,有时还可减少增根个数.
二、切实搞好“两个防止”
所谓“两防”,主要是针对学生的粗心及解不得法而提出来的.即:一防止忘记验根;二防遗根漏解.
1.不验根草率作罢 学生往往是受解整式方程
及解计算题的定势作用,求出了x 的值,便觉大功告成.殊不知“增根”这个不速之客犹如影子般出现于解答之时,验根是必要的.
2.求解不得法——漏解丢根 有的学生误认
为:利用部分分式,或采用分离分式的办法,可避免增根的产生.其实这样做并不能避免增根,而且有时会一时疏忽(比如两边同除以某一整式)而导致漏解丢根.请看下面解方程题两例:
・
01・●教学研究
《数学教师》1998年第1期
例3 6x
x2-9-
3
x-3
=1-
3
x+3
.
解 因6x
x2-9=
3
x+3
+
3
x-3
,因而原方程即:
3 x+3+
3
x-3
-
3
x-3
=1-
3
x+3
.
整理得x=3,经检验x=3是增根.
例4 x-7
x-9+x
-3
x-5
=x
-4
x-6
+x
-6
x-8
.
解 整理化简得
2x-14
(x-9)(x-5)=
2x-14 (x-6)(x-8).
两边同除以(2x-14),得
(x-9)(x-5)=(x-6)(x-8),
即 45=48,矛盾.此方程无解.
其实,在方程两边同除以(2x-14)时,遗漏一根x=7.
三、适当补充一点说明
为什么在解分式方程时,有时出现增根而有时无增根现象呢?想一下说得很清楚,对初中生来说,还是有点困难,可向学生讲明:解释这一现象,还需学习其它一些初数知识,以此鼓励他们不断探觅的热情.对于少数学生来说,则可利用充分必要条件加以解答.不妨设:
若有 f(x)=g(x)①两端同乘Q(x),则有
f(x)・Q(x)=g(x)・Q(x)②,
Q(x)是非零常量则是方程①和②同解的充分条件.换言之,当Q(x)不是一个常量而是一个含有未知数的代数式时,方程①和②不一定不同解,即可能同解,也可能不同解.
浅谈初一布列方程的教学
□吕淑华
(江苏徐州市第十六中学 221005)
在初一数学教学中,布列方程解应用题是一个难点,不少学生受传统的算术解题思维定势的影响,思想不容易转弯,接受起来有很大困难,有的学生甚至产生畏难情绪,影响了教学效果.对此,布列方程教学中应因情施教,正确引导,使学生尽快转变观念,提高分析问题解决问题的能力.具体教学中应注意以下三点:
一、加强引导,转变观念
为使学生从传统思维定势中解脱出来,教学中应首先采取对比的方法,把用代数法解应用题的优越性展现给学生,使他们在比较中转变观念,提高认识,树立学习和掌握代数法的信心和决心.实践证明,采取对比的方法能够取得事半功倍的效果.
例1 甲每天做10个零件,乙每天做16个零件,甲先做30个零件后,乙开始一起做,问乙工作几天后,两人所做的零件数一样多?
算术解法 通过分析知道,乙比甲做得快,甲先做30个,然后与乙一起做,直到做的零件数一样多,就是在同时做的几天里,乙比甲要多做30个,而每天乙比甲多做(16-10)个,所以两人一起工作的天数应为30÷(16-10)=5(天).
代数解法 通过分析,题中等量关系,是两人做的零件数相等,设乙工作x天后两人做的零件数相等,可得30+10x=16x,解得x=5.
通过对比,使学生充分认识到用代数法解应用题的两大优点:
一是可把未知变“已知”.算术解法是把未知量置于特殊地位,需用已知量组成一个混合运算式表示,有时列出这样的式子较困难;而代数解法是把未知量与已知量同样对待,使未知量在分析问题的过程中,也能发挥作用,找出各量之间的相等关系,建立方程.
二是变“曲线思维”为“直观思维”.通过例题的对比可以看出,算术解法是“拐弯抹角”,代数解法是“直截了当”.用算术法很难解决的问题,而用代数法往往容易得到解决.
通过对比,强化学生对代数法解应用题的优越性的认识,端正学习态度,增强学习和运用的自觉性.
二、强化训练,掌握规律
任何事物都有其内在规律性,掌握了其规律,就等于找到了解决问题的钥匙.布列方程解应用题主
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1
1
・
《数学教师》1998年第1期●教学研究。